Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§4

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§. 4. Vorläufige Uebersicht über den Gang und die Ergebnisse der anzustellenden Untersuchungen.

      Es sei gegeben ein System von beliebig vielen Körpern, welche in beliebigen Bewegungen begriffen sind, während gleichzeitig im Innern eines jeden irgend welche elektrische Vorgänge stattfinden. Diese Bewegungen und inneren Vorgänge finden statt unter dem Einflusse beliebig gegebener äusserer Kräfte und unter dem gleichzeitigen Einflusse der in dem System vorhandenen inneren Kräfte. Um nun diese letzteren, welche theils ordinären, theils elektrostatischen, theils elektrodynamischen Ursprungs sind, näher zu erforschen, soll von uns zu Hülfe genommen werden das allgemeine Axiom der lebendigen Kraft.

     Auf den ersten Blick wird es vielleicht am Einfachsten erscheinen, bei diesen Betrachtungen das gegebene System sich selber zu überlassen, die Einwirkung äusserer Kräfte also auszuschliessen; denn alsdann verschwindet $\textstyle dS.\,$ Trotzdem ist es zweckmässiger, eine gewisse willkührliche Einwirkung auf das System von Aussen her uns zu reserviren; um indessen hiebei das Hineintreten neuer und unnöthiger Schwierigkeiten zu vermeiden, mag jene willkührliche äussere Einwirkung bewerkstelligt werden durch Kräfte der bekanntesten und einfachsten Art, nämlich durch Fäden, die in irgend welchen ponderablen Massenpuncten des Systems befestigt sind, und an denen von Aussen her beliebig gezogen werden kann. Solches festgesetzt zerfallen sämmtliche Kräfte, von denen das System beherrscht wird, in folgende Gattungen.

(I.) Die eben genannten äusseren Zugkräfte (pondermotorisch),

(II.) Die inneren Kräfte des Systems, welche ihrerseits zerfallen in:

(a.) Kräfte ordinären Ursprungs (ponderomotorisch),

(b.) Kräfte elektrostatischen Ursprungs (ponderomotorisch und elektromotorisch),

(c.) Kräfte elektrodynamischen Ursprungs (ponderomotorisch und elektromotorisch).

Die in Parenthese beigefügten Zusätze sollen andeuten, dass die Kräfte (I.) und (II.a) nur ponderomotorisch einwirken, die Kräfte (II.b,c) hingegen sowohl ponderomotorisch wie auch elektromotorisch.

     Ausserdem sei endlich noch vorausgesetzt, dass das System (durch in geeigneter Weise von Augenblick zu Augenblick erfolgende Wärmeableitungen) in constanter Temperatur erhalten werde.

      Bringen wir nun auf dieses System das allgemeine Axiom der lebendigen Kraft:

$(12.)\,$

$dT+dQ+d{\mathfrak {F}}=dS\$

in Anwendung, so haben (vergl. namentlich pag. 9) die einzelnen Glieder $dT,dQ,dS\,$ und $d{\mathfrak {F}}\,$ folgende Bedeutungen:

$dT\,$ und $dQ\,$ die während eines Zeitelementes $dt\,$ im System sich entwickelnden Quantitäten von lebendiger Kraft und Wärme;

$dS\,$ die während der Zeit $dt\,$ von den Zugkräften (I.) verrichtete Arbeit;

${\mathfrak {F}}$ eine dem System eigenthümlich zugehörige unbekannte Function, welche lediglich abhängt vom augenblicklichen Zustande des Systems, und welche zu bezeichnen sein wird als das Postulat des Systemes;

$d{\mathfrak {F}}$ das der Zeit $dt\,$ entsprechende vollständige Differential von ${\mathfrak {F}}.$

     Die eben genannten Quantitäten $dT,dQ\,$ können nun, auf Grund der im vorhergehenden Paragraphen entwickelten Methode, zerlegt werden in die Theile:

${\begin{aligned}dT&=(dT)_{\textrm {I}}+(dT)_{\textrm {II}},\\dQ&=(dQ)_{\textrm {I}}+(dQ)_{\textrm {II}},\end{aligned}}$

entsprechend den vorhandenen Kräften (I.) und (II.). Dabei ist zu beachten, dass die Kräfte (I.) keine elektromotorische Wirkung besitzen, folglich auch keine Wärmeentwicklung veranlassen, dass mithin $(dQ)_{\mathrm {I} }$ gleich Null ist. Somit ergiebt sich also:

$(13.)\,$

${\begin{aligned}dT&=(dT)_{\mathrm {I} }&+(dT)_{\mathrm {II} },\\dQ&=&(dQ)_{\mathrm {II} }.\end{aligned}}$

Hierdurch aber gewinnt unser Axiom (12.) folgende Gestalt:

$(14.)\,$

$(dT)_{\mathrm {I} }+(dT)_{\mathrm {II} }+(dQ)_{\mathrm {II} }+d{\mathfrak {F}}=dS.$

     Unter $(dT)_{\mathrm {I} }$ ist diejenige lebendige Kraft zu verstehen, welche während der Zeit $dt\,$ im Systeme hervorgebracht wird speciell durch Einwirkung der äusseren Zugkräfte (I.), oder [was dasselbe, vgl. pag. 12] die von den eben genannten Kräften während der Zeit $dt\,$ auf das System ausgeübte Arbeit. Folglich ist dieses $(dT)_{\mathrm {I} }$ seiner Bedeutung nach durchaus identisch mit $dS.\,$ Die das Axiom darstellende Formel (14.) reducirt sich somit auf:

