Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften

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Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen
Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen
Erschien 1898–1935, Neubearbeitung 1939–1967
in einzelnen Heften herausgegeben, redigiert von W. F. Meyer (die Einzelbände hatten jeweils eigene Herausgeber), Berlin: B. G. Teubner
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Digitalisate[Bearbeiten]

Inhalt der 1. Auflage[Bearbeiten]

Band 1–1[Bearbeiten]

Einleitender Bericht über das Unternehmen der Herausgabe der Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften. Einleitung A. Arithmetik. S. 1

  • 1. Grundlagen der Arithmetik. Von H. SCHUBERT in Hamburg. (Abgeschlossen im Juli 1898.). S. 1
    • 1. Zählen und Zahl. S. 1
    • 2. Addition. S. 6
    • 3. Subtraktion. S. 8
    • 4. Verbindung von Addition und Subtraktion. S. 10
    • 5. Null. S. 11
    • 6. Negative Zahlen. S. 12
    • 7. Multiplikation. S. 13
    • 8. Division. S. 16
    • 9. Verbindung der Division mit der Addition, Subtraktion und Multiplikation. S. 17
    • 10. Gebrochene Zahlen. S. 19
    • 11. Die drei Operationen dritter Stufe. S. 22
  • 2. Kombinatorik. Von E. NETTO in Giessen. (Abgeschlossen im Okt. 1898.). S. 28
    • 1. Kombinatorik; historische Würdigung. S. 29
    • 2. Kombinatorische Operationen. Definitionen. S. 29
    • 3. Inversion; Transposition. S. 30
    • 4. Permutationen mit beschränkter Stellenbesetzung. S. 30
    • 6. Verwandte Permutationen. S. 31
    • 6. Sequenzen. S. 31
    • 7. Anwendung auf Fragen der Arithmetik. S. 32
    • 8. Kombinationen zu bestimmter Summe oder bestimmtem Produkte. S. 32
    • 9. Kombinationen mit beschränkter Stellenbesetzung. S. 33
    • 10. Tripelsysteme. S. 33
    • 11. Ausdehnung des Begriffs der Variation. S. 34
    • 12. Formeln. S. 34
    • 13. Binomialkoeffizienten. S. 34
    • 14. Anwendungen. S. 36
    • 15. Determinanten. Erklärung des Begriffs. S. 36
    • 16. Definitionen. S. 37
    • 17. Anzahl-Probleme hinsichtlich der Glieder. S. 38
    • 18. Elementare Eigenschaften. S. 38
    • 19. Laplace’sche und andere Zerlegungssätze. S. 39
    • 20. Entwicklungen. S. 39
    • 21. Komposition und Produkt. S. 40
    • 22. Andere Art von Komposition. S. 40
    • 23. Zusammengesetzte Determinanten. S. 40
    • 24. Rang der Derminante. S. 41
    • 25. Relationen zwischen coaxialen Subdeterminanten. S. 42
    • 26. Symmetrische Determinanten. S. 42
    • 27. Rekurrierende Determinanten. Cirkulanten. S. 43
    • 28. Halbsymmetrische Determinanten. S. 43
    • 29. Schiefe Determinanten. S. 44
    • 30. Centrosymmetrische und andere Determinanten. S. 44
    • 31. Weitere Determinantenbildungen. S. 44
    • 32. Determinanten höheren Ranges. S. 45
    • 33. Unendliche Determinanten. S. 45
    • 34. Matrizen. S. 45
    • 35. Monographien. S. 46
  • 3. Irrationalzahlen und Konvergenz unendlicher Prozesse. Von A. PRINGSHEIM in München. (Abgeschlossen im Sept. 1898.). S. 47
    • 1. Irrationalzahlen. Euklid’s Verhältnisse und incommensurable Grössen. S. 49
    • 2. Michael Stifel’s Arithmetica integra. S. 50
    • 3. Der Irrationalzahlbegriff der analytischen Geometrie. S. 51
    • 4. Das Cantor-DedekincTsche Axiom und die arithmetischen Theorien der Irrationalzahlen. S. 53
    • 5. Die Theorien von Weierstrass und Cantor. S. 54
    • 6. Die Theorie von Dedekind. S. 55
    • 7. Du Bois-Reymond’s Kampf gegen die arithmethischen Theorien. S. 56
    • 8. Die vollkommene Arithmetisierung im Sinne Kronecker’s. S. 58
    • 9. Verschiedene Darstellungsformen der Irrationalzahlen und Irrationalität gewisser Darstellungsformen. S. 59
    • 10. Verschiedene Darstellungsformen der Irrationalzahlen und Irrationalität gewisser Darstellungsformen (Fortsetzung). S. 61
    • 11. Der geometrische Ursprung des Grenzbegriffs. S. 63
    • 12. Die Arithmetisierung des Grenzbegriffs. S. 64
    • 13. Das Kriterium für die Grenzwertexistenz. S. 65
    • 14. Das Unendlichgrosse und Unendlichkleine. S. 67
    • 15. Oberer und unterer Limes. S. 70
    • 16. Obere und untere Grenze. S. 72
    • 17. Das Rechnen mit Grenzwerten. Die Zahl e = lim (1 + 1/v)v. S. 73
    • 18. Sogenannte unbestimmte Ausdrücke. S. 74
    • 19. Graduierung des Unendlich- und Nullwerdens. S. 75
    • 20. Grenzwerte zweifach-unendlicher Zahlenfolgen. S. 76
    • 21. Unendliche Reihen. Konvergenz und Divergenz. S. 77
    • 22. Die Konvergenzkriterien von Gauss und Cauchy. S. 79
    • 23. Die Konvergenzkriterien von Gauss und Cauchy (Fortsetzung). S. 80
    • 24. Kummer’s allgemeine Kriterien. S. 82
    • 25. Die Theorien von Dini, du Bois-Reymond und Pringsheim. S. 83
    • 26. Die Kriterien erster und zweiter Art. S. 84
    • 27. Die Kriterien erster und zweiter Art (Fortsetzung). S. 86
    • 28. Andere Kriterienformen. S. 88
    • 29. Tragweite der Kriterien erster und zweiter Art. S. 89
    • 30. Die Grenzgebiete der Divergenz und Konvergenz. S. 90
    • 31. Bedingte und unbedingte Konvergenz. S. 91
    • 32. Wertveränderungen bedingt konvergenter Reihen. S. 93
    • 33. Kriterien für eventuell nur bedingte Konvergenz. S. 94
    • 34. Addition und Multiplikation unendlicher Reihen. S. 96
    • 35. Doppelreihen. S. 97
    • 36. Vielfache Reihen. S. 100
    • 37. Transformation von Reihen. S. 101
    • 38. Euler-Mac Laurin’sche Summenformel. Halb konvergente Reihen. S. 102
    • 39. Divergente Reihen. S. 105
    • 40. Divergente Potenzreihen. S. 108
    • 41. Unendliche Produkte. Historisches. S. 111
    • 42. Konvergenz und Divergenz. S. 113
    • 43. Umformung von unendlichen Produkten in Reihen. S. 114
    • 44. Faktoriellen und Fakultäten. S. 117
    • 45. Kettenstiche. Allgemeine formale Eigenschaften der Kettenbrüche. S. 118
    • 46. Rekursorische und independente Berechnung der Näherungsbrüche. S. 121
    • 47. Näherungsbrucheigenschaften besonderer Kettenbrüche. S. 123
    • 48. Konvergenz und Divergenz unendlicher Kettenbrüche. Allgemeines Divergenzkriterium. S. 126
    • 49. Kettenbrüche mit positiven Gliedern. S. 128
    • 50. Konvergente Kettenbrüche mit Gliedern beliebigen Vorzeichens. S. 129
    • 51. Periodische Kettenbrüche. S. 130
    • 52. Transformation unendlicher Kettenbrüche. S. 133
    • 53. Umformung einer unendlichen Reihe in ein äquivalenten Ketteubruch. S. 133
    • 54. Anderweitige Kettenbruchentwicklungen unendlicher Reihen. S. 135
    • 65. Kettenbrüche für Potenzreihen und Potenzreihenquotienten. S. 136
    • 56. Beziehungen zwischen unendlichen Kettenbrüchen und Produkten. S. 139
    • 57. Aufsteigende Kettenbrüche. S. 140
    • 58. Unendliche Determinanten. Historisches. S. 141
    • 59. Haupteigenschaften unendlicher Determinanten. S. 143
  • 4. Theorie der gemeinen und höheren komplexen Grössen. Von E. STUDY in Greifswald (jetzt Bonn). (Abgeschlossen im Nov. 1898.). S. 147
    • 1. Imaginäre Grössen im 17. und 18. Jahrhundert. S. 148
    • 2. Rechnen mit Grössenpaaren. S. 149
    • 3. Gemeine komplexe Grossen. S. 152
    • 4. Absoluter Betrag, Amplitude, Logarithmus. S. 153
    • 5. Darstellung der komplexen Grossen durch Punkte einer Ebene. S. 155
    • 6. Darstellung gewisser Transformationsgruppen mit Hilfe gewöhnlicher komplexer Grossen. S. 156
    • 7. Allgemeiner Begriff eines Systems komplexer Grössen. S. 159
    • 8. Typen, Gestalten, Eeduzibilität. S. 162
    • 9. Systeme mit zwei, drei und vier Einheiten. S. 166
    • 10. Spezielle Systeme mit n2 Einheiten. Bilineare Formen. S. 168
    • 11. Spezielle Systeme mit kommutativer Multiplikation. S. 172
    • 12. Komplexe Grossen und Transformationsgruppen. S. 175
    • 13. Klassifikation der Systeme komplexer Grossen. S. 180
    • 14. Ansätze zu einer Funktionentheorie und Zahlentheorie der Systeme höherer komplexer Grossen. S. 182
  • 5. Mengenlehre. Von A. SCHÖNFLIES in Göttingen (jetzt Königsberg i. Pr.). (Abgeschlossen im Nov. 1898.). S. 184
    • 1. Häufungsstellen von Punktmengen und deren Ableitungen. S. 185
    • 2. Der Abzählbarkeitsbegriff und das Kontinuum. S. 186
    • 3. Cantor’s erste Einführung der transfiniten Zahlen. S. 187
    • 4. Transtinite Mengen. Die Mächtigkeit oder Kardinalzahl. S. 188
    • 5. Die Ordnungstypen. S. 190
    • 6. Die wohlgeordneten Mengen und ihre Abschnitte. S. 191
    • 7. Die Ordnungszahlen und die Zahlklasse Z(..0). S. 192
    • 8. Mengen höherer Mächtigkeit. S. 192
    • 9. Die allgemeinen Rechnungsgesetze der Ordnungszahlen. S. 193
    • 10. Die Normalform der Ordnungszahlen und die ..-Zahlen. S. 194
    • 11. Allgemeine Definitionen und Formeln für Punktmengen. S. 195
    • 12. Allgemeine Lehrsätze über Punktmengen. S. 196
    • 13. Die abgeschlossenen und perfekten Mengen. S. 197
    • 14. Zerlegung einer Menge in separierte und homogene Bestandteile. S. 198
    • 15. Der Inhalt von Punktmengen. S. 199
    • 16. Das Kontinuum. S. 201
    • 17. Infinitärkalkül. Die Unendlich (U) der Funktionen. S. 202
    • 18. Das Axiom des Archimedes und die Stetigkeit. S. 205
    • 19. Die allgemeinsten Grössenklassen. S. 206
  • 6. Endliche diskrete Gruppen. Von H. BURKHARDT in Zürich. (Abgeschlossen im Nov. 1898.). S. 208
    • 1. Pemutationen und Substitutionen. S. 209
    • 2. Ordnung einer Substitution. S. 210
    • 3. Cykeln. S. 210
    • 4. Analytische Darstellung von Substitutionen. S. 211
    • 5. Substitutionsgruppen. S. 211
    • 6. Transitivität, Primitivität. S. 212
    • 7. Symmetrische und alternierende Gruppe. S. 213
    • 8. Mögliche Ordnungszahlen von Gruppen. S. 213
    • 9. Mehrfach transitive Gruppen. S. 214
    • 10. Lineare homogene Gruppe. S. 214
    • 11. Gruppe der Modulargleichung. S. 215
    • 13. Aufzählungen von Gruppen der niedrigsten Grade. S. 216
    • 12. Andere Untergruppen der linearen homogenen Gruppe. S. 216
    • 14. Isomorphismus. S. 217
    • 15. Allgemeiner Gruppenbegriff. S. 217
    • 16. Normalteiler. S. 218
    • 17. Kompositionsreihe. S. 220
    • 18. Isomorphismen einer Gruppe mit sich selbst. S. 220
    • 19. Erzeugende Operationen. Geometrische Bilder von Gruppen. S. 221
    • 20. Abel’sche Gruppen. S. 222
    • 21. Die Sylow’schen Sätze. S. 223
    • 22. Einfache Gruppen. S. 224
    • 23. Auflösbare Gruppen. S. 225
    • 24. Gruppendeterminante. S. 226

B. Algebra. S. 227

  • 1 a. Rationale Funktionen einer Veränderlichen; ihre Nullstellen. Von E. NETTO in Giessen. (Abgeschlossen im Mai 1899.). S. 227
    • 1. Definitionen. S. 228
    • 2. Konstantenzählung. Interpolationsproblem. Partialbrüche. S. 228
    • 3. Interpolations- und Ausgleichungs-Rechnung. S. 230
    • 4. Differenzenrechnung. S. 231
    • 5. Wurzeln und ihre Multiplizität. Nullstellen. S. 232
    • 6. Ableitung und Stetigkeit. S. 233
    • 7. Fundamentaltheorem der Algebra. S. 233
    • 8. Zerlegung in Faktoren. S. 238
    • 9. Rationalitätsbereich. S. 239
    • 10. Reduktibilität. Irreduktibilität. S. 239
    • 11. Teilbarkeitseigenschaften. S. 241
    • 12. Grösster gemeinsamer Teiler. S. 241
    • 13. Irreduktible Funktionen. S. 242
    • 14. Trennung vielfacher Wurzeln. S. 243
    • 15. Algebraische Kongruenzen. S. 244
    • 16. Resultantendarstellung. S. 245
    • 17. Bedingungen für gemeinsame Teiler. S. 247
    • 18. Eigenschaften der Resultanten. S. 248
    • 19. Berechnung der Resultanten. S. 249
    • 20. Diskrimmante. S. 251
    • 21. Eigenschaften der Diskrimmante. S. 251
    • 22. Diskriminantenfläche. S. 252
    • 23. Funktionen mit reellen Nullstellen. Realitätsverhältnisse. S. 253
    • 24. Hinweise auf angrenzende Gebiete. S. 253
  • 1 b. Rationale Funktionen mehrerer Veränderlichen. Von E. NETTO in Giessen. (Abgeschlossen im Juli 1899). S. 255
    • 1. Definitionen. S. 256
    • 2. Wurzeln. – Identisches Verschwinden. S. 256
    • 3. Potenzentwicklung gewisser rationaler Funktionen. S. 257
    • 4. Mehrfache Wurzeln. – Unendlich grosse Wurzeln. S. 257
    • 5. Reduktibilität und Irreduktibilität. S. 258
    • 6. Elimination. – Bézout’sche Methode. S. 260
    • 7. Poisson’sche Methode. – Eliminante. S. 262
    • 8. Cayley’sche und Sylvester’sche Methode. S. 262
    • 9. Kronecker sehe Methode. – Stufenzahl. S. 263
    • 10. Minding’sche Regel. – Labatie’s Theorem. S. 264
    • 11. Vielfache und unendfiche Wurzeln eines Gleichungssystems. S. 266
    • 12. Auflösung linearer Gleichungen. – Spezielle Eliminationsprobleme. S. 268
    • 13. Eigenschaften der Eliminante. S. 270
    • 14. Resultante und ihre Eigenschaften. S. 271
    • 15. Reduzierte Resultante. S. 273
    • 16. Reduktibilität und Teilbarkeit von Gleichungssystemen. S. 273
    • 17. Diskriminante eines Gleichungssystems. S. 274
    • 18 Diskriminante einer Gleichung. S. 274
    • 19. Unabhängigkeit von Funktionen. S. 275
    • 20. Unabhängigkeit von Gleichungen. S. 276
    • 21. Funktionaldeterminante. S. 276
    • 22. Hesse’sche Determinante. S. 277
    • 23. Jacobi’s Erweiterung einer Euler’sehen Formel. S. 278
    • 24. Wurzelrelationen eines Gleichungssystems. – Interpolation. S. 279
    • 25. Charakteristik eines Funktionenssystems. S. 279
    • 26. Modul- oder Divisorensysteme. S. 280
    • 27. Weitere Hinweise. S. 280
  • 1 c. Algebraische Gebilde. Arithmetische Theorie algebraischer Grossen. Von G. LANDSBERG in Heidelberg. (Abgeschlossen im Aug. 1899.). S. 283
    • 1. Aufgabe der arithmetischen Theorie der algebraischen Grossen. S. 284
    • 2. Körper oder Rationalitätsbereiche. S. 284
    • 3. Ganze Grossen eines Rationalitätsbereiches; Irreduktibilität. S. 286
    • 4. Konjugierte Körper; Diskriminanten. S. 288
    • 5. Beziehungen zur Galois’schen Theorie der Gleichungen. S. 290
    • 6. Fundamentalsysteme. S. 292
    • 7. Arten oder Spezies. S. 294
    • 8. Zerlegung der ganzen Grossen in Primdivisoren oder Primideale. S. 294
    • 9. Darstellung der Primdivisoren durch Association enthaltender Gattungen oder durch Association transzendenter Funktionen. S. 296
    • 10. Die Fundamentalgleichung. S. 298
    • 11. Ausführung der arithmetischen Theorie im Einzelnen. S. 299
    • 12. Zusammenhang mit der Theorie der Modulsysteme und algebraischen Gebilde. S. 301
    • 13. Elementare Eigenschaften der Modulsysteme. S. 301
    • 14. Der Stufenbegriff. Primmodulsysteme. S. 302
    • 15. Zerlegung in Primmodulsysteme. Diskriminante eines Modulsystemes. S. 305
    • 16. Anwendungen der Modulsysteme. Komplexe Zahlen mit mehreren Einheiten. S. 306
    • 17. Dedekind’s Theorie der Moduln. S. 307
    • 18. Sätze von Hubert. S. 309
    • 19. Verallgemeinerung des Teilbarkeits- und Äquivalenzbegriffes. S. 312
    • 20. Fundamentalsatz von Noether. S. 313
    • 21. Modulsysteme zweiter Stufe; ihre Normalformen. S. 314
    • 22. Darstellung algebraischer Gebilde durch rationale Parameter; Satz von Lüroth. S. 316
    • 23. Transformation algebraischer Gebilde. S. 318
  • 2. Invariantentheorie. Von W. FR. MEYER in Königsberg i. Pr. (Abgeschlossen im Sept. 1899.). S. 320
    • 1. Keime der Theorie. S. 322
    • 2. Entwicklung des Invariantenbegriffes. S. 323
    • 3. Äquivalenz von quadratischen und bilinearen Formen und Formenscharen. S. 327
    • 4. Äquivalenz von Formen höherer als der zweiten Ordnung. S. 334
    • 5. Automorphe Formen. Invarianten endlicher Gruppen. S. 336
    • 6. Formenverwandtschaft. Endlichkeit. S. 341
    • 7. Associierte Formen und typische Darstellung. S. 347
    • 8. Syzygien. S. 350
    • 9. Abzählende Eichtung. S. 353
    • 10. Kanonisierung. S. 356
    • 11. Umkehrfragen. Irrationale Formen. S. 358
    • 12. Invariantive Prozesse. Symbolik und graphische Darstellung. S. 360
    • 13. Aronhold’s Prozess. Polaren. S. 366
    • 14. Überschiebungs- und ß-Prozess. Normierung einer linearen Differentialgleichung. S. 367
    • 15. Substitution einseitiger Ableitungen. S. 370
    • 16. Substitution homogener Ableitungen. S. 371
    • 17. Reihenentwicklungen. S. 373
    • 18. Differentialgleichungen der Komitanten. S. 375
    • 19. Erweiterungen. Höhere Transformationen. S. 378
    • 20 Die erweiterte projektive Gruppe. Reciprokanten und Differentialinvarianten. S. 380
    • 21. Projektive Invarianten der Krümmungstheorie. S. 383
    • 22. Differentialformen und Differentialparameter der Flächenthorie. S. 384
    • 23. Besondere Gruppen und Formen. Seminvarianten. S. 386
    • 24. Kombinanten und Apolarität. S. 390
    • 25. Resultanten und Diskriminanten. S. 395
    • 26. Realitätsfragen. S. 399
    • 27. Weitere spezielle Formen und Gruppen. S. 400
  • 3 a. Separation und Approximation der Wurzeln. Von C. RUNGE in Hannover. (Abgeschlossen im Sept. 1899.). S. 404
    • 1. Einleitung. S. 405
    • 2. Separation der Wurzeln. Grenzen für die Wurzeln. S. 407
    • 3. Die Differenzengleichung. S. 408
    • 4. Descartes' Zeichenregel und Budan-Fourier’s Satz. S. 409
    • 5. Der Stürmische Satz. S. 416
    • 6. Cauchy’s Integral. S. 418
    • 7. Charakteristiken-Theorie. S. 422
    • 8. Die quadratischen Formen im Zusammenhang mit dem Sturm’schen Satz B366. S. 427
    • 9. Numerisches Beispiel für die Separation. S. 431
    • 10. Approximation der Wurzeln. Das Newton’sche Verfahren. S. 433
    • 11. Allgemeinere Verfahren. S. 433
    • 12. Horner’s Schema. S. 436
    • 13. Bernoulli’s Verfahren. S. 439
    • 14. Graeffe’s Verfahren. S. 440
    • 15. Die Approximation für den Fall mehrerer Veränderlichen. S. 446
  • 3 b. Rationale Funktionen der Wurzeln; symmetrische und Affektfunktionen. Von K. TH. VAHLEN in Königsberg i. Pr. (Abgeschlossen im Sept. 1899.). S. 449
    • 1. Symmetrische Funktionen einer Grössenreihe; Definition, Hauptsatz, Bezeichnung; Anzahlen. S. 450
    • 2. Formeln und Verfahren von Gramer, Newton, Girard, Waring, Faà di Bruno. S. 450
    • 3. Reduktion einer Funktion nach Waring u. Gauss, nach Cauchy u. Kronecker. S. 452
    • 4. Das Cauchy’sche Verfahren und seine Verallgemeinerung durch Transon. S. 452
    • 5. Erzeugende Funktionen von Borchardt und Kronecker. S. 453
    • 6. Fundamentalsysteme. S. 455
    • 7. Sätze über Grad und Gewicht; Klassifikationen. S. 455
    • 8. Partielle Differentialgleichungen und Differentialoperatoren. S. 456
    • 9. Tabellen; tabellarische Gesetze. Das Cayley-Betti’sche Symmetriegegetz und seine Verallgemeinerung durch Mac Mahon. S. 460
    • 10. Mac Mahon’s neue Theorie der symmetrischen Funktionen. S. 462
    • 11. Beziehungen zur Zahlentheorie. S. 464
    • 12. Spezielle symmetrische Funktionen. S. 464
    • 13. Symmetrische Funktionen von Wurzeldifferenzen; Seminvarianten. S. 466
    • 14. Zweiwertige und alternierende Funktionen. S. 467
    • 15. Mehrwertige Affektfunktionen. Gruppe. S. 468
    • 16. Allgemeine Sätze von Lagrange, Galois, Jordan. S. 468
    • 17. Mögliche Wertezahlen. S. 468
    • 18. Herstellung von Affektfunktionen, Kirkman’s Problem. S. 469
    • 19. Aufzählungen. S. 469
    • 20. Rationalwerden von Affektfunktionen; Affekt einer Gleichung. S. 469
    • 21. Cyklische, cykloidische, metacyklische Funktionen. S. 469
    • 22. Durch Wurzeln auflösbare Gleichungen. Durch Quadratwurzeln auf lösbare Gleichungen. S. 470
    • 23. Gleichungen 7ten Grades, deren 30-wertige Affektfunktionen rational sind. S. 470
    • 24. Funktionen von mehreren Variabeinreihen, Wurzeln von Gleichungssystemen. Berechnung symmetrischer Funktionen nach Poisson, v. Escherich. S. 471
    • 25. Symmetrische Funktionen von Reihen von Variabein, die von einander unabhängig sind. Sätze, Formeln, Verfahren von Mertens, Waring, Schläfli, Mac Mahon, Junker. S. 473
    • 26. Relationen zwischen den elementar-symmetrischen Funktionen: Brill und Junker. S. 475
    • 27. Allgemeinere Funktionen. S. 479
  • 3 c, d. Gralois’sche Theorie mit Anwendungen. Von O. HÖLDER in Leipzig. (Abgeschlossen im Okt. 1899.). S. 480
    • 1. Einleitung. S. 481
    • 2. Definition der Gruppe einer Gleichung. S. 483
    • 3. Weitere Eigenschaften der Gruppe. S. 485
    • 4. Wirkliche Herstellung der Gruppe. S. 486
    • 5. Monodromiegruppe. S. 487
    • 6. Transitivität und Primitivität. S. 487
    • 7. Adjunktion einer natürlichen Irrationalität. S. 488
    • 8. Cyklische Gleichungen. S. 490
    • 9. Reine Gleichungen. S. 490
    • 10. Zerlegung des Gleichungsproblems durch Resolventenbildung. S. 491
    • 11. Adjunktion einer accessorischen Irrationalität. S. 493
    • 12. Adjunktion eines Radikals. S. 495
    • 13. Begriff der Auflösung. S. 495
    • 14. Kriterium der Auflösbarkeit. S. 496
    • 15. Behandlung nicht auflösbarer Gleichungen. S. 497
    • 16. Allgemeine Gleichungen. S. 498
    • 17. Gleichungen der ersten vier Grade. S. 499
    • 18. Nichtauflösbarkeit der allgemeinen Gleichungen höherer Grade. S. 504
    • 19. Gleichungen mit regulärer Gruppe. S. 505
    • 20. Gleichungen mit kommutativer (permutabler) Gruppe. S. 505
    • 21. Abel’sche Gleichungen. S. 506
    • 22. Kreisteilungsgleichungen. S. 507
    • 23. Teilungs- und Transformationsgleichungen der elliptischen Funktionen. S. 509
    • 24. Reduktion von Gleichungen auf Normalformen. S. 513
    • 25. Irreducible Gleichungen von Primzahlgrad. S. 515
    • 26. Sylow’sche Gleichungen. S. 516
    • 27. Casus irreducibilis der kubischen Gleichung. S. 517
    • 28. Konstruktion mit Zirkel und Lineal. S. 518
    • 29. Geometrische Gleichungen. S. 518
    • 3 e. Gleichungssysteme. (Siehe B 1 b. und B 3 b.). S. 521
  • 3 f. Endliche Gruppen linearer Substitutionen. Von A. WIMAN in Lund. (Abgeschlossen im Dez. 1899.). S. 522
    • 1. Periodische Substitutionen. S. 523
    • 2. Endliche binäre Gruppen. S. 523
    • 3. Erweiterungen. S. 526
    • 4. Algebraisch integrierbare lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung. S. 527
    • 5. Endliche tern’äre Gruppen. S. 528
    • 6. Algebraisch integrierbare lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung. S. 530
    • 7. Gruppen aus den regulären Körpern in höheren Räumen. S. 530
    • 8. Invariante definite Hermite’sche Formen. S. 532
    • 9. Erste Auflösung der Gleichungen 5. Grades. S. 533
    • 10. Lösung durch Vermittlung der Jacobi’schen Gleichungen 6. Grades. S. 534
    • 11. Satz betreffend die Möglichkeit von Resolventen mit nur einem Parameter. S. 536
    • 12. Lösung durch die Ikosaederirrationalität. S. 537
    • 13. Zurückführung der Gleichungen 5. Grades auf ein ternäres Formenproblem. S. 540
    • 14. Auflösung durch elliptische Transformationsgrössen und hypergeometrische Funktionen. S. 541
    • 15. Die allgemeinen algebraischen Formenprobleme. S. 543
    • 16. Gleichungen 7. Grades mit einer Gruppe von 168 Substitutionen. S. 544
    • 17. Kollineationsgruppen der elliptischen Normalkurven. S. 545
    • 18. Gruppen aus der elliptischen Transformationstheorie. S. 546
    • 19. Mit den Gleichungen 6. u. 7. Grades isomorphe quaternäre Formenprobleme. S. 547
    • 20. Reduktion der allgemeinen Gleichungen 6. Grades auf ein ternäres Formenproblem. S. 548
    • 21. Satz über die allgemeinen Gleichungen höheren Grades. S. 549
    • 22. Quaternäre Gruppe von 11520 Kollineationen. S. 549
    • 23. Quaternäre und quinäre Gruppen aus der Dreiteilung der hyperelliptischen Funktionen. S. 551
    • 24. Gruppen von eindeutigen Transformationen einer algebraischen Kurve in sich. S. 552
    • 25. Endliche Gruppen von birationalen Transformationen. S. 553
    • 26 Erweiterung auf unendliche diskontinuierliche Gruppen. S. 554

Band 1–2[Bearbeiten]

C. Zahlentheorie. S. 555

  • 1. Niedere Zahlentheorie. Von P. BACHMANN in Weimar. (Abgeschlossen im März 1900.). S. 555
    • 1. u. 2. Die Teilbarkeit der ganzen Zahlen. S. 556
    • 3. Euklidischer Algorithmus. Farey’sche Reihen. S. 558
    • 4. Beste und Kongruenzen. Sätze von Fermat und Wilson. Primitive Wurzeln. S. 561
    • 6. Kongruenzen und unbestimmte Gleichungen ersten Grades. Partialbrüche. Perioden der Dezimalbrüche. S. 563
    • 6. Quadratische Reste; Reziprozitätsgesetz. S. 565
    • 7. Unbestimmte Gleichungen 2., 3., 4. Grades. Quadratische Kongruenzen. S. 569
    • 8. Höhere Kongruenzen. Galois’sche Imaginäre. S. 573
    • 9. Feststellung einer Zahl als Primzahl; Zerlegung grosser Zahlen in Faktoren. S. 576
    • 10. Vollkommene Zahlen. S. 578
    • 11. Potenzsummen der ersten m ganzen Zahlen. S. 579
    • 12. Magische Quadrate. S. 580
  • 2. Arithmetische Theorie der Formen. Von K. TH. VAHLEN in Königsberg i. Pr. (Abgeschlossen im April 1900.). S. 582
    • a. Lineare Formen. S. 582
    • b. Allgemeines über bilineare und quadratische Formen. S. 591
    • c. Binäre quadratische Formen und bilineare Formen von vier Variablen. S. 599
    • d. Ternäre quadratische Formen. S. 613
    • e. Quadratische Formen von n Variablen. S. 622
    • f. Formen, die in Linearfaktoren zerfallen. S. 629
    • g. Sonstige Formen. S. 633
  • 3. Analytische Zahlentheorie. Von P. BACHMANN in Weimar. (Abgeschlossen im April 1900.). S. 636
    • 1. Zerfällung der Zahlen (ihre additiven Darstellungen). S. 636
    • 2. Dirichlet’sche Reihen und Methoden, Gauss’sche Summen. S. 643
    • 3. Zahlentheoretische Funktionen. S. 648
    • 4. Die Funktion [x]. S. 654
    • 5. Asymptotische Ausdrücke zahlentheoretischer Funktionen. Die Anzahl der Primzahlen. S. 658
    • 6. Mittlere Funktionswerte. S. 663
    • 7. Transzendenz der Zahlen e und n. S. 667
  • 4 a. Theorie der algebraischen Zahlkörper. Von D. HILBERT in Göttingen. (Abgeschlossen im April 1900.). S. 675
    • 1. Algebraischer Zahlkörper. S. 676
    • 2. Ganze algebraische Zahl. S. 677
    • 3. Ideale des Körpers und ihre Teilbarkeit. S. 678
    • 4. Kongruenzen nach Idealen. S. 679
    • 5. Diskriminante des Körpers. S. 680
    • 6. Relativkörper. S. 682
    • 7. Einheiten des Körpers. S. 682
    • 8. Idealklassen des Körpers. S. 683
    • 9. Transzendente Bestimmung der Klassenanzahl. S. 684
    • 10. Kronecker’s Theorie der algebraischen Formen. S. 685
    • 11. Zerlegbare Formen des Körpers. S. 686
    • 12. Integritätsbereiche des Körpers. S. 687
    • 13. Moduln des Körpers. S. 687
    • 14. Galois’scher und Abel’scher Körper. S. 688
    • 15. Zerlegungskörper, Trägsheitskörper und Verzweigungskörper eines Primideals im Galois’schen Körper. S. 689
    • 16. Zusammensetzung mehrerer Körper. S. 691
    • 17. Relativcyklischer Körper von relativem Primzahlgrade. S. 691
    • 18. Klassenkörper eines beliebigen Zahlkörpers. S. 693
    • 19. Relativquadratischer Zahlkörper. S. 695
    • 20. Reziprozitätsgesetz für quadratische Reste in einem beliebigen Zahlkörper. S. 696
  • 4 b. Theorie des Kreiskörpers. Von D. HILBERT in GÖTTINGEN. (Abgeschlossen im April 1900.). S. 699
    • 1. Kreiskörper für einen Primzahlexponenten. S. 699
    • 2. Kreiskörper für einen zusammengesetzten Wurzelexponenten. S. 700
    • 3. Lagrange’sche Resolvente oder Wurzelzahl. S. 701
    • 4. Anwendungen der Theorie des Kreiskörpers auf den quadratischen Körper. S. 702
    • 5. Kreiskörper in seiner Eigenschaft als Abel’scher Körper. S. 704
    • 6. Transzendente Bestimmung der Anzahl der Idealklassen im Kreiskörper. S. 705
    • 7. Kummer’scher Zahlkörper und seine Primideale. S. 706
    • 8. Normenreste und Normennichtreste des Kummer’schen Zahlkörpers. S. 708
    • 9. Existenz unendlich vieler Primideale mit vorgeschriebenen Potenzcharakteren. S. 710
    • 10. Regulärer Kreiskörper und regulärer Kummer’scher Körper. S. 710
    • 11. Geschlechter im regulären Kummer’schen Körper. S. 711
    • 12. Reziprozitätsgesetz für lte Potenzreste im regulären Kummer’schen Körper. S. 712
    • 13. Anzahl der vorhandenen Geschlechter im regulären Kummer’schen Körper. S. 713
    • 14. Der Fermat’sche Satz. S. 713
  • 5. Arithmetische Theorie algebraischer Grössen. Von G. LANDSBERG in Heidelberg. (Siehe: B 1 c, p. 284 – 301.). S. 715
  • 6. Komplexe Multiplikation. Von H. WEBER in Strassburg. (Abgeschlossen im Juni 1900.). S. 716
    • 1. Historische Einleitung. S. 718
    • 2. Komplexe Multiplikation und quadratische Formen. S. 719
    • 3. Die Invarianten. S. 720
    • 4. Klasseninvarianten und Klassenkörper. S. 722
    • 5. Klasseninvarianten in verschiedenen Ordnungen. S. 723
    • 6. Irreduzibilität der Klassengleichung. S. 724
    • 7. Galois’sche Gruppe der Klassengleichung. S. 726
    • 8. Primideale im Klassenkörper. S. 727
    • 9. Zerfällung der Klassengleichung. S. 727
    • 10. Die Klasseninvarianten f(w), f1(w). S. 729
    • 11. Komplexe Multiplikation und Teilung. S. 729
    • 12. Die Klassenzahlrelationen. S. 731

D.Wahrscheinlichkeits- und Ausgleichsrechnung. S. 733

  • 1. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Von E. CZUBER in Wien. (Abgeschlossen im Aug. 1900.). S. 733
    • 1. Wahrscheinlichkeit a priori. Definition und Bedeutung der mathematischen Wahrscheinlichkeit. S. 734
    • 2. Direkte Wahrscheinlichkeitsbestimmung. S. 737
    • 3. Totale Wahrscheinlichkeit. S. 738
    • 4. Zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit. S. 739
    • 5. Kombination der Sätze über totale u. zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit. S. 741
    • 6. Die Differenzenrechnung als methodisches Verfahren der Wahrscheinlichkeitsrechnung. S. 742
    • 7. Teilungsproblem. S. 744
    • 8. Moivre’s Problem. S. 746
    • 9. Problem der Spieldauer. S. 748
    • 10. Weitere Probleme, Glücksspiele betreffend. S. 750
    • 11. Erweiterung der Definition. Geometrische Wahrscheinlichkeit. S. 753
    • 12. Theorem von Jakob I Bernoulli. S. 755
    • 13. Poisson’s Gesetz der grossen Zahlen. S. 758
    • 14. Wahrscheinlichkeit a posteriori. Wahrscheinlichkeit der Ursachen, aus der Beobachtung abgeleitet. S. 759
    • 15. Wahrscheinlichkeit künftiger Ereignisse, aus der Beobachtung abgeleitet. S. 762
    • 16. Von zufälligen Ereignissen abhängende Vor- und Nachteile. Mathematische Erwartung. S. 764
    • 17. Moralische Erwartung. S. 765
    • 18. Mathematisches Risiko. S. 766
  • 2. Ausgleichnngsrechnung. Von J. BAUSCHINGER in Berlin. (Abgeschlossen im Aug. 1900.). S. 768
    • 1. Aufgabe der Ausgleichungsrechnung. S. 769
    • 2. Erste Begründung von Gauss. S. 771
    • 3. Der Satz vom arithmetischen Mittel. S. 772
    • 4. Das Gauss’sche Fehlergesetz. Fehlerfunktion. Tafeln hierfür. Andere Fehlergesetze. S. 773
    • 5. Begründung von Laplace. S. 776
    • 6. Zweite Begründung von Gauss. S. 777
    • 7. Weitere Begründungsmethoden. S. 778
    • 8. Mittlerer, durchschnittlicher und wahrscheinlicher Fehler, Gewicht. S. 779
    • 9. Direkte Beobachtungen von gleicher Genauigkeit. S. 782
    • 10. Direkte Beobachtungen von verschiedener Genauigkeit. S. 785
    • 11. Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen. S. 786
    • 12. Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen. S. 792
    • 13. Ausgleichung bedingter Beobachtungen. S. 794
    • 14. Fehler in der Ebene und im Eaume. S. 795
    • 15. Fehler der Ausgleichung. Ausschluss von Beobachtungen. Systematisches Verhalten der Fehler. S. 796
  • 3. Interpolation. Von J. BAUSCHINGER in Berlin. (Abgeschlossen im Jan. 1901.). S. 799
    • 1. Definition einer Interpolationsformel. Verschiedene Arten derselben. S. 800
    • 2. Historisches und hauptsächlichste Anwendungen. S. 801
    • 3. Parabolische Interpolation. Formel von Lagrange. S. 801
    • 4. Newton’sche Formel mit den Gauss’schen Umformungen. S. 803
    • 5. Andere Begründungen. S. 805
    • 6. Die Interpolationsformeln bei gleichen Intervallen der Argumente. S. 806
    • 7. Die früheren und einige neue Interpolationsformeln in der Encke’schen Bezeichnungsweise. S. 807
    • 8. Mechanische Differenziation und Quadratur. S. 810
    • 9. Herstellung mathematischer Tabellen. S. 812
    • 10. Interpolation durch periodische Reihen. S. 815
    • 11. Die Cauchy’sche Interpolationsmethode. S. 817
    • 12. Interpolation durch die Exponentialfunktion. S. 818
    • 13. Interpolation bei zwei Variabein. S. 818
    • 14. Die Interpolationsmethoden von Tschebyscheff. S. 819
  • 4 a. Anwendungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf Statistik. Von L. VON BORTKIEWICZ in St. Petersburg (jetzt in Berlin). (Abgeschlossen im April 1901.). S. 821
    • 1. Einführung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs in die Statistik. S. 822
    • 2. Die von Laplace begründeten Methoden zur Bestimmung des Genauigkeitsgrades statistischer Ergebnisse, Schlussfolgerungen und Konjekturalberechnungen. S. 823
    • 3. Verbreitung dieser Methoden zumal unter dem Einflüsse Poisson’s. S. 825
    • 4. Bienayme’s und Cournot’s Lehre von den solidarisch wirkenden zufälligen Ursachen. S. 827
    • 5. Die Lexis’sche Dispersionstheorie. S. 829
    • 6. Das Schema einer serienweise variierenden Wahrscheinlichkeit und dessen Anwendung auf die Statistik. S. 832
    • 7. Wahrscheinlichkeitstheoretische Behandlung der statistischen Mittelwerte. S. 835
    • 8. Die innere Struktur der Sterblichkeitstafel. S. 837
    • 9. Die formale Bevölkerungstheorie. S. 839
    • 10. Methoden zur Ermittelung der Sterbenswahrscheinlichkeit und des Sterblichkeitskoeffizienten. S. 843
    • 11. Weiteres zur Konstruktion von Sterblichkeitstafeln. S. 845
    • 12. Konstruktion von Invaliditätstafeln. S. 846
  • 4 b. Lebenversicherungs-Mathematik. Von G. BOHLMANN in Göttingen (jetzt in Berlin). (Abgeschlossen im April 1901.). S. 852
    • 1. Grundlagen. Verhältnis der Lebensversicherung zu anderen Versicherungen. S. 857
    • 2. Hypothesen, auf denen die Theorie beruht. S. 859
    • 3. Prinzipien, nach denen die Theorie auf die Erfahrung angewendet wird. S. 860
    • 4. Normale Risiken. S. 864
    • 5. Extrarisiken. S. 867
    • 6. Ausgleichung und Interpolation. S. 869
    • 7. Der Nettofonds. Definitionen. S. 873
    • 8. Einmalige Prämien für Leibrenten. S. 875
    • 9. Einmalige Prämien für Todesfallversicherungen. S. 879
    • 10. Sonstige Prämien. S. 880
    • 11. Prämienreserve. S. 883
    • 12. Abhängigkeit der Prämien und Reserven von den Rechnungselementen. S. 886
    • 13. Verbundene Leben. S. 887
    • 14. Der Bruttofonds. Zuschläge und Unkosten. S. 889
    • 15. Der Rückkaufswert. S. 892
    • 16. Die Bilanz. S. 894
    • 17. Der Gewinn. S. 899
    • 18. Dividenden. S. 901
    • 19. Theorie des Risikos. Problemstellung. S. 902
    • 20. Definitionen. S. 904
    • 21. Das mittlere Risiko. S. 906
    • 22. Das durchschnittliche Risiko. S. 909
    • 23. Die Stabilität. S. 913

E. Differenzenrechnung. S. 918

  • 1. Differenzenrechnung. Von D. SELIWANOFF in St. Petersburg. (Abgeschlossen im April 1901.). S. 918
    • 1. Definitionen. S. 919
    • 2. Differenzen einfacher Funktionen. S. 920
    • 3. Anwendung auf die Absonderung der Wurzeln numerischer Gleichungen. S. 920
    • 4. Relationen zwischen successiven Werten und Differenzen einer Funktion. S. 921
    • 5. Newton’sche Interpolationsformel. S. 922
    • 6. Anwendung dieser Interpolationsformel auf die Berechnung der Logarithmen und Antilogarithmen. S. 923
    • 7. Anwendung auf die angenäherte Berechnung bestimmter Integrale. S. 924
    • 8. Summation der Funktionen. S. 925
    • 9. Bestimmte Summen. S. 927
    • 10. Die Jacob Bernoulli’sche Funktion. S. 928
    • 11. Euler’sche Summationsformel. S. 929
    • 12. Anwendungen der Euler’schen Formel. S. 930
    • 13. Allgemeines über Differenzengleichungen. S. 931
    • 14. Lineare Differenzengleichungen erster Ordnung. S. 933
    • 15. Lineare Differenzengleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten. S. 933
    • 16. Anwendungen der Differenzengleichungen. S. 935

F. Numerisches Rechnen. S. 938

  • 1. Numerisches Rechnen. Von E. MEHMKE in Stuttgart. (Abgeschlossen im Juni 1902.). S. 938
    • 1. Geordnete Multiplikation und Division. S. 941
    • 2. Komplementäre Multiplikation und Division. S. 942
    • 3. Umgehung der Division. S. 943
    • 4. Beschränkung in den verwendeten Ziffern. S. 944
    • 5. Tafeln. Produktentafeln. S. 944
    • 6. (Multiplikationstafeln mit einfachem Eingang) Tafeln der Viertelquadrate und der Dreieckszahlen. S. 947
    • 7. Quotienten- und Divisionstafeln. S. 949
    • 8. Tafeln der Quadrate, Kuben und höheren Potenzen. S. 950
    • 9. Faktoren-(Divisoren-)Tafeln. S. 951
    • 10. Apparate. Rechenbrett (Abacus). S. 953
    • 11. Sonstige Additions- (bezw. Subtraktions-) Apparate ohne selbsttätige Zehnerübertragung. S. 954
    • 12. Multiplikations- und Divisionsapparate. S. 955
    • 13. Arithmographen für alle vier Spezies. S. 957
    • 14. Maschinen. Zählwerk. S. 959
    • 15. Maschinen zum Addieren und Subtrahieren. S. 960
    • 16. Schaltwerk. S. 964
    • 17. Erweiterte Additionsmaschinen (für alle vier Spezies). S. 966
    • 18. Eigentliche Multiplikationsmaschinen. S. 970
    • 19. Subtraktion und Division. Nebenzählwerk (Quotient). S. 973
    • 20. Besondere Einrichtungen. S. 974
    • 21. Ausführung zusammengesetzter Rechnungen. S. 976
    • 22. Differenzenmaschinen. S. 977
    • 23. Analytische Maschinen. S. 978
    • 24. Das Rechnen mit ungenauen Zahlen im allgemeinen. S. 978
    • 26. Abgekürzte Multiplikation und Division. S. 983
    • 26. Abgekürztes Wurzelausziehen. S. 984
    • 27. Tafeln. Logarithmentafeln. S. 986
    • 28. Fortsetzung: Abgekürzte Logarithmentafeln. S. 993
    • 29. Tafeln der Antilogarithmen. S. 997
    • 30. Additions- und Subtraktionslogarithmen. S. 998
    • 31. Quadratische Logarithmen. S. 1001
    • 32. Tafeln der Proportionalteile. S. 1002
    • 33. Tafeln der Reziproken und zur Verwandlung gewöhnlicher Brüche in Dezimalbrüche. S. 1003
    • 34. Tafeln der Quadrate und höheren Potenzen. S. 1004
    • 35. Tafeln der Quadrat- und Kubikwurzeln. S. 1004
    • 36. Tafeln zur Auflösung numerischer Gleichungen. S. 1004
    • 37. Graphisches Rechnen. Gleichmässiger Massstab. Gewöhnliche arithmetische Operationen. S. 1008
    • 38. Berechnung rationaler ganzer Funktionen und Auflösung von Gleichungen mit einer Unbekannten. S. 1011
    • 39. Systeme linearer Gleichungen. S. 1014
    • 40. Logarithmischer Massstab. Gewöhnliche arithmetische Operationen. S. 1018
    • 41. Berechnung von Funktionen und Auflösung von Gleichungen mit einer Unbekannten. S. 1020
    • 42. Systeme von Gleichungen. S. 1023
    • 43. Nomographie. Tafeln für Funktionen einer Veränderlichen. S. 1026
    • 44. Cartesische Tafeln. S. 1028
    • 45. Hexagonale Tafeln. S. 1035
    • 46. Methode der fluchtrechten Punkte. S. 1038
    • 47. Mehrfach bezifferte Elemente. S. 1043
    • 48. Bewegliche Systeme. S. 1045
    • 49. Allgemeine Theorie von d’Ocagne. S. 1050
    • 50. Apparate und Maschinen. Logarithmischer Rechenschieber. S. 1053
    • 51. Gekrümmte Rechenschieber (Rechenscheiben u. s. w.). S. 1060
    • 52. Verallgemeinerungen des Rechenschiebers. S. 1063
    • 53. Stetige Rechenmaschinen für die gewöhnlichen arithmetischenOperationen. S. 1065
    • 54. Mechanismen zur Auflöung von Gleichungen mit einer Unbekannten. S. 1067
    • 55. Mechanismen zur Auflösung von Gleichungssystemen. S. 1070
    • 56. Physikalische Methoden. Hydrostatische Auflösung von Gleichungen und Systemen solcher. S. 1072
    • 57. Elektrische Auflörung von Gleichungen. S. 1073
    • 58. Anhang. Proben. S. 1073
    • 59. Gemischte Methoden. S. 1075
    • 60. Vorbereitung der Formeln und der Rechnung. S. 1076

