Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§55

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§. 55. Die Sätze des Potentials und der Kegelöffnung für sogenannte ungeschlossene Ströme.

Ein starrer Körper $K$ enthalte in seinem Innern ein System von Solenoiden, oder allgemeiner ein System von geschlossenen gleichförmigen Strömen; und ausserhalb dieses Körpers befinde sich ein biegsamer Drahtring $s$, durchflossen von einem gleichförmigen Strome $J$. Sowohl $K$ als auch $s$ seien begriffen in beliebig gegebenen Bewegungen; es sollen diejenigen ponderomotorischen Arbeiten eldy. Ursprungs:

$dT_{ac}^{K}\ \mathrm {und} \ dT_{K}^{ac}$

in Betracht gezogen werden, welche der Körper und ein gegebenes Segment $ac$ des Stromringes $s$ während der Zeit $dt$ auf einander ausüben.

Die Summe beider Arbeiten ist leicht angebbar nach einem früheren Satz (pag. 238), nämlich darstellbar durch

(1.$\alpha$)

$dT_{ac}^{K}+dT_{K}^{ac}=J\cdot P(K,df).$

Um den Sinn dieser Formel darlegen zu können, denke man sich einen mit $K$ starr verbundenen, nach allen Seiten beliebig weit ausgedehnten Raum ($K$), welcher an der Bewegung jenes Körpers theilnimmt. Alsdann bezeichnet $df$ diejenige Fläche, welche das Segment $ac$ während der Zeit $dt$ im Raume ($K$) beschreibt. Diese Fläche $df$ wird, weil jene Zeit unendlich klein ist, die Form eines unendlich schmalen Streifen besitzen, und zu beiden Seiten begrenzt sein von denjenigen Curven $a_{0}c_{0}\ {\mathsf {u\ d}}\ a_{1}c_{1}$, welche das Segment zu Anfang und zu Ende der Zeit $dt$ im Räume ($K$) occupirt. Endlich bezeichnet $P(K,df)$ das Potential der in $K$ enthaltenen Ströme auf einen die Peripherie von $df$ umlaufenden Strom von der Stärke Eins, dessen Richtung längs $a_{0}c_{0}$ übereinstimmt mit der Richtung des gegebenen Stromes $J$.

Aus der für die totale Arbeit geltenden Formel (1.$\alpha$) können mit Leichtigkeit analoge Formeln deducirt werden für die einzelnen partiellen Arbeiten.

Die partielle Arbeit $dT_{ac}^{K}$ ist nämlich identisch mit derjenigen totalen Arbeit, welche stattgefunden haben würde, falls man den Körper $K$ in der von ihm zu Anfang der Zeit $dt$ occupirten Lage absolut fixirt, das Segment $ac$ hingegen seiner gegebenen Bewegung überlassen hätte. Die diesem fingirten Falle entsprechende totale Arbeit ist aber nach (1.$\alpha$) gleich $J\cdot P(K,df')$, wo $df'$ wiederum diejenige Fläche vorstellt, welche das Segment $ac$ während der Zeit $dt$ im Raume ($K$) beschreibt, nur mit dem Unterschiede, dass jener Raum, ebenso wie der Körper selbst, gegenwärtig absolut fixirt zu denken ist. Somit ergiebt sich also:

(1.$\beta$)

$dT_{ac}^{K}=J\cdot P(K,df');$

und in ähnlicher Weise erhält man andererseits:

(1.$\gamma$)

$dT_{K}^{ac}=J\cdot P(K,df'').$

In diesen Formeln (1.$\alpha ,\beta ,\gamma$) haben alsdann $df,\ df',\ df''$ folgende Bedeutungen:

$df$	die Fläche, welche $ac$ im Raume $(K)$ während der Zeit $dt$ in Wirklichkeit beschreibt;
$df'$	die Fläche, welche $ac$ im Raume $(K)$ während der Zeit $dt$ beschrieben haben würde, falls man [ohne in der Bewegung von $ac$ eine Aenderung eintreten zu lassen] jenen Raum in der von ihm zu Anfang des Zeitelementes occupirten Lage absolut fixirt hätte;
$df''$	die Fläche, welche $ac$ im Raume $(K)$ während der Zeit beschrieben haben würde, falls man [ohne in der Bewegung von $K$ und $(K)$ eine Aenderung eintreten zu lassen] das Segment $ac$ in der von ihm zu Anfang der Zeit $dt$ occupirten Lage absolut fixirt hätte.

Die Formeln (1.$\alpha ,\beta ,\gamma$) gestalten sich anschaulicher, sobald wir annehmen, dass die innerhalb $K$ befindlichen Ströme lauter Solenoide sind; denn alsdann können die Potentiale $P(K,df)$ u. s. w., auf Grund eines früheren Satzes (pag. 255), durch gewisse Kegelöffnungen ausgedrückt werden.

