Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§42

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§. 42. Ueber eine Relation, welche in gewissen Fällen zwischen der ponderomotorischen Arbeit und dem Potential stattfindet.

Befinden sich zwei elektrische Stromringe ($J,s$) und $\left(J_{1},s_{1}\right)$ in irgend welchen Bewegungen, und bezeichnet

(9.)	$P=JJ_{1}Q\,$

das elektrodynamische Potential der beiden Ringe, so hat die während der Zeit $dt$ von diesen Ringen aufeinander ausgeübte ponderomotorische Arbeit $dS$ den Werth^[1]:

(10.)

$dS=-JJ_{1}dQ.\,$

Ob die Ringe von Gleitstellen frei, oder mit solchen behaftet sind, bleibt dabei gleichgültig (vergl. pag. 67); jedoch ist die Voraussetzung erforderlich, dass $J$ und $J_{1}$ gleichförmig sind.

Sind $J$ und $J_{1}$ nicht allein gleichförmig, sondern auch constant, so kann die Formel (10.) mit Rücksicht auf (9.) auch so geschrieben werden:

(11.)

$dS=-d\left(JJ_{1}Q\right)=-dP;$

hieraus aber folgt durch Integration über einen beliebig gegebenen Zeitraum $t'\dots t''$ sofort:

(12.)

$S=P'-P'';$

in Worten ausgedrückt:

Die ponderomotorische Arbeit $S$, welche zwei in Bewegung begriffene Stromringe, von constanter Stärke, mit oder ohne Gleitstellen, während des Zeitraumes $t'\dots t''$ auf einander ausüben, ist gleich der Differenz derjenigen Werthe $P'$ und $P''$, welche das Potential der beiden Ringe besitzt zu Anfang und zu Ende jenes Zeitraumes.

In Betreff der Ströme $(J,s)$ und $\left(J_{1},s_{1}\right)$ mögen jetzt folgende nähere Bestimmungen hinzutreten.

Es sei $\left(J,\alpha \gamma \right)$ irgend ein Theil von $(J,s)$, dessen Begrenzungspuncte $\alpha$ und $\gamma$ längs der Curve $s$ sich fortwährend verschieben. Andererseits sei der Strom $\left(J_{1},s_{1}\right)$ von unveränderlicher Gestalt.

Es soll ermittelt werden die während eines gegebenen Zeitraumes $t'\dots t''$ zwischen

(13.)

$\left(J,\alpha \gamma \right)\ \mathrm {und} \ \left(J_{1},s_{1}\right)$

stattfindende ponderomotorische Arbeit $S$, d. i. diejenige Arbeit, welche der sogenannte ungeschlossene Strom $\left(J,\alpha \gamma \right)$ und der geschlossene Strom $\left(J_{1},s_{1}\right)$ während jenes Zeitraumes auf einander ausüben.

Diese Arbeit $S$ wird, falls man unter $\sigma$ eine beliebige ihrer Gestalt nach unveränderliche und mit $s_{1}$ starr verbundene Curve, ferner unter $j$ einen in $\sigma$ vorhandenen Strom von beliebig variirender Stärke versteht, identisch sein mit derjenigen, welche stattfindet zwischen

(14.)

$\left(J,\alpha \gamma \right)+(j,\sigma )\ \mathrm {und} \ \left(J_{1},s_{1}\right);$

denn die zwischen $(j,\sigma )$ und $\left(J_{1},s_{1}\right)$ stattfindende Arbeit ist, in Folge der zwischen $\sigma$ und $s_{1}$ vorausgesetzten starren Verbindung, offenbar gleich Null.