G. Ergänzungen zum I. Bande. S. 1080

  • 1. Mathematische Spiele. Von W. AHRENS in Magdeburg. (Abgeschlossen im Juni 1902.). S. 1080
    • 1. Mathematische Fragen des praktischen Schachpiels. S. 1081
    • 2. Achtdamenproblem. S. 1082
    • 3. Rösselsprung. S. 1084
    • 4. Nonnen- oder Einsiedler-(Solitär-)spiel. S. 1086
    • 5. Boss-Puzzle oder Fünfzehnerspiel. S. 1087
    • 6. Josephsspiel. S. 1088
    • 7. Wanderungsspiele. S. 1089
    • 8. Kartenmischen nach Gergonne und nach Monge. S. 1090
    • 9. Baguenaudier. S. 1091
    • 10. Nim oder Fan-Tan. S. 1092
    • 11. Varia. S. 1093
  • 2. Anwendungen der Mathematik auf Nationalökonomie. Von V. PARETO in Lausanne. (Abgeschlossen im August 1902.). S. 1094
    • 1. Geschichte. S. 1097
    • 2. Welche Erscheinungen behandelt die mathematische Wirtschaftslehre?. S. 1099
    • 3. Grundgleichungen, die sich durch Verwertung des Begriffes der Ophe-limität aufstellen lassen. S. 1102
    • 4. Grundgleichungen, die sich ergeben, wenn man die Ausgangswahl als Ausgangspunkt nimmt. S. 1107
    • 5. Eigenschaften der Elementar-Ophelimitl;t und der Indifferenzlinien. S. 1111
    • 6. Verwertung der Grundgleichungen. S. 1113
    • 7. Das Maximum der Ophelimität oder die Freiheit der Wahl. S. 1117
    • 8. Die Variationen der Produktionskoeffizienten. S. 1118
    • 9. Dynamik. S. 1119
  • 3. Unendliche Prozesse mit komplexen Termen. Von A. PRINGSHEIM in München. (Abgeschlossen im Juni 1904.). S. 1121
    • 1. Grenzwerte komplexer Zahlenfolgen. S. 1121
    • 2. Unendliche Reihen mit komplexen Gliedern: Konvergenz und Divergenz. S. 1122
    • 3. Absolute Konvergenz. S. 1122
    • 4. Unbedingte und bedingte Konvergenz. S. 1124
    • 5. Multiplikation und Addition komplexer Reihen. Doppelreihen. S. 1125
    • 6. Unendliche Produkte. S. 1126
    • 7. Unendliche Kettenbrüche. S. 1127

Bandregister zu Band 1. S. 1129

Band 2–1-1[Bearbeiten]

A. Analysis der reellen Größen. S. 1

  • 1. Grundlagen der allgemeinen Punktionenlehre. Von A. PRINGSHEIM in München. (Abschluß des Druckes im April 1899.). S. 1

I. Funktionen einer Veränderlichen. S. 3

    • 1. Veränderliche und Funktionen: Historisches. S. 3
    • 2. Fortsetzung: Der Eulersche Funktionsbegriff. S. 4
    • 3. Fortsetzung: Der allgemeinste (Dirichletsche) Funktionsbegriff und derjenige der Funktionentheorie im engeren Sinne. S. 5
    • 4. Reelle Veränderliche. S. 8
    • 5. Allgemeinste eindeutige Funktion einer reellen Veränderlichen. S. 9
    • 6. Obere (untere) Grenze und Schwankung einer Funktion. S. 12
    • 7. Grenzwerte und Unbestimmtheitsgrenzen. S. 12
    • 8. Unendlich große Werte der Funktionen und des Arguments. S. 16
    • 9. Die stetige Funktion. S. 17
    • 10. Die differenzierbare Funktion. S. 20
    • 11. Die abteilungsweise monotone und die „gewöhnliche“ Funktion. S. 22
    • 12. Die unbeschränkt differenzierbare und die analytische Funktion. S. 23
    • 13. Uneigentliche Funktionswerte. Die unbestimmten Formen .. etc. S. 24
    • 14 Unstetigkeiten (Diskontinuitäten). S. 28
    • 15. Singuläre Stellen. S. 31
    • 16. Definition von Funktionen durch Grenzwerte. Gleichmäßige Konvergenz. S. 32
    • 17. Gleichmäßige Konvergenz unendlicher Reihen. S. 34
    • 18. Kondensation von Singularitäten. S. 36
    • 19. Funktionen mit unendlich vielen Unstetigkeiten (in endlichen Intervallen). S. 39
    • 20. Stetige Funktionen mit unendlich vielen Singularitäten (in endlichen Intervallen). S. 42
  • II. Funktionen von mehreren Veränderlichen. S. 44
    • 21. Bereiche von n Veränderlichen. S. 44
    • 22. Funktionen von n Veränderlichen. Stetigkeit. S. 47
    • 23. Simultane und sukzessive Grenzübergänge. S. 49
    • 24. Gleichmäßige Konvergenz gegen eine Grenzfunktion. S. 52
  • 2. Differential- und Integralrechnung. Von A. VOSS in Würzburg (jetzt in München). (Abschluß des Druckes im Juni 1899.). S. 54

A. Literaturnachweise. S. 54 B. Einleitung. S. 58

    • 1. Historisches. S. 58

C. Differentialrechnung. S. 60 I. Funktionen einer Variabeln. S. 60

    • 2. Vordere und hintere Derivierte. S. 60
    • 3. Die Derivierten der elementaren Funktionen. S. 62
    • 4. Existenz der Derivierten. S. 63
    • 5. Die vier Derivierten der Funktion eines stetigen Argumentes. S. 64
    • 6. Die höheren Derivierten. S. 65
    • 7. Der Mittelwertsatz von Cauchy, Darboux und Weierstraß. S. 65
    • 8. Die Differentiale. S. 69
  • II. Funktionen von mehreren Variabeln. S. 70
    • 9. Die partiellen Derivierten und das totale Differential. S. 70
    • 10. Die höheren partiellen Derivierten. S. 73
  • III. Anwendungen. S. 74
    • 11. Die Taylorsche Entwicklung für Funktionen einer Variabeln. S. 74
    • 12. Ausdehnung auf mehrere Variabele. S. 77
    • 13 Verallgemeinerungen. S. 77
    • 14. Die Taylorsche Reihe. S. 78
    • 15. Analytische Funktionen einer reellen Variabeln. S. 80
    • 16. Maximum und Minimum einer Funktion. S. 80
    • 17. Extreme der Funktionen einer Variabeln. S. 82
    • 18. Extreme bei mehreren unabhängigen Variabeln. S. 82
    • 19. Der semidefinitive Fall von Peano und Scheeffer. S. 83
    • 20. Die Arbeiten von Stolz. S. 84
    • 21. Die Arbeiten von v. Dantscher. S. 84
    • 22. Bedingte Extreme. S. 85
    • 23. Definitive homogene Formen. S. 86
    • 24. Independente Darstellung höherer Derivierten. S. 87

D. Integralrechnung. I. Funktionen einer Variabeln. S. 88

    • a) Das unbestimmte Integral. S. 88
    • 25. Die unbestimmte Integration. S. 88
    • 26. Die rationalen Funktionen. S. 90
    • 27. Transzendente Funktionen. S. 92
    • 28. Algebraische Funktionen vom Geschlechte Null. S. 92
    • 29. Methode von Aronhold. S. 93
    • 30. Schlußbemerkung. S. 94
    • b) Das bestimmte Integral. S. 95
    • 31. Das bestimmte Integral nach Cauchy, Riemann und Darboux. S. 95
    • 32. Integrable Funktionen. S. 96
    • 33. Eigenschaften des bestimmten Integrals. S. 97
    • 34. Der erste Mittelwertsatz. S. 97
    • 35. Der zweite Mittelwertsatz. S. 98
    • 36. Der Fundamentalsatz der Integralrechnung und die Integrationsoperationen. S. 99
    • 37. Uneigentliche Integrale. S. 102
  • II. Funktionen von mehreren Variabeln. S. 103
    • 38. Das n-fache Integral. S. 103
    • 39. Ermittlung desselben durch sukzessive Integration. S. 104
    • 40. Integrale geometrischer und mechanischer Größen. S. 106
    • 41. Transformation der mehrfachen Integrale. S. 107
    • 42. Der Diskontinuitätsfaktor von Dirichlet. S. 108
  • III. Anwendungen. S. 110
    • 43. Integration totaler Differentiale. S. 110
    • 44. Integrabilität der Differentialausdrücke. S. 112
    • 46. Der Satz von Green in der Ebene. S. 113
    • 46. Der Satz von Stokes. S. 114
    • 47. Der Satz von Green und seine Anwendungen. S. 115
    • 48. Die Differentiation zu allgemeinem. Index; ältere Arbeiten. S. 116
    • 49. Die Arbeiten von Riemann, Grünwald, Most u. a. S. 118
    • 50. Die mechanische Quadratur. S. 119
    • 51. Die elementaren Summationsmethoden. S. 120
    • 52. Die Gaußsche Methode, Jacobis und Christoffels Arbeiten. S. 121
    • 53. Erweiterungen von Heine, Mehler u. a. S. 124
    • 54. Markoffs Darstellung. S. 126
    • 55. Erweiterung auf mehrfache Integrale. S. 127

E. Anhang. S. 128

    • 56. Planimeter und Integratoren. S. 128
    • 57. Das Amslersche Planimeter. S. 129
    • 58. Die Präzisionsplanimeter. S. 130
    • 59. Die Integraphen. S. 131
    • 60. Harmonische Analysatoren. S. 133
    • 61. Die graphischen Methoden. S. 134
  • 3. Bestimmte Integrale. Von G. BRUNEL + (in Bordeaux). (Abschluß des Druckes im Juli 1899.). S. 135
    • 1. Eigentliche bestimmte Integrale. S. 136
    • 2. Uneigentliche bestimmte Integrale. S. 137
    • 3. Kennzeichen der absoluten Konvergenz der bestimmten Integrale. S. 139
    • 4. Nicht absolut-konvergente bestimmte Integrale. Nicht monotone Integranden. S. 142
    • 5. Eigenschaften der uneigentlichen bestimmten Integrale. S. 143
    • 6. Integration unendlicher Reihen. S. 144
    • 7. Bestimmte Integrale, die einen Parameter enthalten. S. 144
    • 8. Mehrfache bestimmte integrale. S. 145
    • 9. Verschiedene Methoden zur Auswertung der bestimmten Integrale:. S. 148
    • a) Bestimmte Integrale aus unbestimmten abgeleitet. S. 148
    • b) Auswertung bestimmter Integrale mit Hilfe ihrer Definition als Grenzwerte von Summen. S. 149
    • c) Substitution neuer Variabeln. S. 149
    • d) Teilweise Integration. S. 150
    • e) Differentiation unter dem Integralzeichen. S. 151
    • f) Integration unter dem Integralzeichen. S. 151
    • g) Auflösung einer Gleichung. S. 152
    • h) Integration von Differentialgleichungen. S. 153
    • i) Zerlegung des Integrationsintervalles. S. 154
    • k) Reihenentwicklung unter dem Integralzeichen. S. 155
    • 10. Der Satz von Cauchy. S. 155
    • 11. Integration rationaler Brüche zwischen den Grenzen – .. und + .. S. 156
    • 12. ..-Funktion:. S. 157
    • a) Verschiedene Definitionen der ..-Funktion. S. 157
    • b) Eigenschaften der ..-Funktion. S. 160
    • c) Reihenentwicklung von log .. S. 161
    • d) Die Funktion .. (a). S. 162
    • e) Die Funktion ..(a). S. 164
    • f) Angenäherte Berechnung von .. (a) für große Werte des Arguments. S. 165
    • g) Die Funktion .. (a). S. 167
    • h) Berechnung der F-Funktion. S. 169
    • 13. Die Eulersche Konstante. S. 171
    • 14. Integrallogarithmus. S. 174
    • 15. Betafunktionen. S. 175
    • 16. Andere Integrale, welche auf Gammafunktionen zurückführbar sind. S. 177
    • 17. Anwendungen der bestimmten Integrale in der Reihenlehre. S. 180
    • 18. Bernoullische Zahlen. S. 181
    • 19. Besondere bestimmte Integrale. S. 186
    • 20. Gaußsche Summen. S. 187
  • 4a. Gewöhnliche Differentialgleichungen; Existenz der Lösungen. Von P. PAINLEVÉ in Paris. (Abschluß des Druckes im Februar 1900.). S. 189
    • 1. Definitionen und Fundamentalprobleme. S. 190
    • 2. Stand der Theorie vor Cauehy. S. 192

Methode von Cauchy-Lipschitz. S. 192

    • 3. Prinzip der Methode. S. 192
    • 4. Vervollkomrnung durch Lipschitz. S. 193
    • 5. Genaue Bestimmung des Konvergenzintervalles. S. 194
    • 6. Erste Integrale eines Differentialsystems. S. 195
    • 7. Anwendung der Methode auf das komplexe Gebiet. S. 196
    • 8. Fall stetiger Differentialquotienten, die der Lipschitzschen Bedingung nicht genügen. S. 197

Methode der sukzessiven Annäherungen. S. 198

    • 9. Prinzip und Resultate der Methode. S. 198
    • 10. Korollare. S. 200

Methode des calcul des limites. S. 200

    • 11. Prinzipien und Resultate dieser Methode. S. 200
    • 12. Fortbildung der Methode. S. 202
    • 13. Eindeutige Bestimmung der Integrale durch die Anfangsbedingungen. S. 203
    • 14. Erweiterung des Konvergenzbereichs der Methode. S. 204
    • 15. Methode der Variation der Konstanten. S. 204
    • 16. Methode der Aufsuchung erster Integrale. S. 205

Gewöhnliche singuläre Anfangsbedingungen. S. 206

    • 17. Anfangs werte, für welche einige der fi meromorph und unendlich sind. S. 206
    • 18. Anfangswerte, für welche einige der fi algebraisch verzweigt sind. S. 206
    • 19. Algebraische Ditferentialsysteme. S. 208
    • 20. Anwendung auf Gleichungen erster Ordnung. S. 209
    • 21. Algebraische Gleichungen erster Ordnung. S. 210
    • 22. Vergleichung mit der Theorie der Enveloppen. Historisches. S. 211
    • 23. Ausdehnung auf Differentialgleichungen beliebiger Ordnung. S. 214

Außergewöhnliche Anfangsbedingungen bei Gleichungen 1. Ordnung. S. 215

    • 24. Untersuchungen von Briot und Bouquet über die Gleichung xy'=ax + by + .. S. 215
    • 25. Allgemeiner Fall, in dem y meromorph und von der Form 0–0 ist. S. 216
    • 26. Untersuchungen von Picard. S. 217
    • 27. Methode von Poincaré; Ergänzungen. S. 218
    • 28. Fall eines algebroiden f. S. 220
    • 29. Anwendung auf das reelle Gebiet. S. 221
    • 30. Untersuchungen von Bendixon und Hörn. S. 221
    • 31. Picards Untersuchungen der Gleichungen zweiten Grades in y. S. 223

Außergewöhnliche Anfangsbedingungen bei beliebigen Differentialsystemen. S. 223

    • 32. Allgemeiner Satz von Poincaré. S. 223
    • 33. Ergänzungen. S. 225
    • 34. Bestimmung besonderer Klassen von Integralen in Ausnahmefällen. S. 226
    • 35. Allgemeiner Fall meromorpher Differentialkoeffizienten. S. 227
    • 36. Anwendung auf das reelle Gebiet. S. 227
    • 37. Reelle asymptotische Lösungen. S. 228
  • 4b. Gewöhnliche Differentialgleichungen; elementare Integrationsmethoden. Von E. VESSIOT in Lvon. (Abschluß des Druckes im März 1900.). S. 230
    • 1. Fundamentale, Probleme. Definitionen. S. 232
    • 2. Historischer Überblick; formale Integrationstheorien. S. 233
    • 3. Einführung neuer Variabeln. Äquivalenzprobleme. Rationelle Integrationstheorien. S. 235

Gleichungen erster Ordnung. S. 236

    • 4. Methode der Trennung der Variabeln. S. 236
    • 5. Methode des Euler’schen Multiplikators. S. 237
    • 6. Methode von Lie. S. 238
    • 7. Diskussion. Vergleichung der Transzendenten. Algebraische Integration. S. 239
    • 8. Jacobi’sche und Riccat’sche Gleichung. S. 240
    • 9. Unaufgelöste Gleichung. Integration durch Differentiation. S. 242
    • 10. Geometrische Interpretationen, Verwendung homogener Koordinaten. S. 244

Systeme von Gleichungen 1. Ordnung; allgemeine Theorien. S. 245

    • 11. Multiplikatorensysteme. S. 245
    • 12. Der Jacobi’sche Multiplikator. S. 247
    • 13. Methode von Lie: Integration von Systemen mit bekannter Transformationsgruppe. S. 249
    • 14. Integration von Systemen, von denen man Differential- oder Integralinvarianten kennt. S. 253
    • 15. Variationssyteme. S. 254

Spezielle Theorien für Gleichungen nter Ordnung. S. 255

    • 16. Methode des Eulerschen Multiplikators. S. 255
    • 17. Fälle der Graderniedrigung. S. 257
    • 18. Lie’sche Theorie. Gleichungen, die Gruppen von Punkttransformationen gestatten. Verallgemeinerungen. S. 258
    • 19. Unaufgelöste Gleichungen. Typen integrabeler Gleichungen. S. 259

Spezielle Klassen von Gleichungen und Gleichungssystemen. S. 260

    • a) Die lineare Gleichung nter Ordnung. S. 260
    • 20. Allgemeine Begriffe; Fundamentalsysteme von Lösungen. S. 260
    • 21. Gleichungen mit konstanten Koeffizienten. Gleichungen von Lagrange. Methode von d’Alembert. S. 262
    • 22. Gleichungen mit zweitem Glied. Methode der Variation der Konstanten. S. 263
    • 23. Erniedrigung der Ordnung der Gleichung. Gemeinsame Lösungen zweier linearer Gleichungen. S. 265
    • 24. Gleichung mit gegebenem Fund amental System. Symbolische Methoden. S. 266
    • 25. Rationale Differentialfunktionen der Lösungen eines Fundamentalsystems. Invariante Funktionen. Transformation. S. 267
    • 26. Assoziierte Gleichungen. Adjungierte Gleichung. S. 269
    • 27. Gleichungen zweiter Ordnung. S. 271
    • b) Lineare Systeme. S. 272
    • 28. Ausdehnung der vorhergehenden Theorien auf Systeme linearer Gleichungen. S. 272
    • c) Liesche Systeme und Verallgemeinerungen. S. 275
    • 29. Liesche Systeme. Ihre verschiedenen Definitionen. Ihre Integrationstheorie. S. 275
    • 30. Allgemeinste Systeme mit Fundamentallösungen. Gleichungen höherer Ordnung mit Fundamentalsystemen erster Integrale. Verallgemeinerung der Lieschen Systeme. S. 278
    • 31. Systeme von partiellen Differentialgleichungen mit Fundamentallösungen. Anwendungen. S. 279
    • 32. Verschiedene Klassen von Gleichungen. S. 281
    • Äquivalenzprobleme. S. 282
    • 33. Formulierung des Problems. Einführung der Differentialinvarianten. Allgemeine Methoden. S. 282
    • 34. Invarianten der linearen Gleichungen. S. 284
    • 35. Invarianten verschiedener Klassen von Gleichungen. S. 285

Rationelle Integrationstheorien. S. 288

    • 36. Rationalitätsbereich. Irreduzibilität. S. 288
    • 87. Rationale Integrationstheorie der linearen Gleichungen. S. 289
    • 38. Ausdehnung der Theorie auf die Lieschen Systeme. Theorie von J. Drach für beliebige Gleichungen 1. Ordnung. S. 292
  • 5. Partielle Differentialgleichungen. Von E. v. WEBER in München (jetzt in Würzburg). (Abschluß des Druckes im März 1900.). S. 294

I. Allgemeine Eigenschaften der Differentialsysteme. S. 296

    • 1. Existenz der Lösungen. S. 296
    • 2. Fortsetzung; passive Systeme. S. 299
    • 3. Mayersche Systeme. S. 301
    • 4. Das allgemeine Integral. S. 301
    • 5. Singuläre Integrale. S. 303
    • 6. Intermediäre Integrale. S. 304
    • 7. Vollständige Integrale. S. 305
    • 8. Verschiedene Formen des allgemeinsten Differentialsystems. S. 306
    • 9. Lies Verallgemeinerung des Integralbegriffs. S. 307
    • 10. Transformationen der Differentialsysteme. S. 310
  • II. Die linearen partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung mit einer Unbekannten. S. 312
    • 11. Die lineare partielle Differentialgleichung 3. Ordnung. S. 312
    • 12. Der Jacobische Multiplikator. S. 314
    • 13. Vollständige Systeme. S. 315
    • 14. Systeme totaler Differentialgleichungen. S. 317
    • 15. Jacobis Integrationsmethode. S. 319
    • 16. Die Hauptintegrale. S. 320
    • 17. Die Lie-Mayersche Transformation. S. 321
  • III. Das Pfaffsche Problem. S. 322
    • 18. Historisches; Pfaffs Reduktionsmethode. S. 322
    • 19. Graßmanns Methode; das Fundamentaltheorem. S. 324
    • 20. Integraläquivalente; die allgemeinste Normalform. S. 326
    • 21. Transformationen eines Pfaffschen Ausdruckes. S. 327
    • 22. Reduktionsmethoden von Clebsch und Lie. S. 328
    • 23. Methode von Frobenius. S. 329
    • 24. Die Theorie der Berühr Imgstransformationen als Spezialfall des Pfaffschen Problems. S. 333
    • 25. Die Jacobische und die Mayersche Identität. S. 335
    • 26. Verallgemeinerung der Frobeniusschen Theorie. S. 335
    • 27. Beziehungen zwischen Pfaffschen Ausdrücken und infinitesimalen Transformationen. S. 336
  • IV. Die nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung mit einer Unbekannten. S. 337
    • 28. Methoden von Lagrange und Pfaff. S. 337
    • 29. Methode von Caucby. S. 339
    • 30. Jacobis erste Methode. S. 340
    • 31. Die Hamilton-Jacobische Theorie. S. 343
    • 32. Variation der Konstanten; die charakteristischen Kurven. S. 346
    • 33. Singuläre Integrale. S. 348
    • 34. Charakteristische Streifen; Abbildung und Klassifikation der partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung. S. 349
    • 35. Homogene Elementkoordinaten. S. 353
    • 36. Jacobis zweite Methode. S. 354
    • 37. Lies Verallgemeinerung von Jacobis zweiter Methode. S. 356
    • 38. Involutionssysteme. S. 356
    • 39. Spezielle Involutionssysteme. S. 360
    • 40. Funktionengruppen. S. 361
    • 41. Funktionengruppen, Fortsetzung. S. 363
    • 42. Die Bäcklundsche Theorie. S. 366

V. Höhere Differentialprobleme. S. 366

    • 1. Differentialsysteme mit zwei unabhängigen Veränderlichen. S. 366
    • 43. Klassifikation der partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung hinsichtlich ihrer Charakteristiken erster Ordnung. S. 366
    • 44. Erste Integrale einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung. S. 369
    • 45. Fortsetzung. S. 370
    • 46. Die Charakteristiken höherer Ordnung einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung. S. 372
    • 47. Fortsetzung. S. 373
    • 48. Die Charakteristiken einer partiellen Differentialgleichung nter Ordnung. S. 374
    • 49. Beziehungen zwischen zwei partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. S. 375
    • 50. Darbouxsche Systeme; Involutionssysteme. S. 377
    • 51. Die Darboux-Levysche Integrationstheorie und ihre Verallgemeinerungen. S. 379
    • 52. Differentialsysteme erster Ordnung mit mehreren Unbekannten. S. 382
    • 53. Die Methode von Laplace und ihre Verallgemeinerungen. S. 384
    • 54. Verwertung des Gruppenbegriffs für Differentialgleichungen. S. 387
    • 2. Differentialsysteme mit m unabhängigen Veränderlichen. S. 389
    • 55. Die Charakteristiken der partiellen Differentialgleichung nter Ordnung. S. 389
    • 56. Involutionssysteme mit einer Unbekannten. S. 390
    • 57. Verallgemeinerung der Monge-Ampere’schen Theorie. S. 392
    • 58. Lineare Differentialsysteme erster Ordnung mit n Unbekannten. S. 394
    • 59. Nichtlineare Differentialsysteme erster Ordnung mit n Unbekannten; Normalsysteme. S. 395
    • 60. Systeme Pfaffscher Gleichungen. S. 396
  • 6. Kontinuierliche Transformationsgruppen. Von L. MAURER in Tübingen und H. BURKHARDT + (in Zürich, später in München). (Abschluß des Druckes im Mai 1900.). S. 401
    • 1. Einleitung. S. 402
    • 2. Definition. S. 403
    • 3 Die grundlegenden Differentialgleichungen. S. 405
    • 4. Umformung der Differentialgleichungen. Infinitesimale Transformationen. S. 407
    • 5. Integrabilitätsbedingungen. Zusammensetzung. S. 410
    • 6. Untergruppen. S. 411
    • 7. Isomorphismus. S. 412
    • 8. Ähnlichkeit. S. 413
    • 9. Transformation einer Gruppe in sich. S. 414
    • 10. Reziproke Gruppen. S. 415
    • 11. Transitivität. Primitivität. S. 416
    • 12 Invarianten. S. 418
    • 13. Differentialinvarianten. S. 419
    • 14. Parametergruppen. S. 422
    • 15. Adjungierte Gruppen. S. 424
    • 16. Bestimmung aller Gruppen von gegebener Variabeln- und Parameterzahl. S. 425
    • 17. Bestimmung aller Typen der Zusammensetzung einer Gruppe. S. 426
    • 18. Bestimmung aller Gruppen von gegebener Zusammensetzung. S. 429
    • 19. Über den analytischen Charakter der Funktionen .. (x\a). S. 432
    • 20. Besondere Arten von endlichen kontinuierlichen Gruppen. S. 433
    • 21. Gemischte Gruppen. S. 434
    • 22. Unendlich kontinuierliche Gruppen. S. 435
  • 7 a. Randwertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen. Von M. BOCHER in Cambridge, Mass. (Abschluß des Druckes im Juni 1900.). S. 437
    • 1. Die fundamentalen Fragestellungen und ihre Entstehung aus der mathematischen Physik. S. 437
    • 2. Die grundlegende Abhandlung von Sturm und das Oszillationstheorem im Falle eines Parameters. S. 442
    • 3. Weiteres über den Fall eines Parameters. S. 444
    • 4. Ausdehnung der Sturmschen Resultate auf Differentialgleichungen höherer Ordnung. S. 448
    • 5. Das Oszillationstheorem im Falle mehrerer Parameter. S. 450
    • 6. Exkurs über polynomische Lösungen. S. 454
    • 7. Die seit 1890 von partiellen auf gewöhnliche Differentialgleichungen übertragenen Methoden. S. 457
  • 7 b. Potentialtheorie (Theorie der Laplace-Poissonschen Differentialgleichung). Von H. BURKHARDT + (in Zürich, später in München) und FR. MEYER in Königsberg, Ostpr. (Abschluß des Druckes im Juni 1900.). S. 464
    • 1. Definition des Potentials. S. 466
    • 2. Die Laplace-Poissonsche Differentialgleichung. S. 467
    • 3. Stetigkeit. Verhalten im Unendlichen. S. 469
    • 4. Abgeleitete Potentiale. S. 470
    • 5. Flächenpotentiale. S. 470
    • 6. Potential einer Doppelschicht. S. 471
    • 7. Potential von Linien und Punkten. S. 473
    • 8. Logarithmisches Potential. S. 473
    • 9. Analytische Fortsetzung. S. 474
    • 10. Niveauflächen und Kraftlinien. S. 476
    • 11. Verallgemeinerungen des Potentialbegriffes. S. 477
    • 12. Greensche Formeln. S. 477
    • 13. Gauß' allgemeine Lehrsätze. S. 479
    • 14. Entwicklung des Potentials nach Kugelfunktionen. S. 480
    • 15. Potential von Kugel und Ellipsoicl. S. 482
    • 16. W. Thomsons elektrische Bilder. S. 485
    • 17. Randwertaufgaben; Eindeutigkeits- und Existenztheorem. S. 486
    • 18. Greensche Funktion. S. 488
    • 19. Die Poissonschen Integrale. S. 489
    • 20. Entwicklung nach trigonometrischen Funktionen. S. 490
    • 21. Entwicklung nach Kugelfunktionen. S. 491
    • 22. Allgemeinere Entwicklungen. S. 492
    • 23. Gauß' Versuch, das Existenztheorem zu beweisen. S. 492
    • 24. Thomson-Dirichletsches Prinzip. S. 493
    • 25. Kritik des Thomson-Dirichletschen Prinzips. S. 494
    • 26. Methode der Approximation durch Polygone bzw. Polyeder. S. 495
    • 27. Die Methode des arithmetischen Mittel. S. 496
    • 28. Kombinatorische Methoden. S. 499
    • 29. Spezielle Methoden für analytische Randkurven. S. 501
    • 30. Hilfssätze zu Konvergenzbeweisen. S. 501
    • 31. Die Balayagemethode. S. 502
  • 7 c. Randwertaufgaben in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Von A. SOMMERFELD in Aachen (jetzt in München). (Abgeschlossen im April 1900.). S. 504
    • 1. Abgrenzung des Gegenstandes. S. 505

I. Allgemeine Theorie der Bandwertaufgaben bei partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung in zwei unabhängigen Variabeln. S. 508

    • 2. Klassifikation der partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Der elliptische, hyperbolische und parabolische Typus. S. 508
    • 3. Der Greensche Satz und die Greenschen Funktionen. S. 513
    • 4. Eindeutigkeitsfragen, vornehmlich bei elliptischen Differentialgleichungen. S. 520
    • 5. Existenz der Lösungen bei Differentialgleichungen des elliptischen Typus für hinreichend kleine Gebiete. Die Methode der sukzessiven Approximationen. S. 523
    • 6. Existenz der Lösungen von Differentialgleichungen des elliptischen Typus für beliebige Gebiete. Alternierende Methode, Methode der ringförmigen Gebietserweiterung, Auskehrungsmethode etc. S. 526
    • 7. Existenz der Lösungen von Differentialgleichungen des hyperbolischen Typus. S. 530
    • 8. Über den analytischen Charakter der durch partielle Differentialgleichungen definierten Funktionen. S. 533
  • II. Randwertaufgaben bei besonderen Differentialgleichungen. S. 540
    • 9. Die Gleichung .. u + k2u = 0. S. 540
    • 10. Die Existenz der ausgezeichneten Lösungen. Exakter Nachweis derselben bei H. A. Schwarz und H. Poincaré. S. 546
    • 11. Die Gleichung .. u – k2u = Q. S. 551
    • 12. Die Gleichung .. u = keu (k‘0). S. 553
    • 13. Die Gleichung der schwiügenden Saite und ihre Verallgemeinerungen. S. 557
    • 14. Die Wärmeleitungsgleichung. S. 562
    • 15. Schlußbemerkungen betr. die Differentialgleichungen von höherer als der zweiten Ordnung und mehr als zwei unabhängigen Variabeln. S. 566
  • 8. Variationsrechnung. Von A. KNESER in Berlin (jetzt in Breslau). (Abgeschlossen im September 1900.). S. 571
    • 1. Begriff der Variationsrechnung. S. 572
    • 2. Infinitesimalbetrachtungen von Euler. S. 573
    • 3. Einführung des Zeichens .. durch Lagrange. S. 574
    • 4. Allgemeine Variationsformel von Euler; reine und gemischte Variationen. S. 575
    • 5. Spezielle Variation durch Änderung eines Parameters. S. 576
    • 6. Notwendige Bedingung für .. Jn = 0. S. 577
    • 7. Theorie der Integrabilität. S. 578
    • 8. Eulers Multiplikatormethode für .. U2 = 0, m = l. S. 579
    • 9. Der Multiplikator bei isoperimetrischen Aufgaben. S. 580
    • 10. Die Multiplikatoren und notwendigen Bedingungen für .. Un = 0. S. 582
    • 11. Formale Entwicklungen; Jacobi-Flamiltonsche Methode. S. 584
    • 12. Zweite Variation von J1 nach Legendre. S. 586
    • 13. Transformation von .. 2Jn nach Jacobi. S. 588
    • 14. Beweis der formalen Sätze von Jacobi durch Hesse und Frobenius. S. 590
    • 15. Transformation von .. 2U nach Spitzer, Clebsch, Mayer, Lipschitz. S. 591
    • 16. Das Vorzeichen von .. 2 Un nach Mayer; konjugierte Punkte. S. 595
    • 17. Die auf konjugierte Punkte bezügliche notwendige Bedingung des Ex-tremums von J1 nach Erdmann. S. 599
    • 18. Scheeffers neue Methode; Ausdehnung des Satzes von Erdmann. S. 600
    • 19. Kritische Untersuchungen; Inbegriff der Variationen. S. 602
    • 20. Hinreichende Bedingungen des Extremums von J1 nach Scheeffer. S. 604
    • 21. Hinreichende Bedingungen nach Weierstraß; das isoperimetrische Problem im engeren Sinne. S. 606
    • 22. Höhere Variationen; hinreichende Bedingungen bei variabelen Grenzen. S. 609
    • 23. Steiners Sätze über Figuren extremen Flächeninhaltes; diskontinuierliche Lösungen. S. 611
    • 24. Mehrfache Integrale; Transformation der ersten Variation. S. 614
    • 25. Zweite Variation und hinreichende Bedingungen des Extremums von Doppelintegralen. S. 616
    • 26. Übersicht der Beispiele und Anwendungen. S. 620
  • 8 a. Weiterentwicklung der Variationsrechnungen in den letzten Jahren. Von E. ZERMELO in Göttingen (jetzt in Zürich) und H. HAHN in Gröttingen (jetzt in Czernowitz). (Abgeschlossen im Januar 1904.). S. 626
    • 1. Die Grundlagen der Weierstraßschen Theorie. S. 626
    • 2. Notwendige und hinreichende Bedingungen im einfachsten Falle. S. 628
    • 3. Isoperimetrische Probleme. S. 631
    • 4. Allgemeinere Probleme. S. 633
    • 5. Beispiele und Anwendungen. S. 635
    • 6. Existenzfragen. S. 638
  • 9. Trigonometrische Interpolation. (Mathematische Behandlung periodischer Naturerscheinungen.) Von H. BURKHARDT + (in Zürich, später in München). (Abgeschlossen im April 1904.). S. 642
    • 1. Bezeichnungen. S. 643
    • 2. Hilfsformeln. S. 644
    • 3. Vorgeschichte. S. 646

I. Erscheinungen mit einer bekannten Periode. S. 647

    • 4. Die Begründung der trigonometrischen Interpolation für äquidistante Argumente durch Fr. W. Bessel. S. 647
    • 5. Trigonometrische Interpolation für beliebige Argumente. S. 651
    • 6. Trigonometrische Interpolation für sehr zahlreiche Argumente. S. 652
    • 7. Das Verfahren von Leverrier. S. 653
    • 8. Interpolation ausgefallener Beobachtungen. S. 654
    • 9. Berechnung des Mittelwertes einer periodischen Erscheinung. S. 655
    • 10. Behandlung der Extrema bei trigonometrischer Interpolation. S. 656
    • 11. Berechnung des Ganges einer periodischen Erscheinung während einer längeren Periode aus Mittelwerten für kürzere Zeiträume. S. 657
    • 12. Verwendung der trigonometrischen Interpolation zu mechanischer Quadratur. Berechnung der Koeffizienten trigonometrischer Entwicklungen aus möglichst wenig Beobachtungen. S. 659
    • 13. Trigonometrische Interpolation von Funktionen zweier Argumente. S. 662
  • II. Separation mehrerer bekannter Perioden. S. 663
    • 14. Vorbemerkungen, insbesondere über theoretische und praktische Kommensurabilität. S. 663
    • 15. Elimination von säkularen Störungen. S. 664
    • 16. Separation zweier Perioden von gleicher Größenordnung. S. 666
    • 17. Verfahren in komplizierten Fällen. Die harmonische Analyse der Gezeiten. S. 668
    • 18. Bestimmung der Komponenten aus Beobachtungen der Extrema allein. S. 669
    • 19. Abgekürztes Verfahren. S. 672
    • 20. Zusammenfassung mehrerer periodischer Tenne zu einem einzigen von veränderlicher Amplitude und Phase. S. 673
  • III. Aufsuchung versteckter Periodizitäten. S. 675
    • 21. Die Methode von Lagrange. S. 675
    • 22. Die Sätze von Nervander und Buys-Ballot. S. 677
    • 23. Pulling und pushing. S. 679
    • 24. Andere neuere Ansätze. S. 681
    • 25. Kritik vom Standpunkte der Wahrscheinlichkeitsrechnung. S. 682
  • IV. Hilfsmittel zur Ausführung der Rechnungen. S. 685
    • 26. Rechenschemata für spezielle Werte der Anzahl der Beobachtungen. S. 685
    • 27. Graphische Methoden, Tabellen, Schablonen. S. 688
    • 28. Instrumentelle Hilfsmittel zum Rechnen mit den Formeln. S. 689
    • 29. Harmonische Analysatoren. S. 690
    • 30. Hilfsmittel zur Trennung verschiedener Perioden und zur Aufsuchung versteckter Periodizitäten. S. 692

Band 2–1-2[Bearbeiten]

A. Analysis der reellen Größen (Fortsetzung). S. 695

  • 10. Theorie der Kugelfunktionen und der verwandten Funktionen, insbesondere der Lamé’schen und Besselschen (Theorie spezieller durch lineare Differentialgleichungen definierter Funktionen). Von A. WANGERIN. S. 695

I. Definition der allgemeinen Kugelfunktionen. S. 699

    • 1. Definition der allgemeinen Kugelfunktionen mit zwei Veränderlichen. S. 699
  • II. Die einfachen Kugelfunktionen Pn. S. 700
    • 2. Die einfachen Kugelfunktionen Pn einer Veränderlichen und ihre Differentialgleichung. S. 700
    • 3. Verschiedene Reihen für Pn. S. 702
    • 4. Darstellung von Pn als Differentialquotient; Wurzeln von Pn = 0. S. 703
    • 5. Darstellung von Pn durch bestimmte Integrale. S. 704
    • 6. Integralsätze, Entwicklung ganzer Potenzen nach Kugelfunktionen, Rekursionsformeln. S. 706
    • 7. Verschiedene Ausgangspunkte der Theorie, Tafeln. S. 707
  • III. Zugeordnete Kugelfunktionen. S. 708
    • 8. Zugeordnete Kugelfunktionen; ihre Differentialgleichung, verschiedene Darstellungen. S. 708
    • 9. Integralsätze der Zugeordneten. S. 710
    • 10. F. Neumanns Definition dieser Funktionen. S. 710
  • IV. Darstellung der allgemeinen Kugelfunktion. S. 711
    • 11. Darstellung der allgemeinen Kugelfunktion durch Zugeordnete. S. 711
    • 12. Darstellung von Yn bei Maxwell und Thomson und Tait. S. 712
    • 13. Das Additionstheorem der einfachen Kugelfunktionen. S. 713
    • 14. Integralsätze der allgemeinen Kugelfunktionen. S. 714
    • 15. Entwicklung einer Funktion zweier Variabein nach Kugelfunktionen. S. 715
    • 16. Beweis für die Gültigkeit der Entwicklung nach Dini und Heine. S. 715
    • 17. Andere Beweise. S. 717
    • 18. F. Neumanns Entwicklung nach Kugelfunktionen auf Grund gegebener Beobachtungen. S. 718

V. Kugelfunktionen zweiter Art. S. 719

    • 19. Die Kugelfunktion zweiter Art Qn. S. 719
    • 20. Das F. Neumannsche Integral für Qn. S. 720
    • 21. Entwicklung von Qn nach steigenden Potenzen. S. 722
    • 22. Integraldarstellung von Qn. S. 722
    • 23. Zusammenhang zwischen Kugelfunktionen und Kettenbrüchen. S. 723
    • 24. Zugeordnete Funktionen der zweiten Art. S. 723
    • 25. Zugeordnete, deren Nebenindex den Hauptindex übersteigt. S. 724
  • VI. Erweiterungen. S. 725
    • 26. Kugelfunktionen, deren Index eine beliebige Zahl ist. S. 725
    • 27. Eingfunktionen. S. 726
    • 28. Mehlers Kegelfunktionen. S. 728
    • 29. Adjungierte Kugelfunktionen. S. 729
    • 30 Entwicklung einer Funktion nach Kugelfunktionen. S. 729
    • 31. Funktionen, die aus der Entwicklung von (1 – 2 .. X + .. 2)-v entstehen. S. 730
    • 32. Fall, in dem v ein Vielfaches von 1–2 ist. Kugelfunktionen höherer Ordnung. S. 731
  • VII. Lamé’sche Funktion. S. 732
    • 33. Definition. Lamé’sche Differentialgleichung. S. 732
    • 34. Darstellung der vier Klassen von Lamé’schen Funktionen erster Art. S. 734
    • 35. Die zugeordneten Kugelfunktionen als Grenzfälle der Lamé’schen Funktionen. Additionstheorern. S. 735
    • 36. Wurzeln der Gleichung E(..) = 0. S. 736
    • 37. Entwicklung einer Funktion nach Lamé’schen Produkten. S. 737
    • 38. Die Lamé’schen Funktionen zweiter Art. S. 737
    • 39. Hinweis auf Hermites Untersuchungen betreffs der Lamé’schen Gleichung. S. 739
    • 40. Lamé’sche Funktionen höherer Ordnung. S. 739
    • 41. Erweiterung des Begriffs der Lamé’schen Funktionen. S. 740
    • 42. Die Lamé’schen Funktionen mit mehr als drei singulären Punkten im Endlichen. S. 741
    • 43. Funktionen des elliptischen Kegels. S. 742
  • VIII. Zylinderfunktionen oder Besselsche Funktionen. S. 742
    • 44. Differentialgleichung. Reihen und Integrale für die Funktionen erster Art. S. 742
    • 45. Besselsche Funktionen zweiter Art. S. 744
    • 46. Ableitung dieser Funktionen aus denen erster Art durch einen Grenzübergang. S. 745
    • 47. Die Zylinderfunktionen als Grenzen der Kugelfunktionen. S. 746
    • 48. Integraldarstellungen der Funktionen zweiter Art. S. 747
    • 49. Semikonvergente Reihen. S. 748
    • 50. Rekurrente Relationen. S. 749
    • 51. Zusammenhang mit Kettenbrüchen. S. 750
    • 52. Wurzeln der Gleichung Jv(z) = 0. S. 750
    • 53. Additionstheorem der Funktionen erster und zweiter Art. S. 751
    • 54. C. Neumanns Funktion On. S. 752
    • 55. Entwicklung einer analytischen Funktion nach Besselschen Funktionen. S. 753
    • 56. Hinweis auf andere Reihen sowie auf Entwicklungen nach Quadraten und Produkten der Zylinderfunktionen. S. 753
    • 57. Die für die Aufgaben der Physik erforderlichen Entwicklungen. S. 754
    • 58. Die Reihe von Schlömilch. S. 755
    • 59. C. Neumanns Integraldarstellung einer Funktion mittelst Besselscher Funktionen. S. 755
    • 60. Bestimmte Integrale mit Besselschen Funktionen. S. 756
    • 61. Tafeln der Besselschen Funktionen. S. 757
  • IX. Funktionen des elliptischen und parabolischen Zylinders. S. 758
    • 62. Funktionen des elliptischen Zylinders. S. 758
    • 63. Funktionen des parabolischen Zylinders. S. 759
  • 11. Funktionaloperationen und -gleichungen. Von S. PINCHERLE in Bologna. (Abgeschlossen im Dezember 1905.). S. 761

Funktionaloperationen. S. 763

    • 1. Definition der Funktionalrechnung. S. 763
    • 2. Die Funktionalrechnung von Leibniz bis Lagrange. S. 764
    • 3. Untersuchungen über das Rechnen mit Symbolen bis auf Servois. S. 764
    • 4. Prinzip des Rechnens mit Symbolen. S. 766
    • 5. Elemente des Operationskalküls. S. 766
    • 6. Einfache distributive Operationen. S. 768
    • 7. Ableitungen (Differentialquotienten) zu beliebigem Index. S. 770
    • 8. Die Generalisationsrechnung von Oltramare. S. 771
    • 9. Anwendungen des Rechnens mit Symbolen. S. 772
    • 10. Anwendungen auf Differentialgleichungen. S. 773
    • 11. Anwendungen auf Formen- und Zahlentheorie. S. 774
    • 12. Vektorielle Interpretation in einem Räume von n Dimensionen. S. 776
    • 13. Interpretation in einem Räume von unendlich vielen Dimensionen. S. 777
    • 14. Darstellung einer distributiven Operation durch eine Reihe. S. 778
    • 15. Darstellung einer Operation durch ein bestimmtem Integral. S. 780
    • 16. Die Transformation von Laplace. S. 781
    • 17. Andere distributive Operationen. S. 784
    • 18. Nicht-distributive Operationen. S. 786
    • 19. Funktionen von Linien. S. 787

Funktionalgleichungen. S. 788

    • 20. Allgemeines über Funktionalgleichungen. S. 788
    • 21. Die Gleichung von Babbage und ihre Anwendungen. S. 790
    • 22. Gleichungen von Abel und Schröder. S. 791
    • 23. Iterationsrechnung. S. 792
    • 24. Anwendung der Iterationsrechnung auf die Gleichung von Abel. S. 794
    • 25. Andere Anwendungen der Funktionen von Koenigs. S. 795
    • 26. Analytische Iteration. S. 796
    • 27. Verschiedene Funktionalgleichungen. Verallgemeinerung der Periodi-zität. Transzendentale Transzendenz. S. 797
    • 28. Integralgleichungen erster Art (Umkehrung der bestimmten Integrale); Allgemeines. S. 803
    • 29. Umkehrung bestimmter Integrale mit festen Grenzen. S. 804
    • 30. Umkehrung bestimmter Integrale mit veränderlichen Grenzen. S. 807
    • 31. Integralgleichungen zweiter Art. S. 809
    • 32. Symbolische Gleichungen. S. 817
  • 12. Trigonometrische Reihen und Integrale (bis etwa 1850). Von H. BURKHARDT + (in München). (Abgeschlossen im Mai 1914.). S. 819

Theorie der trigonometrischen Reihen und Integrale. S. 825 I. Entwicklung analytischer Funktionen in trigonometrische Reihen. S. 825

