Eines hamburgischen Rechenmeisters Antwort
22. Man darff nicht sagen: Was soll das?
Denn zu ihrer Zeit kommen sie gewünscht.
26. Man darff nicht sagen: Was soll das?
Denn er hat ein jegliches geschaffen / daß es etwa zu dienen soll
40. Man darff nicht sagen: Es ist nicht alles gut /
Denn es ist ein jegliches zu seiner Zeit köstlich.
26. Er hat ein jegliches geordnet / wozu es sonderlich nütz seyn soll.
36. Wir sehen seiner Werck das wenigst / denn viel grössere sind uns noch verborgen.
Mein Herr!
Auf E. Liebden gethane Frage: Ob das gedachte Problema so schwer und von solcher Wichtigkeit sey / daß ein so großer Recompens, von 1000 Louys d'Or aus Franckreich / und zweene Zobelne Peltze aus Moscau / à 1000 Rthlr. wehrt / daran verdienet werde? Ingleichen welches etwa die Ursach sey / daß von den hiesigen und andern Nahmhafften Rechen-Meistern / sich bißher keiner öffentlich zu der Solution erwehnten Problematis angegeben / und dergleichen? Mag und will ich nicht weitläuffig antworten / dann derselben Vorreder [4] oder Worthhalter zu seyn / mir nicht zustehet / so ist auch bedencklich / die Ursachen alle zu untersuchen / warumb etwa die Solutio von ihnen zurükk gehalten werde / etc.
Dann das 1. solch Problema seinen gar grossen Nutzen habe / gibt der Hr. Proponent selber zu erkennen / wenn er einen besondern Bogen davon ans Licht zu stellen promittirt. 2. Daß sich bißhero keiner offentlich zu der Solution angegeben / wird Zweifels frey ein jeder seine gewisse Ursach (so nicht gar schwer zu errathen) haben / und auf bedörfften Fall mit der Zeit entdecken. Jedoch kan es auch wohl seyn / daß ein oder anderer der Arithmeticorum seine Solution an den Hn. Proponenten gesendet habe / davon wir bis dato nichts erfahren können.
Weil ich aber wohl mercke / daß E. L. in hoc passu curiens, und meine Meynung von der berührten Solution gerne vernehmen möchte / will ich in selbigen auch so weit willfahren / jedoch umb geliebter Kürtze willen / bey Anweisung der Valorum a. b. es vor jetzto bewenden lassen.
Ist demnach anbey zu wissen / daß bemeldte Quaestion den 24ten Novembris, durch die dritte Hand / mir Schrifftlich / und zwar mit den Circumstantiis, daß auch / falls man beweisen würde / daß dieselbe nicht solvirt werden könnte / dennoch der Recompens erfolgen solte / mir eingehändiget worden / wie folget:
Die Summa zweyer Linien oder Zahlen / Ingleichen
Fragt sich wie a+b zu finden sey / nicht allein durch die Extr. rad. cubicae, sondern auch bloß durch die Quadrat-Wurtzel?
Daraus dann anblikklich erscheinet / daß die würckliche Extraction, so wohl der puren als affectirten Wurtzeln / alhie keinen Platz findet / wohl aber die Resolution, nemlich a. und b. solcher massen zu exprimiren und vorzustellen / damit ohnfehlbar ein rational cubus [5] und Quadrat, besonders / entspringe / wie solches aus folgenden beeden Vorstellungen erscheinet:
Sey a³ ÷ a² b + a b². an welchen die coefficientes ermangeln / dahero solche unter der Unität / als 1 a³ ÷ 1 a² b + 1 a b² stehen müssen; daraus wird zwar die a und b. auf differente Wege bestimmet / die leichteste Manier aber in diesem Exemplo ist folgende: Nehmet a. gleich b. eine beliebige Zahl / und resolvirt dadurch die Quantitäten / entspringet allewege ein rational cubus.
Sey wiederumb a³ ÷ a² b + a b². hie wird dann abermahl a. und b. zwar gleich / doch (umb gewisser und vor Augen-schwebender Ursach) allemahl eine Quadrat-Zahl genommen / mit welcher die vorstehende Quantitäten resolvirt, entstehet jederzeit ein rational Quadrat.
Dieses ist meine unumstößliche Solution über gegenwärtige Quantitäten / welche ich / nebst anderwärtigen Modis, so alhie anzuführen unnöthig / darauf alsbald entwarff / und dem Freund / der mir das Problema bringen ließ / nach zweyen Tagen zur Antwort gab: Daß wenn mir würde address gemacht / wolte ich die Auflösung verschlossen übersenden; aber der Bescheid blieb aus / und also blieb ich mit dieser geringen Arbeit zurükk.