Fig. 12

Denkt man sich der bessern Anschaulichkeit willen den Ring $s_{1}$ eingebettet in eine starre Substanz, welche nach allen Seiten beliebig weit ausgedehnt ist und an allen Bewegungen des Ringes theilnimmt, so wird die Curve $\sigma$ ebenfalls in diese Substanz eingebettet zu denken sein. Die Curve $\sigma$ mag ungeschlossen, etwa $\Lambda$-förmig sein (Fig. 12), nämlich aus zwei von irgend einem Punct $\Omega$ ausgehenden Aesten bestehen; diese Aeste seien in ihrem anfänglichen Lauf beliebig, in ihrem späteren Lauf aber identisch mit denjenigen Wegen, welche die Puncte $\alpha$ und $\gamma$ während der Zeit $t'\dots t''\dots \infty$ in jener fingirten Substanz durchwandern. In jedem Augenblick wird alsdann die Curve $\sigma$ durch den Strom $\left(J,\alpha \gamma \right)$ in zwei äussere und ein mittleres Segment zerlegt; der Art, dass letzteres mit $\left(J,\alpha \gamma \right)$ zusammengenommen ein Dreieck bildet. Die in $\sigma$ vorhandene Stromstärke $j$ mag nun der Art variiren, dass sie in den beiden äusseren Segmenten stets = 0, hingegen in dem mittleren Segment $\gamma \Omega \alpha$ stets = $J$ ist.

Das in (14.) genannte System $\left(J,\alpha \gamma \right)+(j,\sigma )$ kann alsdann kürzer mit

$\left(J,\ \alpha \gamma \Omega \alpha \right)$

bezeichnet, nämlich aufgefasst werden als ein geschlossener Strom von der Stärke $J$, dessen Strombahn durch das Dreieck $\alpha \gamma \Omega \alpha$ dargestellt, und in $\alpha$ und $\gamma$ mit Gleitstellen behaftet ist. Somit kann die gesuchte Arbeit $S$ als diejenige definirt werden, welche während der Zeit $t'\dots t''$ stattfinde zwischen den beiden geschlossenen Strömen

(15.)

$\left(J,\ \alpha \gamma \Omega \alpha \right)\ \mathrm {und} \ \left(J_{1},s_{1}\right).$

Zufolge des vorhergehenden Satzes (12.) ist daher:

(16.)

$S=P'-P'',\,$

oder etwas ausführlicher geschrieben:

(17.)

$S=P\left(J,\ \alpha '\gamma '\Omega \alpha '\right)-P\left(J,\ \alpha ''\gamma ''\Omega \alpha ''\right),$

nämlich gleich der Differenz derjenigen Potentiale, welche $\left(J_{1},s_{1}\right)$ besitzt respective auf $\left(J,\ \alpha '\gamma '\Omega \alpha '\right)$ und auf $\left(J,\ \alpha ''\gamma ''\Omega \alpha ''\right)$.

Denkt man sich das Dreieck $\alpha ''\gamma ''\Omega \alpha ''$ zerlegt in das kleinere Dreieck $\alpha '\gamma '\Omega \alpha '$ und in das übrig bleibende Viereck, so ergiebt sich augenblicklich die Relation:

$P\left(J,\ \alpha ''\gamma ''\Omega \alpha ''\right)=P\left(J,\ \alpha '\gamma '\Omega \alpha '\right)+P\left(J,\ \alpha ''\gamma ''\gamma '\alpha '\alpha ''\right).$

Mit Hülfe dieser Relation gewinnt die Formel (17.) folgende Gestalt:

(18.)

$S=-P\left(J,\ \alpha ''\gamma ''\gamma '\alpha '\alpha ''\right),$

oder (was dasselbe ist) folgende:

(19.)

$S=+P\left(J,\ \alpha '\gamma '\gamma ''\alpha ''\alpha '\right);$

in Worten ausgedrückt: Die Arbeit $s$ ist gleich dem Potential von $\left(J_{1},s_{1}\right)$ auf das von $J$ durchflossene Viereck $\alpha '\gamma '\gamma ''\alpha ''\alpha '$ oder ${\scriptstyle \left({\alpha '\gamma ' \atop \alpha ''\gamma ''}\right)}$. Dieses Viereck ist vom Segmente $\alpha \gamma$ beschrieben worden in der mit $s_{1}$ verbundenen starren Substanz, und kann daher kürzer als dasjenige Viereck bezeichnet werden, welches vom Segmente $\alpha \gamma$ durch seine relative Bewegung gegen $s_{1}$ beschrieben worden ist. Somit ergiebt sich aus (19.) folgender Satz.