    • 1. Erster Ausgangspunkt: Rekurrierende Reihen. S. 825
    • 2. Zweiter Ausgangspunkt: Autfassung von Reihen, die nach Potenzen einer komplexen Variabein fortschreiten, als Entwicklungen nach den Kosinus und Sinus der Vielfachen des Arcus dieser Variabein. S. 826
    • 3. Dritter Ausgangspunkt: Umsetzung von Reihen, die nach Potenzen von cos x fortschreiten, in solche, die nach den Kosinus der Vielfachen von x geordnet sind. S. 829
    • 4. Divergente trigonometrische Reihen. S. 830
    • 5. Entwicklung der Potenzen von cos x und sin x nach den Kosinus und Sinus der Vielfachen von x. S. 837
    • 6. Anhang zu Nr. 5. S. 856
    • 7. Trigonometrische Entwicklung rationaler ganzer Funktionen. Die Bernoullischen Funktionen. S. 857
    • 8. Mit iterierten Integralen rationaler Funktionen zusammenhängende Entwicklungen. S. 868
    • 9. Entwicklung der Potenzen der wahren Distanz zweier Punkte nach den Kosinus der Vielfachen der scheinbaren Distanz. S. 875
    • 10. Anhang zu Nr. 9. S. 886
    • 11. Entwicklungen der Sphärik. S. 887
    • 12. Entwicklungen aus der Theorie der elliptischen Bewegung. S. 891
    • 13. Entwicklung von trigonometrischen und von Exponentialfunktionen. S. 902
    • 14. Andere spezielle Reihenentwicklungen. S. 909
    • 15. Darstellung der Koeffizienten trigonometrischer Reihen durch unendliche Reihen. S. 920
    • 16. Darstellung der Koeffizienten trigonometrischer Reihen durch bestimmte Integrale. S. 922
    • 17. Reihen, die Kosinusglieder und Sinusglieder nebeneinander enthalten. S. 927
    • 18. Entwicklungen nach den Funktionen der ungeraden Vielfachen des Arguments. S. 931
    • 19. Umkehrung trigonometrischer Reihen. S. 944
    • 20. Verwandlung schlecht konvergierender trigonometrischer Reihen in besser konvergierende. S. 945
    • 21. Restglied einer trigonometrischen Reihe. S. 946
    • 22. Multiplikation trigonometrischer Reihen . . S. 947
    • 23. Der Parsevalsche Satz. S. 947
    • 24. Eindeutige Bestimmtheit der Entwicklung. S. 949
  • II. Entwicklung willkürlicher Funktionen in trigonometrische Reihen. S. 952
    • 25. Die Hauptschwingungen eines Massensystems. S. 952
    • 26. Der Streit um das Problem der Saitenschwingungen. S. 954
    • 27. Fourier und seine Zeitgenossen. S. 957
    • 28. Exkurs betr. die Entwicklung des Begriffs einer willkürlichen Funktion. S. 958
    • 29. Exkurs betr. die Vertauschung der Reihenfolge von Grenzübergängen. S. 971
    • 30. Exkurs betr. die Diskussion über die den Zeichen cos .., sin .. beizulegende Bedeutung. S. 984
    • 31. Ältere mißglückte Beweisversuche. S. 991
    • 32. Grenzübergang von den Interpolationsformeln her. S. 995
    • 33. Der Deflerssche Beweisansatz . . S. 997
    • 34. Der Poissonsche Beweisansatz. S. 997
    • 35. Exkurs betr. die Entwicklungsgeschichte von Cauchys Residuentheorie. S. 1001
    • 36. Der Cauchysche Beweisansatz aus der Residuentheorie. S. 1032
    • 37. Der Dirichletsche Beweis. S. 1036
    • 38. Beweis der Konvergenz durch partielle Integration in den Ausdrücken der Koeffizienten. S. 1039
    • 39. Benutzung des zweiten Mittelwertsatzes der Integralrechnung durch O. Bonnet. S. 1043
    • 40. Integral des Quadrats des beim Abbrechen einer trigonometrischen Entwicklung übrig bleibenden Fehlers. S. 1043
    • 41. Differentiation und Integration trigonometrischer Reihen. S. 1044
    • 42. Verhalten der Reihe an Sprungstellen der zu entwickelnden Funktion. S. 1046
  • III. Unharmonische trigonometrische Reihen. S. 1050
    • 43. Erste Beispiele solcher Reihen. S. 1050
    • 44. Die Realität der Wurzeln der determinierenden Gleichungen. S. 1059
    • 45. Beweise der Möglichkeit solcher Entwicklungen. S. 1063
  • IV. Mehrfache trigonometrische Reihen. S. 1067
    • 46. Mehrfache trigonometrische Reihen. S. 1067
    • 47. Rechneu mit mehrfachen trigonometrischen Reihen. S. 1069
    • 48. Mehrfache unharmonische trigonometrische Reihen. S. 1069
    • 49. Das Verfahren von Liouville. S. 1070
    • 50. Die Entwicklung der Störungsfunktion in der Theorie der Planetenbewegung. S. 1071
    • 51. Entwicklung der Wärmemenge, die ein Teil der Erdoberfläche von der Sonne erhält, nach trigonometrischen Funktionen der Zeit. S. 1084

V. Das Fouriersche Integral. S. 1085

    • 52. Übergang von der trigonometrischen Reihe zum Fourierschen Integral. S. 1085
    • 53. Die komplexe Form des Fourierschen Integrals. S. 1088
    • 54. Die Auffassung der Integralrelation als Grenzgleichung. S. 1088
    • 55. Andere Modifikationen der Integralrelation. S. 1091
    • 56. Andere Versuche, den Fourierschen Integralsatz zu beweisen. S. 1094
    • 57. Umgestaltungen der Fourierschen Integralformel. S. 1097
    • 58. Das Fouriersche Integral für den Fall von Unstetigkeiten der darzustellenden Funktion. S. 1097
    • 59. Paare reziproker Funktionen. S. 1097
    • 60. Unharmonische Form des trigonometrischen Integrals. S. 1159
    • 61. Differentiation und Integration trigonometrischer Integrale. S. 1161
    • 62. Mehrfache trigonometrische Integrale. S. 1163
    • 63. Das mehrfache Fouriersche Integral als Grenzformel. S. 1164
    • 64. Paare reziproker Funktionen von mehreren Variabeln. S. 1165
    • 65. Die sogenannte Poissonsche Hilfsformel. S. 1169
    • 66. Eine Hilfsformel von Cauchy. S. 1172

Anwendungen der trigonometrischen Reihen und Integrale. S. 1173

  • VI. Integration partieller Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Veränderlichen. S. 1173
    • 67. Integration partieller Differentialgleichungen durch Reihen, die nach den sukzessiven Ableitungen willkürlicher Funktionen fortschreiten. S. 1173
    • 68. Allgemeines über Integration durch Reihen von Elementarlösungen. S. 1177
    • 69. Ausgezeichnete Lösungen und Eigenfunktionen. S. 1179
    • 70. Integration partieller Differentialgleichungen durch bestimmte Integrale, von den in Nr. 67 besprochenen Reihenentwicklungen aus. S. 1192
    • 71. Integration partieller Differentialgleichungen durch bestimmte Integrale: Integration des Produkts der Elementarlösung mit einer willkürlichen Funktion ihres Parameters nach diesem. S. 1194
    • 72. Integration partieller Differentialgleichungen durch bestimmte Integrale, in Übertragung der bei gewöhnlichen Differentialgleichungen angewendeten Methoden. S. 1197
    • 73. Integration partieller Differentialgleichungen durch bestimmte Integrale, vermöge der Darstellung der numerischen Koeffizienten ihrer Reihenentwicklungen durch solche Integrale. S. 1198
    • 74. Übergang von der Lösung durch eine trigonometrische Reihe zur Lösung durch ein bestimmtes Integral. S. 1204
    • 75. Diskussion über den Grad der Allgemeinheit der so erhaltenen Lösungen . S. 1208
    • 76. Ableitung der Hauptlösung aus der Lösung durch ein bestimmtes Integral. S. 1212
    • 77. Ableitung der Lösung durch ein bestimmtes Integral aus der Hauptlösung. S. 1213
    • 78. Anpassung der Lösung durch ein bestimmtes Integral an gegebene Anfangsbedingungen. S. 1215
    • 79. Integration durch trigonometrische Integrale. S. 1219
    • 80. Ableitung der Hauptlösung einer partiellen Differentialgleichung aus der Darstellung ihrer allgemeinen Lösung durch ein Fouriersches Integral. S. 1224
    • 81. Übergang von der Lösung durch ein trigonometrisches Integral zur Lösung durch ein einfaches Integral. S. 1225
    • 82. Übergang von der Lösung durch ein trigonometrisches Integral zu der von Integralzeichen freien Form der Lösung. S. 1227
    • 83. Darstellung der Integrale durch die Formeln der Residuentheorie. S. 1227
    • 84. Rückkehr von der Lösung durch Integrale zur Lösung durch trigonometrische Reihen. S. 1233
    • 85. Ableitung des „Endverlaufs“ aus den Reihenentwicklungen. S. 1242
    • 86. Ableitung des „EndVerlaufs“ aus der Integraldarstellung. S. 1242
    • 87. Die mit einer partiellen Differentialgleichung verträglichen Unstetigkeiten. S. 1248
    • 88 Variable Koeffizienten in den Grenzbedingungen. S. 1251
    • 89. Mit der Zeit variable Grenzflächen. S. 1252
    • 90. Sinn der Lösung für dem angenommenen Anfangszustand vorangehende Zeiträume. S. 1253
  • VII. Integration partieller Differentialgleichungen mit mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen. S. 1254
    • 91. Integration durch trigonometrische Reihen. S. 1254
    • 92. Integration von Differentialgleichungen mit n + 1 unabhängigen Veränderlichen durch n-fache bestimmte Integrale. S. 1256
    • 93. Integration durch mehrfache Fouriersche Integrale. S. 1263
    • 94. Reduktion mehrfacher Fourierscher Integrale. S. 1276
    • 95. Darstellung der Integrale durch die Formeln der Residuentheorie. S. 1279
    • 96. Reduktion der Integration eines Systems partieller Differentialgleichungen auf die einer resultierenden Gleichung. S. 1280
    • 97. Ableitung des Endverlaufs aus der Integraldarstellung. S. 1282
    • 98. Das Spiegelungsprinzip. S. 1300
    • 99. Die mathematische Formulierung des Huyghensschen Prinzips. S. 1301
  • VIII. Sonstige Anwendungen. S. 1305
    • 100. Ermittelung des Wertes bestimmter Integrale auf Grund der Darstellung der Koeffizienten trigonometrischer Reihen. S. 1305
    • 101. Ermittelung des Wertes bestimmter Integrale mit Hilfe der Fourier-schen Integralformel. S. 1305
    • 102. Darstellung der Wurzeln von Gleichungen durch Integrale. S. 1307
    • 103. Analytische Darstellung des reellen und des imaginären Bestandteils einer Funktion komplexen Arguments vermittelst ihrer Werte für reelle Argumente. S. 1311
    • 104. Diskontinuitätsfaktoren. S. 1320
    • 105. Restglied der Euler-Maclaurinschen Summenformel. S. 1324
    • 106. Umformung von Reihen. S. 1337
    • 107. Transformation der Thetafunktionen. S. 1339
    • 108. Differentiation zu beliebigem Index. S. 1342
    • 109. Funktionen großer Zahlen. S. 1343
    • 110. Auflösung von Integralgleichungen. S. 1350
    • 111. Integration von Gleichungen mit gemischten Differenzen. S. 1351
    • 112. Gaußsche Summen. S. 1351
    • 113. Sukzessive Evoluten ebener Kurven. S. 1353
  • Register zu Band II, Teil I. S. 1355

Berichtigungen. S. 1416

Band 2–2[Bearbeiten]

B. Analysis der komplexen Größen. S. 1

  • 1. Allgemeine Theorie der analytischen Funktionen a) einer und b) mehrerer komplexen Größen. Von W. F. OSGOOD in Cambridge, Mass. S. 1

Einleitende Bemerkungen. S. 5 I. Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Größe. S. 9

    • 1. Die Bereiche T, B, T. S. 9
    • 2. Funktionen eines komplexen Arguments; analytische Funktionen. S. 10
    • 3. Der Cauchysche Integralsatz; das Residuum. S. 14
    • 4. Die Cauchysche Integralformel; isolierte singuläre Punkte. S. 16
    • 5. Die konforme Abbildung im Kleinen. S. 19
    • 6. Gleichmäßige Konvergenz. S. 20
    • 7. Die Cauchy-Taylorsche Reihe nebst Anwendungen. S. 22
    • 8. Der Punkt z = .. S. 26
    • 9. Der Laurentsche Satz; die rationalen Funktionen. S. 27
    • 10. Mehrdeutige Funktionen; Schleifenwege. S. 29
    • 11. Die Riemannsche Fläche; das Verhalten einer mehrdeutigen Funktion im Kleinen. S. 31
    • 12. Fortsetzung; algebraische Funktionen. S. 33
    • 13. Die analytische Fortsetzung; endgültige Definition der analytischen Funktion; das analytische Gebilde. S. 35
    • 14. Geometrische Deutung durch ebene und Raumkurven. S. 43
    • 15. Die Lagrange’sche Reihe. S. 44
    • 16. Funktionalgleichungen. S. 48
    • 17. Bestimmte und Schleifenintegrale. S. 50
    • 18. Die Umkehrfunktion und die konforme Abbildung im Großen. S. 52
  • II. Die geometrische Funktionentheorie. S. 53
    • 19. Riemanns neue Grundlagen für die Funktionentheorie. S. 53
    • 20. Das Prinzip der Symmetrie; analytische Fortsetzung. S. 57
    • 21. Die konforme Abbildung analytisch begrenzter Bereiche auf den Kreis; geradlinige und Kreisbogenpolygone. S. 59
    • 22. Die Riemannsche Fläche als definierendes Element; algebraischer Fall. S. 61
    • 23. Die konforme Abbildung mehrfach zusammenhängender Bereiche aufeinander; algebraischer Fall. S. 64
    • 24. Funktionen mit Transformationen in sich; periodische Funktionen. S. 65
    • 25. Der Fundamentalbereich; zunächst der Bereich ..; die Ecken. S. 69
    • 26. Fortsetzung; Funktionen auf .. Definition des Fundamentalbereiches. S. 71
    • 27. Der algebraische Fall; symmetrische Riemannsche Flächen. S. 73
    • 28. Parameterdarstellung durch eine uniformisierende Variable. S. 74
    • 29. Der Picardsche Satz. S. 76
  • III. Untersuchung der analytischen Funktionen mittels ihrer Darstellung durch unendliche Reihen und Produkte. S. 76
    • 30. Weierstraß. S. 76
    • 31. Der Weierstraßsche Satz. S. 77
    • 32. Der Mittag-Lefflersche Satz. S. 80
    • 33. Verallgemeinerung der Sätze von Nr. 31 und 32. S. 81
    • 34. Punktionen mit vorgegebenem Definitionsbereich. S. 82
    • 35. Auf dem Konvergenz kreis gelegene singuläre Punkte, insbesondere Pole, und die Koeffizienten der Potenzreihe. S. 83
    • 36. Die Nullpunkte einer analytischen Funktion, insbesondere einer ganzen Funktion. S. 84
    • 37. Die Stärke des Unendlichwerdens einer ganzen Funktion, die Koeffizienten der Taylorsehen Reihe und die Höhe der Funktion. S. 85
    • 38. Annäherungöformeln; Reihenentwickelungen nach Polynomen. S. 87
    • 39. Kettenbruchentwickelungen. S. 90
  • IV. Analytische Funktionen mehrerer komplexen Größen. S. 97
    • 40. Die Bereiche (T), (B), (T'); analytische Funktionen. S. 97
    • 41. Der Cauchysche Integralsatz; das Residuum. S. 98
    • 42. Die Cauchysche Integralformel; singuläre Punkte. S. 100
    • 43. Gleichmäßige Konvergenz; die Cauchy-Taylorsche Reihe. S. 102
    • 44. Implizite Funktionen. S. 103
    • 45. Der Weierstraßsche Satz und die Teilbarkeit im Kleinen. S. 105
    • 46. Die Parameterdaratellung im Kleinen; implizite Funktionen. S. 106
    • 47. Das analytische Gebilde. S. 107
    • 48. Einige Sätze über das Verhalten im Großen. S. 111
    • 49. Homogene Variable. S. 112
  • 2. Algebraische Funktionen und ihre Integrale. Von W. WIRTINGER in Innsbruck, jetzt in Wien. S. 115

A. Allgemeines. S. 117

    • 1. Definition. S. 117
    • 2. Die algebraische Funktion in der Umgebung einer einzelnen Stelle. S. 118
    • 3. Das algebraische Gebilde. S. 119
    • 4. Die Riemannsche Fläche. S. 120
    • 5. Zusammenhang und Geschlecht der Riemannschen Fläche. S. 122
    • 6. Zerschneidung der Riemannschen Fläche; Querschnitte. S. 122
    • 7. Spezialfälle und Normalfonnen. S. 123
    • 8. Funktionen am algebraischen Gebilde und der Riemannschen Fläche. S. 124
    • 9. Der Körper der rationalen Funktionen, Transformation des Gebildes und die Riemannsche Klasse. Erhaltung von p. S. 126
    • 10. Bedeutung des Klassenbegriffes . S. 126
    • 11. Die Integrale der algebraischen Funktionen; ihre Perioden. S. 127
    • 12. Riemanns Problemstellung. S. 129
    • 13. Verallgemeinerung der Riemannschen Fläche. S. 129
    • 14. Die allgemeinsten Riemannschen Mannigfaltigkeiten. S. 130
    • 16. Potentiale und Funktionen auf der allgemeinen Riemannschen Fläche. S. 131
    • 16. Die drei Gattungen von Integralen. S. 132
    • 17. Relationen zwischen den Perioden. S. 133
    • 18. Die transzendent normierten Integrale. S. 134
    • 19. Darstellung der Funktionen der Fläche durch die Integrale der drei Gattungen. S. 135

B. Besondere Darstellungen und Funktionen. S. 136

    • 20. Darstellung der Integranden als rationale Funktionen von x, y. S. 136
    • 21. Fortsetzung. Homogene Variable. Die Formen. S. 137
    • 22. Definition des Geschlechtes auf Grund der Formen. S. 138
    • 23. Die Theorie von Weierstraß. S. 139
    • 24. Die Fälle p = 0, 1. S. 141
    • 25. Äquivalente Systeme von Stellen, Scharen von Stellen und Funktionen. S. 142
    • 26. Die algebraischen Kurven im Eaume von q Dimensionen. S. 143
    • 27. Die Darstellung der algebraischen Funktionen an der Baumkurve. S. 144
    • 28. Die Normalkurve der .. S. 144
    • 29. Spezialfunktionen und Spezialscharen. S. 145
    • 30. Normalformen. S. 146
    • 31. Die Moduln einer Klasse von algebraischen Gebilden. S. 147
    • 32. Vertauschung von Parameter und Argument. S. 148
    • 33. Integrale zweiter Gattung, Normalkombinationen. S. 149
    • 34. Fortsetzung, die Weierstraßschen Periodenrelationen. S. 150
    • 36. Die Reduktion der allgemeinsten algebraischen Integrale. S. 151
    • 36. Die Integration durch algebraische Funktionen und Logarithmen. S. 152
    • 37. Kleine kanonische Kurven. S. 153
    • 38. Primfunktionen und Primformen. S. 155
    • 39. Fortsetzung. S. 156
    • 40. Wurzelfunktionen und -formen. Multiplikative Funktionen und Formen. S. 157

C. Das Abelsche Theorem. S. 158

    • 41. Das Abelsche Theorem. S. 158
    • 42. Das Abelsche Theorem für die drei Gattungen des Integrals; spätere Beweise. S. 160
    • 43. Die Differentialgleichungen des Abelschen Theorems. S. 161
    • 44. Die Umkehrung des Abelschen Theorems und die Erweiterung der Umkehrung. S. 162
    • 45. Anwendungen und Erweiterungen des Abelschen Theorems. S. 163

D. Ergänzungen. S. 164

    • 46. Die Abelschen Reduktionstheoreme. S. 164
    • 47. Das Problem der Transformation der Abelschen Integrale. S. 165
    • 48. Spezielle Reduktionsuntersuchungen. S. 166
    • 49. Binomische Integrale. S. 167
    • 50. Hyperelliptische Integrale. S. 167

E. Korrespondenz und singuläre Gebilde. S. 168

    • 51. Korrespondenzen auf dem algebraischen Gebilde. S. 168
    • 52. Die allgemeine Korrespondenztheorie von Hurwitz und die singulären Gebilde. S. 169
    • 53. Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich. S. 171
    • 54. Symmetrie und Realität. S. 172

F. Mehrere Variable. S. 173

    • 55. Algebraische Funktionen mehrerer Variablen. S. 173
    • 66. Die Geschlechtszahlen der Fläche. S. 174
    • 67. Untersuchungen nach transzendenter Richtung. S. 174
  • 3. Elliptische Funktionen. Mit Benutzung von Vorarbeiten und Ausarbeitungen der Herren J. HARKNESS in Montreal, Canada, und W. WIRTINGER in Wien von R. FRICKE in Braunschweig. S. 177

I. Ältere Theorie der elliptischen Integrale. S. 179

    • 1. Definition und erstes Auftreten der elliptischen Integrale. S. 181
    • 2. Eulers Entdeckung der Additionstheoreme. S. 183
    • 3. Beziehungen zwischen Euler und Lagrange. S. 185
    • 4. A. M. Legrendres Bedeutung für die Theorie der elliptischen Funktionen. S. 187
    • 5. Legendres Normalintegrale. S. 188
    • 6. Legendres Gestalt der Additionstheoreme. S. 189
    • 7. Die Landensche Transformation und die numerische Berechnung der Integrale bei Legendre. S. 190
    • 8. Die vollständigen Integrale und die Legendresche Relation. Differential-gleichungen und Reihen. S. 193
    • 9. Die Vertauschung von Parameter und Argument bei Legendre. S. 194
    • 10. Reduktion höherer Integrale auf elliptische und Transformation dritter Ordnung. S. 195
  • II. Die elliptischen Funktionen bei Abel, Jacobi und Gauß. S. 195
    • 11. Die Umkehrung des Integrals erster Gattung und die doppelte Periodizität bei Abel. S. 197
    • 12. Die Multiplikation und die allgemeine Teilung der elliptischen Funktionen bei Abel. S. 198
    • 13. Die spezielle Teilung der elliptischen Funktionen bei Abel. S. 200
    • 14. Abels allgemeine Formeln für die Multiplikation der elliptischen Funktionen. S. 201
    • 15. Unendliche Doppelreihen und Doppelprodukte für die elliptischen Funktionen. S. 202
    • 16. Abels einfach unendliche Reihen und Produkte für die elliptischen Funktionen. S. 203
    • 17. Abels Transformation der elliptischen Funktionen. S. 204
    • 18. Abels Entdeckung der komplexen Multiplikation. S. 205
    • 19. Die weiteren Untersuchungen Abels. Das allgemeine Transformationsproblem. S. 205
    • 20. Jacobis erste Arbeiten. S. 208
    • 21. Die einführenden Abschnitte der „Fundamenta nova“. S. 209
    • 22. Jacobis Behandlung der Transformationstheorie auf Grund der Umkehrfunktion. S. 211
    • 23. Die supplementären Transformationen und die Multiplikation. S. 211
    • 24. Die Differentialgleichung der Modulargleichung. Die arithmetischen Relationen zwischen K und K' sowie A und A’. S. 212
    • 25. Jacobis Darstellung der elliptischen Funktionen als Quotienten einfach unendlicher Produkte. S. 213
    • 26. Die Integrale zweiter und dritter Gattung bei Jacobi. S. 215
    • 27. Jacobis Thetafunktionen. S. 216
    • 28. Die Integrale zweiter und dritter Gattung ausgedrückt durch die Thetafunktion. S. 216
    • 29. Die elliptischen Funktionen selbst ausgedrückt durch die Funktionen O, -H. S. 217
    • 30. Die fundamentalen Eigenschaften der Funktionen H (u) und O(u). S. 217
    • 31. Die Reihenentwicklungen von O(u) und H (u). S. 218
    • 32. Die Theorie der elliptischen Funktionen aus den Eigenschaften der Thetareihen abgeleitet. S. 219
    • 33. Der Zusammenhang zwischen q und k2. S. 221
    • 34. Gauß' Entwicklungen über das arithmetisch-geometrische Mittel. S. 222
    • 35. Gauß' Entwicklungen über die lemniskatische Funktion. S. 225
    • 36. Die allgemeinen elliptischen Funktionen bei Gauß. S. 227
    • 37. Multiplikation, Division und Transformation der elliptischen Funktionen bei Gauß. S. 230
  • III. Die elliptischen Funktionen in der Zeit zwischen Abel und Riemann. S. 231
    • 38. Das Periodenparallelogramm und die eindeutigen doppeltperiodischen Funktionen. S. 232
    • 39. Fortbildung der algebraischen Grundlage unter Cauchys Einfluß. S. 233
    • 40. Hermites erste Arbeiten über elliptische Funktionen. S. 236
    • 41. Hermites Normalform des elliptischen Integrals erster Gattung. S. 236
    • 42. Spätere Arbeiten Hermites über doppeltperiodische Funktionen. S. 237
    • 43. Hermites Arbeiten über die Transformationstheorie. S. 238
    • 44. Arbeiten Jacobis und seiner Schüler. S. 240
    • 45. Untersuchungen von Eisenstein. S. 243
  • IV. Grundlagen der Theorie der elliptischen Funktionen nach neueren Anschauungen. S. 246
    • 46. Zweiblättrige Riemannsche Flächen mit vier Verzweigungspunkten; Verzweigungsform. S. 247
    • 47. Normalgestalten der Verzweigungsform. S. 248
    • 48. Die algebraischen Funktionen und Integrale der F2. S. 251
    • 49. Gestalten der Normalintegrale. S. 253
    • 50 Abbildung der Fläche F2 durch das Integral erster Gattung. S. 254
    • 51. Die Funktionen der Fläche F2 in Abhl;ngigkeit von u betrachtet. S. 257
    • 52. Analytische Darstellungen für ?(u) ?(u) und ?(u). S. 259
    • 53. Allgemeinste Zerschneidung der Fläche F, und lineare Transformation der Perioden. S. 261
    • 54. Independente Erklärung doppeltperiodischer Funktionen. Gruppentheoretische Auffassung. S. 264
    • 55. Die Weierstraß sehe Funktion ?(u). S. 268
    • 56. Darstellung der doppeltperiodischen Funktionen durch G(U), ?(U) usw. S. 270
    • 57. Darstellung des Integrals dritter Gattung durch die 6-Funktion. S. 271
    • 58. Die elliptischen Funktionen, betrachtet als Funktionen von drei Argumenten. S. 272
    • 59. Die Differentialgleichungen der Perioden. S. 275
    • 60. Kleins Prinzip der Stuf enteilung. S. 277
    • 61. Die Wurzelfunktionen y‘p(u) – fy und die drei Weierstraßschen Funktionen Gj, (U). S. 279
    • 62. Produktdarstellungen für die Funktionen ..(U) und für die Diskriminante .. S. 280
    • 63. Rückgang auf die Jacobischen Bezeichnungen. S. 282
    • 64. Lineare Transformation der Jacobischen Funktionen. S. 283
    • 65. Gegenüberstellung aller elliptischen Gebilde und aller algebraischen Gebilde des Geschlechtes 1. S. 286
    • 66. Numerische Berechnungen. S. 291

V. Addition, Multiplikation, Division und allgemeine Transformation der elliptischen Funktionen. S. 294

    • 67. Die Additionstheoreine. S. 296
    • 68. Die Multiplikationstheoremc. S. 301
    • 69. Die Divisionstheoreme. S. 306
    • 70. Die speziellen Teilungsgleichungen. S. 313
    • 71. Die Transformationstheorie der doppeltperiodischen Funktionen. S. 316
    • 72. Die Transformation nten Grades der Thetafunktionen. Die Thetafunktionen nter Ordnung. S. 323
    • 73. Die Modular- und Multiplikatorgleichnngen. S. 326
  • VI. Anwendungen der elliptischen Funktionen. S. 328
    • 74. Anwendungen auf die Theorie der Kurven. S. 328
    • 75. Anwendungen auf die Zahlentheorie. S. 331
    • 76. Konforme Abbildungen, durch elliptische Funktionen vermittelt. S. 334
    • 77. Ponceletsche Polygone. S. 335
    • 78. Das sphärische und das einfache Pendel. S. 336
    • 79. Dynamik starrer Körper. Kreiselbewegung. S. 339
    • 80 Die Lamésche Gleichung. S. 341
    • 81. Auftreten elliptischer Integrale in anderen Gebieten. S. 343
    • 82. Sonstige Anwendungen der elliptischen Funktionen. S. 345
  • 4. Automorphe Funktionen mit Einschluß der elliptischen Modulfunktionen. Von R. FRICKE in Braunschweig. S. 349
    • 1. Begriff der automorphen Funktionen. S. 351
    • 2. Auftreten von Modulfunktionen in der Theorie der elliptischen Funktionen bei Gauß, Abel usw. S. 353
    • 3. Eiemanns Bedeutung für die Theorie der automorphen Funktionen. S. 355
    • 4. Selbständige Ausbildung des Begriffs der automorphen Funktionen. S. 356
    • 5. Äquivalenz und Diskontinuitätsbereich bei einer Substitutionsgruppe. S. 360
    • 6. Der Diskontinuitätsbereich der Modulgruppe. S. 362
    • 7. Projektiv-geometrische Auffassungen und Methoden. Beziehung zur nicht-euklidischen Geometrie. S. 365
    • 8. Allgemeines über die Gestalt ebener Diskontinuitätsbereiche in der ..-Ebene. S. 367
    • 9. Ausführliche Polygontheorie der Hauptkreisgruppen in projektiver Darstellung. S. 370
    • 10. Transformations- und Invariantentheorie der Hauptkreispolygone. S. 372
    • 11. Einteilungsprinzipien auf Grund der Bereichnetze. S. 374
    • 12. Arithmetische Definition der Gruppen. S. 382
    • 13. Untergruppen, speziell Kongruenzuntergruppen der Modulgruppe. S. 386
    • 14. Existenzbeweis der automorphen Funktionen. S. 392
    • 15. Klassifikation der automorphen Funktionen. S. 395
    • 16. Sonstige Funktionen der Riemannschen Fläche F.., die durch .. uniforrnisiert werden. S. 396
    • 17. Exkurs über homogene Variable und Formen auf Eiemannschen Flächen. S. 397
    • 18. Die homogenen ?-Substitutionen. S. 401
    • 19. Begriff der automorphen Formen. S. 402
    • 20. Theorie der automorphen Formen für p = 0. S. 403
    • 21. Automorphe Formen für Gebilde beliebiger Geschlechter. S. 407
    • 22. Die Poincaréschen Reihen. S. 409
    • 23. Darstellung automorpher Formen durch Poincaré’sche Reihen. S. 411
    • 24. Schottkys Produktentwicklung der Primform. S. 414
    • 25. Analytische Darstellungen für Modulfonnen. S. 415
    • 26. Transformationstheorie, speziell der Modulfunktionen. Modularglei-chungen. S. 420
    • 27. Fortsetzung: Modularkorrespondenzen, Multiplikatorgleichungen. S. 423
    • 28. Klassenzahlrelationen. S. 426
    • 29. Transformation sonstiger automorpher Funktionen. S. 427
    • 30. Algebraische Probleme bei ausgezeichneten Untergruppen, insbesondere innerhalb der Modulgruppe. S. 428
    • 31. Die Variabelen .. und f t, .. 2 als polymorphe Funktionen und Formen auf der Riemannschen Fläche. S. 432
    • 32. Differentialgleichungen für polymorphe Funktionen und Formen. S. 435
    • 33. Analytische Darstellungen für polymorphe Formen. S. 438
    • 34. Die polymorphen Formen H1, H2 als eindeutige Modulformen. S. 439
    • 35. Die homomorphen Formen und die Poincareschen Zetareihen. S. 441
    • 36. Fund amentaltheoreme über die Existenz der eindeutig umkehrbaren polymorphen Funktionen auf gegebenen Riemannschen Flächen. S. 445
    • 37. Die Kontinuitätsmethode zum Beweise der Fundamenthaltheoreme. S. 449
    • 38. Die Methode des Bogenelementes beim Beweise des Grenzkreistheorems. S. 452
    • 39. Die Methode der Überlagerungsfläche zum Beweise aller Fundamentaltheoreme. S. 454
    • 40. Anwendungen der Modulfunktionen in der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen. S. 461
    • 41. Mehrdeutige automorphe Funktionen. S. 464
    • 42. Automorphe Funktionen mehrerer Veränderlichen. S. 466
  • 5. Lineare Differentialgleichungen im komplexen Gebiet. Von E. HILB in Würzburg. S. 471

I. Integrationsmethoden. S. 473

    • 1. Existenzbeweise. S. 473
    • 2. Verhalten der Lösungen bei einem geschlossenen Umlaufe der unab-hängigen Veränderlichen um singuläre Punkte. S. 475
    • 3. Singuiäre Stellen der Bestimmtheit. S. 478
    • 4. Singuiäre Stellen, an denen sich nur ein Teil der Integrale bestimmt verhält. Normalin tegrale. S. 486
    • 5. Asymptotische Darstellung von Integralen. S. 489
    • 6. Entwicklungen der Integrale in einem Kreisringe und in der Umgebung der allgemeinsten Unbestimmtheitsstelle. S. 494
    • 7. Differentialgleichungen mit rationalen Koeffizienten und Differentialgleichungen des Fuchsschen Typus. S. 499
    • 8. Die Monodromiegruppe. Abhängigkeit der Integrale von Parametern, welche in der Differentialgleichung auftreten. S. 499
    • 9. Geometrische Interpretation der projektiven Monodromiegrappe für Diffe-rentialgleichungen zweiter Ordnung. Konforme Abbildung. S. 505
  • II. Beziehungen zwischen linearen Differentialgleichungen. S. 509
    • 10. Reduzibilität. S. 509
    • 11. Art, Klasse und Familie. S. 510
    • 12. Assoziierte und adjungierte Differentialgleichungen. S. 514
  • III. Bestimmung der Differentialgleichungen aus vorgegebenen Eigenschaften. S. 517
    • 13. Vorgabe der Monodromiegruppe. S. 517
    • 14. Das Riemannsche Problem. S. 518
    • 15. Algebraisch integrierbare Differentialgleichungen. S. 524
    • 16. Umkehrprobleme. S. 530
    • 17. Festlegung der akzessorischen Parameter durch Eigenschaften des Fundamentalbereiches. S. 533
  • IV. Spezielle Differentialgleichungen. S. 537
    • 18. Die Differentialgleichung der hypergeometrischen Funktion. Historische Entwicklung des Integrationsproblems der linearen Differentialgleichungen. S. 537
    • 19. Verallgemeinerungen der hypergeometrischen Reihe. S. 549
    • 20. Differentialgleichungen für die Feriodizitätsrmoduln. S. 553
    • 21. Die Laplacesche Differentialgleichung. S. 555
    • 22. Die Laplacesche und Eulersche Transformierte. S. 556
    • 23. Differentialgleichungen des Fuchsschen Typus, deren Integrale in der Umgebung eines jeden Punktes einer Riemannschen Fläche vorn Ge-schlechte l eindeutige Funktionen sind. S. 560
  • 6. Nichtilineare Differentialgleichungen. Von E. HILB in Würzburg. S. 563

I. Differentialgleichungen erster Ordnung. S. 566

    • 1. Die Sätze von Fuchs und Painleve. S. 566
    • 2. Differentialgleichungen ohne verschiebbare Verzweigungspunkte. S. 568
    • 3. Differentialgleichungen erster Ordnung, deren allgemeines Integral bei Umkreisung aller singulärer Stellen oder nur der verschiebbaren Verzweigungspunkte allein eine endliche Anzahl von Zweigen hat. S. 573
    • 4. Differentialgleichungen, deren allgemeines Integral eine algebraische Funktion der Integrationskonstante ist. S. 576
    • 5. Untersuchung der Integrale in der Umgebung eines singulären Punktes, in dessen Umgebung sich unendlich viele Zweige eines Integrales untereinander vertauschen. Grenzlösungen. S. 582
  • II. Differentialgleichungen zweiter und höherer Ordnung. S. 585
    • 6. Abhängigkeit der Integrale von den Integrationskonstanten. S. 586
    • 7. Auftreten von verschiebbaren Unbestimnitheitsstellen bei Differentialgleichungen zweiter und höherer Ordnung. S. 588
    • 8. Differentialgleichungen zweiter und höherer Ordnung ohne verschiebbare Verzweigungspunkte und Unbestimmtheitsstellen. S. 590
    • 9. Eigenschaften der Painlevéschen Transzendenten. S. 599
  • 7. Abelsche Funktionen und allgemeine Thetafunktionen. Von A. KRAZER in Karlsruhe und W. WIRTINGER in Wien. S. 604

I. Das Jacobische Umkehrproblem in der Zeit vor Riemann. S. 609

    • 1. Das Jacobische Umkehrproblem. S. 609
    • 2. Abelsche Funktionen. S. 611
    • 3. Jacobi. S. 611
    • 4. Umkehrung eines einzelnen Abelschen Integrals. S. 616
    • 5. Göpel. S. 618
    • 6. Rosenhain. S. 620
    • 7. Weierstraß (ältere Arbeiten). S. 622
    • 8. Hermite. S. 627
  • II. Die Transformation der Perioden. S. 628
    • 9. Transforinationsproblern. S. 628
    • 10. Zusammensetzung von Transformationen. S. 630
    • 11. Multiplikation und Division. S. 632
    • 12. Zusammensetzung einer linearen ganzzahligen Substitution aus einfachen. S. 633
    • 13. Reduktion nicht-linearer ganzzahliger Transformationen. S. 635
    • 14. Krazer-Prymsche Zusammensetzung einer Transformation aus elementaren. S. 635
  • III. Die allgemeinen Thetafunktionen mit beliebigen Charakteristiken. S. 636
    • 15. Allgemeine Thetafunktionen. S. 636
    • 16. Einführung der Charakteristiken. S. 638
    • 17. Thetafunktionen höherer Ordnung. S. 641
    • 18. Die Transformation der Thetafunktionen. S. 643
    • 19. Die ganzzahlige Transformation. S. 645
    • 20. Die lineare ganzzahlige Transformation. S. 648
    • 21. Zusammensetzung von Transformationsformeln. S. 648
  • IV. Die allgemeinen Thetafunktionen mit halben Charakteristiken. S. 649
    • 22. Thetafunktionen mit halben Charakteristiken. S. 649
    • 23. Perioden Charakteristiken. S. 651
    • 24. Thetacharakteristiken. S. 653
    • 25. Beziehungen zwischen Periodencharakteristiken und Thetacharakteristiken. S. 654
    • 26. Fundamentalsysteme von Periodencharakteristiken. S. 657
    • 27. Fundamentalsysteme von Thetacharakteristiken. S. 659
    • 28. Gruppen von Periodencharakteristiken. S. 660
    • 29. Systeme von Thetacharakteristiken. S. 661
    • 30. Änderung des Querschnittsystems einer Riemannschen Fläche. S. 662
    • 31. Die Gruppe der mod. 2 inkongruenten Transformationen. S. 663
    • 32. Monodromie der Verzweigungspunkte. S. 665
    • 33. Thetafunktionen höherer Ordnung mit halben Charakteristiken. S. 666
    • 34. Thetarelationen Die algebraische Mannigfaltigkeit Mn. S. 668
    • 35. Additionstheorenie der Thetaquotienten. S. 671
    • 36. Die Riemannsche Thetaformel. S. 672
    • 37. Das Additionstheorem der allgemeinen Thetafunktionen für p > 3. S. 674
    • 38. Weitere Folgerung aus der Riemannschen Thetaformel. S. 675

V. Die allgemeinen Thetafunktionen mit rtel Charakteristiken. S. 676

    • 39. Die Funktionen ..[E]r ((v)). S. 676
    • 40. Periodencharakteristiken (..)r. S. 678
    • 41. Thetacharakteristiken [..]r. S. 680
    • 42. Relationen zwischen den Funktionen .. [E]r((v)). S. 682
    • 43. Verallgemeinerung der Riemannsehen Thetaformel. S. 683
    • 44. Auftreten der Funktionen ..[E]r((v)) bei nicht ganzzahliger linearer Transformation der Thetafunktionen. S. 684
    • 45. Die Krazer-Prymsche Fundamentalformel für die Theorie der Thetafunktionen mit rationalen Charakteristiken. S. 684
  • VI. Bas Jacobische Umkehrproblem bei Riemann, Clebsch und Gordau und in den Vorlesungen von Weierstraß. S. 686
    • 46. Riemann. S. 686
    • 47. Clebsch und Gordan. S. 692
    • 48. Weierstraß (Vorlesungen). S. 698
  • VII. Die Abelschen Transzendenten 2. und 3. Gattung. Wurzelfunktionen und Wurzelformen. Lösungen des Umkehrproblems. S. 707
    • 49. Die Abelschen Transzendenten 2. und 3. Gattung. S. 707
    • 50. Eigenschaften der Funktionen Z..((w)) und P..((w)). S. 708
    • 51. Darstellung der Abelschen Transzendenten 3. und 2. Gattung durch Thetafunktionen. S. 709
    • 52. Lösung des Umkehrproblems. S. 710
    • 53. Darstellung eines einzelnen Integrals 3. und 2. Gattung durch Thetafunktionen. S. 712
    • 54. Thetaquotienten und Funktionen der Klasse. S. 713
    • 55. Zweite Form für die Lösung des Umkehrproblems. S. 715
    • 56. Thetaquotienten und Wurzelfunktionen; deren Zuordnung zu den Pe-riodencharakteristiken. S. 716
    • 57. Thetafunktionen und Wurzelformen; deren Zuordnung zu den Thetacharakteristiken. S. 720
    • 58. Die Ausnahmefälle. S. 723
    • 59. Algebraische Darstellung eines Quotienten von Thetafunktionen, deren Argumente Summen von je p + 1 Integralen sind. S. 724
    • 60. Invariante Darstellung. S. 725
    • 61. Algebraische Darstellung eines Thetaquotienten, dessen Argumente Summen von je n (2p – 2) Integralen sind. S. 728
    • 62. Noethers Lösung des Umkehrproblems. S. 730
    • 63. Symmetrische Riemann sehe Flächen. Realitätsverhältnisse der g.. S. 732
    • 64. Kleins Theorie der Abelschen Funktionen. S. 733
    • 65. Die Prymschen Funktionen. S. 736
  • VIII. Der Fall p = 2. S. 743
    • 66. Charakteristikentheorie. S. 743
    • 67. Thetarelationen. S. 744
    • 68. Die Kummersche Fläche. S. 747
    • 69. Die Weddlesche Fläche. S. 751
    • 70. Thetanullwerte. S. 753
    • 71. Übergang von den Thetafunktionen zum algebraischen Gebilde. S. 754
    • 72. Anwendungen. S. 755
    • 73. Das Borchardtsche arithmetisch-geometrische Mittel aus vier Elementen. S. 758
  • IX. Der hyperelliptisehe Fall. S. 760
    • 74. Das Verschwinden der hyperelliptischen Thetafuuktionen. S. 760
    • 75. Zuordnung der Wurzelfunktionen zu den Periodencharakteristiken. S. 763
    • 76. Zuordnung der Wurzelformen zu den Thetacharakteristiken. S. 764
    • 77. Darstellung von Thetaquotienten durch Wurzelfunktionen. S. 766
    • 78. Fortsetzung. S. 768
    • 79. Lösung des Jacobischen Umkehrproblems. S. 770
    • 80. Additionstheorem der hyperelliptischen Thetalunktionen. S. 771
    • 81. Verallgemeinerung der Rosenhainschen Differentialformeln. S. 772
    • 82. Anwendungen. S. 772
    • 83. Bestimmung von d log ..((0)) durch die Klassenmodulen im allgemeinen Falle. S. 773
    • 84. Integration der erhaltenen Gleichung im hyperelliptischen Fall. S. 774

X. Der Fall p = 3. S. 775

    • 85. Charakteristikentheorie. S. 775
    • 86. Thetarelationen. S. 776
    • 87. Thetanullwerte. S. 776
    • 88. Kiemann-Weber. S. 777
    • 89. Die Wurzelformen zweiter und dritter Dimension. S. 779
    • 90. Schottky-Frobenius. S. 781
  • XI. Der Fall p = 4. S. 784
    • 91. Noether. S. 784
    • 92. Schottky. S. 786
  • XII. Kleine Sigmafunktionen. S. 788
    • 93. Vorbemerkung. S. 788
    • 94. Hyperelliptische 6-Funktionen. S. 790
    • 95. Funktionen 1. Stufe. S. 794
    • 96. Funktionen 2. Stufe. S. 797
    • 97. Die Funktionen X..ß, Y..ß, Z..ß. S. 798
    • 98. Die Borchardtschen Modulen. S. 799
    • 99. Auflösung der Gleichung 6. Grades. S. 800
    • 100. Der besondere Fall p = 3 in Kleins Theorie der Abelschen Funktionen. S. 801
    • 101. Wirtingers Lösung des Umkehrproblems im Falle p – 3. S. 803
    • 102. Die Wiltheißschen Differentialgleichungen und die Reihenentwicklungen der 6-Funktionen. S. 806
    • 103. Weitere Differentialgleichungen im Gebiete der Thetafunktionen zweier Variablen. S. 807
  • XIII. Erweitertes Umkehrproblem und Teilung. S. 808
    • 104. Clebsch und Gordans erweitertes Umkehrproblem. S. 808
    • 105. Zur Geschichte des erweiterten Umkehrproblems. S. 811
    • 106. Lindemanns Verallgemeinerung des Jacobischen Umkehrproblems. S. 813
    • 107. Das Teilungsproblem bei Clebsch und Gordan. S. 814
    • 108. Zurückführung des allgemeinen Teilungsproblems auf das spezielle. S. 816
    • 109 Reduktion des speziellen Teilungsproblems M = 0. S. 818
    • 110. Monodromiegruppe der Teilungsgleichung. S. 818
    • 111. Zweiteilung. S. 820
  • XIV. Periodische Funktionen mehrerer Veränderlichen. S. 822
    • 112. Die allgemeinen 2p-fach periodischen Funktionen von p Veränderlichen. S. 822
    • 113. Die Riemann-Weierstraßschen Sätze. S. 824
    • 114. Riemannsche Matrizen. S. 827
    • 115. Darstellung der allgemeinen 2p-fach periodischen Funktionen durch Thetafunktionen. S. 831
    • 116. Jacobische Funktionen. S. 834
    • 117. Die Weierstraßschen mehrdeutigen Umkehrprobleme. S. 836
    • 118. Die Wirtingerschen Lösungssätze. S. 836
  • XV. Reduzierbare Abelsche Integrale. S. 838
    • 119. Allgemeine Sätze über reduzierbare Integrale. S. 838
    • 120. Reduktion Abelscher Integrale auf elliptische. S. 840
    • 121. Der spezielle Fall p = 2. S. 841
    • 122. Reguläre Riemannsche Flächen. S. 843
    • 123. Schottkys Symmetralfunktionen. S. 845
    • 124. Wirtingers Thetafunktionen mit 3p Parametern. S. 849
  • XVI. Multiplikabilität und Singularität. S. 852
    • 125. Die prinzipale Transformation der Thetafunktionen mehrerer Veränderlichen. S. 852
    • 126. Die singulären Funktionen Humberts. S. 855
    • 127. Heckes Untersuchungen über 4-fach periodische Funktionen. S. 857
    • 128. Modulfunktionen von mehreren Veränderlichen. S. 863
    • 129. Anwendungen der Thetafunktionen auf die Heckeschen Zetafunktionen. S. 864
    • 130. Die hyperelliptischen Flächen. S. 870

Nachwort. S. 873

  • Register zu Band II, 2. Teil. S. 874

Band 2–3-1[Bearbeiten]

  • Berichtigungen zu Band II.