Nach jenem Satze hat nämlich das Potential eines Solenoidpols ${\mathsf {M}}$ auf einen ebenen geschlossenen Strom von der Stärke Eins den Werth:

(2.)	$A{\mathsf {M}}\epsilon {\mathsf {K}},$

wo $A$ die Constante des Ampère’schen Gesetzes, und $\epsilon {\mathsf {K}}$ die reducirte Kegelöffnung des Poles ${\mathsf {M}}$ in Bezug auf den Strom vorstellt. — Ist der gegebene Strom nicht eben, so ergiebt sich für das in Rede stehende Potential der complicirtere Ausdruck:

(3.)	$A{\mathsf {M}}(\epsilon '\varkappa '+\epsilon ''\varkappa ''+\dots ),$

wo $\epsilon '\varkappa ',\epsilon ''\varkappa '',\dots$ die reducirten Kegelöffnungen des Poles ${\mathsf {M}}$ in Bezug auf diejenigen unendlich kleinen Ströme $\lambda ',\lambda '',\dots$ vorstellen, in welche der gegebene Strom zerlegt werden kann. Der Bequemlichkeit willen werde der Ausdruck:

(4.)	$\epsilon '\varkappa '+\epsilon ''\varkappa ''+\dots$

kurzweg die dem gegebenen Pol entsprechende reducirte Kegelöffnung genannt. Mit andern Worten:

(5.) ..... Unter der reducirten Kegelöffnung eines Pols in Bezug auf einen geschlossenen (ebenen oder nicht ebenen) Strom soll die Summe derjenigen reducirten Kegelöffnungen verstanden werden, welche jener Pol besitzt in Bezug auf die den gegebenen Strom ersetzenden unendlich kleinen Ströme.

Enthält also der Körper $K$ im Ganzen $N$ Solenoide, so wird das in (1.$\alpha$) vorhandene Potential darstellbar sein durch:

(6.)	$P(K,df)=A\cdot {\mathit {\Sigma }}({\mathsf {M}}\cdot d\Omega ),\,$

wo die Summe rechter Hand $2N\,$ Glieder umfasst; in jedem Gliede ist unter $d\Omega \,$ die reducirte Kegelöffnung des betreffenden Poles ${\mathsf {M}}\,$ in Bezug auf die Stromfläche $df\,$ zu verstehen. Die Formeln $(1.\alpha ,\beta ,\gamma )\,$ erhalten hiedurch folgendes Aussehen:

$(7.\alpha )\,$

$dT_{ac}^{K}+dT_{K}^{ac}=A\ J\cdot {\mathit {\Sigma }}({\mathsf {M}}\cdot d\Omega ),\,$

$(7.\beta )\,$

$dT_{ac}^{K}=A\ J\cdot {\mathit {\Sigma }}({\mathsf {M}}\cdot d\Omega '),\,$

$(7.\gamma )\,$

$dT_{K}^{ac}=A\ J\cdot {\mathit {\Sigma }}({\mathsf {M}}\cdot d\Omega ''),\,$

wo $d\Omega ,d\Omega ',d\Omega ''\,$ die reducirten Kegelöffnungen des Poles $M\,$ in Bezug auf die Stromflächen $df,df',df''\,$ vorstellen.

     Bemerkung. — An die Formeln $(1.\alpha ,\beta ,\gamma )\,$ und $(7.\alpha ,\beta ,\gamma )\,$ schliesen sich unmittelbar gewisse Erörterungen über die elektromotorischen Kräfte.

     Setzt man nämlich voraus, dass die im Körper $K\,$ enthaltenen geschlossenen Ströme nicht nur gleichförmig, sondern auch constant sind, so ist die Summe der von diesem Körper im Segmente $ac\,$ während der Zeit $dt\,$ inducirten ektromotorischen Kräfte, abgesehen vom entgegengesetzten Vorzeichen, gleich gross mit derjenigen ponderomotorischen Arbeit, welche $K\,$ und $ac\,$ während jener Zeit $dt\,$ wechselseitig aufeinander ausgeübt haben würden, falls in $ac\,$ ein Strom von der Stärke Eins vorhanden wäre (Satz, pag. 235). Bezeichnet man also jene Summe von elektromotorischen Kräften mit $d{\mathfrak {S}}\,$, so ist:

$(8.)\,$

$d{\mathfrak {S}}=-{\frac {1}{J}}\left(dT_{ac}^{K}+dT_{K}^{ac}\right).$

Hieraus folgt nach $(1.\alpha ):$

$(9.)\,$

$d{\mathfrak {S}}=-P(K,df),$

oder, falls die in $K\,$ enthaltenen Ströme lauter Solenoide sind, nach $(7.\alpha ):\,$

$(10.)\,$

$d{\mathfrak {S}}=-A\cdot {\mathit {\Sigma }}({\mathsf {M}}\cdot d\Omega ).$

Diese letztere Formel, angewendet auf den Fall eines einzigen Solenoidpols, würde lauten $d{\mathfrak {S}}=-A{\mathsf {M}}\cdot d\Omega ;\,$ wobei wohl zu beachten, dass die Kegelöffnung $d\Omega \,$ auch dann einen gewissen Werth besitzen kann, wenn die relative Lage zwischen $M\,$ und $ac,$ während der Zeit $dt\,$ ungeändert bleibt. Denkt man sich nämlich das Segment unbeweglich aufgestellt, und den Körper $K,\,$ in welchen der Pol ${\mathsf {M}}\,$ eingeschlossen ist, in Rotation versetzt, um eine durch ${\mathsf {M}}\,$ gehende Axe, so beschreibt $ac\,$ in dem mit $K\,$ verbundenem Raume $(K)\,$ eine gewisse Fläche $df\,$ und dieser entspricht eine gewisse Kegelöffnung $d\Omega .\,$

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