Befinden sich ein ungeschlossener Strom $(J,\alpha \gamma )$ und ein geschlossener Strom $\left(J_{1},s_{1}\right)$ in irgend welchen Bewegungen, und bezeichnet man mit ${\scriptstyle \left({\alpha '\gamma ' \atop \alpha ''\gamma ''}\right)}$ dasjenige Viereck, welches durch die relative Bewegung des erstern in Bezug auf den letztern beschrieben wird während der Zeit $t'\dots t''$; so ist die während dieser Zeit von den beiden Strömen aufeinander ausgeübte ponderomotorische Arbeit identisch mit dem Potentiale von $\left(J_{1},s_{1}\right)$ auf das Viereck ${\scriptstyle \left({\alpha '\gamma ' \atop \alpha ''\gamma ''}\right)}$, letzteres durchflossen gedacht vom Strome $J$ in der Richtung $\alpha '\gamma '\gamma ''$ ...

Bei diesem Satze darf die Strombahn $\alpha \gamma$ hinsichtlich ihrer Gestalt und räumlichen Lage, wie hinsichtlich ihrer beiden Begrenzungspuncte in beliebiger Weise veränderlich sein; hingegen ist vorausgesetzt, dass die Strombahn $s_{1}$ ihrer Gestalt nach unveränderlich sei. Ausserdem ist vorausgesetzt, dass $J$ und $J_{1}$ constant sind.

Die Formel (19.) kann auch so geschrieben werden:

(20.)

$S=P\left(J,\alpha '\gamma '\right)+P\left(J,\gamma '\gamma ''\right)+P\left(J,\gamma ''\alpha ''\right)+P\left(J,\alpha ''\alpha '\right),$

oder auch so:

(21.)

$S=P\left(J,\alpha '\gamma '\right)+P\left(J,\gamma '\gamma ''\right)-P\left(J,\alpha ''\gamma ''\right)-P\left(J,\alpha '\alpha ''\right).$

Das erste und dritte Glied dieses Ausdrucks werden sich gegenseitig zerstören, sobald $\alpha '\gamma '$ und $\alpha ''\gamma ''$ zusammenfallen; so dass also in diesem Falle die Formel sich reducirt auf:

(22.)

$S=P\left(J,\gamma '\gamma ''\right)-P\left(J,\alpha '\alpha ''\right);$

in Worten ausgedrückt:

Ist die relative Bewegung von $(J,\alpha \gamma )$ in Bezug auf $\left(J_{1},s_{1}\right)$ eine in sich zurücklaufende, so berechne man die Potentiale von $\left(J_{1},s_{1}\right)$ in Bezug auf die bei dieser Bewegung von $\alpha$ und $\gamma$ beschriebenen in sich zurücklaufenden Curven, dieselben durchflossen gedacht vom Stome $J$. Alsdann wird die Differenz dieser Potentiale diejenige ponderomotorische Arbeit vorstellen, welche $(J,\alpha \gamma )$ und $\left(J_{1},s_{1}\right)$ während der genannten Bewegung auf einander ausüben.

Bringt man die Sätze (12.), (19.), (22.) in Verbindung mit dem Satze (8.) des vorhergehenden §., so ergeben sich analage Sätze für die inducirten elektromotorischen Kräfte. Von diesen letztern sind einige bereits von meinem Vater aufgestellt worden^[2].

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1. Benennt man die beiden Ringe $(J,s)$ und $\left(J_{1},s_{1}\right)$ kurzweg mit $A$ und $B$, so wird jene ponderomotorische Arbeit $dS$ nichts Anderes sein als die Summe derjenigen Quantitäten von lebendiger Kraft, welche $B$ in $A$ und $A$ in $B$ vermöge ihrer Kräfte eldy. Us hervorrufen, also zu bezeichnen sein mit
   $dS=\left(dT_{A}^{B}+dT_{B}^{A}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }.$

   Die Formel (10.) ist daher identisch mit einer früher (pag. 67) gefundenen.

2. F. Neumann: Die math. Gesetze der inducirten elektrischen Ströme (27. Octob. 1845); vergl. daselbst die drei letzten Seiten des §. 11.