C. Nachträge. S. 1

  • 1. Algebraische Analysis. Von ALFRED PRINGSHEIM in München und GEORG FABER in Karlsruhe, jetzt in München. (Abgeschlossen im November 1908.). S. 1

Einleitung: Historisches. S. 3

    • 1. Potenzreihen. Der Konvergenzkreis. S. 4
    • 2. Verhalten von Potenzreihen auf dem Konvergenzkreise. S. 9
    • 3. Weitere Fundamentaleigenschaften von Potenzreihen. S. 11
    • 4. Rationale Funktionen und rekurrente Reihen. S. 16
    • 5. Der allgemeine binomische Satz. S. 20
    • 6. Die Exponentialreihe. S. 25
    • 7. Der natürliche Logarithmus und die allgemeine Potenz. S. 27
    • 8. Die logarithmische Reihe. S. 29
    • 9. Die Berechnung der Logarithmen. S. 32
    • 10. Die Funktionen sin x und cos x. S. 33
    • 11. Die zyklometrischen Funktionen. S. 37
    • 12. Unendliche Produkte für sin x und cos x. S. 40
    • 13. Partialbruchreihen für tg x, cot a x, cosec x, sec x. S. 42
    • 14. Potenzreihen für tg x, cot x, eosec x, sec x, lg .., Ig cos a x. S. 44
    • 15. Die hypergeometrische Reihe. S. 45
  • 2. Numerische und graphische Quadratur und Integration gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen. Von C. RUNGE in Göttingen und FR. A. WILLERS in Charlottenburg. (Abgeschlossen im Februar 1915.). S. 47

I. Numerische und graphische Quadratur. S. 50

    • 1. Allgemeines. S. 50
    • 2. Methoden, die gegebene Abszissen verwenden. S. 53
    • a) Allgemeines. S. 53
    • b) Formeln von Newton-Cotes. S. 55
    • c) Formeln von Mac Laurin. S. 57
    • 3. Methode von Gauß. S. 58
    • a) Bestimmung der Abszissen. S. 58
    • b) Die Koeffizienten. S. 64
    • c) Fehlerabschätzung. S. 66
    • 4. Spezielle Fälle der Gaußschen Formel. S. 71
    • a) .. (x)=1. S. 71
    • b) .. (x) = (1 – x)..(1 +x). S. 72
    • c) .. S. 72
    • d) ..p(x) = .. S. 74
    • e) ..7. S. 75
    • f) .. (x) = yx (x – cc)(x – ß). S. 76
    • g) ..(x) = … S. 76
    • h) ..(x) = .. S. 76
    • 6. Verallgemeinerung der Methode von Gauß. S. 77
    • a) Formeln von August. S. 77
    • b) Verallgemeinerung von Christoffel. S. 78
    • c) Mehrfache Integrale. S. 82
    • 6. Methode von Massau. S. 83
    • 7. Methoden, bei denen die Koeffizienten gegeben sind. S. 86
    • a) Allgemeines. S. 86
    • b) g > (x) ist eine gerade Funktion. S. 87
    • c) y (x) ist eine ungerade Funktion. S. 88
    • 8. Formeln, die durch Kombination entstehen. S. 90
    • 9. Die Eulersche Formel. S. 91
    • 10. Formeln der Differenzenrechnung. S. 96
    • 11. Annäherung durch mehrere Parabeln. S. 100
    • 12. Methoden der graphischen Quadratur. S. 111
    • a) Allgemeines. S. 111
    • b) Bestimmung der mittleren Ordinaten und Abszissen. S. 115
    • c) Einzeichnung der Integralkurve . . S. 120
    • d) Erweiterungen und Ergänzungen. S. 121
    • e) Einige Anwendungen der graphischen Quadratur. S. 126
    • 13. Kubatur. S. 129
    • a) Kubatur durch einfache Quadratur. S. 129
    • b) Allgemeine Betrachtungen. S. 131
    • c) Bestimmte Begrenzungen. S. 132
    • d) Zerlegung in Teilgebiete. S. 135
    • e) Graphische Methoden. S. 137
    • 14. Differentiation. S. 138
    • a) Die numerische Differentiation. S. 138
    • b) Graphische Differentiation. S. 139
  • II. Numerische und graphische Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen. S. 141
    • 15. Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen. S. 141
    • a) Methode von E. Czuber. S. 141
    • b) Methode der Isokimen. S. 143
    • c) Methode der Krümmungsradien. S. 144
    • 16. Eine Reihe mehr rechnerischer Methoden. S. 147
    • a) Ältere Methoden. S. 147
    • b) Methode von Runge-Heun-Kutta. S. 148
    • c) Methoden der Differenzenrechnung. S. 150
    • 17. Asymptotische Integration. S. 151
    • 18. Methode der sukzessiven Approximation. S. 152
    • a) Graphische Methode. S. 152
    • b) Numerische Methoden. S. 154
    • c) Methoden der Himmelsmechanik. S. 157
  • III. Graphische und numerische Integration partieller Differentialgleichungen. S. 159
    • 19. Partielle Differentialgleichungen mit reeller Charakteristik. S. 159
    • a) Lineare Differentialgleichung. S. 160
    • b) Differentialgleichungen zweiter Ordnung. S. 161
    • c) System zweier simultanen linearen Differentialgleichungen. S. 163
    • 20. Zur Integration der partiellen Differentialgleichungen mit imaginären Charakteristiken. S. 164
    • a) Methoden, die alle Randbedingungen approximieren. S. 164
    • b) Methoden, die eine Randbedingung streng erfüllen und das Integrationsnetz durch endliche Stücke approximieren. S. 165
    • c) Eine Methode, die alle Randbedingungen streng erfüllt und durch endliche Stücke approximiert. S. 168
    • d) Methoden, die die Randbedingungen streng erfüllen und das Netz infinitesimal approximieren. S. 169
    • 21. Numerische Integration partieller Differentialgleichungen. S. 171
    • a) Übertragung der Methoden von Runge-Heun-Kutta. S. 172
    • b) Eine andere Methode ersetzt die Differentialgleichung durch eine Differenzengleichung. S. 173
    • c) Methode von Rayleigh-Ritz. S. 173
    • 22. Experimentelle Methoden. S. 176
  • 3. Neuere Entwicklung der Potentialtheorie. Konforme Abbildung. Von L. LICHTENSTEIN in Berlin, jetzt in Leipzig. (Abgeschlossen im Mai 1918.). S. 177

I. Definitionen und Bezeichnungen. S. 181

    • 1. Allgemeines über zwei- und dreidimensionale Gebiete. S. 181
    • 2. Spezielle Klassen ebener und räumlicher Gebiete. S. 183
    • 3. Ortsfunktionen. S. 190
    • 4. Allgemeines über unendlich vielblättrige schlichtartige Gebiete. S. 193
  • II. Allgemeine Sätze der Potentialtheorie. S. 197
    • 5. Definition der Potentialfunktion. S. 197
    • 6. Potential einer einfachen Belegung. S. 199
    • 7. Potential einer Doppelbelegung. S. 204
    • 8. Logarithmisches Potential einer ebenen Flächenbelegung. Potential einer Volumladung. S. 206
    • 9. Newtonsches Potential einer einfachen Linienbelegung. S. 210
    • 10. Greensche Formeln. Allgemeine Eigenschaften der Potentialfunktionen. S. 210
    • 11. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. S. 214
  • III. Besondere Methoden für einzelne Klassen zwei- und dreidimensionaler Gebiete. Spezielle Theorie der konformen Abbildung. S. 218
    • 12. Die erste und die zweite Randwertaufgabe. Problemstellung und Unitätssätze. S. 218
    • 13. Explizite Lösung der ersten Randwertaufgabe für die Kreisfläche und den Kugelkörper. S. 220
    • a) Die Poissonschen Integrale. S. 220
    • b) Entwicklungssatz. Folgerungen. S. 225
    • 14. Kreisringfläche. Entwicklungssatz. Folgerungen. S. 227
    • 15. Positive Potentialfunktionen. S. 229
    • 16. Die Sätze von A. Harnack. S. 230
    • 17. Methode des arithmetischen Mittels. S. 231
    • a) Allgemeine Ansätze und Resultate von C. Neumann und G. Robin. S. 231
    • b) Die grundlegende Wendung durch H. Poincare. S. 233
    • c) Weiterführung der Poincareschen Methoden. S. 235
    • d) Zurückführung auf eine lineare Integralgleichung. S. 238
    • 18. Verhalten der Lösung des ersten Randwertproblems am Rande des Definitionsgebietes. S. 242
    • 19. Lösung des ersten Randwertproblems als Potential einer einfachen Belegung. S. 244
    • 20. Stetig gekrümmte Gebiete. Greensche Funktion. Greensche Formel. S. 246
    • 21. Stetig gekrümmte Gebiete. Greensche Punktionen zweiter Art. S. 250
    • 22. Konforme Abbildung einfach zusammenhängender Gebiete der Klasse B in .. auf ein Kreisgebiet. S. 253
    • 23. Gebiete der Klasse D in .. . Konforme Abbildung. S. 255
    • 24. Kombinatorische Methoden. S. 256
    • a) Alternierendes Verfahren. Drei Grund typen von Aufgaben. S. 256
    • b) Ebene Gebiete der Klasse E und M. Das erste Randwertproblem. S. 259
    • c) Gebiete der Klasse E und M in .. . Konforme Abbildung auf analytische Gebiete. Das zweite Randwertproblem. S. 260
    • d) Lösungen mit vorgeschriebenen Periodizitätsmoduln. S. 262
    • e) Zweidimensionale Gebiete auf einer Fläche im Räume. Konforme Abbildung auf ebene Gebiete. S. 263
    • f) Gebiete in .. . Existenzsätze der Riemannschen Theorie. S. 267
    • g) Weitere Anwendung des alternierenden Verfahrens. S. 268
    • h) Strömungspotential. Abbildung auf ein Schlitzgebiet. S. 268
    • i) Gemischte Randbedingungen. S. 269
    • j) Weitere kombinatorische Methoden. S. 272
    • 25. Kreispolygonflächen. Polyeder. S. 273
    • 26. Konvexe Gebiete. Rundungsschranke. Bedingungen für die Schlichtheit einer Abbildung. S. 276
    • 27. Konforme Abbildung mehrfach zusammenhängender Gebiete. S. 277
    • 28. Das dritte Randwertproblem. S. 279
    • 29. Weitere Randwertaufgaben. S. 282
    • 30. Die Poissonsche Differentialgleichung. S. 286
    • 31. Einzelbetrachtang besonderer Gebiete. S. 287
    • 32. Wirkliche Bestimmung der Lösung von Randwertaufgaben. Besondere Ansätze. S. 292
    • 33. Lösung in Abhängigkeit von der Begrenzung. S. 294
  • IV. Umfassende Methoden. Allgemeine Theorie der konformen Abbildung. S. 296
    • 34. Leitgedanken. Heuristisches. S. 296
    • 35. H. A. Schwarz, Zur Theorie der Abbildung. S. 298
    • 36. Ergebnisse von A. Harnack. Methode de balayage von H. Poincaré. S. 300
    • 37. H. Poincaré, Sur un theoreme de la theorie generale des fonctions. S. 302
    • 38. Einfach zusammenhängende schlichte Gebiete. Greensche Funktion. Konforme Abbildung auf ein Kreisgebiet. S. 303
    • 39. Auflösung des ersten Randwertproblems in der Ebene. S. 306
    • 40. Einfach zusammenhängende Gebiete der allgemeinsten Natur. S. 307
    • a) H. Poincaré, Sur l’uniformisation des fonctions analytiques. S. 307
    • b) P. Koebe, Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven. S. 309
    • 41. Zweidimensionale schlichtartige Gebiete der allgemeinsten Natur. S. 315
    • 42. Das Strömungspotential. S. 316
    • 43. Das iterierende Verfahren von P. Koebe. S. 319
    • 44. Konforme Abbildung eines p-fach zusammenhängenden Gebietes in .. auf ein Vollkreisgebiet. S. 324
    • 45. Variationsmethoden. S. 327
    • a) Allgemeines. S. 327
    • b) Die ersten Arbeiten von D. Hubert. S. 330
    • c) Auflösung des ersten Randwertproblems in der Ebene und im Räume. S. 333
    • d) Strömungspotential. Der Hilbertsche Ansatz. Konforme Abbildung auf ein Schlitzgebiet. S. 338
    • 46. Kontinuitätsmethode im Gebiete der konformen Abbildung. S. 346
    • 47. Funktionentheoretische Richtung. S. 352
    • 48. Abbildung des Randes. S. 365
    • a) Besondere Klassen schlichter Gebiete. S. 365
    • b) Allgemeine Theorie. S. 366
    • 49. Variable Gebiete. S. 373
  • 4. Neuere Untersuchungen über Funktionen von komplexen Variablen. Von LUDWIG BIEBERBACH in Frankfurt a. M., jetzt in Berlin. (Abgeschlossen am 1. Dezember 1920.). S. 379

Grundlagen der Theorie. S. 382

    • 1. Definition des analytischen Charakters einer Punktion. S. 382
    • 2. Der Fundamentalsatz der Funktionentheorie. S. 384
    • 3. Die Integralformel. S. 386
    • 4. Erweiterungen. S. 387
    • 5. Begriff der analytischen Funktion. S. 389
    • 6. Kiemannsche Mannigfaltigkeiten. S. 390
    • 7. Uniformisierung. S. 396
    • 8. Begriff der singulären Stelle. S. 401
    • 9 Begriff der Umgebung einer singulären Stelle. S. 403
    • 10. Eindeutige isolierte Singularitäten. S. 404
    • 11. Mehrdeutige isolierte Singularitäten. S. 405
    • 12. Der Monodromiesatz. S. 405
    • 13. Verteilung der Singularitäten bei eindeutigen Funktionen. S. 406

Der Picardsche Satz. S. 409

    • 14. Der Picardsche Satz. S. 409
    • 15. „Elementare“ Methoden. S. 410
    • 16. Der Landausche Satz. S. 411
    • 17. Verallgemeinerungen. S. 413
    • 18. Der Schottkysche Satz. S. 414
    • 19. Erweiterungen. S. 415

Weiteres über das Verhalten in der Nähe wesentlich singulärer Stellen. S. 417

    • 20. Grundbegriffe. S. 417
    • 21. Geradlinige Annäherung an singuläre Stellen. S. 418
    • 22. Sätze von W. Groß. S. 421
    • 23. Werteverteilung in Winkelräumen. S. 421
    • 24. Ränderzuordnung bei konformer Abbildung. S. 424
    • 25. Der Fatousche Satz. S. 424

Ganze transzendente Funktionen. S. 425

    • 26. Weierstraß. S. 425
    • 27. Laguerre. S. 425
    • 28. Poincare. Hadamard. Borel. S. 428
    • 29. Grundbegriffe. S. 429
    • 30. Ordnung und Koeffizienten. S. 431
    • 31. Ordnung und Grenzexponent. S. 433
    • 32. Ausnahmefälle. S. 438
    • 33. Bestimmung des Geschlechtes aus den Koeffizienten. S. 441
    • 34. Das Geschlecht von Summe und Ableitung. S. 441
    • 36. Funktionen unendlicher Ordnung und Funktionen der Ordnung Null. S. 442
    • 36. Beziehungen zwischen dem Maximalbetrag einer ganzen Funktion und dem Betrag des größten Gliedes ihrer Potenzreihenentwicklung. S. 442

Analytische Fortsetzung. S. 445

    • 37. Die erste Methode Mittag-Lefflers. S. 445
    • 38. Methode der konformen Abbildung. S. 447
    • 39. Modifikation der Methode durch Painleve. S. 450
    • 40. Der Hauptstern als Konvergenzstern. S. 451
    • 41. Zurückführung auf die Summation der geometrischen Reihe. S. 451
    • 42. Integraldarstellungen. S. 453
    • 43. Eine neue Methode Mittag-Lefflers. S. 458
    • 44. Verallgemeinerungen. S. 459

Zusammenhang zwischen den Koeffizienten eines Funktionselementes und den Singularitäten der durch dasselbe definierten Funktion. S. 460

    • 45. Die Singularitäten auf dem Konvergenzkreis. S. 460
    • 46. Der Hadamardsche Multiplikationssatz. S. 464
    • 47. Der Satz von Leau. S. 465
    • 48. Sätze von Lindelöf. S. 467
    • 49. Eekurrierende Reihen. S. 470
    • 50. Untersuchungen von Darboux. S. 471
    • 51. Die Lage der Pole. S. 472

Die Potenzreihen an der Konvergenzgrenze. S. 475

    • 52. Der Abelsche Grenzwertsatz. S. 475
    • 53. Die Hölderschen und die Cesäroschen Mittel. S. 477
    • 54. Weitere Summationsmethoden. S. 480
    • 55. Beziehungen zwischen den verschiedenen Summationsmethoden. S. 481
    • 56. Das Wachstum der Funktion bei Annäherung der Variablen an die Konvergenzgrenze. S. 487

Reihen analytischer Funktionen. S. 491

    • 57. Eigenschaften der Summen konvergenter Reihen von analytischen Funktionen. S. 491
    • 58. Der Vitalische Satz. S. 494
    • 59. Weiteres über Reihen analytischer Funktionen. S. 496

Funktionenfamilien. S. 500

    • 60. Die Taylorkoeffizienten beschränkter Funktionen. S. 500
    • 61. Jensens Verallgemeinerung des Schwarzsehen Lemmas. S. 506
    • 62. Die Funktionen M(r), ..(r), ..(r). S. 508
    • 63. Schwankungen. S. 509
    • 64. Schlichte Familien. S. 510
    • 65. Familien, die schlicht und beschränkt zugleich sind. S. 512
    • 66. Konvexe Familien. S. 513

Arithmetische Eigenschaften analytischer Funktionen. S. 514

    • 67. Arithmetische Eigenschaften analytischer Funktionen. S. 514

Analytische Funktionen von mehreren komplexen Yariabeln. S. 517

    • 68. Definition des analytischen Charakters einer Funktion. S. 517
    • 69. Die Konvergenz der Potenzreihen in zwei komplexen Veränderlichen. S. 519
    • 70. Die singulären Stellen der analytischen Funktionen von zwei komplexen Veränderlichen. S. 522
    • 71. Meromorphe Funktionen. S. 526
    • 72. Implizite Funktionen. S. 528
    • 73. Analytische Abbildungen. S. 529
  • 5. Arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen. Von K. HENSEL in Marburg a. L. (Abgeschlossen im März 1921.). S. 533

I. Der Körper K(z) der rationalen Funktionen von z. S. 536

    • 1. Untersuchung der rationalen Funktionen von z für eine Stelle dieser Variablen. S. 536
    • 2. Der Körper K(p) aller zur Stelle .. gehörigen Potenzreihen und der Unterkörper K(p) der zu p gehörigen konvergenten Potenzreihen. S. 539
    • 3. Untersuchung der rationalen Funktionen von z für alle Stellen der ganzen Kugelfläche. Die rationalen Divisoren. S. 539
  • II. Der Körper K(u, z) der algebraischen Funktionen einer Variablen. S. 542
    • 4. Allgemeine Sätze über die algebraischen Funktionen. S. 542
    • 5. Untersuchung der Funktionen des Körpers K(u, z) in der Umgebung einer Stelle p der unabhängigen Variablen. S. 544
    • 6. Die Grundgleichung ist für den Bereich K(p) irreduktibel. S. 545
    • 7. Allgemeiner Fall: Die Grundgleichung zerfällt innerhalb K(p) in mehrere irreduktible Faktoren. S. 548
    • 8. Die dem Körper K(u, z) zugeordnete Eiern an nsche Kugelfläche kz. S. 550
    • 9. Direkte Berechnung der zu einer Stelle p gehörigen Wurzelzyklen. Das zu p gehörige Diagramm. S. 551
    • 10. Untersuchung der algebraischen Funktionen des Körpers für alle Stellen der Riemannschen Kugelfläche .. Die algebraischen Divisoren. S. 552
    • 10 a. Die arithmetischen Begründungen des Punktbegriffes. S. 554
    • 11. Untersuchung der Funktionen des Körpers K(u, z) in bezug auf ihre Teilbarkeit durch einen beliebigen Divisor. S. 557
    • 12. Die algebraischen Systeme und ihre Elementarteiler. S. 562
    • 13. Die eindeutigen Transformationen des Körpers K(u, z) in den ihm gleichen K(y, x) bei beliebiger Annahme der unabhängigen Variablen x. S. 567
    • 14. Die Einteilung der algebraischen Divisoren in Klassen. S. 568
    • 15. Die Divisorenscharen und ihre Invarianten. S. 570
    • 16. Die ganzen Divisoren einer Klasse Q. S. 572
  • III. Die zu dem Körper K (y, x) gehörigen Abelschen Integrale. S. 574
    • 17. Die Abelschen Integrale. S. 574
    • 18. Die Differentiale der Elemente des Körpers K und die zugehörigen Divisoren. S. 575
    • 19. Die Differentialklasse W. S. 577
    • 20. Die Fundamentalaufgabe in der Theorie der Abelschen Integrale. Der Riemann-Rochsche Satz. S. 577
    • 21. Die Elementarintegrale erster, zweiter und dritter Gattung. S. 579
    • 22. Spezialisierung für die Integrale mit rationalem Integranden. S. 581
  • IV. Die zum Körper K (y, x) gehörigen algebraischen Kurven. S. 581
    • 23. Die ebenen algebraischen Kurven und ihre singulären Punkte. S. 581
    • 24. Der zur Kurve .. gehörige Divisor der Doppelpunkte. S. 583
    • 25. Auflösung der Singularitäten einer Kurve. S. 587
    • 26. Die zu einer Gleichung F(x, y) gehörigen Funktionenringe. S. 590
    • 27. Darstellung der zum Körper K gehörigen Kurven durch homogene Koordinaten. S. 591
    • 28. Die Differentialteiler einer Divisorenschar und ihre Anwendung in der Geometrie. Die Plückerschen Formeln. S. 597
    • 29. Theorie der algebraischen Raumkurven. S. 602

V. Die Klassen algebraischer Gebilde. S. 605

    • 30. Die Hauptkurve eines Körpers und ihre Weierstraßpunkte. S. 605
    • 31. Die Normalgleichungen und die Moduln der algebraischen Körper. S. 609
    • 32. Die Normalgleichungen und die Moduln der allgemeinen Körper vom Geschlecht p. S. 613
  • VI. Algebraische Relationen zwischen Abelschen Integralen. S. 616
    • 33. Algebraische Normierung der Fundamentalintegrale erster und zweiter Gattung. S. 616
    • 34. Die Integrale dritter Gattung und der Satz von der Vertauschung von Parameter und Argument. S. 618
    • 35. Einteilung aller Wege auf einer Riemannschen Fläche in Klassen. S. 621
    • 36. Die Fundamentalsysteme von Periodenwegen für eine Riemannsche Fläche. S. 624
    • 37. Die Periodenrelationen der Integrale erster und zweiter Gattung. S. 628
    • 38. Die Beziehungen zwischen den verschiedenen Fundamentalsytemen von Periodenwegen. S. 629
    • 39. Die Perioden der Integrale zweiter und dritter Gattung als Funktionen ihrer Unstetigkeitspunkte. S. 630
    • 40. Die Primfunktionen. Zerlegung der Funktionen des Körpers in Primfunktionen. S. 632
    • 41. Das Abelsche Theorem als Additionsprinzip der Integrale. S. 635
    • 42. Die aus dem Abelschen Theorem folgenden Eeduktionsprobleme. S. 638
    • 43. Das Umkehrproblem für die Abelschen Integrale. S. 640
  • VII. (Anhang.) Arithmetische Theorie der algebraischen Zahlen. S. 642
    • 44. Der Körper k(1) der rationalen Zahlen und der Körper K (p) der p-adi-schen Zahlen. S. 642
    • 45. Die algebraischen Zahlkörper und die ihnen isomorphen rationalen Kongruenzkörper. S. 643
    • 46. Untersuchung der rationalen Kongruenzkörper für den Bereich einer Primzahl p. Ihre Eeduktion auf die p-adischen Kongruenzkörper. S. 644
    • 47. Die p-adischen Kongruenzkörper und die ihnen isomorphen Körper K(ß) der sr-adischen algebraischen Zahlen. S. 645
    • 48. Der zu einer vorgelegten Gleichung F(x) = 0 zugehörige Galoissche n-adische Zahlkörper. S. 649
  • 6. Arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen zweier unabhängigen Veränderlichen. Von HEINRICH W. E. JUNG in Halle a. S. (Abgeschlossen im April 1921.). S. 651

I. Einleitung. S. 652

  • II. Der Körper der algebraischen Funktionen zweier Veränderlichen. S. 653
    • 1. Die Darstellung der Funktionen des Körpers in der Umgebung einer Kurve. S. 653
    • 2. Die Darstellung der Funktionen des Körpers in der Umgebung einer Stelle. S. 654
    • 3. Die Stellen des Körpers K(x, y, z). S. 656
  • III. Primteiler und Divisoren. S. 658
    • 4. Die Primteiler erster Stufe. S. 658
    • 5. Die Einteilung der Primteiler erster Stufe in zwei Arten. S. 659
    • 6. Die Primteiler zweiter Stufe. S. 664
    • 7. Divisoren, Divisorenklassen. S. 665
    • 8. Grad und Geschlecht einer Klasse. S. 667
    • 9. Birationale Transformation. S. 668
    • 10. Fundamentalsysteme für die Vielfachen eines Divisors. S. 670
  • IV. Die Zeuthen-Segresche Invariante und das numerische Geschlecht. S. 670
    • 11. Die Fläche F. S. 670
    • 12. Die Zeuthen-Segresche Invariante. S. 672
    • 13. Das numerische oder arithmetische Geschlecht pa von F. S. 673

Band 2–3-2[Bearbeiten]

C. Nachträge (Fortsetzung). S. 675

  • 7. Neuere Untersuchungen über Differenzengleichungen. Von N. E. NÖRLUND in Kopenhagen. (Abgeschlossen im April 1922.). S. 675

I. Lineare Gleichungen. S. 676

    • 1. Ein Satz von Poincaré. S. 676
    • 2. Fakultätenreihen. S. 682
    • 3. Interpolationsreihen. S. 686
    • 4. Integration von Differenzengleichungen durch Fakultätenreihen. S. 692
    • 5. Untersuchungen von Birkhoff. S. 698
    • 6. Andere Darstellungen der Lösungen. S. 700
    • 7. Ein Satz von Holder über die Gammafunktion. S. 703
  • II. Nichtlineare Gleichungen. S. 705
    • 8. Untersuchungen von Picard. S. 705
    • 9. Verhalten der Lösungen für große Werte von x. S. 707
  • III. Das Summationsproblem. S. 711
    • 10. Einfache Summen. S. 711
    • 11. Mehrfache Summen. S. 716
  • IV. Spezielle Differenzengleichungen. S. 717
    • 12. Gleichungen, die sich durch hypergeometrische Funktionen oder Gammafunktionen auflösen lassen. S. 717
    • 13. Die Laplacesche Differenzengleichung. S. 720
  • 8. Die neuere Entwicklung der analytischen Zahlentheorie. Von H. BOHR in Kopenhagen und H. CRAMÉR in Stockholm. (Abgeschlossen im Mai 1922.). S. 722

Erster Teil. S. 724 I. Allgemeine Theorie der Dirichletschen Reihen. S. 724

    • 1. Definition einer Dirichletschen Reihe. S. 724
    • 2. Die drei Konvergenzabszissen. S. 725
    • 3. Der Eindeutigkeitssatz. S. 728
    • 4. Die Koeffizientendarstellungsformel. S. 729
    • 5. Beziehung zwischen der Reihe auf der Konvergenzgeraden und der Funktion bei Annäherung an die Konvergenzgerade. S. 730
    • 6. Das Konvergenzproblem. S. 734
    • 7. Anwendung der Theorie der diophantischen Approximationen. S. 739
    • 8. Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine Dirichletsche Reihe. S. 743
    • 9. Der Mittelwertsatz. S. 745
    • 10. Über die Nullstellen einer Dirichletschen Reihe. S. 746
    • 11. Zusammenhang verschiedener Dirichletscher Reihen. S. 748
    • 12. Multiplikation; Dirichletscher Reihen. S. 750
    • 13. Summabilität Dirichletscher Reihen. S. 753
  • II. Die Riemannsche Zetafunktion. S. 759
    • 14. Die Zetafunktion und ihre Funktionalgleichung. S. 759
    • 15. Die Riemann-Hadamardsche Produktentwicklung. S. 763
    • 16. Die Riemann-v. Mangoldtsche Formel für die Anzahl der Nullstellen. S. 765
    • 17. Über die Werte von ..(s) auf einer vertikalen Geraden .. = .. (>..-). S. 766
    • 18. Über die Größenordnung der Zetafunktion auf vertikalen Geraden. S. 768
    • 19. Näheres über die Null stellen im kritischen Streifen. S. 771
    • 20. Folgerungen aus der Riemannschen Vermutung. S. 775
    • 21. Verallgemeinerte Zetafunktionen. S. 777

Zweiter Teil. S. 780

    • 22. Einleitung. Bezeichnungen. S. 780
  • III. Die Verteilung der Primzahlen. S. 782
    • 23. Der Primzahlsatz. Ältere Vermutungen und Beweisversuche. S. 782
    • 24. Die Beweise von Hadamard und de la Vallée Poussin. S. 784
    • 25. Die Beweismethoden von Landau. S. 786
    • 26. Andere Beweise. S. 787
    • 27. Die Restabschätzung. S. 788
    • 28. Die Riemannsche Primzahlformel. S. 792
    • 29. Theorie der L-Funktionen. S. 795
    • 30. Die Verteilung der Primzahlen einer arithmetischen Reihe. S. 801
    • 31. Andere Primzahlprobleme. S. 805
  • IV. Weitere zahlen theoretische Funktionen. S. 810
    • 32. Die Funktionen ..(ni), ..(n) und ..(n). S. 810
    • 33. Zusammenhangssätze. S. 814
    • 34. Teilerprobleme. S. 815
    • 35. Eilipsoidprobleme. S. 823
    • 36. Allgemeinere Gitterpunktprobleme. S. 826
    • 37. Verteilung von Zahlen, deren Primfaktoren vorgeschriebenen Bedingungen genügen. S. 827
    • 38. Neuere Methoden der additiven Zahlentheorie. S. 829
    • 39. Diophantische Approximationen. S. 833

V. Algebraische Zahlen und Formen. S. 836

    • 40. Quadratische Formen und Körper. S. 836
    • 41. Die Zetafunktionen von Dedekind und Hecke. S. 842
    • 42. Die Verteilung der Ideale und der Primideale. S. 847
  • 9. Neuere Untersuchungen über Funktionen reeller Veränderlichen. Nach den unter der Leitung von E. BOREL in Paris redigierten französischen Referaten bearbeitet von A. ROSENTHAL in Heidelberg. S. 851
  • 9 a. Die Punktmengen. Nach dem französischen Artikel von L. ZORETTI in Caen bearbeitet von A. ROSENTHAL in Heidelberg. S. 852

Allgemeines. S. 856

    • 1. Einleitung. S. 856
    • 2. Die Anwendungen der Mengenlehre. S. 857

Grundlegende Eigenschaften der Punktmengen. S. 859

    • 3. Lineare Mengen. Definitionen. S. 859
    • 4. Die Ableitungen einer Punktmenge. S. 861
    • 5. Der Cantor-Bendixsonsche Satz. S. 866
    • 6. Nicht abgeschlossene Mengen. S. 871
    • 7. Mächtigkeit der Punktmengen. S. 874
    • 8. Die abgeschlossenen und die offenen Mengen. S. 877
    • 9. Der Boreische Überdeckungssatz und seine Verallgemeinerungen. S. 882
    • 9 a. Die Mengen erster und zweiter Kategorie. S. 886
    • 9b. Die Boreischen Mengen. S. 889

Die Struktur der abgeschlossenen Mengen. S. 895

    • 10. Einteilung der abgeschlossenen Mengen. S. 895
    • 10 a. Die Struktur der allgemeinsten abgeschlossenen Mengen. S. 901
    • 11. Flächenhafte Kontinua. S. 904
    • 12. Linienhalte Kontinua. S. 907
    • 13. Die Begrenzung eines ebenen Gebietes . S. 916
    • 13 a. Die Begrenzung eines w-dimensionalen Gebietes. S. 929
    • 14. Punkthafte Mengen. S. 931
    • 15. Mengen, die von einem Parameter abhängen. S. 938

Korrespondenzen zwischen Bereichen von m und n Dimensionen. S. 941

    • 16. Die Mächtigkeit des n-dimensionalen Kontinuums. Peano-Kurven. S. 941
    • 17. Die Invarianz der Dimensionszahl bei umkehrbar eindeutigen und stetigen Transformationen. S. 948
    • 17 a. Die übrigen Invarianten der umkehrbar eindeutigen und stetigen Transformationen. S. 953
    • 17 b. Sonstige Untersuchungen über umkehrbar eindeutige und stetige Transformationen. S. 957

Der Inhalt der Punktmengen. S. 962

    • 18. Die Cantorsche Inhaltsdefinition. S. 962
    • 19. Der Jordansche Inhalt. S. 965
    • 20. Das Bprelsche und das Lebesguesche Maß. S. 969
    • 20 a Spezielle Sätze über Inhalt und Maß. S. 982
    • 20 b. Caratheodorys Meßbarkeitstheorie. S. 990
    • 20 c. Das m-dimensionale Maß im w-dimensionalen Raum. S. 994

Anwendungen der Mengenlehre. S. 1001

    • 21. Anwendungen auf die allgemeine Funktionenlehre. S. 1001
    • 22. Anwendungen auf die Theorie der Funktionen reeller Veränderlichen. S. 1002
    • 23. Anwendungen auf die Theorie der Funktionen komplexer Veränderlichen. S. 1011
    • 24. Anwendungen auf die Analysis situs. S. 1012

Verallgemeinerungen. S. 1014

    • 25. Die Geradenmengen. S. 1014
    • 26. Die Funktionalrechnung. Allgemeine Bäume. S. 1015
    • 26 a. Raum von unendlich vielen Dimensionen, Funktionenraum und andere spezielle Räume. S. 1025
  • 9 b. Integration und Differentiation. Nach dem französischen Artikel, von P. MONTEL in Paris bearbeitet von A. ROSENTHAL in Heidelberg. S. 1031

Bestimmtes Integral der beschränkten Funktionen einer Veränderlichen. S. 1032

    • 27. Das Integral nach Cauchy. S. 1032
    • 28. Das Riemannsche Integral. S. 1033
    • 29. Das obere und untere Integral nach Darboux. S. 1037
    • 30. Das Lebesguesche Integral. S. 1039
    • 31. Geometrische Definition des Integrals. S. 1047

Bestimmtes Integral nicht beschränkter Funktionen. S. 1050

    • 32. Uneigentliche Integrale. S. 1050
    • 33. Das Lebesguesche Integral für nicht beschränkte Funktionen. S. 1056
    • 34. Eigenschaften des Lebesgueschen Integrals. S. 1058
    • 35. Andere Verallgemeinerungen des Integralbegriffs. S. 1059
    • 35 a. Integraldefinitionen von W. H. Young, J. Pierpont und F. Riesz. S. 1060
    • 35 b. Das Boreische Integral. S. 1064
    • 35 c. Das Denjoysche Integral. S. 1065
    • 35 d. Das Stieltjessche Integral. S. 1071
    • 35 e. Die Hellingerschen Integrale. S. 1073
    • 35 f. Das Perronsche Integral. S. 1074

Integration von Reihen. S. 1074

    • 36. Integrierbarkeit der Grenzfunktionen. S. 1076
    • 37. Gliedweise Integrierbarkeit. S. 1077

Ableitungen und primitive Funktionen. S. 1086

    • 38. Eigenschaften der vier Derivierten. S. 1086
    • 39. Eigenschaften der Ableitungen. S. 1089
    • 40. Existenz der Ableitungen. S. 1091
    • 40 a. Beziehungen zwischen den vier Derivierten. S. 1096
    • 41. Integrierbarkeit der Ableitungen und der vier Derivierten. S. 1098
    • 42. Bestimmung einer Funktion mit Hilfe ihrer Ableitung oder einer ihrer vier Derivierten. S. 1101
    • 43. Wirkliche Aufsuchung der primitiven Funktionen einer gegebenen Derivierten oder einer gegebenen Ableitung. S. 1104
    • 44. Funktionen, die unbestimmte Integrale sind. S. 1110
    • 44 a. Allgemeinere Auffassung des unbestimmten Integrals. S. 1113
    • 44 b. Die approximativen Ableitungen. S. 1114

Integrale und Ableitungen der Funktionen mehrerer Veränderlichen. S. 1115

    • 45. Meßbare Funktionen. Summierbare Funktionen. Mehrfache Lebesguesche Integrale. S. 1115
    • 46. Partielle Ableitungen und totales Differential. S. 1123
    • 47. Die unbestimmten Integrale und ihre Differentiation. S. 1130
    • 48. Integration partieller Differentialgleichungen. S. 1134
  • 9 c. Funktionenfolgen. Nach dem französischen Artikel von M. FRÉCHET in Poitiers (jetzt in Straßburg) bearbeitet von A. ROSENTHAL in Heidelberg. (Abgeschlossen im Juli 1923.). S. 1136

Reihen und Folgen von Funktionen einer Veränderlichen. S. 1137

    • 49. Gleichmäßig konvergente Reihen von stetigen Funktionen. S. 1137
    • 49 a. Die Verteilung der Stellen gleichmäßiger und ungleichmäßiger Konvergenz. S. 1143
    • 49 b. Gleichgradig stetige Funktionenmengen. S. 1144
    • 50. Der Weierstraßsche Satz. S. 1146
    • 51. Interpolation. Beste Approximation. S. 1163
    • 52. Quasi-gleichmäßige Konvergenz. S. 1163
    • 53. Grenzfunktionen stetiger Funktionen. S. 1167
    • 54. Die Baireschen Funktionenklassen. S. 1168
    • 54 a. Klassifikation der Boreischen Mengen und ihre Beziehungen zu den Baireschen Funktionen. S. 1172
    • 55. Die analytisch darstellbaren Funktionen. S. 1177
    • 56. Konvergenzcharakter von Folgen meßbarer Funktionen. S. 1179
    • 57. Konvergenz im Mittel. S. 1181
    • 57 a. Allgemeine Beziehungen zwischen meßbaren Funktionen und Baireschen Klassen. S. 1182

Reihen und Folgen von Funktionen mehrerer Veränderlichen. S. 1185

    • 58. Funktionen mehrerer Veränderlichen. S. 1185
  • 10. Neuere Untersuchungen über trigonometrische Reihen. Von E. HILB in Würzburg und M. RIESZ in Stockholm. (Abgeschlossen am 24. Juli 1922.). S. 1189
    • 1. Festsetzungen und Bezeichnungen. S. 1191
    • 2. Geschichtlicher Überblick. S. 1191

I. Fouriersche Reihen. S. 1192

    • 3. Fourierkoeffizienten. S. 1192
    • 4. Konvergenz der Fourierschen Reihe. S. 1194
    • 5. Die konjugierte Reihe. S. 1198
    • 6. Gleichmäßige Konvergenz und absolute Konvergenz. S. 1200
    • 7. Verschiedene Konvergenz- und Divergenzerscheinungen. S. 1201
    • 8. Summationsverfahren. S. 1204
    • 9. Die Besselsche Ungleichung und der Parsevalsche Satz. S. 1209
    • 10. Der Riesz-Fischersche Satz und verwandte Sätze. S. 1212
    • 11. Operationen mit Fourierreihen. S. 1214
  • II. Allgemeine trigonometrische Reihen. S. 1217
    • 12. Die Arbeit Riemanns. S. 1217
    • 13. Weiterentwicklung im Anschluß an Riemann. S. 1219
    • 14. Konvergenz- und Divergenzerscheinungen bei allgemeinen trigonometrischen Reihen. S. 1222
  • III. Anhang. S. 1223
    • 15. Mehrfache Fourierreihen und trigonometrische Reihen. S. 1223
    • 16. Der Grad der Annäherungen. S. 1224
  • 11. Allgemeine Reihenentwicklungen. Von E. HILB in Würzburg und O. SZÁSZ in Frankfurt. (Abgeschlossen im Juli 1922.). S. 1229

Erster Teil. Entwicklungen bei reellen unabhängigen Veränderlichen. S. 1231 I. Allgemeine Sätze über Entwicklungen nach orthogonalen, polaren und biorthogonalen Funktionensystemen. S. 1232

    • 1. Auftreten orthogonaler und biorthogonaler Funktionensysteme. S. 1232
    • 2. Sätze über die Fourierkoeffizienten. S. 1234
    • 3. Abgeschlossenheit eines orthogonalen Funktionensystems. Entsprechende Sätze für biorthogonale Systeme. S. 1237
    • 4. Aufstellung notwendiger und hinreichender Bedingungen für die Möglichkeit der Reihenentwicklungen von Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften. Singuläre Integrale. S. 1239
    • 5. Integraldarstellungen. S. 1243
  • II. Entwicklungen nach den Eigenfunktionen linearer Differentialgleichungen. S. 1244
    • 6. Auftreten der Reihenentwicklungen in der mathematischen Physik. S. 1244
    • 7. Randwertaufgaben. S. 1246
    • 8. Die Greensche Funktion bei gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen. Entwicklungstheoreme nach den Eigenfunktionen sich selbst adjungierter Probleme. S. 1250
    • 9. Entwicklungstheoreme nach den Eigenfunktionen partieller Differentialgleichungen vom elliptischen Typus. S. 1254
    • 10. Angenäherte Darstellung der Integrale linearer Differentialgleichungen für große Parameterwerte. S. 1256
    • 11. Entwicklungstheoreme nach den Eigenfunktionen nicht selbstadjun-gierter Probleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen. S. 1258
    • 12. Historischer Überblick. S. 1260
    • 13. Darstellungen bei Auftreten singulärer Stellen der Differentialgleichungen. S. 1264

Zweiter Teil. Entwicklungen bei komplexen unabhängigen Veränderlichen. S. 1266 Einleitung. S. 1266

    • 1. Der Konvergenzbereich der Faktoriellenreihen. S. 1268
    • 2. Gleichmäßige Konvergenz. S. 1270
    • 3. Absolute Konvergenz. S. 1270
    • 4. Summabilität der Faktoriellenreihen. S. 1271
    • 6. Beziehungen zu Dirichletschen Reihen. S. 1271
    • 6. Darstellbarkeitsbedingungen. S. 1272
    • 7. Entwicklungen nach den Näherungsnennern eines Kettenbruches. S. 1273
    • 8. Entwicklungen nach den Integralen linearer Differentialgleichungen. S. 1274
    • 9. Sonstige Reihenentwicklungen. S. 1274
    • 10. Approximation. S. 1276
  • 12. Neuere Entwicklung der Theorie partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus. Von L. LICHTENSTEIN in Leipzig. (Abgeschlossen im März 1924.). S. 1277

I. Bezeichnungen und Abkürzungen. S. 1279

    • 1. Bezeichnungen und Abkürzungen. S. 1279
  • II. Lineare Differentialgleichungen. S. 1280
    • 2. Die erste Randwertaufgabe. S. 1280
    • a) Beschränkte ebene Gebiete. Lineare Differentialgleichungen in der Normalform. Methode der sukzessiven Approximationen. Das alternierende Verfahren. S. 1280
    • b) Beschränkte Gebiete der Klasse E oder D in .. Zurückführung auf eine lineare Integralgleichung. S. 1281
    • c) Beschränkte Gebiete der Klasse B oder D in .. Die am Rande verschwindende Greensche Funktion. S. 1287
    • d) Beschränkte Gebiete allgemeiner Natur in .. S. 1291
    • e) Beschränkte Gebiete in .. Allgemeine lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Zurückführung auf die Normalform. Konforme Abbildung nichtanalytischer Flächenstücke auf ebene Gebi. S. 1294
    • f) Unitätssätze. S. 1297
    • g) Gebiete in ..m. Räumliche Gebiete. S. 1299
    • 3. Das zweite Randwertproblem. Höhere Randwertaufgaben. S. 1303
    • 4. Einige allgemeine Eigenschaften der Lösungen linearer partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus. S. 1308
    • 5. Sich selbst adjungierte lineare partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus. S. 1310
    • a) Existenz der Eigenwerte. Entwicklungssätze. S. 1310
    • b) Eigenwerte in Abhängigkeit von dem Gebiete und der Randbedingung. Asymptotische Verteilung der Eigenwerte. S. 1315
  • III. Nichtlineare Differentialgleichungen. S. 1320
    • 6. Analytischer Charakter der Lösungen. S. 1320
    • 7. Randwertaufgaben. S. 1324
    • a) Lösungen in der Nachbarschaft einer gegebenen Lösung. S. 1324
    • b) Randwertaufgaben ohne einschränkende Voraussetzungen über die Größe des Gebietes oder den Wert etwaiger in der Differentialgleichung vorkommenden Parameter. S. 1327
    • c) Die Differentialgleichung Au = keu (kc‘ 0). S. 1330

Nachtrag. S. 1333

  • 13. Integralgleichungen und Gleichungen mit unendlichvielen Unbekannten. Von ERNST HELLINGER in Frankfurt a. M. und OTTO TOEPLITZ in Kiel. (Abgeschlossen im Juni 1927.). S. 1335

I. Ursprung der Theorie. S. 1340

    • 1. Der allgemeine algebraische Grundgedanke. S. 1340
    • 2. Der besondere Typus der Integralgleichung zweiter Art. S. 1344
    • 3. Die Entwicklung nach Iterierten (Neumannsche Methode). S. 1347
    • 4. Der lösende Kern (Resolvente). S. 1350
    • 5. Die Fredholmsche Entdeckung. S. 1351
    • 6. Hilberts Eigenwerttheorie. S. 1358
    • 7. Umgrenzung des Funktionenbereiches. S. 1364
    • 8. Übergang zu unendlichvielen Veränderlichen. S. 1367
  • II. Auflösungstheorie. S. 1370

A. Die linearen Integralgleichungen zweiter Art. S. 1370

    • 9. Die Fredholmsche Theorie. S. 1370
    • 10. Andere Auflösungsmethoden. S. 1376
    • 11. Die iterierten und assoziierten Kerne. S. 1383
    • 12. Uneigentlich singuläre Integralgleichungen. S. 1385
    • 13. Allgemeinere Integrationsbereiche. Systeme von Integralgleichungen. S. 1388
    • 14. Besondere Kerne. S. 1391

B. Die Methode der unendlichvielen Veränderlichen. S. 1392

    • 15. Zusammenhang zwischen Integralgleichungen und linearen Gleichungssystemen mit unendlichvielen Unbekannten. S. 1392
    • 16. Huberts Theorie der vollstetigen Gleichungssysteme. S. 1399

C. Andere Untersuchungen über lineare Gleichungssysteme mit unendlichvielen Unbekannten und lineare Integralgleichungen. S. 1417

    • 17. Die Methode der unendlichen Determinanten. S. 1417
    • 18. Theorie der beschränkten Gleichungssysteme. S. 1423
    • 19. Die allgemeinsten Gleichungssysteme für Unbekannte von konvergenter Quadratsumme. S. 1433
    • 20. Andere Konvergenzbedingungen für die Unbekannten. S. 1442
    • 21. Eigentlich singuläre Integralgleichungen zweiter Art. S. 1450
    • 22. Integralgleichungen erster Art. Momentenproblem. S. 1453
    • 23. Neuere Untersuchungen über lineare Volterrasche Integralgleichungen. S. 1459
    • 24. Lineare Funktionaloperationen. S. 1466
    • a) Die Algebra der Funktionaloperationen. S. 1466
    • b) Der Standpunkt der Mengenlehre. S. 1468
    • c) Der formal-abstrakte Standpunkt (general analysis). S. 1471
    • d) Besondere lineare Funktionalgleichungen. S. 1476