Mitler Zeit ward mir ein Brieff / den ein benachbahrter berühmter Arithmeticus an einen seiner Freunde anhero geschrieben / gezeiget / in welchem obige Quantitäten gar anderer Gestalt / nemlich a³ ÷ 9 b² a + 6 a² b. exprimirt waren. Was sothane Veränderung bedeuten soll / stehet dahin. Es ist aber die Resolvirung dieser geänderten Quantitäten / mit denen vorigen nur darinn different, daß da vorhin a und b. gleich genommen / alhie die Quantität a anderthalb (das ist 1 1/2) mahl so groß als b. zu nehmen sey / im übrigen bleibts bey vorigem Unterricht / daß für a ein Quadrat-Zahl zu stellen.
Weil nun dieses eine so leichte Sache ist / welche nicht meritiret ein künftig Problema zu heissen / geschweige ein so ungewöhnliches grosses Geschenk zu begehren; So hats dem Hn. Proponenten gefallen / abermahl zu mutiren und die Signa + & ÷ in lauter ÷ zu stellen / [6] dahero es dann allererst ein recht schwer und künstlich Problema geworden. Welches / obs dennoch so einen grossen Recompens verdiene? Obs denen Arithmeticis und Algebraisten zum Gesuch- oder Versuch / wie einige es deuten wollen / aufgegeben sey? lässet man Verständigere urtheilen und die Zeit offenbahren.
Unterdessen kan ich E. L. und zugleich männiglichen versichern / daß weder jemanden mich zu opponiren / vielweniger aus Gewinnsucht zu dem Recompens, diese geringe Arbeit / zu E. L. Nachricht aufgesetzt / meines Theils mir vorgenommen habe.
So hat dann / wie gesagt / der Hr. Proponent, solch mehrberührtes Problema exprimirt in a a a ÷ 9 b b a ÷ 6 a a b. begehrende a und b. nicht allein cubicè (dann solches keine so grosse Schwürigkeit habe/) sondern bloß durch die Ausziehung der Quadrat-Wurtzel / auszufinden. Daß aber alhie keine würkliche Extraction, sondern nur eine Resolution von a und b. zu verstehen erfordert werde / ist bereits oben angezeigt / und deutet solches der Hr. Proponent mit den Worten auszufinden klärlich an. Umb dann aus denen gegebenen Quantitäten a a a ÷ 6 a a b ÷ 9 a b b. die Quadratische Wurtzel / auf welche gegenwärtige Quaestion Hauptsächlich zielet / (weil besage des Hn. Proponenten deutlicher Erinnerung die Cubische keine so grosse Schwürigkeit hat) nemlich a und b auszufinden und zu eröfnen / könnte ich E. L. zwar die völlige Solution überschreiben / allein da sie Dero persönliche Herüberkunfft / mit ehester Gelegenheit anzustellen / promittirt, da wir dann / geliebt es GOtt / von ein- und andern ob-angerührten / auch hiezu requirirten Dingen mündlich und ausführlich sprechen können / so will nur alhie Euer curieuses Desiderium vergnügen und stillen / mit blosser Setzung der Valorum a. und b. und wie selbige zu probiren.
Denn wenn man a gleich 25 / und b gleich 2 nimmet / und damit oben gesetzte Quantitäten resolvirt, erlangt man ein rational-Quadrat 7225. deren Radix=85. das stehet in leichtester Operation wie folget / zur
| a a a | ÷ | 6 a a b | ÷ | 9 a b b. | a = 25. b= 2. |
| 15625 | 625 | 25 | |||
| 2 | 4. | ||||
| 15625 | ÷ | 7500 | ÷ | 900. | Summa thut 7225. |
vor das begehrte Quadrat. [7] Aber anbey zu zeigen / daß man diese Solution oder Findung a und b. gantz allgemein machen / h. e. auf eine feste Regel stellen könne / setze zum voraus unserer Unterredung / folgende wenige Valores von a. und b / nemlich:
| a = | 5329. | und b = | 224. | |
| oder | a = | 2061. | und b = | 336. |
| oder | a = | 4225. | und b = | 506. |
| oder | a = | 11881. | und b = | 1240. |
| oder | a = | 7921. | und b = | 1066. |
und so ferner unendlich / das ist / so viel man verlanget / wie davon die rationes und Herstammung / bey gedachter unserer mündlicher Unterredung füglicher und besser / als hie auf dem Papier / da wir ohne deme fast weitläuffig seyn müssen / gezeiget werden mögen.
Nechst Empfehl. etc.
Verbleibe allezeit
E. L.
Dienstwl.
Hamburg A0. 1707.
Die ult. xbris.