$(15.)\,$

$(dT)_{\mathrm {II} }+(dQ)_{\mathrm {II} }+d{\mathfrak {F}}=0.$

     Die Kräfte (II.) bestehen aus den dreierlei Gattungen (a.), (b.), (c.). Demgemäss können die Quantitäten $(dT)_{\mathrm {II} },(dQ)_{\mathrm {II} }$ den weiteren Zerlegungen unterworfen werden:

$(16.)\,$

${\begin{aligned}(dT)_{\mathrm {II} }&=(dT)_{a}&+(dT)_{b}+(dT)_{c}\,,\\(dQ)_{\mathrm {II} }&=&(dQ)_{b}+(dQ)_{c}\,;\end{aligned}}$

ein Glied $(dQ)_{a}$ hinzuzufügen, ist überflüssig, weil die Kräfte (a.) elektromotorisch unwirksam sind, mithin $(dQ)_{a}$ gleich Null ist. Durch Substitution der Werthe (16.) geht das allgemeine Axiom (15.) über in:

$(17.)\,$

$(dT)_{a}+[(dT)_{b}+(dQ)_{b}]+[(dT)_{c}+(dQ)_{c}]=-d{\mathfrak {F}},$

d. i. in:

$(18.)\,$

$(dT)_{a}+(dT+dQ)_{b}+(dT+dQ)_{c}=-d{\mathfrak {F}};$

und hiefür endlich mag, indem man die den Kräften (a.), (b.), (c.) beigelegten Signaturen (pag. 11) an Stelle der Indices setzt, geschrieben werden:

$(19.)\,$

$(dT)_{\text{ord.Us}}+(dT+dQ)_{\text{elst.Us}}+(dT+dQ)_{\text{eldy.Us}}=-d{\mathfrak {F}}.$

     Die äusseren Zugkräfte waren bereits beim Uebergange von (14.) zu (15.) eliminiert worden; die in (19.) auf der linken Seite befindlichen drei Terme:

${\begin{matrix}(20.a)\\(20.b)\\(20.c)\end{matrix}}$

${\begin{aligned}&(dT)_{\text{ord.Us}},\\&(dT+dQ)_{\text{elst.Us}},\\&(dT+dQ)_{\text{eldy.Us}}\end{aligned}}$

beziehen sich mithin ausschliesslich auf die inneren Kräfte des Systems; und das durch jene Formel (19.) ausgedrückte allgemeine Axiom stellt also die Anforderung, dass die Summe dieser drei Terme (20.a, b, c) das vollständige Differential irgend einer Function $(-{\mathfrak {F}})$ sein solle, die lediglich abhängt vom augenblicklichen Zustande des Systems.

     In Betreff der Kräfte ordinären und elektrostatischen Ursprungs existiren bestimmte und ausreichende Elementargesetze. Auf Grund derselben wird sich ergeben, dass die beiden ersten Terme (20.a) und (20.b), jeder für sich allein genommen, der genannten Anforderung Genüge leisten. Solches constatirt, folgt sodann, dass der dritte Term (20.c) für sich allein genommen, ebenfalls jener Anforderung entsprechen muss, dass also der dritte Term das vollständige Differential einer durch den augenblicklichen Zustand des Systems sich bestimmenden Function sein muss.

     Für die Kräfte elektrodynamischen Ursprungs sind bis jetzt keine ausreichenden Elementargesetze von erprobter Sicherheit vorhanden. Zur Ausfüllung dieser Lücke soll nun im Folgenden der soeben behauptete Satz benutzt werden, dass der diesen Kräften entsprechende Term (20.c) ein vollständiges Differential ist.

     Zufolge der von uns deducirten Gleichung (19.) unterliegt es keinem Zweifel, dass die Summe der drei Terme (20.a, b, c) ein vollständiges Differential ist. Dass hingegen Analoges auch gelte von den beiden ersten Termen, einzeln genommen, mithin auch vom einzelnen dritten Term, – diese Behauptung bedarf noch des Nachweises.

     Nehmen wir einstweilen an, jener Nachweis sei bereits geliefert. Alsdann werden die genannten drei Terme ausdrückbar sein durch:

${\begin{matrix}(21.a)\\(21.b)\\(21.c)\end{matrix}}$

${\begin{aligned}(dT)_{\text{ord.Us}}=-d{\mathfrak {F}}_{a}\,,\\(dT+dQ)_{\text{elst.Us}}=-d{\mathfrak {F}}_{b}\,,\\(dT+dQ)_{\text{eldy.Us}}=-d{\mathfrak {F}}_{c}\,,\end{aligned}}$

wo ${\mathfrak {F}}_{a},{\mathfrak {F}}_{b},{\mathfrak {F}}_{c}$ Functionen sind, deren jede lediglich abhängt vom augenblicklichen Zustande des Systems und deren Summe nach (19.) identisch ist mit der Funktion ${\mathfrak {F}};$ so dass also die Relation stattfindet:

$(22.)\,$

${\mathfrak {F}}={\mathfrak {F}}_{a}+{\mathfrak {F}}_{b}+{\mathfrak {F}}_{c}.\$

Nennen wir nun, wie schon festgesetzt wurde, $\textstyle {\mathfrak {F}}$ kurzweg das Postulat des gegebenen Systems, so werden die Theile ${\mathfrak {F}}_{a},{\mathfrak {F}}_{b},{\mathfrak {F}}_{c}$ der Reihe nach bezeichnet werden können als das ordinäre, elktrostatische und elektrodynamische Postulat.