D. Nichtlineare Probleme. S. 1481

    • 25. Nichtlineare Integralgleichungen und nichtlineare Gleichungssysteme mit unendlichvielen Unbekannten. S. 1481
    • 26. Vertauschbare Kerne. S. 1487
    • 27. Integrodifferentialgleichungen. S. 1493
    • 28. Nichtlineare Funktionaloperationen. S. 1498
    • 29. Numerische Behandlung linearer und nichtlinearer Probleme. S. 1501
  • III. Eigenwerttheorie. S. 1504

A. Integralgleichungen mit reellem symmetrischem Kern. S. 1504

    • 30. Eigenwerte und Eigenfunktionen. S. 1504
    • 31. Die iterierten und assoziierten Kerne. S. 1507
    • 32. Die Extremumseigenschaften der Eigenwerte. S. 1509
    • 33. Die Existenz der Eigenwerte. S. 1513
    • 34. Entwicklungssätze. S. 1521
    • 35. Abhängigkeit der Eigenwerte vom Integrationsbereich und ihr asymptotisches Verhalten. S. 1527
    • 36. Uneigentlich singuläre symmetrische Integralgleichungen. Allgemeinere Integrationsbereiche. Systeme von Integralgleichungen. S. 1531
    • 37. Besondere symmetrische Kerne. S. 1534

B. Integralgleichungen mit unsymmetrischem Kern. S. 1535

    • 38. Besondere unsymmetrische Kerne, die sich wie symmetrische verhalten. S. 1535
    • 39. Elementarteilertheorie der allgemeinen unsymmetrischen Kerne (Entwicklung nach Hauptfunktionen). S. 1543

C. Die vollstetigen quadratischen und bilinearen Formen von unendlichvielen Veränderlichen. S. 1553

    • 40. Huberts Hauptachsentheorie der vollstetigen quadratischen Formen. S. 1553
    • 41. Besondere vollstetige Bilinearformen, die sich wie quadratische Formen verhalten. S. 1561
    • 42. Elementarteilertheorie der allgemeinen vollstetigen Bilinearformen. S. 1574

D. Weitere Untersuchungen über quadratische und bilineare Formen von unendlichvielen Veränderlichen. S. 1575

    • 43. Beschränkte quadratische Formen von unendlichvielen Veränderlichen. S. 1575
    • 44. Eigentlich singuläre Integralgleichungen zweiter Art mit symmetrischem Kern. S. 1591
    • 45. Der allgemeine Standpunkt der Funktionaloperationen. S. 1595
    • a) Die Algebra der Funktionaloperationen. S. 1595
    • b) Der formal-abstrakte Standpunkt (general analysis). S. 1595
    • c) Die methodische Auswirkung der Theorie. S. 1596

Namensverzeichnis. S. 1598 Nachwort der Redaktion. S. 1602

  • Register zu Band II, 3. Teil. S. 1603

Band 3–1-1[Bearbeiten]

A. Rein geometrische Theorien. S. 1 B. Grundlagen der Anwendung von Algebra und Analysis auf die Geometrie. S. 1

  • 1. Prinzipien der Geometrie. Von F. ENRIQUES in Bologna (jetzt in Rom). (Abgeschlossen im März 1907.). S. 1
    • 1. Einleitung. Allgemeines, betreffend die mathematischen Untersuchungen über die Prinzipien der Geometrie. S. 6

I. Die elementare Richtung. S. 15

    • 2. Vorbemerkung. S. 15
    • 3. Punkt, Gerade und Ebene. S. 16
    • 4. Strecke, Winkel (der Begriff „zwischen“). S. 22
    • 5. Kongruenz und Bewegung. S. 27
    • 6. Über die Reduktion der in den vorhergehenden Nummern betrachteten fundamentalen Begriffe. S. 32
    • 7. Stetigkeit und Archimedisches Postulat. S. 34
    • 8. Das Parallelenpostulat. S. 39
    • 9. Weitere Ausführungen zur Parallelentheorie. S. 44
    • 10. Flächeninhalt und Rauminhalt. S. 47
    • 11. Neue Entwicklungen zur Proportionentheorie im Sinne der Alten. S. 52
    • 12. Schluß der vorstehenden Untersuchung und Disposition der folgenden Kapitel. S. 56
  • II. Prinzipien der Theorie des Kontinuums. S. 59
    • 13. Vorbemerkung. S. 59
    • 14. Die Linie. S. 60
    • 15. Flächen und Mannigfaltigkeiten mehrerer Dimensionen. S. 63
    • 16. Linien auf den Flächen. S. 68
  • III. Prinzipien der projektiven Geometrie. S. 70
    • 17. Postulate in einem Raumstück. S. 70
    • 18. Postulate für den vollständigen projektiven Raum. S. 73
    • 19. Projektive Koordinaten. S. 74
    • 20. Bemerkungen über die grundlegenden Sätze der projektiven Geometrie. S. 76
    • 21. Über die Bedeutung der Begriffe der Anordnung in der Begründung der projektiven Geometrie. S. 81
  • IV. Projektive Metrik. S. 82
    • 22. Einordnung der gewöhnlichen Metrik in die projektive Geometrie. S. 82
    • 23. Allgemeine Maßbestimmung von Cayley und deren nicht-Euklidische Auslegung von Klein. S. 85
    • 24. Verschiedene Bemerkungen zu den projektiven Metriken. Maßbestimmungen. S. 91

V. Prinzipien der allgemeinen Metrik. S. 94

    • 25. Vorbemerkung. S. 94

A. Bogenelement (nebst endlicher Entfernung). S. 95

    • 26. Geometrie auf krummen Flächen. S. 95
    • 27. Eiemannsche Maßbestimmung in einer beliebig ausgedehnten Mannigfaltigkeit. S. 100
    • 28. Homogene Mannigfaltigkeiten. S. 101
    • 29. Projektiver Charakter der Mannigfaltigkeiten konstanter Krümmung. S. 102
    • 30. Untersuchungen von De Tilly uuml;ber den Ausdruck für die endliche Entfernung. S. 104
    • 31. Geometrische Systeme von Minkowski-Hilbert. S. 106

B. Bewegungsgruppe. S. 107

    • 32. Postulate von H. v. Helmholtz. S. 107
    • 33. Untersuchungen von S. Lie. S. 109
    • 34. Untersuchungen von H. Poincare. S. 110
    • 35. Untersuchungen von D. Hubert. S. 111
  • VI. Zusammenhangsverhältnisse des unbegrenzten Baumes. S. 112
    • 36. Räume, die als Ganzes bewegt werden können. S. 112
    • 37. Zweidimensionale Gebilde von Clifford-Klein. S. 114
    • 38. Dreidimensionale Gebilde von Clifford-Klein. S. 116
  • VII. Nicht-Archimedische Geometrie. S. 117
    • 39. Einleitung. S. 117
    • 40. Eindimensionales Kontinuum höherer Art. S. 117
    • 41. Allgemeine Ansätze Veroneses. S. 121
    • 42. Nicht-Archimedische projektive Geometrie. S. 122
    • 43. Euklidische nicht-Archimedische Geometrie. S. 124
    • 44. Nicht-Archimedische Entwicklungen über die Parallelentheorie. S. 126
  • 2. Die Begriffe „Linie“ und „Fläche“. Von H. v. MANGOLDT in Danzig. (Abgeschlossen im September 1906.). S. 130
    • 1. Notwendigkeit einer genauen Erklärung. S. 130
    • 2. Geschichtliche Entwickelung. S. 131
    • 3. Die analytische Linie. S. 132
    • 4. Zweige einer analytischen Linie. S. 132
    • 5. Einsiedler. S. 134
    • 6. Darstellung durch Gleichungen. S. 135
    • 7. Erweiterung des Begriffs Linie. Linie als „Bild einer Funktion“. S. 139
    • 8. Linie als „Bahn eines Punktes“. Der Jordan’sche Satz. S. 139
    • 9. Linie als „Länge ohne Breite“, oder als „Grenze einer Fläche“. S. 143
    • 10. Funktionsstreifen. S. 147
    • 11. Bevorzugung der analytischen Linien. S. 148
    • 12. Der Begriff Fläche. S. 149
  • 3. Analysis situs. Von M. DEHN in Münster i. W. (jetzt in Frankfurt a. M.) und P. HEEGAARD in Kopenhagen (jetzt in Christiania). (Abgeschlossen im Januar 1907.). S. 153

Einleitung. S. 154 Grundlagen. S. 156

    • 1. Definition von Punkt-, Linien- und Flächenkomplexen. S. 156
    • 2. Indikatrix. S. 158
    • 3. Interne Transformation und Homöomorphismus (Elementarverwandtschaft). S. 159
    • 4. Elementarmannigfaltigkeiten (Kreis und Kugel). S. 160
    • 5. Ausdehnung auf n Dimensionen. S. 161
    • 6. Komplexe mit Singularitäten. S. 163
    • 7. Externe Transformation. Homotopie und Isotopie. S. 164
    • 8. Das Anschauungssubstrat. S. 168
    • 9. Einteilung der Analysis situs. S. 169
    • 10. Die Methode. S. 170

A. Complexus. S. 171

    • 1. Übersicht. S. 171
    • 2. Liniensy steine (Streckenkornpiexe). S. 171
    • 3. Höhere Komplexe und die (komplektisehe) Eulersche Formel. (Bettische Zahlen, Torsionskoeffizienten). S. 178
    • 4. Benutzung von nektischen Methoden für die Theorie höherer Komplexe. S. 185

B. Nexus. S. 188 I. Nexus von Linien. S. 188

  • II. Nexus von Flächen. S. 189
    • 1. Einleitung. S. 189
    • 2. Normalform. S. 190
    • 3. Lösung des Hauptproblems. S. 195
    • 4. Anwendungen der Normalform. S. 196
    • a) Beweis des Neumannschea Axioms. S. 196
    • b) Möbiussche Grundform für eine M2. S. 196
    • c) Minimalzahl von bedeckenden Elementarflächenstücken. S. 196
    • d) Normalformen für geschlossene Flächen. S. 197
    • 5. Fortsetzung. Rückkehr schnitte und Querschnitte und die eigentliche Eulersche Formel. S. 198
    • 6. Zusammensetzung von Flächen. S. 203
    • 7. Äquivalenz von Kurven und Flächen. S. 203
    • 8. Analytisch-geometrische Entwicklungen. S. 204

C. Connexus. S. 205 I. Homotopie. S. 205

  • II. Isotopie. S. 207

A. Kurven. S. 207

    • 1. Eine Kurve (Verknotung). S. 207
    • 2. Zwei und mehr Kurven (Verkettung). S. 213

B. Flächen und mehr-dimensionale Mannigfaltigkeiten. S. 215 D. Mannigfaltigkeiten mit Singularitäten. S. 216

    • 1. Allgemeine Probleme. S. 216
    • 2. Riemannsche Flächen. S. 217
  • 4 a. Gegensatz von synthetischer und analytischer Geometrie in seiner historischen Entwicklung im XIX. Jahrhundert. Von G. FANO in Turin. (Abgeschlossen im Mai 1907.). S. 221

I. Allgemeine Bemerkungen. Fixierung des Themas: Die Entwicklung der Geometrie im 19. Jahrhundert, von Monge beginnend. S. 223

    • 1. Charakteristische Merkmale der beiden Geometrieen. S. 223
    • 2. Weiteres über die Grundbegriffe der analytischen Geometrie. S. 224
    • 3. Gegenseitige Beziehungen der beiden Geometrieen. S. 228
    • 4. Plan der folgenden Darstellung. S. 229
    • 5. Die Stellung von Monge. S. 229
    • 6. Die Nachfolger von Monge. S. 230
  • II. Einsetzen der synthetischen Geometrie durch Poncelet, Möbius, Steiner, Chasles. S. 231
    • 7. Poncelet’s „Traite“. S. 231
    • 8. Möbius. S. 234
    • 9. Steiner. S. 235
    • 10. Weiterführung des Steiner’schen Programms. S. 236
    • 11. Chasles. S. 237
  • III. Entsprechende Entwicklung der analytischen Geometrie. S. 238
    • 12. Möbius, Plücker. S. 238
  • IV. Von Staudt. Insbesondere Gebilde 2. Grades und Imaginärtheorie mit Erweiterungen. S. 241
    • 13. von Staudt. S. 241
    • 14. von Staudt’s Imaginärtheorie. S. 242
    • 15. Weitere Ausbildung der Imaginärtheorie. S. 243
    • 16. Spätere Erweiterungen. Hyperalgebraische Gebilde und bikomplexe Elemente. S. 246
    • 17. Entsprechende analytische Entwicklungen. Bikomplexe Zahlen. S. 248
    • 18. Direkte Untersuchung der hyperalgebraischen Gebilde. Beziehung zu den Herrnite’schen Formen. S. 250

V. Allgemeine Theorie der algebraischen Gebilde von zwei und drei Dimensionen. S. 253

    • 19. Analytische Theorie der albgebraischen ebenen Kurven. S. 253
    • 20. Oberflächen im Räume. S. 256
    • 21. Raumkurven. S. 257
    • 22. Zusammenhang mit der linearen Invariantentheorie. S. 258
    • 23. Graßmann’s lineale Erzeugung der Kurven und Flächen. S. 259
    • 24. Algebraisch-geometrische Theorieen. Cremona. S. 261
    • 25. Ansatz von H. Thieme. S. 262
    • 26. Aufstellung der rein synthetischen Kurventheorie durch E. Kötter. S. 264
    • 27. Untersuchungen von R. De Paolis. S. 265
  • VI. Mehrdimensionale Algebraische Geometrie. S. 267
    • 28. Ansätze zur analytischen Auffassung mehrdimensionaler Räume. S. 267
    • 29. Mehrdimensionale Räume veranlaßt durch Betrachtung beliebiger Raumelemente. S. 268
    • 30. Weitere Ausbildung der projektiven Auffassung. S. 269
  • VII. Geometrie auf einem algebraischen Gebilde. S. 272
    • 31. Heranziehen transzendenter Funktionen. Die Stellung von Clebsch. S. 272
    • 32. Geometrie auf einer algebraischen Kurve oder Fläche. S. 274
  • VIII. Abzählende Geometrie. S. 276
    • 33. Zweck und allgemeine Prinzipien. S. 276
  • IX. Differentialgeometrie. S. 277
    • 34. Exkurs über Funktionentheorie. S. 277
    • 36. Gegensatz zwischen Geometrie eines begrenzten Raumstückes und Geometrie des Gesamtraumes. S. 279
    • 36. Monge’s „Application“. Dupin. S. 281
    • 37. Gauß' „Disquisitiones“. S. 282
    • 38. Fortschreiten der infinitesimalen Kurven- und Flächentheorie. S. 283
    • 39. Allgemeiner Überblick über die Untersuchungen von S. Lie. S. 284

X. Weitere Verallgemeinerungen des analytischen Ansatzes. S. 286

    • 40. Der allgemeine Kurvenbegriff in analytischer Fassung. S. 286
  • 4 b. Kontinuierliche geometrische Gruppen. Die Gruppentheorie als geometrisches Einteilungsprinzip. Von G. FANO in Turin. (Abgeschlossen im Juli 1907.). S. 289

I. Transformationen. Transformationsgruppen und zugehörige Geometrien. S. 291

    • 1. Transformationen. S. 291
    • 2. Transformationsgruppen und deren Einteilung. S. 292
    • 3. Kleins gruppentheoretische Auffassung der Geometrie. Die einer Gruppe zugehörige Invariantentheorie. S. 295
    • 4. Hauptgruppe. Elementargeometrie. S. 297
    • 5. Allgemeine projektive Gruppe. Projektive Geometrie. S. 299
    • 6. Kontinuierliche Untergruppen der allgemeinen projektiven Gruppe. S. 300
    • 7. Fortsetzung. Affine Gruppe. Affine Geometrie. S. 302
    • 8. Fortsetzung. Projektive Gruppen mit invarianten Kurven und Flächen. S. 306
    • 9. Fortsetzung. Projektive Gruppe mit invarianter M2n-1. Die Nicht-Euklidischen Geometrien. S. 308
    • 10. Beispiele projektiver Geometrien mit invarianter M2n-1. Projektive Liniengeometrie. S. 310
    • 11. Fortsetzung. Gruppe der reziproken Radien. Niedere Kugelgeometrie. S. 312
    • 12. Kontinuierliche Untergruppen der Gruppe der reziproken Eadien. S. 315
    • 13. Die Liesche Kugelgeometrie. S. 316
    • 14. Laguerres „Geometrie de direetion“. S. 318
    • 15. Berührungstransformationen. Endliche kontinuierliche Gruppen von Berührungstransformationen. S. 320
    • 16. Studys Geometrie der Elemente 2. Ordnung in der Ebene. S. 323
    • 17. Studys Gruppen der dualen und der radialen Projektivitäten. S. 325
    • 18. Die radial-projektive Geometrie. S. 330
    • 19. Fortsetzung. Projektive Abbildung der radial-projektiven Geometrie. S. 333
    • 20. Studys projektive und pseudokonforme Geometrie der Somen. S. 335
    • 21. Gruppe der Cremonaschen Transformationen. S. 339
    • 22. Endliche kontinuierliche Gruppen von Cremonaschen Transformationen und deren projektive Abbildung. S. 340
    • 23. Aufzählung einiger unendlicher Gruppen. S. 343
    • 25. Andere geometrische Gruppen. Die Analysis situs. S. 355
    • 26. Die verschiedenen Geometrien auf einer gegebenen Mannigfaltigkeit. S. 356
  • II. (Gegenseitige Beziehung verschiedener Geometrien in gruppentheoretischer Hinsicht. S. 358
    • 27. Geometrien mit ähnlichen Gruppen. Projektive Geometrie im binären Gebiete. S. 358
    • 28. Fortsetzung. Projektive Deutung der binären Formen auf der rationalen Normalkurve nter Ordnung. S. 359
    • 29. Ausdehnung auf beliebige lineare Systeme algebraischer Formen. S. 362
    • 30. Weitere Beispiele von Geometrien mit ähnlichen Gruppen. S. 364
    • 31. Geometrien, von deren Fundamentalgruppen die eine in der anderen als Untergruppe enthalten ist. Einordnung der Euklidischen und Nicht-Euklidischen Geometrie in die projektive. S. 368
    • 32. Fortsetzung. Einordnung der projektiven Geometrie in Geometrien mit umfassenderen Gruppen. S. 371
  • III. Besondere Ausführungen über die Invarianten der Gruppen. S. 372
    • 33. Allgemeines. Differentialinvarianten. S. 372
    • 34. Invariantentheorie der linearen Gruppe. S. 374
    • 36. Deutung der linearen Invariantentheorie durch die projektive Geometrie. S. 375
    • 36. Deutung der linearen Invariantentheorie durch die affine Geometrie. S. 377
    • 37. Ansatz für die analytische Behandlung einer jeden Geometrie durch ausschließliche Berücksichtigung der zugehörigen Invarianten. S. 378
    • 38. Spezielle Ausführungen für die metrische Geometrie. S. 379
    • 39. Spezielle Ausführungen betreffend projektive Geometrie. S. 382
    • 40. Spezielles über geometrische Anwendungen der Theorie der Elementarteiler. S. 383
    • 41. Ausführungen betreffend die projektive Geometrie einer quadratischen Mannigfaltigkeit von nicht verschwindender Determinante. S. 386
    • 42. Geometrie der reziproken Radien. Apollonisches Problem. S. 386
  • 5. Projektive Geometrie. Von A. SCHOENFLIES in Königsberg (jetzt in Frankfurt a. M.). (Abgeschlossen im Januar 1909.). S. 389

A. Historische Einleitung. S. 391

    • 1. Die Zentralprojektion. S. 391
    • 2. Carnots Theorie der Transversalen. S. 393
    • 3. Das Prinzip der Kontinuität. S. 395

B. Allgemeine Begriffe und Methoden. S. 397

    • 4. Die Begründung der projektiven Denkweise durch Poncelet. S. 397
    • 5. Polarität, Reziprozität und Dualität. S. 398
    • 6. Der allgemeine Verwandtschaftsbegriff. S. 401
    • 7. Das Doppelverhältnis. S. 403
    • 8. Die Grundgebilde und ihre projektive Beziehung. S. 406
    • 9. Metrische Eigenschaften der projektiven Beziehung. S. 412
    • 10. Die Erzeugungsmethoden. S. 415
    • 11. Vereinigte Lagen projektiver Systeme. S. 420

C. Besondere Probleme. S. 425

    • 12. Besondere Lagen. S. 425
    • 13. Involutorische Lagen. S. 430
    • 14. Zyklische Projektivitäten. S. 434
    • 15. Ausgeartete Projektivitäten und Korrelationen. S. 437
    • 16. Das Problem der Projektivität. S. 443

D. Grundlegende Fragen. S. 446

    • 17. Die Abtrennung der Metrik durch K. G. G. v. Staudt und der Fundamentalsatz. S. 446
    • 18. Die grundlegende Bedeutung der Schnittpunktssätze. S. 450
    • 19. Imaginäre Elemente. S. 453
    • 20. Die Antiprojektivität oder Symmetralität. S. 459
    • 21. Das Rechnen mit Würfen. S. 461
    • 22. Methodische Gesichtspunkte. S. 463

E. Die Projektiyitäten als Operationseffekte. S. 467

    • 23. Das Rechnen mit Verwandtschaften. S. 467
    • 24. Büschel, Netze usw. von Verwandtschaften. S. 470

F. Anhang. S. 474

    • 26. Die trilineare einstufige Beziehung. S. 474
    • 26. Die einfachsten quadratischen Verwandtschaften. S. 477
  • 5 a. Konfigurationen der projektiven Geometrie. Von ERNST STEINITZ in Berlin (jetzt in Kiel). (Abgeschlossen im April 1910.). S. 481
    • 1. Definitionen. S. 481
    • 2. Historisches. Reyes Problem der Konfigurationen. Untersuchungsmethoden. S. 484
    • 3. Schematische Bildungsweise der ebenen Konfigurationen nS. S. 486
    • 4. Geometrische Eigenschaften der Konfigurationen nS. S. 489
    • 5. Ebene Konfigurationen auf Kurven dritter Ordnung. S. 490
    • 6. Konfigurationen von Punkten und Ebenen. S. 492
    • 7. Kombinatorische Konfigurationen. S. 494
    • 8. Die Reyesche Konfiguration und einige verwandte Konfigurationen. S. 497
    • 9. Die Gruppe der Reyeschen Konfiguration. Beziehungen zur elliptischen Geometrie und zum 24-Zell des R4. S. 498
    • 10. Die Konfiguration von Hess. S. 500
    • 11. Die Kummersche Konfiguration. S. 501
    • 12. Die Kleinsche Konfiguration und Gruppe. S. 504
    • 13. Konfigurationen aus endlichen Kollineationsgruppen: binäres Gebiet. S. 505
    • 14. Konfigurationen aus endlichen Kollineationsgruppen: ternäres Gebiet. S. 506
    • 15. Konfigurationen aus endlichen Kollineationsgruppen: quaternäres Gebiet. S. 514
  • 6. Darstellende Geometrie. Von E. PAPPERITZ in Freiberg (Sa.). (Abgeschlossen im Juli 1909.). S. 517

I. Ziele, Grundlagen und Methoden. S. 520

    • 1. Geometrische Zeichen- und Bildersprache. Bestimmung der Lage, Gestalt und Größe der Gebilde. S. 520
    • 2. Korrespondenz zwischen Begriff und Zeichen. Original und Bild. S. 521
    • 3. Die darstellende Geometrie als angewandte und als deduktive mathematische Wissenschaft. S. 522
    • 4. Die graphischen Charaktere. S. 523
    • 5. Die Entstehung und die Darstellung geometrischer Gebilde. S. 524
    • 6. Das Konstruieren. S. 524
    • 7. Postulate der Konstruktion. S. 526
    • 8. Die Werkzeuge des Geometers. S. 526
    • 9. Die Einfachheit graphischer Konstruktionen. Operationssysteme. Geoetrographie. S. 528
    • 10. Die Genauigkeit graphischer Konstruktionen Fehlertheorie. S. 531
    • 11. Projizieren und Durchdringen. Sehprozeß und Schattenbildung. S. 537
    • 12. Einteilung der Darstellungsmethoden. S. 538
    • 13. Hilfsverfahren und Transformationen. S. 539
    • 14. Nomenklatur. Bezeichnungsweise. Zeichnerische Regeln. S. 540
  • II. Geometrisches Darstellungsrerfahren vor Monge. S. 541
    • 15. Darstellungsverfahren im Altertum. Die Rißkunst des Mittelalters. S. 541
    • 16. Die malerische Perspektive von der Renaissance bis zum Ende des 16. Jahrhunderts. S. 542
    • 17. Dürers „Unterweisung“. S. 544
    • 18. Die axonometrische Perspektive bei Desargues und seinen Zeitgenossen. S. 548
    • 19. Die freie Perspektive bei Stevin, Gravesande, Taylor und Lambert. S. 551
    • 20. Die Weiterentwicklung der Rißkunst an den Aufgaben des Steinschnittes durch Frezier. S. 554
  • III. Begründung eines wissenschaftlichen Systems. S. 559
    • 21. Monges „Géometrié descriptive“. S. 559
    • 22. Die Prinzipien der darstellenden Geometrie. S. 560
    • 23. Die Erzeugung krummer Flächen. Theorie der Raumkurven. S. 562
    • 24. Der Aufgabenbereich. S. 563
    • 25. Lacroix, Monges Rivale. S. 565
    • 26. Monges Schule. S. 566
    • 27. Die Nachwirkung der Ideen Monges. S. 567
  • IV. Neuere Entwicklung der Darstellungsmethoden. S. 567
    • 28. Die Geometrie der Lage. S. 567
    • 29. Die Kollinearverwandtschaften. S. 569
    • 30. Die organische Verbindung der darstellenden Geometrie mit der Geometrie der Lage. S. 571
    • 31. Die orthogonale axonometrische Projektion. S. 573
    • 32. Die freie und axonometrisohe schiefe Projektion. S. 574
    • 33. Die freie und angewandte Perspektive. S. 577
    • 34. Die plastische Perspektive. S. 579
    • 36. Die Schatten- und Beleuchtungstheorie. S. 581

V. Besondere deskriptive Aufgaben und Methoden. S. 583

    • 36. Polyeder. S. 583
    • 37. Kurven und Flächen 2. Ordnung. Durchdringungen. S. 584
    • 38. Geometrie der Bewegung. Rollkurven. Verzahnungstheorie. S. 587
    • 39. Rotationsflächen. S. 589
    • 40. Schraubengebilde. S. 589
    • 41. Abwickelbare und windschiefe Regelflächen, Bahn- und Hüllflächen. S. 591
    • 42. Krümmung der Kurven und Flächen. S. 592
    • 43. Kotierte Projektion und Topographie. Stereographische und Kartenprojektion. S. 593
    • 44. Photogrammetrie. S. 594
    • 46. Abbildungen im weiteren Sinne. S. 594
  • 7. Die verschiedenen Koordinatensysteme. Von E. MÜLLER in Wien. (Abgeschlossen im Juli 1910). S. 596

Einleitung. S. 601

    • 1. Allgemeiner Begriff und Zweck der Koordinaten. Einteilungsprinzipe. S. 605

I. Punktkoordinaten. S. 605

    • 2. Parallelkoordinaten (Cartesische Koordinaten) in der Ebene. S. 605
    • 3. Parallelkoordinaten im Baum. Begriff des w-dimensionalen Raumes. S. 615
    • 4. Allgemeine Punktkoordinaten (krummlinige Koordinaten). S. 629
    • 5. Lineare Punktkoordinaten im allgemeinen. S. 634
    • 6. Besondere Arten linearer Punktkoordinaten. S. 644
    • 7. Minimalkoordinaten. S. 649
    • 8. Nichtlineare projektive Punktkoordinaten. S. 654
    • 9. Polarkoordinaten. S. 656
    • a) In der Ebene. S. 656
    • b) Im Raum. S. 659
    • 10. Polysphärische Koordinaten und ihre Analoga in der Ebene, in der Geraden und im Rnn. S. 661
    • 11. Koordinaten in bezug auf eine Normkurve. S. 671
    • 12. Allgemeine elliptische Koordinaten. S. 674
    • 13. Spezielle elliptische Koordinaten. S. 678
    • 14. Parabolische Koordinaten. S. 680
    • 15. Projektive Verallgemeinerung der elliptischen Koordinaten. Anwendungen. S. 682
    • 16. Zyklidische Koordinaten. S. 684
    • 17. Sonstige Punktkoordinaten. S. 686
  • II. Koordinaten von algebraischen Flächen, Linien in der Ebene und Punktgruppen in der Geraden (allgemein: Mmn-1 im Rn). S. 691
    • 18. Allgemeines. S. 691
    • 19. Plückersche Ebenenkoordinaten und Linienkoordinaten in der Ebene. S. 692
    • 20. Allgemeine Ebenenkoordinaten. S. 695
    • 21. Lineare Ebenenkoordinaten im allgemeinen. S. 696
    • 22. Besondere Arten linearer Ebenenkoordinaten und Linienkoordinaten in der Ebene. S. 701
    • 23. Sonstige Ebenenkoordinaten und Linienkoordinaten in der Ebene. S. 704
    • 24. Pentasphärische Kugelkoordinaten und ihre Analoga. S. 706
    • 25. Hexaspharische Kugelkoordinaten und ihre Analoga; Komplexkoordinaten. S. 712
    • 26. Koordinaten von algebraischen Flächen, Kurven in der Ebene und Punktgruppen in der Geraden. S. 718
  • III. Koordinaten von Linien im Baum (allgemein: von Mmr im Rn, r < n – 1). S. 722
    • 27. Plückersche Linienkoordinaten. S. 722
    • 28. Gewindekoordinaten, Kleinsche Linienkoordinaten. S. 732
    • 29. Sonstige Linienkoordinaten. S. 735
  • 30. RS- Koordinaten im Rn. Koordinaten von Kreisen und Punktepaaren im R3. S. 738
  • IV. Koordinaten von Gebilden auf einer Kurve oder Fläche (in einer nichtlinearen Mannigfaltigkeit). S. 743
    • 31. Allgemeines. S. 743
    • 32. Koordinaten auf der Kugelfläche (Sphärische Koordinaten). S. 745
    • 33. Koordinaten auf einer Fläche zweiter Ordnung. S. 749
    • 34. Natürliche Koordinaten. S. 753
    • 35. Koordinaten sonstiger Elemente. S. 755

V. Koordinatentransformation. S. 760

    • 36. Allgemeines. S. 760
    • 37. Lineare, insbesondere orthogonale Transformationen. S. 762

Band 3–1-2[Bearbeiten]

A. Rein geometrische Theorien. S. 771 B. Grundlagen der Anwendung von Algebra und Analysis auf die Geometrie. (Fortsetzung.). S. 771

  • 8. Elementare Geometrie vom Staudpunkte der neueren Analysis aus. Von J. SOMMER in Danzig. (Abgeschlossen Neujahr 1914.). S. 771
    • 1. Einleitung. Begrenzung des Stoffes. S. 773

I. Geometrie im engeren Sinne. S. 774

    • 2. Analytische Behandlung der Elementargeometrie. Vorbereitung. Orientierte und imaginäre Elemente. S. 774
    • 3. Algebraische Behandlung der Geometrie, besonders der Dreiecksgeometrie. S. 778
    • 4. Analytische Behandlung im engeren Sinne. S. 779
    • 5. Vektorielle Behandlung (insbesondere der Dreiecksgeometrie). S. 785

I a. Konstruktionen. S. 789

    • 6. Geometrische Konstruktionen. Allgemeines. S. 789
    • 7. Konstruktionen mit dem Lineal. S. 790
    • 8. Konstruktionen mit Lineal und Zirkel. S. 792
    • 9. Konstruktionen mit Lineal und Streckenübertrager. S. 794
    • 10. Existenzfragen und Näherungskonstruktionen. S. 795
    • 11. Vergleichung der Hilfsmittel. S. 799
    • 12. Allgemeine Methoden zur Lösung von Aufgaben. S. 800
    • 13. Praxis der Konstruktionen und Fehlertheorie. S. 805
    • 14. Nichtelementare Konstruktionen. S. 806

I b. Anwendung der Gruppentheorie. S. 808

    • 15. Die Geometrie vom Standpunkt der Gruppentheorie. Hauptgruppe und die zugehörigen Invarianten. S. 808
    • 16. Die Unterordnung der Elementargeometrie unter die projektive Geometrie. Bedeutung des Kugelkreises. S. 811
    • 17. Gruppe der reziproken Radien (Inversionen). Das Apollonische Problem. S. 816
    • 18. Anwendung spezieller Transformationen. S. 825
    • 19. Polyeder und Polyedergruppen. S. 827
  • II. Sphärische Trigonometrie. S. 833
    • 20. Verschiedene Definitionen des sphärischen Dreiecks. Einteilung der Trigonometrie. S. 833
    • 21. Kleins Ergänzungsrelationen der sphärischen Trigonometrie. S. 836
    • 22. Nachbardreiecke und die zugehörigen Substitutionsgruppen. S. 839
    • 23. Die Formeln der sphärischen Trigonometrie. S. 842
    • 24. Die Grundformeln für komplexe Argumente, die Figur von Schilling. S. 847
    • 25. Die Abbildung der dreidimensionalen Mannigfaltigkeit aller sphärischen Dreiecke. S. 848
    • 26. Orthogonale Substitution. Die Studysche Abbildung der Dreiecksmannigfaltigkeit. S. 851
    • 27. Zusammenhang der sphärischen Trigonometrie mit den elliptischen Funktionen. S. 854
  • 9. Elementargeometrie und elementare nicht-euklidische Geometrie in synthetischer Behandlung. Von M. ZACHARIAS in Berlin. (Abgeschlossen Ende 1913.). S. 859

A. Einleitung. S. 862

    • 1. Der Begriff der Elementargeometrie. S. 862
    • 2. Das Parallelenaxiom. Euklidische und nicht-euklidische Geometrie. S. 863

B. Elementare euklidische Geometrie. S. 874 I. Allgemeiner Teil. S. 874

    • 3. Einleitende Bemerkungen über Grundbegriffe und Grundsätze. S. 874
    • 4. Die Kongruenz. S. 881
    • 5. Die Lehre von den Proportionen und der Ähnlichkeit. S. 888
    • 6. Einfluß der projektiven Geometrie auf die Elementargeometrie. S. 899
    • 7. Affinität, Ähnlichkeit und Kongruenz als besondere Fälle der Koilineation. Eigenschaften ähnlicher und kongruenter Systeme. S. 907
    • 8. Der Flächeninhalt der Vielecke. Zerlegungsbeweise. S. 915
    • 9. Die Schnittpunkte einer Geraden und eines Kreises. S. 924
    • 10. Umfang und Inhalt des Kreises. Quadrierbare Kreisbogenzweiecke. S. 928
    • 11. Der Rauminhalt der Vielflache. Endlichgleichheit. Exhaustion. S. 939
    • 12. Einfluß der analytischen Geometrie auf die Elementargeometrie: Das Vorzeichen der Strecken. Der Möbiussche Inhaltsbegriff für die Ebene und den Raum. S. 952
    • 13. Rauminhalt und Oberfläche krummflächig begrenzter Körper. S. 958
  • II. Besonderer Teil. S. 967
    • 14. Dreieck. S. 967
    • 15. Viereck und andere besondere Vielecke. S. 990
    • 16. Polygonometrie, Polyedrometrie, Transversalentheorie, Lehre vom Schwerpunkt. S. 1013
    • 17. Kreis und Kugel. Schließungsaufgaben, Inversion, Pol und Polare. S. 1023
    • 18. Sphärik. Stereographische Projektion. S. 1036
    • 19. Sphärische Trigonometrie. S. 1044
    • 20. Der Eulersche Polyedersatz. S. 1051
    • 21. Besondere Arten von Vielflacben. S. 1054
    • 22. Kegelschnitte in elementarer Behandlung. S. 1072
    • 23. Konstruktionen mit Lineal und Zirkel. S. 1085
    • 24. Die Kreisteilung, die Aufgaben von Malfatti und Apollonius. S. 1094
    • 25. Konstruktionen mit anderen Hilfsmitteln und unter besonderen Bedingungen. S. 1104
    • 26. Einfachheit und Genauigkeit der Konstruktionen. Geometrographie. S. 1109
    • 27. Näherungsverfahren. Würfel Verdoppelung, Dreiteilung des Winkels, Teilung, Quadratur und Rektifikation des Kreises. S. 1113
    • 28. Maxima und Minima. Die isoperimetrische Aufgabe. S. 1118

C. Elementare nicht-euklidische Geometrie. S. 1137

    • 29. Vorläufer. S. 1137
    • 30. Gauß, Schweikart, Taurinus, Lobatschefskij, Joh. Bolyai. S. 1141
    • 31. Weiterer Ausbau der hyperbolischen Geometrie. S. 1152
    • 32. Elliptische und sphärische Geometrie. S. 1162
  • 10. Neuere Dreiecksgeometrie. Von G. BERKHAN + in Hamburg und W. FR. MEYER in Königsberg. (Abgeschlossen im Herbst 1914.). S. 1173

Einleitung. S. 1177

    • 1. Der Begriff der neueren Dreiecksgeometrie. S. 1177
    • 2. Geschichtlicher Überblick. S. 1179
    • 3. Bibliographische Übersicht. S. 1180
    • 4. Charakterisierung der Dreiecksgeometrie. S. 1182
    • 5. Abgrenzung und Gliederung des Artikels. S. 1183

I. Der Begriff: Merkwürdig. S. 1184

    • 6 Symmetriepunkte. S. 1184
    • 7. Überbestimmung. S. 1184
    • 8. Symmetriedreiecke. S. 1185
    • 9. Extreme Werte. S. 1185
    • 10. Merkwürdige Koordinaten. S. 1186
    • 11. Geometrische Örter. S. 1186
    • 12. Geometrische Verwandtschaften. S. 1187
    • 13. Permutationen. S. 1188
    • 14. Alte Sätze in neuer Form. S. 1188
  • II. Koordinaten und Verwandtschaften. S. 1189
    • 15. Vorbemerkung. S. 1189
    • 16. Kartesische Koordinaten. S. 1189
    • 17. Komplexe Koordinaten. S. 1190
    • 18. Dreieckskoordinaten. S. 1190
    • 19. Harmonische Zuordnung. S. 1196
    • 20. Weitere harmonische Beziehungen. S. 1198
    • 21. Komplement- und Supplementpunkte. Nagelsche Punktepaare. S. 1201
    • 22. Quadratische Verwandtschaften. Allgemeines. S. 1203
    • 23. Die isogonale Verwandtschaft. Winkelgegenpunkte. S. 1207
    • 24. Die isotome Verwandtschaft. Seitengegenpunkte. S. 1210
    • 25. Dreipolkoordinaten. Tripolar zugeordnete Punkte. S. 1212
    • 26. Winkelkoordinaten nach Uhlich. Zwillingspunkte. Die Figur von Torricelli. S. 1216
  • III. Urdreieck und abgeleitete Dreiecke. S. 1219
    • 27. Allgemeine Vorbemerkungen. S. 1219
    • 28. Perspektive Dreiecke. S. 1220
    • 29. Orthologe Dreiecke. S. 1222
    • 30. Der Lotpunkt einer Geraden. S. 1224
    • 31. Urndreiecke. S. 1226
    • 32. Indreiecke. S. 1227
    • 33. Fußpunktdreiecke. S. 1229
    • 34. Die Wallacegerade. S. 1234
    • 35. Die Steinersche Hypozykloide. S. 1237
  • IV. Dreieck und Kegelschnitte. S. 1239

A. Umkegelschnitte. S. 1239

    • 36. Urnkegelschnitte im allgemeinen. S. 1239
    • 37. Der Umkreis. S. 1241
    • 28. Die gleichseitigen Umhyperbeln. S. 1242

B. Inkegelschnitte. S. 1245

    • 39. Inkegelschnitte im allgemeinen. S. 1245
    • 40. Die Inkreise. S. 1247
    • 41. Die Inparabeln. S. 1249

C. Polkegelschnitte. S. 1250

    • 42. Polkegelschnitte im allgemeinen. S. 1250
    • 43. Besondere Polkegelschnitte. S. 1251

D. Verschiedene Kreise und Kreissysteme. S. 1252

    • 44. Vorbemerkung. S. 1252
    • 45. Die Kreise von Tucker. Lernoine und Taylor. S. 1253
    • 46. Die Sehouteschen Kreise. Der Brocardsche Kreis und die Lemoinesche Gerade. S. 1255
    • 47. Die Beikreise. S. 1256
    • 48. Die Apollonischen Kreise. S. 1257
    • 49. Der Feuerbachsche Kreis. S. 1258

V. Drei gleichsinnig ähnliche Felder. S. 1265

    • 50. Vorbemerkung. S. 1265
    • 51. Drei gleichsinnig ähnliche Felder in allgemeiner Lage. S. 1266
    • 52. Drei ähnliche Felder über den Seiten des Urdreiecks. S. 1268

Schluß. S. 1272

    • 53. Ergänzungen, besonders metrischer Art. S. 1272
    • 54. Viereck und Vielecke. S. 1272
    • 55. Projektive Verallgemeinerungen mit Hilfe der Kreispunkte. S. 1274
  • 11. Systeme geometrischer Analyse. I. Teil von HERMANN ROTHE +; II. Teil von ALFRED LOTZE in Stuttgart und CHR. BETSCH in Cannstatt. S. 1277
  • Erster Teil. Von HERMANN ROTHE +. (Abgeschlossen im Oktober 1916.). S. 1282

Einleitung. S. 1282

    • 1. Begriff der geometrischen Analyse. Die „Characteristica geometrica“ von G. W. Leibniz. S. 1282
    • 2. Die geometrische Addition von Strecken. S. 1284

I. Der baryzentrische Kalkül und die Methode der Äquipollenzen. S. 1289

    • 3. Der baryzentrische Kalkül von A. F. Möbius. S. 1289
    • 4. Die Methode der Äquipollenzen von G. Bellavitis. S. 1293
  • II. Die Hamiltonschen Quaternionen und ihre Verallgemeinerungen. S. 1300
    • 5. Historisches. S. 1300
    • 6. Algebraische Theorie der Quaternionen. S. 1302
    • 7. Die Vektoren. Geometrische Theorie der Quaternionen. S. 1316
    • 8. Lineare Vektorfunktionen und lineare Vektorgleichungen. Djaden und Tensoren. S. 1324
    • 9. Lineare Quaternionenfunktionen. Lineare und höhere Quaternionengleichungen. S. 1333
    • 10. Differential- und Integralrechnung der Quaternionen. S. 1337
    • 11. Geometrische Anwendungen der Quaternionen. S. 1346
    • a) Punkt, Gerade, Ebene; Liniengeometrie. S. 1346
    • b) Flächen zweiter Ordnung und andere algebraische Flächen; ebene, kubische und sphärische Kegelschnitte. S. 1354
    • c) Differentialgeometrie der Kurven und Flächen; Strahlensysteme. S. 1358
    • 12. Ternäre orthogonale Transformationen; Drehungen des Euklidischen Raumes urn einen festen Punkt. Quaternionen und binäre projektive Transformationen. Sphärische Trigonometrie. S. 1368
    • 13. Quaternäre orthogonale Transformationen. Drehungen des vierdimen-sionalen Raumes um einen festen Punkt; automorphe projektive Transformationen einer Fläche zweiter Ordnung; Bewegungen und Umlegungen de. S. 1386
    • 14. Die Biquaternionen von W. R. Hamilton und W. K Clifford. Euklidische und nicht-euklidische Bewegungen und Umlegungen. S. 1396
    • 15. Die Triquaternionen und Quadriquaternionen von G. Combebiac. Die Ähnlichkeitstransformationen und die konformen Transformationen des Euklidischen Raumes. S. 1406
    • 16. Die komplexen Zahlensysteme von W. K. Clifford und K. Lipschitz. Die orthogonalen Transformationen von n Veränderlichen. Die Bewegungen und Umlegungen im w-dimensionalen Euklidischen oder nicht-eukli. S. 1417
    • 17. Sonstige Verallgemeinerungen des Quaternionenbegriffes. Die Oktaven von J. T. Graves und A Cayley und die Pluquaternionen von Th. P. Kirkmann. Die Nonionen und m2-ionen von J. J. Sylvester. Die Qua-te. S. 1417
    • 18. Die longimetrischen Quaternionen von K. W. Unverzagt. Die hyperbolischen Quaternionen von A. Macfarlane. S. 1421
  • Zweiter Teil. Von ALFRED LOTZE in Stuttgart. S. 1425
  • III. Die Graßmannsche Ausdehnungslehre. S. 1426
    • 19. Zur Einleitung und Geschichte. S. 1426
    • 20. Extensive Größen, insbesondere solche 1. Stufe. S. 1429
    • 21. Die Produktbildungen der Ausdehnungslehre im allgemeinen. S. 1432
    • 22–23. Das kombinatorische oder äußere Produkt. S. 1435
    • 24. Begriff der Ergänzung in bezug auf ein Hauptgebiet. S. 1440
    • 25. Produkte in bezug auf ein Hauptgebiet. Progressive und regressive Produkte. Reine und gemischte Produkte. S. 1442
    • 26. Extensive Größen höherer Stufe. Einfache und zusammengesetzte Größen (Komplexgrößen). S. 1447
    • 27. Das innere Produkt. S. 1448
    • 28. Das algebraische Produkt. S. 1451
    • 29. Lückenausdrücke. S. 1453
    • 30. Quotienten, extensive Brüche, Matrizen. S. 1456
    • 31. Funktionen. S. 1466
    • 32. Differential- und Integralrechnung. S. 1468
    • 33. Algebraische Anwendungen: Determinanten, lineare Gleichungen, Elimination, (Invariantentheorie). S. 1479
    • 34. Geometrische Anwendungen. S. 1485

Einleitung (insbesondere Größen und Verknüpfungen der Punktrechnung). S. 1485

    • a) Elementargeometrie. S. 1493
    • b) Projektive Geometrie. Lineare Verwandtschaften. S. 1497
    • c) Kegelschnitte und Flächen zweiter Ordnung. S. 1508
    • d) Algebraische Kurven und Flächen; lineale Erzeugung. S. 1511
    • e) Linien- und Schraubengeometrie; Kugel- (und Kreis-)geometrie. S. 1514
    • f) Differentialgeometrie. S. 1517
    • g) Nicht-euklidische Geometrie. S. 1536
    • h) Mechanik. S. 1539
    • 35. Begründung der Punktrechnung durch G. Peano. S. 1543
    • 36. Beziehungen der Ausdehnungslehre zur Quaternionentheorie und Vektor-analysis. S. 1546
  • IV. Sonstige Systeme geometrischer Analyse. Von CHR. BETSCH in Cannstatt. (Abgeschlossen im März 1923.). S. 1550
    • 37. Der Situationskalkül von H. Scheffler. S. 1552
    • 38. Die dualen Zahlen von E. Study. S. 1556
    • 39. Die Binäranalyse von E. Waelsch. S. 1563
    • 40. Die geometrischen Differentiationen von Knoblauch, Ricci, Levi-Cività und Hessenberg. S. 1576
    • 41. Die Systeme direkter Analyse von J. A. Scheuten. S. 1589
  • 12. Polyeder und Raumeinteilungen. Von ERNST STEINITZ +. (Abgeschlossen am 31. August 1916.). S. 1

