Eine Bemerkung zum Dopplerschen Effekt

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Textdaten
Autor: Vladimir Varićak
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Titel: Eine Bemerkung zum Dopplerschen Effekt
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aus: Bulletin des travaux de la classe des sciences mathématiques et naturelles. Svezak 4 (Juli 1915), S. 87–88
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Erscheinungsdatum: 1915
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Eine Bemerkung zum Dopplerschen Effekt.
Auszug aus der im „Rad“, Bd. 208 (1915), S. 110, veröffentlichten Abhandlung.
Von Dr. V. Varićak.


Varicak1915.png

Anknüpfend an eine frühere Arbeit[1] wird in der vorliegenden ein weiterer spezieller Fall des Dopplerschen Effektes behandelt. Es sei AM=u' die Ausbreitungsgeschwindigkeit der betrachteten Wellenbewegung.

Der Beobachter enferne sich von der Schwingungsquelle normal zur Strahlrichtung mit der Geschwindigkeit MB = u. Der von ihm in der Zeiteinheit zurückgelegte Weg ist dargestellt durch den Grenzkreisbogen BC=c\,\mathrm{sh}\, u. Die Projektion dieses Weges in die Strahlrichtung ist MC=u_{1}. Die Schwingungszahl \nu wird um die Anzahl der Wellenlängen, die in dem Grenzkreisbogen AN' enthalten sind, vermindert. Es wird also

\frac{\nu'}{\nu}=\frac{AN'}{AN}=\frac{\mathrm{sh}\left(u'-u_{1}\right)}{\mathrm{sh}\, u'}

welche Formel für u'=\infty in

\frac{\nu'}{\nu}=e^{-u_{1}}
übergeht. Nach einer Grundformel der Lobatschefskijschen Geometrie ist aber
e^{u_{1}}=\mathrm{ch}\, u,

und so wird

\nu'=\nu\sqrt{1-\,\mathrm{th}\,^{2}u}.

Führt man hier die reduzierte Geschwindigkeit mittels der Relation

\frac{v}{c}=\mathrm{th}\, u.

ein, so erhält man

\nu'=\nu\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}.

Nähert sich der Beobachter der Schwingungsquelle, so hat man u'+u statt u' zu nehmen, und es wird

\frac{\nu'}{\nu}=\frac{\mathrm{sh}(u'+u)}{\mathrm{sh}\, u'},

oder

\nu'=\frac{\nu}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}

Anmerkungen

  1. Dieses Bulletin, Heft 2, S. 46.