I. Die Polygone. S. 3

    • 1. Die ebenen Polygone. Historisches. S. 3
    • 2. Die Art eines ebenen Polygons. S. 4
    • 3. Der Flächeninhalt ebener Polygone. S. 6
    • 4. Die Doppelpunkte ebener Polygone. S. 7
    • 5. Die Formen der Vielecke. S. 9
    • 6. Die sphärischen Polygone. S. 10
    • 7. Art und Inhalt sphärischer Polygone. S. 11
  • II. Die Entwicklung der Polyedertheorie. S. 14
    • 8. Die Polyeder; allgemeine Definitionen. S. 14
    • 9. Eulers Begründung einer allgemeinen Polyedertheorie. S. 15
    • 10. Zur Geschichte des Eulerschen Polyedersatzes. S. 19
    • 11. Der verallgemeinerte Eulersche Satz. Elemente der Analysis situs. S. 21
    • 12. Einseitige Polyeder. S. 26
    • 13. Volumen und Artbesthnmung bei Polyedern. S. 29
    • 14. Legendres Bestimmung der Konstantenzahl eines Polyeders. S. 34
    • 15. Cauchys Satz über konvexe Polyeder. Bewegliche Polyeder. S. 35
    • 16. Die isoperimetrischen Probleme. S. 38
    • 16*. Anwendungen auf die Theorie der ebenen Fachwerke. S. 43
  • III. Morphologie der Polyeder. S. 47
    • 17. Schematische Darstellungen der Polyedertypen. S. 47
    • 18. Konstruktive Ableitung konvexer (f + 1)-Flache aus f-Flachen. S. 49
    • 19. Dreikants- und Dreiecks-(Trigonal-)Polyeder. S. 50
    • 20. Anzahlbestimmungen bei Polyedern. S. 54
    • 21. Das allgemeine Problem der kombinatorischen Aufstellung der Typen konvexer Polyeder. S. 55
    • 22. Geordnete Komplexe. S. 57
    • 23. Kantenkomplexe. S. 59
    • 24. Polyedriaehe Komplexe. S. 60
    • 25. Endliche polyedrische Komplexe von vollkommenem Zusammenhange. S. 61
    • 26. Eulersche Komplexe und Elementarkomplexe. S. 63
    • 27. Mehrstufiger Isomorphismus, Spaltungsprozesse. S. 64
    • 28. Polyeder im engeren Sinne. S. 66
    • 29. Einige Prozesse, durch die aus gegebenen Polyedertypen andere hergeleitet werden. S. 69
    • 30. Polyeder ohne übergreifende Elemente. S. 70
    • 31. Eulersche Polyeder ohne übergreifende Elemente (K-Polyeder). S. 71
    • 32. Kritische Vergleichung der schematischen Darstellungsmethoden der Polyedertypen. S. 72
    • 33. Realisierung der Polyeder ohne übergreifende Elemente. S. 75
    • 34. Der Fundamentalsatz der konvexen Typen. S. 77
    • 35. Einteilung der konvexen Dreikantspolyeder in Stämme und Bereiche. S. 81
  • IV. Polyeder in mehrdimensionalen Räumen. S. 83
    • 36. Allgemeine Begriffsbildungen. S. 83
    • 37. Konvexe Polytope: Elementare und topologische Untersuchungen. S. 88
    • 38. Konvexe Körper. S. 89
    • 39. Strahlsysteme. S. 92
    • 40. Konvexe Polyeder mit gegebenen Normalenriehtungen. S. 94
    • 41. Polyederscharen. S. 98

V. Die durch Symmetrieeigenschaften ausgezeichneten Polyeder und die Raumeinteilungen. S. 101

    • 42. Die regulären Polyeder. Allgemeine Übersicht der weiteren Untersuchungen. S. 101
    • 43. Reguläre Polygone und Polyeder höherer Art. S. 102
    • 44. Der Symmetriebegriff. Historisches. S. 105
    • 45. Die endlichen Bewegungpgruppen. S. 107
    • 46. Die Fundamentalbereiche und die gleicheckigen und gleichflächigen Polyeder und Kugelnetze. S. 110
    • 47. Möbiussche Netze und kristallographische Gruppen. S. 114
    • 48. Gruppen aus Isomorphismen. S. 116
    • 49. Reziproke Beziehungen. S. 118
    • 50. Die regulären Polytope. S. 120
    • 51. Die endlichen Bewegungsgruppen im Rn und die zugehörigen Raumeinteilungen. S. 122
    • 52. Bewegungsgruppen und Raumeinteilungen bei Euklidischer und hyperbolischer Maßbestimmung. S. 127
    • 53. Weitere Ausführungen für den Fall des Euklidischen Rnn. S. 129
    • 54. Weitere Ausführungen für den Fall des hyperbolischen Hn. S. 132
    • 55. Verschiedenartige Untersuchungen. S. 138
  • 13. Beziehungen zwischen den verschiedenen Zweigen der Topologie. Von H. TIETZE in München und L. VIETORIS in Wien. (Abgeschlossen 15. Oktober 1929.). S. 141
    • 1. Einleitung. S. 144

I. Punktmengen in n-dimensionalen Zahlenräumen. S. 146

    • 2. Limiten in Punktmengen eines Rn. S. 146
    • 3. Umgebungen, Abstände und Häufungspunkte in Punktmengen eines Rn. S. 148
    • 4. Allgemeinere topologische Gebilde. S. 148
    • 5. Übergang zur allgemeinen Topologie. S. 150
  • II. Allgemeine Topologie. S. 152
    • 6. Limesräume. S. 152
    • 7. Räume mit Festsetzungen über Häufungspunkte. S. 154
    • 8. Räume mit Umgebungsbeziehungen. S. 155
    • 9. Fundamentalsysteme von Umgebungen. S. 158
    • 10. Andere Fassungen des Begriffs des topologischen Raumes. S. 159
    • 11. Teilräume. S. 160
    • 12. Abzählbarkeitsaxiome. S. 161
    • 13. Trennbarkeitsaxiome. S. 162
    • 14. Vollständigkeitseigenschaften topologischer Räume. S. 163
    • 15. Beziehungen zwischen den verschiedenen Arten allgemeiner Räume. S. 165
    • 16. Metrische Räume. Gleichmäßige Stetigkeit. S. 166
    • 17. Metrisation. S. 169
    • 18. Metrische Vollständigkeit. S. 171
    • 19. Topologie im Kiemen. Überlagerungsräume. S. 173
    • 20. Herstellung neuer topologischer Räume aus gegebenen. S. 175
    • 21. Zerlegungsräume. S. 178
    • 22. Heftung topologischer Räume. S. 180
  • III. n-dimensionale Topologie. S. 181
    • 23. Vorbemerkungen. Homogene n-dimensionale Gebilde. S. 181
    • 24. Homogene 2-dimensionale Mannigfaltigkeiten. S. 183
    • 25. Beschreibung des Zellaufbaus einer .. S. 186
    • 26. Homogene n-dimensionale Mannigfaltigkeiten. S. 187
    • 27. Beschreibung des Zellaufbaus einer .. S. 189
    • 28. Entstehung des besprochenen Mannigfaltigkeitsbegriffes. S. 191
    • 29. Allgemeinere Zellen und Zellenaufbauten. S. 193
    • 30. Berandete Mannigfaltigkeiten, n-dimensionale Komplexe. S. 194
    • 31. Topologische Invarianz der Dimensionszahl. S. 195
    • 32. Homöoinorphie der Flächen. S. 196
    • 33. Weitere Untersuchungen der n-dimensionalen Topologie. S. 200
  • IV. Kombinatorische Topologie. S. 207
    • 34. Problem einer kombinatorischen Topologie. S. 207
    • 35. Kombinatorische Zellsysteme. S. 209
    • 36. Verwandtschaft von Zellsystemen. S. 213
    • 37. Eine Hypothese. S. 214
    • 38. Neuere kombinatorische Theorien. S. 216
    • 39. Kombinatorische und n-dimensionale Topologie. S. 218
    • 40. Anwendung der kombinatorischen auf die allgemeine Topologie. Punktmengen. S. 222

V. Der Dimensionsbegriff. S. 225

    • 41. Allgemeines. S. 225
    • 42. Kurven. S. 234
  • Register zu Band III, 1. Teil. S. 238

Band 3–2-1[Bearbeiten]

C. Algebraische Geometrie. S. 1

  • 1. Kegelschnitte und Kegelschnittsysteme. Von FRIEDRICH DINGELDEY in Darmstadt. (Abgeschlossen im Januar 1903.). S. 1

I. Der Kegelschnitt als Einzelgebilde. S. 6 A. Elementare Erzeugungsweisen und Eigenschaften. S. 6

    • 1. Schnitt von Kegel und Ebene. S. 6
    • 2. Konstante Summe oder Differenz der Abstände von zwei festen Punkten. S. 7
    • 3. Diskussion der Gleichungen für Ellipse und Hyperbel. S. 9
    • 4. Definition der Kegelschnitte durch Brennpunkt und Leitlinie. Diskussion der Parabel. S. 12
    • 5. Sätze von Dupin und Dandelin. S. 12

B. Allgemeine Theorie der Kegelschnitte. S. 13

    • 6. Erzeugnis projektiver Strahlenbüschel oder Punktreihen. S. 13
    • 7. Gleichung der C2 in Punktkoordinaten. S. 16
    • 8. Schnittpunkte einer Geraden mit der C2 Pol und Polare. S. 17
    • 9. Gleichung der Kurve 2. Klasse C2. S. 19
    • 10. Weitere Sätze über Pol und Polare. Polarsystem. Poldreieck. S. 19
    • 11. Konjugierte Durchmesser. S. 21
    • 12. Kriterien der C2 und C2. S. 22
    • 13. Axen des Kegelschnitts. Imaginäres Kreispunktepaar. S. 24
    • 14. Transformation der C2 auf die Axen. S. 25
    • 15. Besondere Fälle der Axentransformation. S. 27
    • 16. Direktorkreis. Ähnliche Kegelschnitte. S. 29
    • 17. Weitere Sätze über konjugierte Durchmesser. Umschriebene oder eingeschriebene Parallelogramme. S. 30
    • 18. Satz von Pascal. S. 32
    • 19. Satz von Brianchon. Reziproke Polaren. S. 35
    • 20. Nähere Untersuchung der Konfiguration des Pascal’schen Sechsecks. S. 36
    • 21. Gewisse Reziprozitäten in der Pascal’schen Konfiguration. S. 38
    • 22. Weitere Untersuchungen über das Pascal’sche Sechseck. S. 39
    • 23. Metrische Relationen bei eingeschriebenen oder umschriebenen Polygonen. S. 41
    • 24. Veränderliche eingeschriebene Polygone. S. 42
    • 25. Konstruktion gewisser eingeschriebener Polygone. S. 44
    • 26. Schliessungssatz von Poncelet. S. 46
    • 27. Zusammenhang des Schliessungsproblems mit den elliptischen Punktionen. S. 48
    • 28. Weitere Arbeiten zum Schliessungstheorem. S. 51
    • 29. Alte und neuere Definitionen der Brennpunkte. S. 52
    • 30. Weitere Brennpunktseigenschaften. S. 56
    • 31. Gleichungen zur Bestimmung der Brennpunkte und Direktricen. S. 58

C. Normale und Krümmungskreis. S. 60

    • 32. Normale eines Kegelschnittpunktes. S. 60
    • 33. Die von irgend einem Punkt P nach einem Kegelschnitt zu ziehenden Normalen. S. 62
    • 34. Weitere Untersuchungen zum Normalenproblem. S. 65
    • 35. Besondere einfache Fälle des Normalenproblems. S. 68
    • 36. Krümmungskreis. S. 69
    • 37. Satz von Steiner über Krümmungskreise. S. 75
    • 38. Beziehungen zwischen Krümmungsradien verschiedener Punkte. S. 76
    • 39. Krümmungsradien sich berührender Kegelschnitte. S. 77
    • 40. Evolute. S. 77

D. Quadratur und Rektifikation. S. 79

    • 41. Quadratur. S. 79
    • 42. Rektifikation. Sätze von Fagnano, Landen, Euler u. A. S. 80
    • 43. Untersuchungen von Legendre und Talbot. S. 83
    • 44. Reihenentwickelungen. S. 84

E. Apparate zum Zeichnen der Kegelschnitte. S. 85

    • 45. Apparate zum Zeichnen der Kegelschnitte. S. 85
  • II. Kegelschnittsysteme. S. 88

A. Kegelschnittbüschel. S. 88

    • 46. Schnittpunkte und gemeinsames Poldreieck zweier Kegelschnitte. S. 88
    • 47. Desargues-Sturm’scher Satz. S. 91
    • 48. v. Staudt’sche Kegelschnitte. S. 92
    • 49. Polkegelschnitt einer Geraden. Mittelpunktskegelschnitt. S. 93
    • 50. Die Frage nach dem im Büschel enthaltenen Kurvenarten. S. 94
    • 51. Büschel mit einem oder mit unendlich vielen Kreisen. S. 96
    • 52. Ähnliche Kegelschnitte des Büschels und solche von kleinstem oder größtem Axenprodukt. S. 98
    • 53. Doppel verhältnis der Grundpunkte. S. 99
    • 54. Ort für die Brennpunkte der Kegelschnitte eines Büschels. S. 100
    • 55. Einige geometrische Örter. S. 101

B. Kegelschnittscharen. S. 103

    • 56. Gemeinsames Poldreiseit. S. 103
    • 57. Mittelpunktsgerade. Polarkegelschnitt. S. 104
    • 58. Art der in einer Schar enthaltenen Kurven. S. 105
    • 59. Ähnliche Kegelschnitte der Schar und solche von grösstem Axenprodukt. S. 105
    • 60. Direktorkreise der Scharkurren. S. 107
    • 61. Der Ort für die Brennpunkte der Kegelschnitte einer Schar. S. 108
    • 62. Einige geometrische Örter. S. 109
    • 63. Schar der einem Dreiseit eingeschriebenen Parabeln. S. 110
    • 64. Scharen von Kegelschnitten mit einem genieinsamen Brennpunkt. S. 112
    • 65. Konfokale Kegelschnitte. S. 113
    • 66. Elliptische Koordinaten. Satz von Ivory. S. 116
    • 67. Sätze von Chasles. S. 118
    • 68. Polarkegelschnitt der konfokalen Schar. S. 119
    • 69. Weitere Sätze von Chasles, vergleichbare Bögen. S. 120
    • 70. Büschelschar sich doppelt berührender Kegelschnitte. S. 122

C. Gemischte Kegelschnittsysteme. S. 125

    • 71. Das System S(3p, 1 g). S. 125
    • 72. Das System S(3 g, 1 p). S. 126
    • 73. Das sich selbst duale System S(2 p, 2 g). S. 127
    • 74. Das System der einen Kegelschnitt doppelt berührenden Kreise. S. 129
    • 75. Verschiedene andere Kegelschnittsysteme. S. 130
    • 76. Zahl der Kegelschnitte bei gegebenen Bedingungen, Charakteristikentheorie. S. 133

D. Kegelselnittnetze. S. 135

    • 77. Kegelschnittnetz und Hesse’sche Kurve des Netzes. S. 135
    • 78. Cayleysche Kurve des Netzes. S. 137
    • 79. System konischer Polaren einer C2. S. 138
    • 80. Netze, deren Hessiane oder Cayleysche Form verschwindet. S. 139

E. Kegelschnittgewebe. S. 139

    • 81. Kegelschnittgewebe; seine Hesse’sche und Cayley’sche Kurve. S. 139

F. Kegelschnitte und Kegelschnittsysteme in konjugierter Lage. S. 141

    • 82. Kegelschnitte in konjugierter Lage. S. 141
    • 83. Weitere Untersuchungen über konjugierte Kegelschnitte. S. 144
    • 84. Kegelschnittsysteme in konjugierter Lage. S. 145
    • 85. Besondere Fälle. S. 150

G. Invarianten von zwei und drei Kegelschnitten. S. 152

    • 86. Simultane Invarianten zweier C2. S. 152
    • 87. Beziehungen zwischen einzelnen Formen. S. 154
    • 88. Taktinvariante. Kombinante .. (x, x). S. 155
    • 89. Quadratische ternäre und biquadratische binäre Formen. S. 157
    • 90. Invarianten dreier Kegelschnitte. S. 158
  • 2. Flächen 2. Ordnung und ihre Systeme und Durchdringungskurven. Von O. STAUDE in Rostock. (Abgeschlossen im März 1904.). S. 161

I. Die Klassifikation der Flächen 2. Ordnung. S. 167

    • 1. Begriff der Fläche 2. Ordnung und das Problem der Klassifikation. S. 167
    • 2. Die Determinante der Fläche „2. Ordnung. S. 168
    • 3. Einteilung nach dem Range. S. 168
    • 4. Identität der Flächen 2. Ordnung und 2. Klasse. S. 169
    • 5. Einteilung nach Spezies. S. 170
    • 6 Einteilung nach der Schnittlinie mit der unendlich fernen Ebene. S. 171
    • 7. Die Arten der Flächen 2. Ordnung. S. 171
    • 8. Mittelpunkt, konjugierte Durchmesser und Tangenten. S. 172
    • 9. Das Hauptachsenproblem. S. 173
    • 10. Kanonische Gleichungen und Gestalt der Flächen 2. Ordnuog. S. 176
    • 11. Unterarten der Flächen 2. Ordnung. S. 176
  • II. Fläche 2. Ordnung und Ebene. S. 178
    • 12. Analytische Darstellung ebener Schnitte. S. 178
    • 13. Projektive Einteilung der Schnittkurven. S. 179
    • 14. Metrische Einteilung der Schnittkurven. S. 179
    • 15. Das Hauptachsenproblem der ebenen Schnitte. S. 180
    • 16. Kreisschnitte und Kreispunkte. S. 181
    • 19. Hauptkrümmungsradien der Fläche 2. Ordnung. S. 182
    • 18. Brennpunkte ebener Schnitte. S. 182
    • 17. Gleichseitig hyperbolische Schnitte. S. 182
    • 20. Verwandtschaft mehrer ebener Schnitte einer Fläche 2. Ordnung. S. 183
    • 21. Berührungsprobleme für ebene Schnitte. S. 183
  • III. Fläche 2. Ordnung und gerade Linie. S. 184
    • 22. Schnittpunkte mit einer Geraden. S. 184
    • 23. Doppelverhältnisse auf der Verbindungslinie zweier Punkte. S. 185
    • 24. Der Berührungskegel. S. 185
    • 25. Besondere Formen des Berührungskegels. S. 186
    • 26. Der Tangentenkomplex der Fläche 2. Ordnung. S. 186
    • 27. Polygone aus Sehnen und Tangenten. S. 187
    • 28. Verallgemeinerung des Potenzbegriffs und der Newton’schen Sätze. S. 188
  • IV. Die Erzeugenden der Fläche 2. Ordnung. S. 188
    • 29. Begriff der Erzeugenden. S. 188
    • 30. Die beiden Regelscharen. S. 189
    • 31. Analytische Darstellung der Erzeugenden. S. 189
    • 32. Leitstrahlen einer Regelschar. S. 190
    • 33. Hyperboloidische Lage von 4 Geraden. S. 190
    • 34. Komplexe, denen die Erzeugenden angehören. S. 191
    • 35. Die Erzeugenden als Träger projektiver Gebilde. S. 192
    • 36. Polygone aus Erzeugenden. S. 192
    • 37. Striktionslinien der Flächen 2. Ordnung. S. 193

V. Die Polarentheorie der Flächen 2. Ordnung. S. 193

    • 38. Begriff und Einteilung der Polarsysteme. S. 193
    • 39. Das eigentliche räumliche Polarsystem. S. 194
    • 40. Singuläre räumliche Polarsysteme. S. 195
    • 41. Poltetraeder. S. 196
    • 42. Polfünfecke, Polsechsecke u. s. w. S. 197
    • 43. Der Achsenkomplex der Fläche 2. Ordnung. S. 198
    • 44. Die Normalenkongruenz der Fläche 2. Ordnung. S. 198
    • 45. Krümmungsmittelpunktsfläche, Parallelfläche, Fusspunktfläche. S. 199
  • VI. Erzeugungen und Konstruktionen. S. 200
    • 46. Erzeugung durch projektive Gebilde 1. Stufe. S. 200
    • 47. Erzeugung durch projektive Gebilde 2. Stufe. S. 201
    • 48. Erzeugung durch projektive Gebilde 3. Stufe. S. 201
    • 49. Konstruktion der Fläche 2. Ordnung aus neun Punkten. S. 201
    • 50. Fläche durch einen Kegelschnitt und vier Punkte. S. 203
    • 51. Spezielle Erzeugungen. S. 203
    • 52. Mehrdeutige Bestimmungen. S. 203
  • VII. Die Fokaleigenschaften der Flächen 2. Ordnung. S. 204
    • 53. Das konfokale System. S. 204
    • 54. Die Fokalkegelschnitte als Grenzflächen. S. 205
    • 55. Die Fokalkegelschnitte als Ort der Spitzen von Rotationskegeln. S. 205
    • 56. Fokalkegelschnitte und Fokalachsen. S. 205
    • 57. Die Fokalkegelschnitte als Ordnungskurven. S. 206
    • 58. Die Fokalpunkte als Punktkugeln. S. 206
    • 60. Fokaleigenschaften konjugierter Fokalkegelschnitte. S. 207
    • 59. Fokaleigenschaften spezieller Flächen. S. 207
    • 61. Amiot’s und Mac Cullagh’s Fokaleigenschaften. S. 207
    • 62. Ivory’s Theorem und Jacobi’s Fokaleigenschaften. S. 208
    • 63. Staude’s Fokaleigenschaften. S. 209
    • 64. Elliptische und parabolische Koordinaten. S. 210
    • 65. Gemeinsame Tangenten zweier konfokaler Flächen. S. 211
    • 66. Fokaleigenschaften der Krümmungslinien. S. 211
  • VIII. Büschel von Flüchen 2. Ordnung. S. 212
    • 67. Begriff des Büschels. S. 212
    • 68. Die Determinante des Büschels. S. 212
    • 69. Flächenbüschel und Ebene. S. 213
    • 70. Flächenbüschel und Gerade. S. 214
    • 71. Polarentheorie im Flächenbüschel. S. 215
    • 72. Hauptpunkte und Hauptebenen. S. 215
    • 73. Die Arten des Büschels. S. 216
    • 74. Realitätsverhältnisse. S. 218
    • 75. Singuläre Büschel. S. 218
    • 76. Flächen mit gemeinsamem Kegelschnitt. S. 218
    • 77. Flächen, die sich längs eines Kegelschnittes berühren. S. 220
    • 78. Besondere metrische Natur der Grundflächen. S. 221
    • 79. Fläche 2. Ordnung und linearer Komplex. S. 222
  • IX. Transformation und Abbildung. S. 223
    • 80. Kollinearverwandtschaft zweier Flächen 2. Ordnung. S. 223
    • 81. Kollinearverwandtschaft einer Fläche 2. Ordnung mit sich selbst. S. 223
    • 82. Analytische Darstellung der Transformation der Fläche 2. Ordnung in sich. S. 224
    • 83. Die Fläche 2. Ordnung bei der allgemeinen Korrelation des Raumes. S. 225
    • 84. Die Fläche 2. Ordnung bei der Polarreziprozität. S. 225
    • 85. Polarverwandtschaft einer Fläche 2. Ordnung mit sich selbst. S. 226
    • 86. Polarverwandtschaft zweier gegebener Flächen. S. 226
    • 87. Quadratische Transformationen einer Fläche 2. Ordnung. S. 227
    • 88. Abbildung der Fläche 2. Ordnung auf die Ebene. S. 227

X. Die Raumkurven 3. Ordnung. S. 228

    • 89. Allgemeine Übersicht über die grundlegenden Arbeiten. S. 228
    • 90. Bestandteile, Ordnung, Rang und Klasse. S. 229
    • 91. Schmiegungstetraeder. S. 229
    • 92. Die Kongruenz der Sehnen. S. 230
    • 93. Der Komplex der Transversalen. S. 230
    • 94. Flächen 2. Ordnung durch die .. S. 231
    • 95. Polarentheorie der .. S. 231
    • 96. Die Möbius’schen Tetraeder. S. 232
    • 97. Konjugierte Punkte. S. 232
    • 98. Projektive Erzeugung. S. 232
    • 99. Bestimmungsstücke und Konstruktionen. S. 233
    • 100. Kubische Raumkurve im tetraedralen Komplex. S. 233
    • 101. Einteilung der .. in Arten. S. 234
    • 102. Durchmesser der .. S. 235
    • 103. Krümmungsverhältnisse. S. 235
    • 104. Metrische und Fokaleigenschaften. S. 235
    • 105. Metrische Unterarten der qp–. S. 235
    • 106. Transformation der .. in sich. S. 236
    • 107. Binäre Formen auf der .. S. 236
    • 108. Invariante Beziehung zweier .. oder einer .. und einer F2. S. 236
    • 109. Büschel und Bündel von .. S. 237
  • XI. Die Raumkurven 4. Ordnung 1. Spezies. S. 237
    • 110. Allgemeine Übersicht. S. 237
    • 111. Begriff und Arten. S. 238
    • 112. Die Singularitätenzahlen. S. 239
    • 113. Parameterdarstellung der Raumkurven 4. Ordnung. S. 239
    • 114. Die Sehnenkongruenz. S. 240
    • 115. Die Tangenten der .. S. 241
    • 116. Die Tangentialebenen der .. S. 241
    • 117. Die Schmiegungsebenen der .. S. 241
    • 119. Bestimmungsstücke und Konstruktionen. S. 242
    • 118. Der Transversalenkomplex. S. 242
    • 120. Büschel von .. auf einer Fläche 2. Ordnung. S. 243
    • 121. Punktquadrupel auf .. S. 243
    • 122. Punktetripel auf .. S. 243
    • 123. Schliessungssätze. S. 243
    • 124. Transformation der .. S. 244
    • 125. Stereographische Projektion. S. 244
    • 126. Eealitäts- und Gestaltsverhältnisse. S. 245
    • 127. Besondere Raumkurven 4. Ordnung. S. 245
  • XII. Das Flächenbündel 2. Ordnung. S. 246
    • 128. Begriff des Flächenbündels 2. Ordnung. S. 246
    • 129. Bündel und Ebene. Bündel und Gerade. S. 247
    • 130. Polarentheorie im Bündel. S. 247
    • 131. Die Kernkurve des Bündels. S. 247
    • 132. Das System der acht assoziierten Punkte. S. 248
    • 133. Spezielle Bündel. S. 249
  • XIII. Das Gebüsch von Flächen 2. Ordnung. S. 250
    • 134. Begriff des Gebüsches. S. 250
    • 135. Polarentheorie im Gebüsch. S. 250
    • 136. Projektive Beziehung auf den Ebenenraum. S. 251
    • 137. Die Kernfläche des Gebüsches. S. 251
    • 138. Die Hauptstrahlen im Gebüsch. S. 251
    • 140. Gebüsch mit einem oder mehreren Grundpunkten. S. 252
    • 139. Gebüsch und Steinersche Fläche. S. 252
    • 141. Gebüsch mit sechs Grundpunkten. S. 252
    • 142. Das Gebüsch der ersten Polaren einer F3. S. 253
    • 143. Gebüsch mit einer oder zwei Basisgeraden. S. 253
    • 144. Gebüsch mit Basiskegelschnitt. S. 254
    • 145. Gebüsch mit Polartetraeder. S. 254
  • XIV. Systeme und Gewebe 4. bis 9. Stufe. S. 254
    • 146. Begriff des Systems und Gewebes. S. 254
    • 147. Lineare Systeme und Gewebe. S. 255
    • 148. Quadratische Systeme. S. 256
    • 149. Die Kugel als Raumelernent. S. 256
  • 3. Abzählende Methoden. Von H. G. ZEUTHEN + (in Kopenhagen). (Abgeschlossen im Dezember 1905 ). S. 257

I. Allgemeines. S. 259

    • 1. Zweck. S. 259
    • 2. Allgemeine Grundbegriffe; Bezout’s Theoreme. S. 260
    • 3. Die Begriffe „allgemein“ und „speziell“; Plücker’s, Cayley’s, Salmon’s Formeln usw. S. 261
    • 4. Synthetische Benutzung schon gefundener Resultate. S. 264
  • II. Das Prinzip der Erhaltung der Anzahl (Kontinuitätsprinzip). S. 265
    • 5. Poncelet’s Kontinuitätsprinzip. S. 265
    • 6. Gebrauch des Kontinuitätsprinzips nach Poncelet. S. 267
    • 7. Vollständigere Wiederaufnahme des Kontinuitätsprinzips. S. 269
    • 8. Prinzip der Erhaltung der Anzahl. S. 270
    • 9. Induktive Erweiterungen; Cayley’s funktionale Methode; weitere Kritik. S. 271
    • 10. Aufgaben mit unendlich vielen Auflösungen. S. 275
    • 11. Aufgaben mit 0 Auflösungen. S. 277
  • III. Das Korrespondenzprinzip. S. 278
    • 12. Vorbereitung des Korrespondenzprinzips. S. 278
    • 13. Das Korrespondenzprinzip und seine ersten Anwendungen. S. 279
    • 14. Bestimmung der Anzahl zusammenfallender Auflösungen; weitere Anwendungen. S. 280
    • 15. Verwandte Methoden. S. 282
    • 16. Korrespondenz in der Ebene und im Räume von drei oder mehreren Dimensionen. S. 283
    • 17. Korrespondenzen auf einer Kurve. S. 284
  • IV. Gebrauch von den Geschlechtssätzen. S. 287
    • 18. Der einfache und erweiterte Geschlechtssatz für algebraische Kurven. S. 287
    • 19. Das Flächengeschlecht und ähnliche Zahlen. S. 289

V. Successive Einführung der Bedingungen; symbolischer Kalkül. S. 290

    • 20. Systeme von Kurven; de Jonquières' Index. S. 290
    • 21. Chasles' zwei Charakteristiken. S. 291
    • 22. Charakteristiken von Kurven- und Flächensysteinen. S. 292
    • 23. Symbolische Multiplikation. S. 293
    • 24. Schubert’s Inzidenzformeln. S. 294
    • 25. Schubert’s Koinzidenzformeln; weitere Formelbildungeii. S. 295
    • 26. Fundamentale Anzahlen, Inzidenz- und Koinziderizformeln im n-dimensionalen Raume. S. 296
  • VI. Berechnung der Charakteristiken eines Systems durch Ausartungen. S. 298
    • 27. Systeme von Kegelschnitten. S. 298
    • 28. Systeme von Flächen und Räumen 2. Ordnung. S. 299
    • 29. Kurvensysteme höherer Ordnung. S. 300
    • 30. Paare entsprechender Figuren. S. 301
  • VII. Das Charakteristikenproblem. S. 303
    • 31. Systeme 2. Ordnung. S. 303
    • 32. Andere Charakteristikensätze. S. 305
  • VIII. Anhang. S. 306
    • 33. Erneuerte Fühlung mit der algebraischen Behandlung. S. 306
    • 34. Anwendungen auf transzendente Aufgaben. S. 311
  • 4. Allgemeine Theorie der höheren ebenen algebraischen Kurven. Von LUIGI BERZOLARI in Pavia. (Abgeschlossen im Juni 1906.). S. 313

I. Allgemeines. S. 316

    • 1. Algebraische ebene Kurven; deren reelle Darstellung. S. 316
    • 2. Definitionen und elementare Eigenschaften. S. 320
    • 3. Fortsetzung; lineare Kurvensysteme. S. 325
    • 4. Das Geschlecht; der Kiernann’sche Satz über dessen Erhaltung bei birationalen Transformationen; Zeuthen’s Erweiterung. S. 329
    • 5. Polareigenschaften. S. 332
    • 6. Die Jacobi’sche Kurve dreier Kurven. S. 337
    • 7. Kovariante Kurven einer Grundkurve: Hesse’sche, Steiner’sche, Cayley-sche Kurve; Bitarigentialkurve. S. 339
    • 8. Die Plücker’schen Formeln. S. 342
    • 9. Algebraische .. Kurvensysteme; Charakteristikentheorie. S. 345
    • 10. Kurvenerzeugungen. S. 353
    • 11. Rein geometrische Untersuchungen. S. 358
  • II. Die singulären Punkte. S. 362
    • 12. Auflösung der singulären Punkte durch birationale Transformationen. S. 362
    • 13. Zweige (vollständige und partielle) als Punktörter und als Geradenörter; Reihenentwickelungen. S. 365
    • 14. Anwendungen; Multiplizität des Schnittes. S. 370
    • 15. Das Geschlecht und die adjungierten Kurven bei beliebig singulären Kurven; Erweiterung der Plücker’schen Formeln. S. 373
    • 16. Charakteristische Zahlen eines Zweiges. S. 377
    • 17. Formeln von Halphen, Smith, Zeuthen. S. 379
    • 18. Plücker’sche Äquivalente; Erzeugung der Singularität durch Grenzübergang. S. 381
  • III. Realitätsfragen und metrische Eigenschaften. S. 383
    • 19. Reelle Zweige und Züge einer ebenen algebraischen Kurve. S. 383
    • 20. Klein-Riemann’sche Flächen. S. 389
    • 21. Asymptoten, Durchmesser. Mittelpunkt, Brennpunkte. S. 392
    • 22. Evolute und andere abgeleitete Kurven. S. 401
  • IV. Die Geometrie auf einer algebraischen Kurve. S. 405
    • 23. Fundamentalsatz von Noether. S. 405
    • 24. Die linearen Scharen von Punktgruppen. S. 406
    • 26. Der Restsatz; Toll- und Teilscharen. S. 411
    • 26. Anwendung elementarer Operationen auf lineare Scharen. Scharen, welche die Summen oder Vielfache anderer Scharen sind; Residualscharen. S. 412
    • 27. Speziale und nicht-speziale Scharen. S. 414
    • 28. Das Problem der Spezialgruppen und ausgezeichneten Gruppen. S. 419
    • 29. Normalkurven. S. 422
    • 30. Die Moduln einer Klasse von algebraischen Kurven. S. 423
    • 31. Erweiterungen. Die Systeme von Schnittpunkten einer algebraischen Kurve mit nicht-adjungierten Kurven. S. 425
    • 32. Reduzible Grundkurven. S. 427
    • 33. Anwendungen. Schnittpunktsätze. S. 428
    • 34. Weitere abzählende Fragen über lineare Scharen; Berührungsaufgaben. S. 432

V. Die linearen Kurvensysteme. S. 438

    • 35. Durch die Basispunkte bestimmte lineare Kurvensystenie. S. 438
    • 36. Eigenschaften der linearen, vollständigen, irreduziblen Kurvensysteme, die bei birationalen ebenen Transformationen ungeändert bleiben. S. 442
    • 37. Klassifikation der linearen Kurvensysteme. Reduktion auf Minimalordnung durch birationale Transformationen. Lineare Kurvensysteme, welche die Abbildung von Flächen verschiedener Räume geben. Kantor’s Äqu. S. 446
    • 38. Spezielle Untersuchungen über lineare .., .., .. Kurvensysteme. S. 450

Zusätze. S. 454

  • 5. Spezielle ebene algebraische Kurven. Von G. KOHN + (in Wien) und G. LORIA in Genua. S. 457
  • a. Ebene Kurven dritter und vierter Ordnung. Von G. KOHN + (in Wien). (Abgeschlossen im Mai 1908.). S. 457

A. Ebene Kurven dritter Ordnung. S. 461 I. Einteilung und gestaltliche Verhältnisse. S. 461

    • 1. Newtons Ergebnisse. S. 461
    • 2. Einteilung nach Klasse und Geschlecht. S. 462
    • 3. Die Einteilung nach der Gestalt l. S. 464
    • 4. Das Doppelverhältnis. S. 464
    • 5. Die beiden Grundformen der nichtsingulären Kurve. S. 465
  • 6. Die Einteilung nach der Gestalt II. S. 466
  • II. Polarentheorie. S. 467
    • 7. Die beiden Polaren eines Punktes. S. 467
    • 8. Die gemischte Polare zweier Punkte und die Polare eines Kegelschnittes. S. 468
    • 9. Hessesche und Cayleysche Kurve. S. 469
    • 10. Das Netz der Polarkegelschnitte und die Scharschar der apolaren Kegelschnitte. S. 471
    • 11. Polokoniken und Autopolokoniken. S. 471
    • 12. Konjugierte Dreiecke und Vierecke. S. 472
    • 13. Apolarität, Polarseite. S. 473
    • 14. Satellitkegelschnitt, Satellitgerade. S. 474
  • III. Wendepunktfigur. S. 475
    • 15. Die Wendepunkte. S. 475
    • 16. Die vier Wendedreiseite. S. 476
    • 17. Die harmonischen Polaren der Wendepunkte. S. 477
    • 18. Die Hessesche Kollineationsgruppe. S. 478
    • 19. Die Wendetangenten. S. 479
  • IV. Bestimmungsarten für die Kurven dritter Ordnung. S. 479
    • 20. Gleichungsformeln. S. 479
    • 21. Parameter dar Stellung. S. 481
    • 22 Die Kurve dritter Ordnung als Hessesche Kurve. S. 482
    • 23. Die drei Systeme von korrespondierenden Punkten. S. 482
    • 24. Die drei Systeme von Berührungskegelschnitten. S. 483
    • 25. Eine Gruppe von Erzeugungsarten. S. 484
    • 26. Konstruktion aus neun Punkten, die Erzeugung durch zwei projektive Büschel. S. 485
    • 27. Weitere Erzeugungsarten. S. 486

V. Ternäre kubische Formen. S. 488

    • 28. Grundlegung der Theorie. S. 488
    • 29. Das vollständige Formensystem. S. 489
    • 30. Die wichtigsten Komitanten und ihre geometrische Deutung. S. 490
    • 31. Kanonisierung, irrationale Kovarianten. S. 491
  • VI. Systeme von Kurven dritter Ordnung. S. 492
    • 32. Das Kurvenbüschel dritter Ordnung. S. 492
    • 33. Das syzygetische Büschel. Die äquianharmonischen und die harmonischen Kurven dritter Ordnung. S. 493
    • 34. Das Kurvennetz dritter Ordnung und weitere Systeme. S. 495
  • VII. Die Geometrie auf der Kurve. S. 496
    • 35. Vollständige Schnittpunktsysteme. Der Restsatz. S. 496
    • 36. Grundlagen für die Verwertung der Parameterverteilung. S. 497
    • 37. Die eindeutigen algebraischen Transformationen der elliptischen Kurve in sich. S. 498
    • 38. Die Systeme von n-fachen Punkten der Vollscharen nter Ordnung. S. 500
    • 39. Schließungsprobleme, eingeschriebene Polygone und Konfigurationen. S. 501
  • VIII. Projektive Theorie der rationalen Kurven dritter Ordnung. S. 503
    • 40. Kanonische Gleichungsform und Singularitäten. S. 503
    • 41. Polarentheorie, Hessesche und Cayleysche Kurve. S. 504
    • 42. Erzeugungsarten und konstruktive Behandlung. S. 504
    • 43. Fortsetzung. Oskulanten. S. 506
    • 44. Die Kurve als rationaler Träger. S. 507
    • 45. Die Kurve mit Spitze. S. 508
  • IX. Metrik und metrisch ausgezeichnete Kurven dritter Ordnung. S. 509
    • 46. Metrische Eigenschaften der allgemeinen Kurve dritter Ordnung. S. 509
    • 47. Zirkularkurven dritter Ordnung vom Geschlecht l. S. 510
    • 48. Die Fokalkurve. S. 512
    • 49. Rationale Zirkularkurven dritter Ordnung, Zissoide, Strophoide, Slusesche Konchoide, Maclaurins Trisectrix. S. 513
    • 50. Andere metrisch ausgezeichnete Kurven dritter Ordnung. S. 516

B. Ebene Kurven vierter Ordnung. S. 517 I. Einteilung und gestaltliche Verhältnisse. S. 517

    • 51. Die projektive Einteilung. S. 517
    • 52. Die Einteilung nach der Gestalt für die nichtsinguläre C4. S. 518
    • 53. Die Gestalten der singulären Kurven. S. 521
  • II. Polaren- und Pormentheorie. S. 522
    • 54. Die Polaren eines Punktes. Kovariante Kurven, welche der Polaren-theorie entstammen. S. 522
    • 55. Die Polare einer Kurve 2. Klasse, die Antipolare einer Geraden, die Kurve 4. Klasse .. S. 523
    • 56. Die Kontravarianten P und Q und die Wendetaugenten. S. 524
    • 57. Polarfiguren. S. 525
    • 58. Das Formensystem. S. 526
  • III. Die allgemeine Kurve vierter Ordnung als Hüllkurve von Kegelschnittsystemen. S. 527
    • 59. Die Steinersche Gruppe von sechs Doppeltangentenpaaren. S. 527
    • 60. Die Cl als Einhüllende eines eindimensionalen quadratischen Kegelschnittsystems. S. 528
    • 61. Entstehungsarten eines eindimensionalen quadratischen Kegelschnitt-Systems. S. 529
    • 62. Beziehungen zwischen den 63 Systemen von Berührungskegelschnitten. S. 530
    • 63. Die 315 Kegelschnitte, welche je 8 Berührungspunkte von vier Doppeltangenten ausschneiden. S. 531
  • IV. Weitere Entstellungsarten. S. 532
    • 64. Projektive Erzeugung. Konstruktionen. S. 532
    • 65. Hesses Darstellung der C4. S. 533
    • 66. Hesses Algorithmus für die Doppeltangenten. S. 534
    • 67. Die 64 Systeme von Berührungskurven dritter Ordnung. S. 534
    • 68. Die Aronholdsche Erzeugungsweise. S. 535
    • 69. Zusammenhang zwischen den Entstehungsarten von Hesse und Aron-hold. S. 536
    • 70. Die Auffassung von Clebsch und weitere Erzeugungsarten. S. 537
    • 71. Geisers Erzeugungsweise. S. 538
    • 72. Weitere Erzeugungen. Abbildungen. S. 538

V. Gruppierungsverhältnisse der Doppeltangenten und der Systeme von Berührungskurven. S. 539

    • 73. Gruppen von Doppeltangenten. S. 539
    • 74. Berührungskurven. Charakteristikentheorie. S. 540
    • 75. Realitätstragen. S. 542
  • VI. Spezielle nichtsinguläre Kurven vierter Ordnung. S. 542
    • 76. Die Kurven mit Polardreiseit und die Kurven mit Polarvierseit. S. 542
    • 77. Eie Kurven von Clebsch, Lüroth und Humbert. S. 543
    • 78. Kurven mit Kollineationen in sich, insbesondere die Kleinsche Kurve. S. 544
  • VII. Die Kurven vom Geschlecht Zwei. S. 545
    • 79. Modifikationen der allgemeinen Theorie. S. 545
    • 80. Der Kegelschnitt von Bertini. S. 547
    • 81. Spezielle Kurven vom Geschlecht Zwei. S. 548
  • VIII. Die Kurven vom Geschlecht Eins. Bizirkularkurven vierter Ordnung. S. 549
    • 82. Modifikationen der allgemeinen Theorie. S. 549
    • 83. Erzeugungsweisen. S. 549
    • 84. Die bizirkularen Kurven vierter Ordnung als Hüllkurven von Kreissystemen. S. 551
    • 85. Fortsetzung. Anallagmatien. Fokaleigenschaften. S. 552
    • 86. Die reinen Berührungskegelschnitte einer Bizirkularkurve vierter Ordnung. S. 553
    • 87. Die bizirkularen Kurven vierter Ordnung vom Standpunkt der Inversionsgeometrie. S. 554
    • 88. Symmetrische Bizirkularkurven vierter Ordnung. S. 556
    • 89. Die Cassinischen Kurven. S. 556
    • 90. Cartesische Kurven. S. 557
  • IX. Die Kurven vom Geschlecht Null. S. 559
    • 91. Ausgezeichnete Punkte und Tangenten. Kovariante Kurven. S. 559
    • 92. Erzeugungsarten. S. 560
    • 93. Die Kurve als rationaler Träger. S. 561
    • 94. Kurven vierter Ordnung mit drei Inflexionsknoten. Lemniskate von Bernoulli. S. 563
    • 95. Die rationalen Bizirkularkurven vierter Ordnung. S. 564
    • 96. Die Pascalsche Schnecke und die Kardioide. S. 565
    • 97. Die Steinersche Hypozykloide. S. 567
    • 98. Kationale Kurven vierter Ordnung mit höheren Singularitäten. S. 569
  • b. Spezielle ebene algebraische Kurven von höherer als der vierten Ordnung. Von GINO LORIA in Genua. (Abgeschlossen im September 1914.). S. 571

Einleitung. S. 573 A. Kurven, die vom Standpunkt der Ordnung aus speziell sind. S. 573 I. Kurven 5. Ordnung. S. 573

    • 1. Allgemeines. S. 573
    • 2 Die rationalen Kurven 5. Ordnung im allgemeinen. S. 575
    • 3. Aufzählung einiger wichtiger spezieller rationaler Kurven 5. Ordnung. S. 577
    • 4. Elliptische Kurven 5. Ordnung. S. 579
    • 5. Kurven 5. Ordnung mit 4 Doppelpunkten. S. 580

Kurven der Ordnung 5 und des Geschlechts 3. S. 581

  • II. Kurven 6. Ordnung. S. 582
    • 6. Allgemeines. S. 582
    • 7. Kurven 6. Ordnung, die mit dem Normalenproblem der Kegelschnitte zusammenhängen. S. 586
    • 8. Astroiden und Skarabäen (Stern- und Käferkurven). S. 588
    • 9 Fokalkurven 6. Ordnung. S. 589
    • 10. Kurven, die mit der Bewegung eines Gelenk Vierecks verbunden sind. S. 591
    • 11. Weitere Kurven G. Ordnung. S. 593
  • III. Einige spezielle Kurven der Ordnungen 8, 12, 14 und 18. S. 596
    • 12. Aus einem oder zwei Kegelschnitten abgeleitete Kurven. S. 596
    • 13. Das Trifolium pratense. S. 597
    • 14. Die Äquiisoklinen, insbesondere Toroiden, und die Äquitangentialen der Kegelschnitte. S. 597
    • 15. Zwei in der mathematischen Physik auftretende Kurven. S. 598
  • IV. Spezielle Kurven beliebiger Ordnung. S. 600
    • 16. Verallgemeinerungen der Kegelschnitte. S. 600
    • 17. Fortsetzung. S. 603
    • 18. Multiplikatrix, Mediatrix- und Sektrixkurven. S. 604
    • 19. Die Rosenkurven. S. 606
    • 20. Algebraische Kurven, die sich selbst entsprechen vermöge einer algebraischen Transformation. S. 607
    • 21. Die irregulären Hyperbeln oder Stelloiden und die Lemniskaten höherer Ordnung oder Cassinoiden. S. 609
    • 22. Die Potentialkurven. Die Morleyschen Enveloppen. S. 609
    • 23. Algebraische Kurven, deren Rektifikation von einer vorgegebenen Funktion abhängt. S. 611
    • 24. Einige als Enveloppen definierte Kurven und Kurven, die in der mathematischen Physik auftreten. S. 612
    • 25. Eine Klasse rationaler Kurven ungerader Ordnung. S. 613

B. Kurven, die vom Standpunkt des Geschlechtes aus speziell sind. S. 614 I. Die rationalen Kurven. S. 614

    • 26. Allgemeines. S. 614
    • 27. Parameterdarstellung. S. 615
    • 28. Tangenten und vielfache Punkte. S. 617
    • 29. Wendepunkt und Doppeltangenten. S. 619
    • 30. Die Gleichung der Kurve. S. 620
    • 31. Der Abelsche Satz und der Schnittpunktsatz von W. Fr. Meyer. S. 621
    • 32. Erzeugung der rationalen ebenen Kurven. S. 624
    • 33. Weitere Untersuchungen über die rationalen Kurven. S. 625
    • 34. Die rationalen Kurven, die mit der Auflösung der Fundamentalaufgabe der Integralrechnung zusammenhängen. S. 626
  • II. Die elliptischen Kurven. S. 627
    • 35. Der Schwarz-Kleinsche Satz. Die Untersuchungen von Clebsch. S. 627
    • 36. Die Wendepunkte. S. 629
    • 37. Anwendungen der Theorie der doppeltperiodischen Funktionen auf die Theorie der elliptischen Kurven. S. 630
    • 38. Eindeutige Korrespondenzen auf den elliptischen Kurven. S. 632
  • III. Die hyperelliptischen Kurven. S. 632
    • 39. Allgemeine hyperelliptische Kurven. S. 632
    • 40. Einige besondere hyperelliptische Kurven. S. 633
  • 6 a. Grundeigensehaften der algebraischen Flächen. Von G. CASTELNUOVO in Rom und F. ENRIQUES in Bologna (jetzt in Rom). (Abgeschlossen im Jahre 1908.). S. 635
    • 1. Fläche nter Ordnung; Anzahl der Bedingungen, welche man ihr auferlegen kann. S. 636
    • 2. Schnitt einer Fläche mit einer Geraden oder einer Ebene. S. 637
    • 3. Mehrfache Punkte. S. 638
    • 4. Singuläre mehrfache Punkte. S. 639
    • 5. Durchschnitt zweier Flächen. S. 641
    • 6. Durchschnitt dreier Flächen. S. 643
    • 7. Anzahl der Punkte, welche die Schnittkurve zweier Flächen oder die Schnittpunktsgruppe dreier Flächen bestimmen. S. 643
    • 8. Konstruktion von Flächen. S. 645
    • 9. Äquivalenz- und Postulationsformeln. S. 647
    • 10. Lineares Flächensystem, definiert durch die Basiselemente. S. 648
    • 11. Polarflächen. S. 649
    • 12. Polaren eines Flächenpunktes. S. 651
    • 13. Der einer Fläche umschriebene Kegel; Klasse und Hauptcharaktere einer punkt-allgemeinen Fläche. S. 652
    • 14. Reduktion der Klasse einer Fläche durch Singularitäten derselben. S. 654
    • 15. Die reziproke Fläche. S. 655
    • 16. Relationen zwischen den charakteristischen Zahlen einer Fläche. S. 657
    • 17. Polarflächen eines variablen Punktes in bezug auf eine feste Fläche; Diskriminante der Fläche. S. 659
    • 18. Jacobische Kovarianten von zwei oder mehreren Flächen. S. 660
    • 19. Berührungsprobleme. S. 662
    • 20. Hessesche und Steinersche Kovarianten. S. 663
    • 21. Das Problem der vierpunktigen Tangenten und die Kovariante von Salmon-Clebsch. S. 665
    • 22. Über einige projektiv bemerkenswerte Flächen. S. 666
    • 23. Metrische Eigenschaften einer Fläche. Schnitt mit der unendlich fernen Ebene; Asymptotenebenen. S. 669
    • 24. Diametralebenen oder -flächen; Zentrum. S. 670
    • 25. Normalen. Fläche der Krümmungsmittelpunkte. S. 671
    • 26. Kreispunkte. S. 672
    • 27. Fokalkurve. S. 672
    • 28. Metrisch bemerkenswerte Flächen. S. 673
  • 6 b. Die algebraischen Flächen vom Gesichtspunkte der birationalen Transformationen ans. Von G. CASTELNUOVO in Rom und F. ENRIQUES in Bologna (jetzt in Rom). (Abgeschlossen im Dezember 1914.). S. 674

I. Birationale Transformationen und lineare Kurvensysteme auf einer Fläche. S. 677

    • 1. Birationale Transformationen. S. 677
    • 2. Fundamentalelemente. S. 677
    • 3. Reduktion der Singularitäten. S. 678
    • 4. Ausgezeichnete Kurven. S. 679
    • 5. Einteilung der algebraischen Flächen in Klassen. S. 680
    • 6. Lineare Systeme von Kurven auf einer Fläche. S. 680
    • 7. Transformation einer Fläche hinsichtlich der gegebenen linearen Systeme. S. 686
    • 8. Vollständige lineare Systeme. S. 687
    • 9. Addition und Subtraktion linearer Systeme. S. 688
    • 10. Adjungierte und subadjungierte Flächen. S. 689
  • II. Die Theorie der Invarianten. S. 690
    • 11. Die Invariantentheorie nach M. Noether. S. 690
    • 12. Zu einem linearen System adjungierte Kurven. S. 694
    • 13. Die Theorie der Invarianten nach F. Enriques. S. 697
    • 14. Über einige bemerkenswerte Ausdrücke numerischer Invarianten. S. 700
    • 15. Algebraische Korrespondenzen zwischen zwei Flächen. S. 702
  • III. Über die Ausdehnung des Theorems von Riemann-Boch und über die nicht-linearen kontinuierlichen Systeme von Kurven, welche einer Fläche angehören. S. 704
    • 16. Die charakteristische Schar eines linearen Systems. S. 704
    • 17. Ausdehnung des Theorems von Eiemann-Roch. S. 705
    • 18. Kontinuierliche nicht-lineare Kurvensysteme. S. 707
    • 19. Die Mannigfaltigkeit von Picard, welche mit einer irregulären Fläche verknüpft sind. S. 709
    • 20. Flächen, welche ein irrationales Büschel von Kurven und Ungleichheit zwischen pa und pg besitzen. S. 710
    • 21. Kurven und Systeme von äquivalenten Kurven auf einer Fläche. S. 711
    • 22. Moduln einer Klasse von algebraischen Flächen. S. 713
  • IV. Die Theorie der Flächen in Beziehung auf die Integrale, welche mit den Flächen verknüpft sind. S. 714
    • 23. Integrale, welche mit einer Fläche verknüpft sind. S. 714
    • 24. Doppelintegrale erster Gattung. S. 716
    • 25. Klassifikation der einfachen Integrale. S. 716
    • 26. Einfache Integrale erster Gattung. S. 718
    • 27. Einfache Integrale zweiter Gattung. S. 721
    • 28. Die einfachen Integrale, welche mit einer Fläche verknüpft sind, und die Irregularität dieser Fläche. S. 723
    • 29. Einfache Normalintegrale. S. 725
    • 30. Abelsches Theorem auf den Flächen. S. 726
    • 31. Einfache Integrale dritter Gattung. S. 727
    • 32. Über die Basis für die Kurvensysteme einer Fläche. S. 728
    • 33. Doppelintegrale zweiter Gattung. S. 731

V. Über gewisse Familien bemerkenswerter Flächen und über die Klassifikation der algebraischen Flächen. S. 734

    • 34. Flächen, welche ein Büschel von rationalen Kurven enthalten. S. 734
    • 35. Doppelebenen von Clebsch-Noether. S. 736
    • 36. Die Rationalität einer Fläche als Folge der Existenz eines gewissen Kurvensystems auf derselben. S. 739
    • 37. Rationalität der ebenen Involutionen. S. 740
    • 38. Die rationalen und die Regelflächen nach den Werten des Geschlechts und den Mehrgeschlechtern charakterisiert. S. 742
    • 39. Flächen, welche eine kontinuierliche Schar automorpher birationaler Transformationen gestatten. S. 744
    • 40. Hyperelliptische Flächen. S. 748
    • 41. Flächen, welche eine unendliche diskontinuierliche Schar von automorphen birationalen Transformationen gestatten. S. 752
    • 42. Flächen vom Geschlecht l. S. 753
    • 43. Reguläre Flächen vom Geschlecht 0 und vom Doppelgeschlecht 1. S. 756
    • 44. Flächen mit einer kanonischen oder mehrkanonischen Kurve der Ordnung 0. S. 757
    • 45. Flächen vom linearen Geschlecht p(1) = 1. S. 758
    • 46. Über die Klassifikation der algebraischen Flächen. S. 759
  • VI. Einige Bemerkungen über die algebraischen Mannigfaltigkeiten von drei Dimensionen. S. 761
    • 47. Über die Invarianten einer algebraischen Mannigfaltigkeit. S. 761
    • 48. Einige die rationalen Mannigfaltigkeiten betreffende Fragen. S. 767

Band 3–2-2-A[Bearbeiten]

C. Algebraische Geometrie. (Fortsetzung.). S. 769

  • 7. Mehrdimensionale Räume. Von C. SEGRE in Turin. (Abgeschlossen Ende 1912.). S. 769
    • 1. Geschichtliche Einleitung. S. 772

I. Allgemeines. S. 788

    • 2. Unterräume eines Raumes. S. 788
    • 3. Grundgebilde. S. 794
    • 4. Geometrische Größen. Bewegungen. S. 797
    • 5. Verschiedenes über Polytope, Sphären usw. S. 805
    • 6. Grundbegriffe der algebraischen Mannigfaltigkeiten. S. 808
    • 7. Abzählendes über Unterräume. S. 813
  • II. Projektivität. S. 820
    • 8. Projektivitäten. S. 820
    • 9. Durch projektive Gebilde erzeugte Mannigfaltigkeiten. S. 825
    • 10. Eine besondere Klasse solcher Mannigfaltigkeiten. S. 828
    • 11. Involutorische Projektivitäten. S. 830
    • 12. Einige Konfigurationen. S. 834
    • 13. Das Problem der Projektivität. S. 838
    • 14. Klassifikation der Kollineationen. S. 840
    • 15. Weiteres über Kollineationen. S. 846
  • III. Mannigfaltigkeiten 2. Grades. S. 849
    • 16. Die Mannigfaltigkeiten 2. Grades. S. 849
    • 17. Abzählendes über F2. S. 855
    • 18. Kollineationen, die eine Mannigfaltigkeit 2. Grades in sich überführen. S. 857
    • 19. Allgemeine (nicht-euklidische) Metrik. S. 859
    • 20. Büschel von Mannigfaltigkeiten 2. Grades Q. System von zwei (oder mehreren) Q. S. 862
    • 21. Scharen von Mannigfaltigkeiten 2. Grades, insbesondere konfokale. S. 869
  • IV. Nullsysteme. S. 871
    • 22. Nullsysteme und lineare Strahlenkomplexe. S. 871
    • 23. Weiteres über Reziprozitäten. S. 877

V. Kurven. S. 878

    • 24. Kurven; ihre Charaktere. S. 878
    • 25. Weitere Charaktere. Schneidende und berührende Räume. S. 885
    • 26. Spezialkurven, Normalkurven, Postulation usw. S. 890
    • 27. Rationale Kurven. S. 894
    • 28. Elliptische Kurven. S. 902
  • VI. Flächen. S. 905
    • 29. Flächen; ihre Tangentialräume usw. S. 905
    • 30. Rationale Regelflächen. S. 909
    • 31. Regelflächen im allgemeinen. S. 911
    • 32. Rationale Flächen. S. 913
    • 33. Veroneses F4. S. 916
    • 34. Die F4 des S4. S. 918
    • 35. Die Fn des Sn + 1, Sn. S. 919
    • 36. Flächen von gegebenem Schnittgeschlecht. S. 921
  • VII. Höhere Mannigfaltigkeiten. S. 922
    • 37. Höhere Mannigfaltigkeiten; ihre Tangentialräume und Charaktere. S. 922
    • 38. Einige Erzeugungen der Mannigfaltigkeiten. Durch Matrizes darstellbare Gebilde. S. 927
    • 39. Hyperflächen. S. 932
    • 40. Systeme von Hyperflächen. Moduln. Postulation. S. 939
    • 41. Durchschnitte von Mannigfaltigkeiten. S. 944
    • 42. Kubische Hyperflächen. S. 946
    • 43. Die Örter von .. 1 R. S. 954
    • 44. Andere besondere Mannigfaltigkeiten. S. 957
  • VIII. Sk-Geometrie. S. 964
    • 45. Über Linien- und Sk-Geometrie im Sn. S. 964
  • IX. Korrespondenzprinzipien. S. 968
    • 46. Korrespondenzprinzipien im Sn. S. 968

X. Hyperalgebraische Geometrie. S. 970

    • 47. Hyperalgebraische Geometrie. S. 970
  • 8. Algebraische Liniengeometrie. Von KONRAD ZINDLER in Innsbruck. (Abgeschlossen im April 1921.). S. 973

I. Allgemeines und lineare Gebilde. S. 976

    • 1. Einleitung. Begründung der Liniengeometrie durch Plücker. S. 976
    • 2. Systeme mehrerer Geraden. S. 982
    • 3. Koordinatentransformation; allgemeine Linienkoordinaten; Cayley, Klein. S. 988
    • 4. Liniengebilde und Stabgebilde. S. 990
    • 5. Die ersten Entdecker des Nullsystems. S. 996
    • 6. Definition und projektive Eigenschaften des Nullsystems und des Strahlengewindes. S. 1000
    • 7. Metrische Eigenschaften des Gewindes. S. 1006
    • 8. Zusammenhänge mit der Bewegungslehre und der Mechanik. S. 1010
    • 9. Erzeugungs- und Bestimmungsweisen des Gewindes und des Nullsystems. S. 1015
    • 10. Die linearen Stabwälder. S. 1020
    • 11. Gebilde, die mit einem Gewinde zusammenhängen. S. 1021
    • 12. Die Strahlennetze. S. 1027
    • 13. Das Zylindroid. S. 1037
    • 14. Die Komplexbüschel. S. 1042
    • 15. Imaginäre Elemente. S. 1047
    • 16. Der Komplexraum und seine Gebiete im allgemeinen. S. 1052
    • 17. Die Komplexnetze und ihre Achsenkongruenzen. S. 1061
    • 18. Die Komplexwälder (Komplexgewebe) und ihre Achsenörter. S. 1066
    • 19. Die Komplexgebüsche und ihre Achsenörter. S. 1068
    • 20. Abbildungen des Komplexraums und des Geradenraums. S. 1069
    • 21. Symbolische Methoden und Invarianten. S. 1071
    • 22. Die Methode von Klein. S. 1075
    • 23. Verallgemeinerung auf den Rn. S. 1081
  • II. Algebraische Komplexe. S. 1086
    • 24. Allgemeine Theorie der algebraischen Komplexe. S. 1086
    • 25. Fortsetzung: Polarkomplexe. S. 1095
    • 26. Schluß: Konsinguläre Komplexe. S. 1098
    • 27. Allgemeine Sätze über quadratische Komplexe. S. 1099
    • 28. Die Komplexflächen der quadratischen Komplexe. S. 1103
    • 29. Metrische Eigenschaften der quadratischen Komplexe. S. 1107
    • 30. Die Polarität bezüglich eines quadratischen Komplexes. S. 1110
    • 31. Die Charakteristik und die Elementarteiler. S. 1112
    • 32. Segres Theorie der quadratischen Komplexe. S. 1115
    • 33. Konsinguläre quadratische Komplexe. S. 1122
    • 34. Die Doppellinien der quadratischen Komplexe. S. 1124
    • 35. Die Einteilung der quadratischen Komplexe in Gattungen. S. 1126
    • 36. Die Kummerschen Flächen. S. 1133
    • 37. Die Komplexe der Gattung eins. S. 1141
    • 38. Die harmonischen Komplexe; Battaglini. S. 1147
    • 39. Die tetraedralen und die anderen Kollineationskomplexe. S. 1150
    • 40. Die übrigen Gattungen quadratischer Komplexe. S. 1161
    • 41. Komplexe höheren als zweiten Grades. S. 1166
  • III. Algebraische Strahlenkongruenzen. S. 1174
    • 42. Allgemeine Theorie der algebraischen Strahlenkongruenzen. S. 1174
    • 43. Die Kongruenzen erster Ordnung. S. 1184
    • 44. Die Kongruenzen zweiter Ordnung ohne Brennlinien im allgemeinen. S. 1185
    • 45. Die quadratischen Kongruenzen. S. 1190
    • 46. Die Kongruenzen zweiter Ordnung und höherer Klasse ohne Brennlinien und die dualen. S. 1197
    • 47. Strahlenkongruenzen zweiter Ordnung mit Brennlinien. S. 1201
    • 48. Die Kongruenzen höherer als zweiter Ordnung und Klasse. S. 1205
  • IV. Algebraische Regelflächen. S. 1210
    • 49. Allgemeine Theorie der algebraischen Begelflächen. S. 1210
    • 50. Die windschiefen Segelflächen dritten Grades. S. 1214
    • 51. Die windschiefen Regelflächen vierten Grades. S. 1217
    • 52. Die windschiefen Flächen höheren als vierten Grades. S. 1221

V. Anhang. S. 1222

    • 53. Liniengeometrische Konnexe. S. 1222
    • 54. Höhere räumliche Nullsysteme. S. 1225
  • 9. Algebraische Raumknrven und abwickelbare Flächen. Von K. ROHN + und L. BERZOLARI in Pavia. (Abgeschlossen im Juli 1926 ). S. 1229

I. Definition und Darstellung einer algebraischen Kaumkurve und die grundlegenden Eigenschaften, die sich daraus ergeben. S. 1233

    • 1. Allgemeine Definition. S. 1233
    • 2. Algebraische Raumkurven als Schnitte mehrerer algebraischer Flächen und als birationale Transformierten ebener algebraischer Kurven. S. 1236
    • 3. Die monoidale Darstellung. S. 1238
    • 4. Darstellung einer Kurve vermittels des Komplexes ihrer Treffgeraden. S. 1240
    • 5. Darstellung einer Kurve durch eine Schar von Kegelflächen, die durch sie gelegt werden können. S. 1241
  • II. Das Geschlecht und die Kegel durch die von einem Punkte ausgehenden Sehnen. S. 1244
    • 6. Das Geschlecht einer Raumkurve. S. 1244
    • 7. Das Maximalgeschlecht einer Baumkurve von gegebener Ordnung. S. 1246
    • 8. Geschlecht einer auf einer Regelfläche (speziell auf einem Kegel) liegenden Kurve. S. 1246
    • 9. Kegel, welche die von einem Punkte ausgehenden Sehnen einer Raumkurve enthalten. S. 1247
  • III. Die singulären Punkte. S. 1251
    • 10. Zweige einer algebraischen Raumkurve. S. 1251
    • 11. Auflösung der Singularitäten. S. 1255
    • 12. Irreduzible Raumkurven mit beliebigen Singularitäten als Grenzfälle von Raumkurven ohne mehrfache Punkte. S. 1258
    • 13. Schnitt algebraischer Kurven und Flächen. S. 1260
    • 14. Klasse und Rang einer algebraischen Raumkurve; ihre Tangentenfläche. S. 1261
    • 15. Differential-In- und -Kovarianten auf den Raumkurven. S. 1263
    • 16. Bildung höherer Singularitäten aus den gewöhnlichen. S. 1265
  • IV. Fragen und Formeln abzählender Natur. S. 1267
    • 17. Die Cayleyschen Formeln für die Anzahlen der gewöhnlichen Singularitäten der Raumkurven und ihrer abwickelbaren Flächen. S. 1267
    • 18. Allgemeinere Formeln. S. 1270
    • 19. Andere Resultate von Salmon, Zeuthen, Cremona über die Singularitäten der abwickelbaren Fläche einer Raumkurve. S. 1271
    • 20. Die vollständige Schnittkurve zweier Flächen. S. 1275
    • 21. Fall einer zerfallenden Schnittkurve zweier Flächen. S. 1277
    • 22. Die Äquivalenz einer Raumkurve. S. 1279
    • 23. Weitere Ergebnisse abzählender Art über Sekanten und Tangenten algebraischer Raumkurven. S. 1281
    • 24. Fortsetzung; Regelflächen von Geraden, welche eine oder mehrere gegebene algebraische Kurven treffen. S. 1284
    • 25. Anzahlen für Kegelschnitte, die gegebene algebraische Kurven schneiden oder berühren. S. 1286
    • 26. Beurteilung der vorhergehenden Ergebnisse. S. 1289

V. Die Schnittpunktstheorie und die Geometrie auf einer algebraischen Raumkurve. S. 1290

    • 27. Schnittpunktssätze für algebraische Raumkurven und Flächen. S. 1290
    • 28. Fortsetzung; Anwendungen des Abelschen Theorems; Berührungsaufgaben. S. 1295
    • 29. Die Geometrie auf einer algebraischen Raumkurve; die Postulation einer Raumkurve für Flächen gegebener Ordnung; Sätze von M. Noether. S. 1297
    • 30. Untersuchungen von G. Castelnuovo. S. 1301
    • 31. Andere Untersuchungen über die Postulation. S. 1303
    • 32. Das Problem der Postulation in Beziehung zur Modultheorie. S. 1305
    • 33. Das Problem der Postulation in Beziehung zu den Ordnungen der Kurven, die zur ebenen Projektion einer Raumkurve adjungiert sind. Maximalgeschlecht der Kurven, die auf Flächen gegebener Ordnung l. S. 1306
  • VI. Klassifikation der Raumkurven; die Gesamtheit der Raumkurven Rpn. S. 1308
    • 34. Vorläufige Bemerkungen über die Bestimmung einer Kurvengattung. S. 1308
    • 35. Kurvenfamilien und Konstantenzahl. S. 1310
    • 36. Exkurs über die Familien von ebenen algebraischen Kurven. S. 1314
    • 37. Weiteres über Kurvenfamilien; Kurven mit Knotenpunkten und zerfallende Kurven. S. 1317
    • 38. Das Problem der Klassifikation der algebraischen Raumkurven. S. 1319
    • 39. Das Problem bei G. Ralphen. S. 1321
    • 40. Das Problem bei M. Noether. S. 1325
    • 41. Fortsetzung; weiteres über die Bestimmung der Konstantenzahl. S. 1329
    • 42. Das Problem bei F. Severi. S. 1331
    • 43. Hinweis auf den Zusammenhang der allgemeinen Theorie der algebraischen Raumkurven mit den neueren Untersuchungen über die Geometrie auf einer algebraischen Fläche. S. 1334
  • VII. Erzeugungen von Raumkurven. S. 1335
    • 44. Erzeugung algebraischer Raumkurven. S. 1335
  • VIII. Algebraische Systeme algebraischer Raumkurven. S. 1336
    • 45. Algebraische Systeme algebraischer Raumkurven. S. 1336
  • IX. Gestaltliche Eigenschaften und Realitätsverhältnisse algebraischer Raumkurven. S. 1340
    • 46. Paare und unpaare geschlossene Züge von Raumkurven und Mäntel von Flächen. S. 1340
    • 47. Realitätseigenschaften der algebraischen Raumkurven. S. 1344

X. Metrische Eigenschaften der algebraischen Raumkurven. S. 1348

    • 48. Mittelpunkt und Durchmesser. S. 1348
    • 49. Fußpunktkurve, abwickelbare Polarfläche, rektifizierende Fläche, Hauptnormalen, Binormalen, Parallelfläche. S. 1350
    • 50. Bogen einer algebraischen Raumkurve, deren algebraische Summe durch rationale Funktionen ausgedrückt werden kann. S. 1352
  • XI. Besondere algebraische Raumkurven. S. 1353
    • 51. Die irreduziblen Raumkurven der ersten sechs Ordnungen ohne mehr-fache Punkte. S. 1353
    • 52. Algebraische Kurven, die durch lineare oder nicht-lineare algebraische Systeme algebraischer Flächen erbalten werden; Kurven, die sich durch Nullsetzen einer Matrix von Formen darstellen lassen. S. 1356
    • 53. Kurven, deren Tangenten einem gegebenen Strahlenkomplex, insbesondere einem linearen oder tetraedralen angehören. S. 1359
    • 54. Rationale Raumkurven. Vorläufige Eigenschaften; Fragen abzählender Natur. S. 1363
    • 55. Beziehungen zur Theorie der Kombinanten und der Apolarität. S. 1365
    • 56. Erzeugung rationaler Raumkurven. S. 1368
    • 57. Rationale Raumkurven mit vier Hyperoskulationspunkten. S. 1369
    • 58. Algebraische W- Raumkurven. S. 1371
    • 59. Rationale Raumkurven 4. Ordnung. S. 1373
    • 60. Fortsetzung. Spezielle Fälle: Kurve mit Knoten-, mit stationärem Punkt, äquianharmonische Kurve und Kurve mit einer oder zwei stationären Tangenten. S. 1383
    • 61. Rationale Raumkurven 5., 6. und 7. Ordnung. S. 1387
    • 62. Abwickelbare Flächen, speziell der ersten sieben Ordnungen. S. 1394
    • 63. Kurven, die eine lineare Schar g1k enthalten; speziell elliptische und hyperelliptische Baumkurven. S. 1395
    • 64. Raumkurven 5. Ordnung vom Geschlecht 1. S. 1396
    • 65. Raumkurven 5. Ordnung vom Geschlecht 2. S. 1397
    • 66. Raumkurven 6. Ordnung vom Geschlecht 1. S. 1398
    • 67. Raumkurven 6. Ordnung vom Geschlecht 2. S. 1400
    • 68. Raumkurven 6. Ordnung vom Geschlecht 3. S. 1401
    • 69. Raumkurven 6, Ordnung vom Geschlecht 4. S. 1406
    • 70. Weitere besondere Raumkurven und Klassen von Raumkurven. S. 1409
    • 71. Algebraische algebraisch rektifizierbare Raumkurven. S. 1415
    • 72. Algebraische Minimalkurven (und -flächen). S. 1418
    • 73. Algebraische Raumkurven konstanter Torsion. S. 1424
  • XII. Algebraische Systeme besonderer algebraischer Raumkurven. S. 1426
    • 74. Systeme von Kegelschnitten im Raum. S. 1426
    • 75. Algebraische Systeme ebener algebraischer Kurven in beweglicher Ebene. S. 1431
    • 76. Systeme gewundener Kurven 3. Ordnung. Andere Systeme besonderer algebraischer Raumkurven. S. 1432

Band 3–2-2-B[Bearbeiten]

C. Algebraische Geometrie. (Fortsetzung.). S. 1437

    • 10. Spezielle algebraische Flächen. S. 1437
  • a) Flächen dritter Ordnung. Von W. FR. MEYER + (Abgeschlossen im September 1928.). S. 1437

I. Historische Entwicklung der Haupteigenschaften der Fläche. S. 1439

    • 1. Erstes Auftreten der allgemeinen F3 bei Plücker und Magnus. S. 1439
    • 2. Erste Grundlegung der Theorie. Die Bestimmung der 27 Geraden und 45 Ebenen nach Salmon und Cayley. S. 1441
    • 3. Sylvesters Pentaeder und Steiners Kernfläche. S. 1445
    • 4. Singularitäten. Klasse der Fläche. Einteilung in Arten nach Schläfli und Cayley. S. 1448
    • 5. Fortsetzung. Einfluß der Singularitäten auf die 27 Geraden und 45 Ebenen. S. 1450
    • 6. Realitätsverhältnisse bei den 27 Geraden und 45 Ebenen. Die fünf Schläflischen Typen singularitätenfreier Flächen. S. 1450
    • 7. Graßmanns Erzeugungen der Fläche. S. 1450
    • 8. Steiners Erzeugungen der Fläche. Konjugierte Trieder. S. 1454
    • 9. Erzeugungen der Fläche nach August, Sturm und Schroeter. Konjugierte Tetraeder. Weitere Erzeugungen. S. 1455
    • 10. Schläflis Diskussion der 27 Geraden und 45 Ebenen. Sechsen und Doppelsechsen. Fünfen. S. 1461
    • 11. Clebschs Abbildung der Fläche auf eine Ebene. Geometrie auf der Fläche. Schiefe Projektion. Sekantenprojektion und Sekantenabbildung. S. 1462
    • 12. Formentheoretische Behandlung der Fläche. S. 1479
    • 13. Eeziprokalflächen. Die Steinersche Fläche 8 als Reziproke einer F3 mit vier Knoten und ihre Abbildung auf die Ebene. S. 1483
    • 14. Regelflächen 3. Ordnung und ihre Abbildung. Die Cayleysche Fläche. S. 1490
  • II. Systematischer Ausbau der Theorie. S. 1496
    • 15. Cremonas und Sturms Preisarbeiten. Kurven auf der Fläche. S. 1496
    • 16. Geisers Projektion der Fläche von einem ihrer Punkte aus. Segres Projektion vom S4 aus. S. 1498
    • 17. Gestaltliche Verhältnisse der Fläche. Modelle. F. Kleins Auflösung von Knotenpunkten. Juels topologische Flächen 3. Ordnung. S. 1504
    • 18. Zusammenhang zwischen den 27 Geraden und dem Pentaeder nach Cremona und Beltrami. S. 1509
    • 19. Fortsetzung. Binäre Beziehungen der Fläche auf kubische Raumkurven nach W. Fr. Meyer. Ergänzungen von Waelsch. S. 1510
    • 20. Das Gebüsch der ersten Polaren der Fläche. S. 1515
    • 21. Lineare Konstruktionen der Fläche. Allgemeinere Gesichtspunkte bei v. Escherich. S. 1517
    • 22. Gruppentheoretische Behandlung der Fläche, besonders ihrer 27 Geraden, nach Klein und Burkhardt, sowie von Coble. S. 1519
    • 23. Spezielles. S. 1524
    • 24. Das Zylindroid. S. 1527
    • 10. Spezielle algebraische Flächen. S. 1533
  • b) Flächen vierter und höherer Ordnung. Von W. FR. MEYER + (Abgeschlossen im August 1930.). S. 1533
  • I. Einleitung und Übersicht. Reziproke Erzeugung der F4, JP5, .. durch Flächen niederer Ordnung nach Reye und v. Escherich. Rationale und andere Kurven, nebst ihren Invarianten, auf besonderen F4. Kanonisierun. S. 1537
    • 1. Einleitung und Übersicht. S. 1537
    • 2. Reziproke Erzeugung der F4, F5, .. durch Flächen niederer Ordnung nach Reye und v. Escherich. S. 1540
    • 3. Rationale und andere Kurven, nebst ihren Invarianten, auf besonderen F4. S. 1545
    • 4. Die Kanonisierung der F4 und Reyes Dekaeder. Sonderfälle. S. 1554
    • 5. Formen theoretisches. Übertragungsprinzipien. S. 1560
  • II. Kummers Untersuchung der F4 mit Scharen von Kegelschnitten. S. 1568
    • 6. Einleitung. Hilfssätze. S. 1568
    • 7. Erster Hauptfall (I): Die Ebenen H sind vom Typus T0. Die F4 mit einer Doppelgeraden .. Die Dupinsche Zyklide. Die F4 mit zwei Selbstberührungspunkten. S. 1570
  • 8. Zweiter Hauptfall (II): Die H sind vom Typus T1. Die Steinersche Fläche S. S. 1572
  • 9. Dritter Hauptfall (III): Die H sind vom Typus T2. Die F4 mit Doppelkegelschnitt C2. Die fünf Kummerschen Kegel. S. 1574
  • III. Die F4 mit Doppelkegelschnitt. S. 1575
    • 10. Die Abbildung der F4 auf eine Ebene nach Clebsch. Die 16 Geraden auf der F4. S. 1575
    • 11. Die Vieren und Doppelvieren. S. 1578
    • 12. Die Kegelschnitte auf der F4. S. 1581
    • 13. Die Kurven 3. Ordnung Cs auf der F4. S. 1586
    • 14. Die rationalen Kurven 4. Ordnung R4 auf der F4 und ihre Beziehung zu den Vieren zweiter Art. S. 1587
    • 15. Fall eines Knotenpunktes D2 auf der F4. S. 1588
    • 16. Die zur Bestimmung der 16 Geraden g dienende Gleichung 5. Ordnung. S. 1589
    • 17. Erzeugung der F4 durch zwei projektive F2-Büschel. Die synthetischen Untersuchungen von Juel und Bobek. S. 1591
    • 18. Die vier Kuspidalpunkte der F4. F4 mit Kuspidalkegelschnitt. S. 1594
    • 19. Die Zeuthensche Tangentenprojektion der F4 von einem Punkte des Doppelkegelschnitts aus. Die Projektion der F4 von der Spitze eines Kummerschen Kegels aus. Erzeugung der F4. S. 1599
    • 20. Die Segresche Projektion vom S4 aus. Die Veronesesche Konstruktion. S. 1611
  • IV. Die Zykliden. S. 1618
    • 21. Die Zykliden als F4 mit dem Kugelkreis als Doppelkegelschnitt. S. 1618
    • 22. Die Untersuchung von Casey. S. 1619
    • 23. Einführung der pentasphärischen Koordinaten nach Darboux. S. 1621
    • 24. Konfokale Zykliden. S. 1622
    • 25. Zykliden und Fokalflächen. S. 1622
    • 26. Transzendente Darstellung der Zykliden nach Domsch. S. 1625
    • 27. Die Dupinsche Zyklide. S. 1626
    • 28. Fokalkurven und Abstandsrelationen. S. 1627
    • 29. Die Krümmungslinien auf den Zykliden Z. S. 1628

V. F4 mit einer Doppelgeraden g. S. 1629

    • 30. Einleitung. S. 1629
    • 31. Vorstufen zu einer F4 mit g. S. 1630
    • 32. Die 16 Geraden auf der Fläche. S. 1631
    • 33. Abbildung der Fläche auf eine Ebene. S. 1632
    • 34. Die Kegelschnitte auf der Fläche. S. 1632
    • 35. Die vier Kuspidalpunkte der F4 mit .. Die F4 mit einer Kuspidalgeraden. S. 1634
    • 36. Spezielle F4 mit einer Doppelgeraden. S. 1636
  • VI. F4 mit dreifachem Punkt und solche mit einer dreifachen Geraden. S. 1637
    • 37. F4 mit dreifachem Punkt und ihre Abbildung auf die Ebene. S. 1637
    • 38. Erzeugung der Fläche durch zwei projektive F2-Büschel. S. 1639
    • 39. Die Untersuchung von Rohn_. S. 1640
    • 40. F4 mit dreifacher Geraden .. und ihre Abbildung. S. 1641
    • 41. Die F4 mit .. als Achsenfläche einer kubischen Raumkurve. S. 1645
  • VII. Die Steinersche Fläche. S. 1647
    • 42. Einleitung. S. 1647
    • 43. Abbildung der Fläche auf eine Ebene. S. 1647
    • 44. Normaldarstellungen der Fläche. S. 1651
    • 45. Weiteres zur Abbildung der Fläche. S. 1654
    • 46. Die Haupttangentenkurven der Fläche. S. 1654
    • 47. Der Satz von Lie. S. 1655
    • 48. Die Sätze von Darboux, Picard und Castelnuovo. S. 1657
    • 49. Verallgemeinerungen der Weierstraßschen Darstellung der Fläche. S. 1658
    • 50. Metrische Beziehungen. S. 1659
    • 51. Die Krümmungslinien auf der Fläche S. S. 1659
  • VIII. Rationale Flächen vierter und höherer Ordnung. S. 1660
    • 52. Einleitung. S. 1660
    • 53. Die Typen rationaler F4. S. 1660
  • IX. Flächen vierter und höherer Ordnung mit endlichvielen Geraden. S. 1662
    • 54. Flächen vierter und höherer Ordnung ohne Singul aritäten mit einer endlichen Anzahl von Geraden. S. 1662
    • 55. Flächen vierter und höherer Ordnung mit Singularitäten und einer endlichen Anzahl von Geraden. S. 1670

X. Flächen 4. Ordnung mit weniger als 16 Doppelpunkten. S. 1671

    • 56. Einleitung. S. 1671
    • 57. Die Untersuchungen von Cayley. S. 1671
    • 58. F4 mit zwei Selbstberührungspunkten. F4 mit vier uniplanaren Doppelpunkten. S. 1672
    • 59. F4 mit vier beliebigen Doppelpunkten. S. 1675
    • 60. Die Weddlesche Fläche 4. Ordnung. S. 1680
    • 61. F4 mit acht assoziierten Doppelpunkten. S. 1681
    • 62. Das Cayleysche Symmetroid. Die desmische Fläche 4. Ordnung. S. 1681
    • 63. Die Untersuchung von Rohn über F4 mit 9 bis 15 Doppelpunkten. S. 1683
  • XI. Die Weddlesche und die Kummersche Fläche. Das Tetraedroid und die Wellenfläche. S. 1685
    • 64. Das allgemeine F2-Gebüsch. Die Kegelspitzenfläche und ihre Bildfläche. S. 1685
    • 65. Das F2-Gebüsch mit sechs Grundpunkten. S. 1689
    • 66. Die Weddlesche Fläche und die Kummersche Fläche als ihre Bildfläche. Invariante Darstellung beider Flächen. S. 1692
    • 67. Die Kummersche Fläche als Projektion vom S4 aus. S. 1703
    • 68. Die 16 D2 und 16 .., syzygetische und azygetisehe Tetraeder der Kummerschen Fläche. Normaldarstellungen. Die lineare Konstruktion von H. Weber. Die Kummersche Konfiguration. S. 1708
    • 69. Liniengeometrische Behandlung der Kummerschen Fläche. Die Kummer-sche Fläche als Singularitätenfläche eines quadratischen Komplexes und als Brennfläche einer quadratischen Kongruenz. S. 1721
    • 70. Die Haupttangentenkurven der Kummerschen Fläche. S. 1725
    • 71. Transzendente Behandlung der Kummerschen Fläche. S. 1727
    • 72. Konfigurationen, die der Kummerschen Fläche zugleich ein- und umbeschrieben sind. S. 1737
    • 73. Das Cayleysche Tetraedroid und die Wellenfläche. S. 1739
    • 74. Die Haupttangentenkurven und die Krümmungslinien auf der Wellenfläche. S. 1741
  • XII. Regelflächen vierter und höherer Ordnung. S. 1744
    • 75. Einleitung über Regelflächen 4. Ordnung R-F4. S. 1744
    • 76. Die abwickelbare R-F4. S. 1745
    • 77. Die R-F4 mit dreifacher Geraden .. Unterarten. S. 1745
    • 78. R-F4 mit irreduzibler kubischer Doppelkurve. S. 1748
    • 79. Die Mohrmannsche Untersuchung der R-F4 mit irreduzibler kubischer Doppelkurve. S. 1751
    • 80. Die R-F4 mit reduzibler kubischer Doppelkurve. S. 1751
    • 81. Die R-F4 vom Geschlecht i mit zwei windschiefen Doppelgeraden. S. 1753
    • 82. Die Polaren-Methode von Wong. S. 1754
    • 83. Die Regelflächen 5. Ordnung. S. 1757
    • 84. Die Regelflächen sechster und höherer Ordnung. S. 1758
  • XIII. Metrisch bemerkenswerte Flächen vierter und höherer Ordnung. S. 1759
    • 85. Aus Flächen 2. Ordnung abgeleitete Flächen vierter und höherer Ordnung. S. 1759
    • 86. Andere bemerkenswerte metrische Flächen vierter und höherer Ordnung. S. 1765
    • 87. Algebraische Minimalflächen. S. 1773
  • 11. Algebraische Transformationen und Korrespondenzen. Von L. BERZOLARI in Pavia. (Abgeschlossen im Dezember 1932.). S. 1781

I. Einleitende Definitionen und Eigenschaften. S. 1781

    • 1. Algebraische Korrespondenzen zwischen zwei algebraischen Mannigfaltigkeiten. S. 1787
    • 2. Beziehungen zwischen invarianten Charakteren zweier algebraischer Kurven oder Flächen in algebraischer Korrespondenz. S. 1797
  • II. Algebraische Korrespondenzen und Korrespondenzprinzipien in linearen und nichtlinearen Gebieten. S. 1803
    • 3. Algebraische Korrespondenzen zwischen den Elementen zweier Grundggebilde erster Stufe (oder zwischen den Punkten zweier rationaler Kurven). S. 1803
    • 4. Fortsetzung: Algebraische (2, 2)-Korrespondenzen zwischen zwei Grundgebilden erster Stufe. S. 1807
    • 5. Algebraische, insbesondere plurilineare Korrespondenzen zwischen mehreren Grundgebilden erster oder höherer Stufe. S. 1812
    • 6. Korrespondenzprinzip auf der Geraden (oder auf rationalen Kurven). S. 1816
    • 7. Korrespondenzprinzipien in der Ebene und in linearen Räumen dreier oder mehrerer Dimensionen. S. 1819
    • 8. Korrespondenzprinzipien in nichtlinearen Mannigfaltigkeiten. S. 1821
  • III. Algebraische Korrespondenzen und Korrespondenzprinzipien für algebraische Kurven beliebigen Geschlechts. S. 1826
    • 9. Algebraische Korrespondenzen zwischen zwei algebraischen Kurven. S. 1826
    • 10. Das Korrespondenzprinzip von Cayley-Brill. S. 1829
    • 11. Systeme mehrerer Korrespondenzen zwischen den Punkten einer Kurve und Anwendungen auf Fragen abzählender Art über lineare Scharen. S. 1834
    • 12. Die allgemeine Korrespondenztheorie von A. Hurwitz. S. 1836
    • 13. Geometrische Behandlung der allgemeinen Korrespondenztheorie nach F. Severi. S. 1844
    • 14. Fortsetzung: Die algebraischen Korrespondenzen zwischen den Punkten einer in einem linearen System veränderlichen Kurve auf einer algebraischen Fläche. S. 1850
    • 15. Wertigkeit einer Korrespondenz nach H. Burkhardt und H. G. Zeuthen. S. 1853
    • 16. Die algebraischen Korrespondenzen zwischen algebraischen Kurven unter dem Gesichtspunkt der Analysis situs. S. 1854
    • 17. Multiplizität eines Koinzideuzpunktes in der Gruppe der Koinzidenzpunkte einer algebraischen Korrespondenz auf einer algebraischen Kurve; Regel von H. G. Zeuthen. S. 1857
    • 18. Grad und Geschlecht einer algebraischen Korrespondenz zwischen zwei algebraischen Kurven. S. 1859
    • 19. Symmetrische und halbsymmetrische Korrespondenzen zwischen den Punkten einer algebraischen Kurve. S. 1862
    • 20. Geometrische Darstellungen und Erweiterungen. Untersuchungen von C. Rosati und G. Scorza; vorläufige Bemerkungen. S. 1864
    • 21. Geometrische Deutung der Beziehungen von A. Hurwitz.Reduzible Abelsche Integrale 1. Gattung und „speziale“ Korrespondenzen. S. 1871
    • 22. Fortsetzung: Netze von spezialen Korrespondenzen, die einem regulären System reduzibler Integrale 1. Gattung beigeordnet sind Immersionskoeffizient eines solchen regulären Systems. S. 1873
    • 23. Minimalgleichung einer Korrespondenz. S. 1876
    • 24. Ausdehnung des Wertigkeitsbegriffs einer Korrespondenz; einfache und mehrfache Wertigkeiten einer Korrespondenz. S. 1878
    • 25. Hermitesche Korrespondenzen. Verbindung der Korrespondenztheorie mit dem Begriff der Ordnung von Zahlkörpern (nach R. Dedekind). S. 1881
    • 26. Fortsetzung: Vertauschbare Korrespondenzen. S. 1884
    • 27. Pseudoachsen einer Riemannschen Matrix. Multiplikabilitätsgruppe der Matrix und ihre Struktur. S. 1885
    • 28. Algebraische Korrespondenzen zwischen den Punkten einer Kurve vom Geschlecht p = 2. S. 1891
    • 29. Algebraische Korrespondenzen zwischen zwei voneinander verschiedenen algebraischen Kurven. S. 1894
    • 30. (2, 2)-Korrespondenzen zwischen zwei algebraischen Kurven; Gruppen solcher Korrespondenzen auf einer algebraischen Kurve. S. 1898
    • 31. Involutionen beliebiger Ordnung und Dimension auf einer algebraischen Kurve. S. 1900
    • 32. Verallgemeinerung: Algebraische Scharen von Punktgruppen auf einer algebraischen Kurve. S. 1908
    • 33. Algebraische Kurven, die irrationale Involutionen 2. Ordnung enthalten. S. 1913
    • 34. Formel von H. Schubert für algebraische ..-Scharen. Arithmetisches Äquivalenzkriterium von G. Castelnuovo. Verallgemeinerungen und Anwendungen. Arithmetisches Kriterium von F. Severi für die Wertigkeitsko. S. 1915
    • 35. Die Jacobische Mannigfaltigkeit Vp einer Kurve vom Geschlecht p > 0 und die eineindeutigen Korrespondenzen zwischen Gruppen von p Punkten der Kurve. S. 1919
    • 36. Die Jacobische Mannigfaltigkeit Vp in Verbindung mit den algebraischen ..- Scharen von Punktgruppen auf der Kurve und mit der Theorie der algebraischen Korrespondenzen zwischen den Punkten dieser Kurve. S. 1922
    • 37. Fortsetzung: Arithmetische Invarianten einer algebraischen ..-Schar von Punktgruppen auf einer algebraischen Kurve. S. 1923
    • 38. Transzendente Bedingungen für die birationale Identität zweier algebraischer Kurven. Birationale Korrespondenzen der Jacobischen Mannigfaltigkeit Vp in sich. S. 1926
    • 39. Die Kurven, auf denen die aus der Gesamtheit der algebraischen Korre-spondenzen bestehende Gruppe besonderen Permutabilitätsbedingungen genügt. S. 1931
    • 40. (p, p)-Korrespondenzen auf einer Kurve vom Geschlecht p mit allgemeinen Moduln. S. 1933
    • 41. Automorphe birationale Transformationen einer irreduziblen Kurve. S. 1934
    • 42. Der hyperelliptische Fall. S. 1939
    • 43. Der elliptische Fall. S. 1941
    • 44. Erweiterung des Satzes von H. A. Schwarz (Nr. 41) nach G. Castelnuovo. S. 1946
    • 45. Arithmetische Irrationalitäten, von denen die Transformationen algebraischer Kurven abhängen. Die Arithmetik auf den algebraischen Kurven. S. 1947
  • IV. Birationale (oder Cremona-) Transformationen zwischen zwei linearen Bäumen von zwei oder mehreren Dimensionen. S. 1952
    • 46. Einleitung. S. 1952
    • 47. Birationale Transformationen zwischen zwei Ebenen. S. 1954
    • 48. Hauptpunkte und -kurven. S. 1957
    • 49. Grundlegende Beziehungen zwischen den Zahlen, die sich auf ein homaloides Netz beziehen. S. 1959
    • 50. Eigenschaften der Hauptpunkte und -kurven. S. 1961
    • 51. Bestimmung der ebenen Cremonaschen Transformationen gegebener Ordnung. S. 1965
    • 52. Fortsetzung: Untersuchungen von D. Montesano. S. 1969
    • 53. Bestimmung der konjugierten Lösung zu einer gegebenen Lösung der Gleichungen von L. Cremona. S. 1975
    • 54. Entsprechende Kurven in einer birationalen ebenen Korrespondenz. S. 1978
    • 55. Lineare Transformation mit ganzen Koeffizienten in Zuordnung zu einer ebenen Cremonaschen Transformation. S. 1979
    • 56. Cremonasche Äquivalenz zweier algebraischer ebener Kurven. S. 1981
    • 57. Zerlegung einer ebenen birationalen Transformation in Faktoren. S. 1982
    • 58. Birationale Transformationen zwischen zwei vereinigt liegenden Ebenen. S. 1985
    • 59. Ebene birationale Reziprozitäten; Nullreziprozitäten. S. 1989
    • 60. Periodische, insbesondere involutorische birationale ebene Transformationen. S. 1990
    • 61. Reduktion der involutorischen birationalen ebenen Transformationen auf Typen mittels birationaler Transformationen. S. 1993
    • 62. Analoge Reduktion auf Typen für die involutorischen antibirationalen ebenen Transformationen. S. 1996
    • 63. Typen endlicher diskontinuierlicher Gruppen von ebenen birationalen Transformationen. Beispiele unendlicher diskontinuierlicher Gruppen. S. 1999
    • 64. Typen endlicher kontinuierlicher Gruppen von ebenen birationalen Transformationen. S. 2001
    • 65. Gruppen ebener birationaler Berührungstransformationen. S. 2004
    • 66. Ebene quadratische Transformationen; geschichtliche Bemerkungen. S. 2007
    • 67. Eigenschaften und Konstruktionen der ebenen quadratischen Transformationen. S. 2011
    • 68. Ebene quadratische singuläre Transformationen. S. 2016
    • 69. Ebene quadratische involutorische Transformationen. S. 2018
    • 70. Inversion oder Abbildung durch reziproke Radien. S. 2021
    • 71. Kreisverwandtschaft. S. 2026
    • 72. Andere besondere Transformationen und Gruppen Cremonascher Transformationen zwischen zwei Ebenen. S. 2031
    • 73. Birationale Transformationen zwischen zwei Räumen von drei Dimensionen. S. 2037
    • 74. Hauptelemente. S. 2040
    • 75. Fortsetzung: Grundlegende Formeln. S. 2044
    • 76. Bestimmung der birationalen Transformationen zwischen zwei Räumen. S. 2049
    • 77. Transformationen 2. Ordnung. S. 2052
    • 78. Quadratische involutorische Transformationen. S. 2059
    • 79. Inversion oder Abbildung durch reziproke Radien. S. 2059
    • 80. Transformationen 3. Ordnung. S. 2065
    • 81. Fortsetzung: Birationale Transformationen der Ordnungen (3, 3) und ihre besonderen Fälle. S. 2067
    • 82. Nichtinvolutorische oder involutorische monoidale Transformationen. S. 2073
    • 83. Nichtinvolutorische oder involutorische birationale Transformationen, die durch irgendwelche Eigenschaften des Systems der Verbindungsgeraden der homologen Punkte gekennzeichnet sind. S. 2076
    • 84. Andere besondere birationale involutorische oder nichtinvolutorische Transformationen. S. 2084
    • 85. Birationale Raumreziprozitäten; Nullreziprozitäten. S. 2089
    • 86. Produkte von birationalen Raumtransformationen. Endliche und unendliche diskontinuierliche Gruppen solcher Transformationen. S. 2091
    • 87. Typen endlicher kontinuierlicher Gruppen von birationalen Raumtransformationen. S. 2097
    • 88. Birationale Transformationen zwischen zwei linearen r-dimensionalen Räumen. S. 2100
    • 89. Quadratische Transformationen. S. 2103
    • 90. Andere besondere birationale Transformationen und Gruppen solcher Transformationen. S. 2105
    • 91. Fortsetzung: Reguläre Gruppen Cremonascher Transformationen. Untersuchungen von A. B. Coble. S. 2107

V. Mehrdeutige Korrespondenzen zwischen zwei linearen Bäumen von zwei oder mehreren Dimensionen. S. 2113

    • 92. Rationale Transformationen zwischen zwei Ebenen. S. 2113
    • 93. Sonderfälle. S. 2117
    • 94. Algebraische Korrespondenzen mit willkürlichen Indizes zwischen zwei Ebenen. S. 2120
    • 95. Sonderfälle. S. 2122
    • 96. Rationale Transformationen zwischen zwei dreidimensionalen Räumen. S. 2124
    • 97. Sonderfälle. S. 2127
    • 98. Algebraische Korrespondenzen mit willkürlichen Indizes zwischen zwei Räumen. S. 2133
    • 99. Höhere Nullverwandtschaften. S. 2135
    • 100. Mehrdeutige Korrespondenzen zwischen zwei linearen Oberräumen. S. 2136
    • 101. Ebene und räumliche, ein- und mehrdeutige Transformationen, die mit Fragen der Kinematik verknüpft sind. S. 2136
    • 102. Allgemeine Involutionen in den linearen Räumen zweier oder mehrerer Dimensionen; Rationalitätsfragen. S. 2138
  • VI. Anwendungen. S. 2143
    • 103. Gebilde, die aus algebraischen Korrespondenzen zwischen gegebenen Grundgebilden hervorgehen. S. 2143
    • 104. Gebilde, die aus algebraischen Korrespondenzen zwischen gegebenen nichtlinearen Gebilden hervorgehen. S. 2150
    • 106. Reduktion der Singularitäten der ebenen und nichtebenen algebraischen Kurven. S. 2151
    • 106. Reduktion der Singularitäten der algebraischen Flächen. S. 2156
    • 107. Reduktion linearer Systeme algebraischer Kurven und Flächen auf Typen mittels Cremonascher Transformationen. S. 2158
    • 108. Andere einzelne Anwendungen. S. 2161
  • VII. Ebene Abbildung von rationalen Flächen. S. 2163
    • 109. Allgemeines. S. 2163
    • 110. Irrationalitäten, von denen die ebene Abbildung einer rationalen Fläche abhängig gemacht werden kann. S. 2165
    • 111. Vorläufige Eigenschaften der ebenen Abbildung einer rationalen Fläche. S. 2167
    • 112. Hauptpunkte und -kurven der ebenen Abbildung. S. 2169
    • 113. Fortsetzung: Kurven, die sich auf der Ebene und der Fläche entsprechen. S. 2171
    • 114. Besondere Fälle. S. 2174
    • 115. Ebene Abbildung einer rationalen Fläche des dreidimensionalen Raumes. S. 2179
    • 116. Fortsetzung: Fragen abzählender Art, die mit der ebenen Abbildung einer rationalen Fläche verknüpft sind. S. 2182
    • 117. Reelle Mäntel der reellen rationalen Flächen und deren Zusammenhangseigenschaften in bezug auf die ebene Abbildung der Fläche. Untersuchungen von A. Comessatti. S. 2186
    • 118. Abbildung auf mehrfache Ebenen; Rationalitätsfragen. S. 2195
  • VIII. Andere besondere Abbildungen und algebraische Korrespondenzen. S. 2203
    • 119. Verschiedene rationale Mannigfaltigkeiten dreier Dimensionen. S. 2203
    • 120. Andere besondere Abbildungen und rationale Mannigfaltigkeiten. S. 2207
    • 121. Konnexe. S. 2214

Berichtigungen. S. 2219

  • Register zu Band III, 2. Teil. S. 2221

Berichtigungen. S. 2264

  • Namenverzeichnis zu Band III, 1. u. 2. Teil. S. 2265

Band 3–3[Bearbeiten]

D. Differentialgeometrie. S. 1

  • 1. 2. Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Kurven und Flächen. Von H. v. MANGOLDT in Aachen (jetzt in Danzig). (Abgeschlossen im Mai 1902.). S. 1

Einleitung. S. 4

    • 1. Vorbemerkungen. S. 4
    • 2. Zusammengehörige Annahmen und Bezeichnungen. S. 4
    • 3. Gewöhnliche und singuläre Punkte. S. 5

I. Die einzelne Linie oder Fläche. Grundbegriffe. S. 7

    • 4. Tangente, Normale, Tangentenebene usw. S. 7
    • 5. Formeln für Tangenten, Normalen und Tangentenebenen. S. 10
    • 6. Aufgaben und Konstruktionen. S. 12
    • 7. Fußpunktlinien und -flächen. S. 15
    • 8. Asymptoten. S. 16
    • 9. Berührung nter Ordnung. S. 18
    • 10. Ermittelung der Bogenlänge einer Linie (Rektifikation). S. 20
    • 11. Algebraisch rektifizierbare Linien. S. 23
    • 12. Minimalkurven. S. 24
    • 13. Lösung der Gleichung dx2 + dy2 – ds2 und ähnlicher Gleichungen ohne Anwendung von Integralzeichen. S. 25
    • 14. Krümmung ebener Linien. S. 28
    • 15. Natürliche Gleichung einer ebenen Linie. S. 34
    • 16. Evoluten und Evolventen. S. 35
    • 17. Konstruktionen von Krümmungsmittelpunkten. S. 36
    • 18. Deviation. S. 40
    • 19. Gestalt einer Linie oder Fläche in der Nähe eines singulären Punktes. S. 40
    • 20. Traktorien. S. 45
  • II. Scharen von Linien und Flächen. S. 46
    • 21. Einhüllende von Linien- und Flächenscharen. S. 46
    • 22. Brennlinien. S. 50
    • 23. Trajektorien. Orthogonale Linien- und Flächenscharen. S. 53
    • 24. Isotherme Linien- und Flächenscharen. S. 56
  • III. Inhaltsberechnungen. S. 59
    • 26. Inhaltsberechnung ebener Flächenstücke (Quadratur). S. 59
    • 26. Inhaltsberechnung gekrümmter Flächenstücke (Komplanation). S. 64
    • 27. Inhaltsberechnung in der nichteuklidischen Geometrie. S. 67
    • 28. Rauminhaltsberechnung (Kubatur). S. 68
  • IV. Die Linien im Baume. S. 73
    • 29. Schmiegungsebene, Krümmungskreis, Haupt- und Binormale einer gewundenen Linie . . S. 73
    • 30. Windung, Schmiegungskugel und Schmiegungsschraubenlinie einer gewundenen Linie. S. 76
    • 31. Formeln und Lehrsätze aus der Lehre von den gewundenen Linien. S. 82
    • 32. Differentialinvarianten und natürliche Gleichungen einer Linie im Räume. S. 84
    • 33. Filar- und Plan-Evolventen und -Evoluten. S. 87

V. Anfangsgründe der Flächentlieorie. S. 88

    • 34. Fundamentalgrößen der Flächentheorie. S. 88
    • 35. Satze von Meusnier und Euler, Hauptkrümmungen. S. 93
    • 36. Krümmungsmaß einer Fläche. S. 98
    • 37. Konjugierte Tangenten und Indikatrix. S. 100
    • 38. Geometrische Bedeutung der Ableitungen dritter Ordnung der Koordinaten in der Flächentheorie. S. 103
  • 3. Die auf einer Fläche gezogenen Kurven. Von R. v. LILIENTHAL in Münster i. W. (Abgeschlossen im August 1902.). S. 105

I. Methoden von Euler und Monge. Krümmungslinien, Haupttangentenkurven, konjugierte Linien. S. 107

    • 1. Methode von Euler. S. 107
    • 2. Methode von Menge. S. 109
    • 3. Konjugierte Tangenten und Linien. S. 110
    • 4. Allgemeine Parameter. S. 111
  • II. Weitere Methoden. S. 115
    • 5. Geradlinige Strahlensysteme. S. 115
    • 6. Krümmungstheorie der Raumkurven. S. 118
    • 7. Sphärische Abbildung. S. 119
    • 8. Binäre Differentialformen. Difterentialparameter. S. 123
    • 9. Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung. S. 127
    • 10. Kinematische Gesichtspunkte. S. 130
  • III. Geodätische Krümmung. S. 133
    • 11. Historisches. S. 133
    • 12. Definitionen und Ausdrücke für die geodätische Krümmung. S. 134
    • 13. Sätze über geodätische Krümmung. S. 137
  • IV. Geodätische Linien. S. 139
    • 14. Geodätische und kürzeste Linien. S. 139
    • 15. Eigenschaften geodätischer Linien. S. 140
    • 16. Reduzierte Länge eines geodätischen Kurvenbogens. S. 146
    • 17. Verschiebbarkeit geodätischer Dreiecke. S. 147
    • 18. Integration der Gleichung der geodätischen Linien. S. 149

V. Isotherme Linien. S. 153

    • 19. Geometrische und physikalische Entstehungsart. S. 153
    • 20. Eigenschaften isothermer Scharen. S. 156
  • VI. Parameter!inien. Fundamentalgleichungen. S. 157
    • 21. Parameter- und Koordinatenlinien. S. 157
    • 22. Methode von Gauß. S. 158
    • 23. Methode von Codazzi. S. 159
    • 24. Methode von Darboux. S. 160
    • 25. Willkürliche Koordinatenlinien. S. 160
    • 26. Methode von R. Lipschitz. S. 164
    • 27. Methode von A. Ribaucour. S. 164
  • VII. Die allgemeine Flächenkurve. S. 166
    • 28. Methode von Laguerre. Geodätische Torsion. S. 166
    • 29. Ableitungen nach Bogenlängen. S. 167
    • 30. Methode von A. Enneper. S. 168
    • 31. Weitere Begriffe. S. 169
    • 32. Polkurve einer Plächenkurve und Kurven der normalen Segmente. S. 170
  • VIII. Krümmungsmaße. S. 171
    • 33. Das Gaußsche Krümmungsmaß und ihm verwandte Krümmungsmaße. S. 171
    • 34. Das Casoratische Krümmungsmaß und ihm verwandte Krümmungsmaße. S. 172
  • IX. Weitere Sätze über Krümmungslinien, Haupttangentenkurren, konjugierte Linien“. S. 173
    • 35. Krümmungslinien. S. 173
    • 36. Haupttangentenkurven. S. 176
    • 37. Konjugierte Linien. S. 178

X. Weitere besondere Kuryen. S. 181

    • 38. Geodätische Kreise. S. 181
    • 39. Kurven, deren Schmiegungskugeln die Fläche berühren. S. 181
    • 40. Äquidistante Kurvenscharen. S. 182
    • 41. Meridian- und Parallel kurven. S. 183
    • 42. Isotherm-konjugierte Systeme. S. 183
  • 4. Besondere transzendente Kurven. Von G. SCHEFFERS in Darmstadt (jetzt in Charlottenburg). (Abgeschlossen im Juni 1903.). S. 185
    • 1. Einleitung. S. 186

I. Rollkurven. S. 188

    • 2. Allgemeines. S. 188
    • 3. Trochoiden, ihre Scheitel- und Wendepunkte. S. 188
    • 4. Verschiedene Arten der Erzeugung von Trochoiden. S. 192
    • 5. Einteilung der Trochoiden, Epi- und Hypocykloiden. S. 194
    • 6. Gemeine Cykloiden, Kreisevolventen und archimedische Spiralen. S. 195
    • 7. Rektifikation der Epi- und Hypocykloiden. S. 197
    • 8. Natürliche Gleichung der Cykloiden, cykloidale Kurven. S. 198
    • 9. Mit den Cykloiden zusammenhängende Kurven, insbesondere Rhodoneen. S. 199
    • 10. Rollkurven mit geradliniger Polbahn. S. 201
    • 11. Kurven von Delaunay und Sturm. S. 202
    • 12. Para- und Hypercykloiden. S. 203
  • II. W-Kurven. S. 204
    • 13. Definition der W-Kurven. S. 204
    • 14. Zwei Arten von transzendenten ebenen W-Kurven. S. 206
    • 15. Sätze über allgemeine W-Kurven der ersten Art. S. 208
    • 16. Logarithmische Spiralen. S. 210
    • 17. Orthogonale Trajektorien konzentrischer ähnlicher und ähnlich gelegener Ellipsen oder Hyperbeln. S. 212
    • 18. Dreieckspotentialkurven und adiabatische Kurven. S. 213
    • 19. Sätze über W-Kurven der zweiten Art. S. 213
    • 20. W-Kurven im Räume, gemeine Schraubenlinien. S. 214
  • III. Sinusspiralen und ihre Verallgemeinerungen. S. 216
    • 21. Sinusspiralen. S. 216
    • 22. Abbildung der Geraden der Ebene als Sinusspiralen. S. 217
    • 23. Einige Eigenschaften der Sinusspiralen. S. 219
    • 24. Rektifikation der Sinusspiralen. S. 221
    • 25. Triangulär- und tetraedral-symmetrische Kurven. S. 222
    • 26. Cesärosche, insbesondere Ribaucoursche Kurven. S. 223
    • 27. Kettenlinien und Traktrizen. S. 226
  • IV. Transzendente Raumkurven. S. 230
    • 28. Charakteristische Eigenschaft der Bertrandschen Kurven. S. 230
    • 29. Endliche Gleichungen der Bertrandschen Kurven. S. 234
    • 30. Die Bertrandschen Kurven in der Flächentheorie. S. 236
    • 31. Kurven konstanter Krümmung, Kurven konstanter Torsion und allgemeine Schraubenlinien. S. 237
    • 32. Eigenschaften der allgemeinen Schraubenlinien. S. 242
    • 33. Verallgemeinerungen der Bertrandschen Kurven. S. 245
    • 34. Loxodromen. S. 247
    • 35. Minimalkurven und Kurven der tetraedralen Komplexe. S. 254
    • 36. Gemeinsame Eigenschaften einiger Kurvenfamilien. S. 259

V. Sonstiges. S. 261

    • 37. Aufzählung einiger nicht-besprochenen transzendenten Kurven. S. 261
    • 38. Einteilung der ebenen transzendenten Kurven. S. 264
    • 39. Register der erwähnten Kurven. S. 266
  • 5. Besondere Flächen. Von R. v. LILIENTHAL in Münster i. W. (Abgeschlossen im August 1903.). S. 269

I. Geradlinige Flächen. S. 270

    • 1. Erklärungen. S. 270
    • 2. Nichtabwickelbare Linienflächen. S. 271
    • 3. Abwickelbare Linienflächen. S. 275
  • II. Weitere kinematisch definierbare Flächen. S. 278
    • 4. Zyklische Flächen. S. 278
    • 5. Schraubenflächen. S. 281
    • 6. Translationsflächen. S. 284
    • 7. Spiralflächen. S. 287
  • III. Krümmungsmittelpunktsflächen. S. 289
    • 8. Erklärungen. S. 289
    • 9. Die eine Schale der Krümmungsmittelpunktsfläche artet in eine Kurve aus. S. 290
    • 10. Beide Schalen der Krümmungsmittelpunktsfläche arten in Kurven aus. Dupinsche Zykliden. S. 290
    • 11. Die allgemeine Krümmungsmittelpunktsfläche. S. 293
    • 12. Bestimmung einer Fläche, für welche eine Schale oder beide Schalen der Krümmungsmittelpunktsfläche vorgeschrieben sind. S. 296
  • IV. Flächen mit ebenen oder sphärischen Krümmungslinien. S. 298
    • 13. Die Mongeschen Gesimsflächen. S. 298
    • 14. Untersuchungen von Bonnet, Serret, Enneper, Rouquet. S. 298
    • 15. Untersuchungen von Dini, Darboux. S. 301
    • 16. Untersuchungen von Brioschi, Dini, Dobriner, Blutel, Darboux. S. 303

V. Weingartensche Flächen. S. 306

    • 17. Die beiden Weingartenschen Sätze. S. 306
    • 18. Weitere Sätze. S. 307

Vl. Minimalflächen. S. 307

    • 19. Historisches. Sätze von Meusnier. Integral von Monge. S. 307
    • 20. Die von Scherk, Catalan, Enneper gefundenen Minimalflächen. S. 309
    • 21. Analytische Darstellungen der Minimalflächen von Weingarten, Enneper, Weierstraß, Riemann, Peterson, Beltrami. S. 310
    • 22. Bestimmung eines Minimalflächenstücks bei gegebener Begrenzung. S. 315
    • 23. Die einer Minimalfläche assoziierten Minimalflächen. S. 317
    • 24. Methode von Darboux. S. 319
    • 25. Bestimmung einer Minimalfläche durch einen analytischen Streifen. S. 320
    • 26. Weitere besondere Minimalflächen. S. 322
    • 27. Methode von Lie. S. 324
    • 28. Die Goursatsche Transformation der Minimalkurven. S. 327
    • 29. Einer Abwickelbaren eingeschriebene Minimalflächen. S. 328
    • 30. Methode von Ribaucour. S. 330
    • 31. Sätze von Schwarz, Weingarten, Dini. S. 332
  • VII. Flächen konstanter Krümmung. S. 333
    • 32. Untersuchungen von Minding, Dini, Enneper, Beltrami, Hubert. S. 333
    • 33. Die Rotationsflächen konstanter Krümmung und Linienelemente der pseudosphärischen Flächen. S. 335
    • 34. Die geodätischen Linien auf den Flächen konstanter Krümmung. S. 338
    • 35. Transformationen und Haupttangentenkurven der Flächen konstanter Krümmung. S. 340
  • VIII. Weitere besondere Flächen. S. 344
    • 36. Flächen mit besonderen Eigenschaften der Hauptkrümmungshalbmesser. S. 344
    • 37. Flächen mit besonderen Eigenschaften der Krümmungslinien. S. 346
    • 38. Flächen mit besonderen Eigenschaften der Haupttangentenkurven und konjugierten Linien. S. 348
    • 39. Flächen mit besonderen Eigenschaften der geodätischen Linien und geodätischen Kreise. S. 350
    • 40. Imaginäre Flächen. S. 352
    • 6. Abbildung und Abwickelung zweier Flächen aufeinander. Von A. Voss in Würzburg (jetzt in München). (Abgeschlossen im August 1903.). S. 355

A. Einleitung. S. 357

    • 1. Vorbemerkungen. S. 357
    • 2. Allgemeine Übersicht über die Probleme der Abbildung und Abwickelung (Isometrie und Biegung) der Flächen. S. 359

B. Die Abbildung der Flächen. S. 364

    • 3. Die konforme oder winkeltreue Abbildung. S. 364
    • 4. Besondere konforme Abbildungen. S. 367
    • 5. Vorteilhafteste konforme Abbildung. S. 369
    • 6. Konforme Abbildung bei Räumen von mehr Dimensionen. S. 370
    • 7. Die äquivalente oder flächen treue Abbildung. S. 371
    • 8. Die Kartenkonstruktionen. S. 373
    • 9. Die geodätische Abbildung. S. 375
    • 10. Die projektive Abbildung. S. 379
    • 11. Die sphärische Abbildung. S. 381
    • 12. Andere Abbildungen. S. 383
    • 13. Die Strahlensysteme. S. 383
    • 14. Abbildungen allgemeineren Charakters. S. 387

C. Die Isometrie der Flächen. S. 389

    • a) Allgemeine Probleme. S. 389
    • 15. Das Mindingsche Problem. S. 389
    • 16. In sich isometrische Flächen. S. 393
    • 17. Kongruenz zweier Flächen. S. 394
    • 18. Das Boursche Problem. S. 395
    • 19. Allgemeine Sätze über die isometrische Zuordnung zweier Flächen. S. 399
    • b) Spezielle Probleme. S. 401
    • 1. Isometrische Untergruppen. S. 401
    • 20. Untergruppen, bedingte Biegungen. S. 401
    • 21. Die Developpabelen. S. 402
    • 22. Die Isometrie und Biegung der Regelflächen. S. 403
    • 23. Die Biegung der Rotationsflächen. S. 405
    • 24. Isometrie mit Erhaltung der Krümmungslinien resp. Hauptkrümmungsradien. S. 406
    • 25. Isometrie mit Erhaltung konjugierter Systeme. S. 408
    • 26. Die Translationsflächen. S. 409
    • 27. Die Minimalflächen. S. 410
    • 2. Die Flächen konstanter von Null verschiedener Krümmung. S. 412
    • 28. Die Flächen konstanten Krümmungsmaßes. S. 412
    • 29. Die Flächen konstanter negativer Krümmung. S. 414
    • 30. Die Flächen konstanter positiver Krümmung. S. 418
    • 3. Untersuchung vollständiger isometrischer Gruppen. S. 420
    • 31. Vollständige Systeme isometrischer Flächen. S. 420

D. Die infinitesimale Isometrie. S. 426

    • 32. Infinitesimale Deformation und Isometrie der Flächen. S. 426
    • 33. Das Problem der sphärischen Abbildung. S. 432
    • 34. Isometrische Flächenpaare. S. 435

E. Geometrische und mechanische Modelle zur Lehre von der Abbildung und Abwickelung der Flächen. S. 437

    • 35. Geometrische und mechanische Modelle. S. 437
  • 7. Berühruhungstransformationen. Von HEINRICH LIEBMANN in München (jetzt in Heidelberg). (Abgeschlossen im Oktober 1914.). S. 441

I. Grundlagen. S. 442

    • 1. Vorbemerkung. S. 442
    • 2. Ableitungen aus den Differentialgleichungen für die charakteristischen Streifen. Die Klammerrelationen. S. 443
    • 3. Die Berührungstransformationen bei Jacobi. Aequationes directrices. S. 444
    • 4. Kritik der Untersuchungen von Jacobi. Allgemeine Elementvereine. S. 447
    • 5. Beweis der Klammerrelationen mit Hilfe der bilinearen Kovariante. S. 448
    • 6. Die Untersuchungen von Schering. S. 453
    • 7. Die Berührungstransformationen als Umhüllungstransformationen. S. 455
    • 8. Die charakteristischen Streifen. S. 456
    • 9. Die infinitesimalen Berührungstransformationen. S. 463
    • 10. Neuere Untersuchungen über endliche Berührungstransformationen. S. 466
  • II. Spezielle Berührungstransformationen und sich anschließende Fragen. S. 468
    • 11. Fußpunkttransformation, Apsidaltransformation usw. S. 468
    • 12. Die Liesche Geraden-Kugeltransformation. S. 472
    • 13. Die orientierten Berührungstransformationen. S. 475
    • 14. Weitere Berührungstransformationen. S. 477
    • 15. Die Elemente höherer Ordnung. S. 482
    • 16. Bäcklundsche Transformationen und Bäcklundscher Satz. S. 486
  • III. Engels Methode für die Inyariantentheorie der Differentialgleichungen. S. 489
    • 17. Aufgaben und Methode. S. 489
    • 18. Mongesche und Pfaffsche Gleichungen als Schnittbedingungen. S. 490
    • 19. Ordnung von Kurvenscharen. S. 493
    • 20. Systeme Pfaffscher Gleichungen. S. 495
    • 21. Flächen scharen im R3, die in Kurvenscharen überführbar sind. S. 497
    • 22. Zwischenformen von partiellen Differentialgleichungen. S. 499
  • 8. Geometrische Theorie der Differentialgleichungen. Von HEINRICH LIEBMANN in München (jetzt in Heidelberg). (Abgeschlossen im Oktober 1914.). S. 503
    • 1. Vorbemerkung. S. 504
    • 2. Die topographischen Kurven. S. 504
    • 3. Die singulären Punkte von Xy' – Y =0. S. 507
    • 3 a. Asymptotische Darstellung von Integralen. S. 511
    • 4. Differentialgleichungen erster Ordnung höheren Grades. S. 513
    • 5. Anzahlbeziehungen für die Singularitäten. S. 517
    • 6. Die Grenzzyklen (nach Poincaré). S. 519
    • 7. Theorie der singulären Lösungen von f(x, y, y') = 0. S. 522
    • 8. Das Bertrandsche Problem. S. 526
    • 9. Scharen von L-Kurven und G-Flächen. S. 529
    • 10. Die Untersuchungen von Hadamard. Geodätische Felder. S. 531
    • 11. L-Linien auf Ovaloiden (nach Poincaré). S. 535
    • 12. Geodätische Linien auf Polyederflächen. S. 537
  • 9. Dreifach orthogonale Flächensysteme. Von E. SALKOWSKI in Hannover. (Abgeschlossen im April 1920.). S. 541

Einleitung. S. 542

    • 1. Geschichtlicher Überblick. S. 542

I. Der Dupinsche Satz und die Laméschen Gleichungen. S. 546

    • 2 Der Dupinsche Satz. S. 546
    • 3. Die Laméschen Gleichungen. S. 548
    • 4. Die Inversion. S. 553
    • 5. Die Paralleltransformation. S. 554
    • 6. Die dreifach konjugierten Systeme. S. 556
  • II. Die Differentialgleichung dritter Ordnung. S. 560
    • 7. Die Bonnetsehe Methode. S. 560
    • 8. Die Darbouxsche Gleichung. S. 563
  • III. Besondere dreifach orthogonale Systeme. S. 565
    • 9. Die Bouquetsche Partikularlösung. S. 565
    • 10. Ebenen und Kugeln. S. 566
    • 11. Flächen zweiter Ordnung. S. 567
    • 12. Die Zyklidensysteme. S. 568
    • 13. Lamésche Scharen von Rotationsflächen. S. 569
    • 14. Isothermflächen. S. 569
  • IV. Die zyklischen Systeme Eibaucours. S. 572
    • 15. Die normalen Kreiskongruenzen. S. 572
    • 16. Die zyklischen Linienkongruenzen. S. 575
    • 17. Kugelkongruenzen. S. 577
    • 18. Flächen, die das sphärische Bild der Krümmungslinien gemeinsam haben. S. 579
    • 19. Die normalen Kreiskongruenzen und die Theorie der Biegung. S. 580
    • 20. Besondere Kreiskongruenzen. S. 582
    • 21. Die zyklischen Systeme. S. 583

V. Die Bianchischen Systeme. S. 586

    • 22. Die Bianchischen Systeme. S. 586
    • 23. Die Weingartenschen Systeme. S. 587
    • 23. Die Bäcklundsche Transformation. S. 589
    • 24. Die Bianchischen Systeme und die Theorie der Biegung. S. 590

Vl. Kinematische Fragestellungen. S. 591

    • 26. Die Lameschen Scharen, die aus kongruenten Flächen bestehen. S. 591
    • 27. Die E-Systeme. S. 595
    • 28. Die Guichardschen Systeme. S. 597
  • VII. Hilfsmittel der mehrdimensionalen Geometrie. S. 598
    • 29. Die n-fach orthogonalen Systeme im Rn. S. 598
    • 30. Die Guichardsche Theorie der Netze und Kongruenzen. S. 600
    • 31. Die Guichardsche Theorie der dreifachen Flächensysteme. S. 605
  • 10. Neuere Arbeiten der algebraischen Invariantentheorie. Differentialinvarianten. Von R. WEITZENBÖCK in Graz (jetzt in Amsterdam). (Abgeschlossen im März 1921.). S. 1

Erster Teil. S. 3

    • a) Neuere Arbeiten der algebraischen Invariantentheorie. S. 3

A. Invarianten der allgemeinen projektiven Gruppe. S. 3

    • 1. Einleitung. S. 3
    • 2. Binäre Formen. Allgemeines. S. 4
    • 3. Binäre Formen. Spezielles. S. 6
    • 4. Allgemeine Formen. S. 7
    • 5. Ternäre Formen. Allgemeines. S. 8
    • 6. Ternäre Formen. Spezielles. S. 9
    • 7. Spezielle n-äre Formen, n > 3. S. 10
    • 8. n-är. Spezielles. S. 11
    • 9. Differentialgleichungen für Komitanten. S. 12
    • 10. Vollständige Systeme. S. 13
    • 11. Symbolische Methoden. Fundamentalsätze. S. 15
    • 12. Der Matrizenkalkül. S. 16
    • 13. Die Komplexsymbolik. S. 17
    • 14. Vergleich der Methoden. S. 18

B. Invarianten projektiver Untergruppen. S. 19

    • 15. Allgemeines. S. 19
    • 16. Seminvarianten. Schiebungsinvarianten. S. 21
    • 17. Drehungsinvarianten (orthogonale Invarianten). S. 22
    • 18. Binäranalyse. S. 23
    • 19. Vektor- und Tensoralgebra. S. 25
    • 20. Bewegungsinvarianten. S. 26
    • 21. Affine Invarianten. S. 27
    • 22. Weitere Gruppen. S. 28

Zweiter Teil. S. 29

    • b) Differentialinvarianten. S. 29

A. Einleitung. S. 29

    • 1. Historisches. S. 29
    • 2. Transformationen und deren Objekte. S. 30
    • 3. Der Invariantenbegriff. S. 31

B. Differentialinvarianten spezieller Transformationsgruppen. S. 32

    • 4. Erweiterung einer Gruppe. S. 32
    • 5. Differentialinvarianten einer Gruppe. S. 34
    • 6. Vollständige Invariantensysteme mter Ordnung. S. 35
    • 7. Differentialinvarianten unendlicher Gruppen. S. 35
    • 8. Geometrische Differentialinvarianten. S. 36
    • 9. Differentialinvarianten bei Differentialgleichungen. S. 37

C. Theorie der Differentialformen. S. 38

    • 10. Differentialformen, Tensoren. S. 38
    • 11. Kogredienz und Kontragredienz. S. 39
    • 12. Tensoralgebra. S. 41
    • 13. Tensor an alysis. S. 43
    • 14. Lineare Differentialformen. S. 44
    • 15. Infinitesimale Transformationen. S. 46
    • 16. Systeme von linearen Differentialformen. S. 47
    • 17. Differentialinvarianten willkürlicher Funktionen. S. 48
    • 18. Quadratische Differentialformen. S. 50
    • 19. Kovariante Ableitungen. S. 52
    • 20. Normalkoordinaten. S. 53
    • 21. Der Krümmungstensor. S. 55
    • 22. Reduktionssatz, Äquivalenz. S. 58
    • 23. Vollständige Systeme. S. 60
    • 24. Pascalsche Ausdrücke. S. 61
    • 25. Differentialparameter. S. 63
    • 26. Formale Methoden. S. 65
    • 27. Spezielle Differentialformen. S. 66
    • 28. Formale Variationsrechnung und Differentialinvarianten. S. 68

Corrigenda.

  • 11. Differentialinvarianten in der Geometrie. Riemannsche Mannigfaltigkeiten und ihre Verallgemeinerungen. Von L. BERWALD in Prag. (Abgeschlossen im Oktober 1923.). S. 73
    • 1. Vorbemerkungen. S. 77

A. Differentialinvarianten in der Geometrie der wichtigsten endlichen kontinuierlichen Transformationsgruppen. S. 78 I. Allgemeines. S. 78

    • 2. Einordnung der Differentialgeometrie in die gruppentheoretische Auffassung der Geometrie. Geometrische Differentialinvarianten. S. 78
    • 3. Äquivalenzprobleme. S. 80
  • II. Metrische Differentialgeometrie. S. 83
    • 4. Metrische Differentialgeometrie der Kurven. S. 83
    • 5. Metrische Differentialgeometrie der Mannigfaltigkeiten von zwei und mehr Dimensionen. S. 86
  • III. Nichteuklidische Differentialgeometrie. S. 90
    • 6. Nichteuklidische Differentialgeometrie der Kurven. S. 90
    • 7. Nichteuklidische Differentialgeometrie der Mannigfaltigkeiten von zwei und mehr Dimensionen. S. 92
  • IV. Affine Differentialgeometrie. S. 95
    • 8. Affine Differentialgeometrie der Kurven. S. 95
    • 9. Affine Differentialgeometrie der Mannigfaltigkeiten von zwei und mehr Dimensionen. S. 99

V. Projektive Differentialgeometrie. S. 105

    • 10. Projektive Differentialgeometrie der Kurven. S. 105
    • 11. Die Methode von Wilczynski in der projektiven Differentialgeometrie der Flächen, Geradenkongruenzen und Kurvennetze. S. 108
    • 12. Die Methode von Fubini in der projektiven Differentialgeometrie der Mannigfaltigkeiten von zwei und mehr Dimensionen. S. 115
  • VI. Differentialgeometrie weiterer Transformationsgruppen. S. 118
    • 13. Konforme Differentialgeometrie. S. 118
    • 14. Sonstige Gruppen. S. 121

B. Riemannsche Mannigfaltigkeiten und ihre Verallgemeinerungen. S. 121 I. Einleitung. S. 121

    • 15. Vorbemerkung. S. 121
    • 16. Geschichtlicher Überblick. S. 122
    • 16 a. Anwendung direkter Methoden. S. 125
  • II. Allgemeine Theorie der einzelnen Riemannschen Mannigfaltigkeit. S. 126
    • 17. Begriff einer Riemannschen Mannigfaltigkeit. S. 126
    • 18. Geodätische und krumme Linien. Parallelismus in einer Vn. S. 129
    • 19. Der Krümmungstensor und die aus ihm abgeleiteten Größen. S. 133
    • 20. Die Orthogonalsy steme von Kurvenkongruenzen in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit. S. 139
  • III. m-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeiten (1 < m < n), die in einer n-dimensionalen enthalten sind. S. 145
    • 21. Die Grundgleichungen für eine Vm in Vnn. S. 145
    • 22. Krümmungseigenschaften einer Vn – 1 in Vn. S. 148
    • 23. Krümmungseigenschaften einer Vm (l < m < n – 1) in Vn. S. 150
    • 24. Klasse einer Vm. S. 156
    • 25. n-fache Orthogonalsysteme in einer Vn. S. 157
  • IV. Besondere Riemannsche Mannigfaltigkeiten. S. 158
    • 26. Mannigfaltigkeiten mit besonderen inneren Eigenschaften ohne Rücksicht auf eine umgebende Mannigfaltigkeit. S. 158
    • 27. Mannigfaltigkeiten besonderen Verhaltens gegen eine umgebende Mannigfaltigkeit. S. 163

V. Neuere Grundlegung der Infinitesimalgeometrie. S. 169

    • 28. Aufbau der reinen Infinitesimalgeometrie nach Weyl. S. 169
    • 29. Gruppentheoretische Auffassung der Raummetrik. S. 174
    • 30. Einordnung der projektiven und konformen Auffassung. S. 176
    • 31. Weitere Untersuchungen. S. 179
  • Register zu Band III, 3. Teil. S. 182

Band 4–1[Bearbeiten]

A. Grundlegung der Mechanik (Art. 1). S. 1 Art. 1. Die Prinzipien der rationellen Mechanik. Von A. Voss in Würzburg (jetzt in München). (Abgeschlossen im Juli 1901.). S. 3 I. Begriff und Aufgabe der Mechanik. S. 8

    • 1. Einleitung. S. 8
    • 2. Prinzipe und Prinzipien der Mechanik. S. 10
    • 3. Begriff und Aufgabe der Mechanik. S. 11
    • 4. Verschiedene Zweige der Mechanik. S. 15
    • 5. Historische Bemerkungen. S. 17
  • II. Die allgemeinen Prinzipien der rationellen Mechanik. S. 18

A. Philosophische Prinzipien. S. 18

    • 6. Das Kausalitätsprinzip und der Satz vom zureichenden Grunde. S. 18
    • 7. Teleologische Prinzipien. S. 19
    • 8. Machs formale Prinzipien. S. 20

B. Mathematische Prinzipien. S. 20

    • 9. Mathematische Voraussetzungen über die Natur der Punktionen. S. 20
    • 10. Das Homogeneitätsprinzip. S. 23

C. Mechanisch-physikalische Prinzipien. S. 24

    • 11. Das Kontinuitätsprinzip. S. 24
    • 12. Fernewirkung und Feldwirkung. S. 26
  • III. Die Grundbegriffe der rationellen Mechanik. S. 30

A. Die Grundbegriffe der Phoronomie. S. 30

    • 13. Die Anschauungen von Raum und Zeit. S. 30
    • 14. Die Zeitmessung. S. 34
    • 15. Philosophische Ansichten der Gegenwart. S. 35
    • 16. Das Bezugssystem der Mechanik. S. 36
    • 17. Neuere Theorieen. S. 39

B. Die Grundbegriffe der Statik. S. 41

    • 18. Die Kräfte in der Statik. S. 41
    • 19. Das Parallelogramm der Kräfte. S. 43

C. Die Grundbegriffe der Dynamik. S. 46

    • 20. Galilei und die Principia von Newton. S. 46
    • 21. Die dynamische Bewegungslehre. S. 47
    • 22. Das System der klassischen Dynamik. S. 49
    • 23. Kritische Bemerkungen über das System der Dynamik. S. 50
    • 24. Die momentanen Kräfte, Stösse oder Impulse. S. 56
    • 25. Druck- und Oberflächenkräfte, verallgemeinerter Kraftbegriff. S. 58

D. Die rein kinetischen Theorieen. S. 60

    • 26. Die Elimination der Kraft in der Kinetik von W. Thomson (Lord Kelvin). S. 60
    • 27. Die kinetische Theorie der Kraft von J. J. Thomson. S. 61
    • 28. Die Mechanik von H. Hertz. S. 62
  • IV. Die speziellen Prinzipien der rationellen Mechanik. S. 64

A. Elementare Variations- oder Differentialprinzipe. S. 64

    • a) Die Statik. S. 64
    • 29. Der Begriff des Gleichgewichts. S. 64
    • 30. Das Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten. S. 66
    • 31. Beweis des Prinzips der virtuellen Geschwindigkeiten. S. 67
    • 32. Die Beweise von Lagrange, Poinsot und anderen (für das Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten). S. 69
    • 33. Zusammenfassung (betreffend das Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten). S. 73
    • 34. Das Fouriersche Prinzip; materielle Systeme allgemeinerer Art. S. 73
    • 35. Die Gleichgewichtsbedingungen. S. 75
    • ß) Die Dynamik. S. 76
    • 36. Das d’Alembertsche Prinzip. S. 76
    • 37. Die Lagrangeschen Gleichungen. S. 78
    • 38. Nichtholonome Systeme. S. 82
    • 39. Das Prinzip des kleinsten Zwanges von Gauss. S. 84
    • 40. Die Differentialgleichungen der Bewegung bei Ungleichungsbedingungen. S. 85
    • 41. Das d’Alembertsche Prinzip für Impulse. S. 87

B. Eigentliche Variations- (isoperimetrische) Prinzipe. S. 88

    • 42. Das Hamiltonsche Prinzip. S. 88
    • 43. Das Prinzip der kleinsten Aktion. S. 92
    • 44. Historisches über das Prinzip der kleinsten Aktion. S. 95

C. Eigentliche Integralprinzipe. S. 97

    • 45. Das Prinzip der lebendigen Kraft. S. 97
    • 46. Historische Bemerkungen über Arbeit, lebendige Kraft und Energie. S. 101
    • 47. Das Energieprinzip. S. 104
    • 48. Das Virial und der zweite Hauptsatz der Thermodynamik. S. 107
    • 49. Die Lokalisierung der Energie. S. 109
    • 50. Energetische Begründung der Mechanik. S. 115
    • 51. Schlussbemerkung. S. 116

Namenverzeichnis. S. 117 B. Mechanik der Punkte und starren Systeme (Art. 2 – 13). S. 123 I. Behandlung elementarer Fragen in geometrischer Form (Art. 2 – 6). S. 125

  • Art. 2. Geometrische Grundlegung der Mechanik eines starren Körpers. Von H. E. TIMERDING in Elsfleth (Oldenburg) (jetzt in Strassburg i. E.). (Abgeschlossen im Februar 1902.). S. 125

Vorbemerkung. S. 128 I. Geometrische Grundbegriffe. S. 128

    • 1. Der Vektor. S. 128
    • 2. Addition und Subtraktion der Vektoren. S. 129
    • 3. Plangrössen. S. 130
    • 4. Skalare erster und zweiter Art. S. 132
    • 5. Linienteile. S. 132
    • 6. Ein Linienteil als Summe zweier anderen Linien teile. Poinsotsche Paare. S. 134
    • 7. Liniensummen. S. 135
    • 8. Die Zentralaxe einer Liniensumme. S. 136
    • 9. Das gegenseitige Moment zweier Liniensummen. S. 137
    • 10. Das vektorielle Moment einer Liniensumme für einen beliebigen Punkt und das Möbiussche Nullsystem. S. 139
  • II. Die ersten Sätze der Kinematik des starren Körpers und die Ballschen Schrauben. S. 142
    • 11. Jede unendlich kleine Bewegung eine Schraubung. S. 142
    • 12. Analogie der Schraubungen und Liniensummen. S. 144
    • 13. Die Italischen Schrauben. S. 146
    • 14. Schraubenkoordinaten, sowie allgemeinste lineare Transformation derselben. S. 148
    • 16. Lineare Schraubensysteme und ihre Bedeutung in den Fällen beschränkter Bewegungsfreiheit eines starren Körpers. S. 150
    • 16. Schraubensysteme zweiter Stufe. Das Cylindroid. S. 151
    • 17. Schraubensysteme dritter Stufe. S. 154
    • 18. Schraubensysteme vierter und fünfter Stufe. S. 156
    • 19. Homographische Schraubensysteme. S. 158
  • III. Die Grundzüge der elementaren Statik. S. 160
    • 20. Der statische Kraftbegriff. Das Parallelogramm der Kräfte. S. 160
    • 21. Der starre Körper. Das Hebelgesetz. Systeme paralleler Kräfte. S. 161
    • 22. Allgemeine Kräftesysteme. Ihre Reduktion auf zwei zu einander normale Kräfte. S. 161
    • 23. Reduktion eines Kräftesystems auf eine Einzelkraft und ein Kräftepaar. Beziehungen zur Schraubentheorie. S. 163
    • 24. Vereinigung zweier Kräftesysteme. S. 164
    • 25. Kräfte im Gleichgewicht. S. 165
    • 26. Arbeit eines Kräftesystems bei einer unendlich kleinen Verrückung. S. 166
    • 27. Unrichtige Auffassungen der Analogie zwischen Kräften und unendlich kleinen Drehungen. S. 168
    • 28. Das Virial. S. 169
  • IV. Astatik. S. 172

A. Geometrische Einleitung. S. 172

    • 29. Ebenenkoordinaten. Polar- und Antipolarsysteme. S. 172
    • 30. Konfokale Flächen zweiten Grades. S. 173
    • 31. Der Reyescbe Axenkomplex. S. 176

B. Theorie der gebundenen Kräftesysteme und ihrer Drehung. S. 177

    • 32. Systeme parallel gerichteter Kräfte. S. 177
    • 33. Astatisches Gleichgewicht und astatische Äquivalenz. S. 178
    • 34. Gebundene Kräftepaare. S. 179
    • 35. Das vektorielle Moment eines gebundenen Kräftesystems für eine Ebene. S. 179
    • 36. Das skalare Moment in Bezug auf eine Ebene. S. 180
    • 37. Gebundene Komponenten eines Kräftesystems. S. 181
    • 38. Die von den Ebenen gleichen Momentes umhüllte konfokale Flächenschar. S. 184
    • 39. Die statischen Axen von F. Siacci (für einen beliebigen Punkt). Der Mindingsche Satz. S. 185
    • 40. Verallgemeinerung des Mindingschen Satzes durch Gr. Darboux. S. 187
    • 41. Möbius Hauptaxen der Drehung. S. 187
    • 42. Besondere Fälle astatischer Koordinaten. S. 188
  • Art. 3. Kinematik. Von A. SCHOENFLIES in Königsberg i. Pr.; (mit einem Zusatze Nr. 28 – 30 von M. GEÜBLER in Dresden). (Abgeschlossen im Juni 1902.). S. 190

A. Endliche Bewegungen. S. 192

    • 1. Die einfachsten Typen der Bewegungen und Umlegungen. S. 192
    • 2. Zusammensetzung von Bewegungen und Umlegungen. S. 195
    • 3. Der Dualismus der Bewegung. S. 198
    • 4. Mehrere incidente Lagen derselben Ebene oder desselben Bündels. S. 199
    • 5. Mehrere Lagen desselben räumlichen Systems. S. 201
    • 6. Analytische Darstellung der Bewegungen. S. 203

B. Stetige Bewegungen. S. 207

    • 7. Geschwindigkeit und Beschleunigungen eines Punktes. S. 207
    • 8. Die stetige Bewegung einer Ebene in sich. S. 210
    • 9. Metrische und konstruktive Fragen. S. 213
    • 10. Geschwindigkeit und Beschleunigungen der ebenen Bewegung. S. 216
    • 11. Spezielle Bewegungen in der Ebene. S. 218
    • 12. Das Kurbelgetriebe. S. 220
    • 13. Angenäherte Kurvenführungen mittelst des Kurbelgetriebes. S. 223
    • 14. Die stetige Bewegung um einen festen Punkt. S. 226
    • 15. Geschwindigkeit und Beschleunigungen bei der Bewegung um einen Punkt. S. 227
    • 16. Polhodie und Herpolhodie. S. 230
    • 17. Die Axenflächen der allgemeinsten Bewegung. S. 232
    • 18. Geometrische Eigenschaften der räumlichen Bewegung. S. 234
    • 19. Geschwindigkeit und Beschleunigungen der räumlichen Bewegung. S. 237
    • 20. Bewegung bei Freiheit zweiter und höherer Stufe. S. 239
    • 21. Besondere räumliche Bewegungen. S. 241
    • 22. Flächeninhaltsätze. S. 244

C. Die Mechanismen. S. 248

    • 23. Mehrere in einander bewegliche Ebenen. S. 248
    • 24. Die durch Gelenkketten herstellbaren Verwandtschaften. S. 252
    • 25. Die Untersuchungen von A. B. Kempe und die übergeschlossenen Ketten. S. 256
    • 26. Relative Bewegung. S. 258
    • 27. Zahnräder und verwandte Mechanismen. S. 261
    • 28. Allgemeine Theorie der kinematischen Ketten. S. 267
    • 29. Ebene kinematische Ketten. S. 270
    • 30. Räumliche kinematische Ketten. S. 273

D. Anhang. S. 274

    • 31. Kinematik veränderlicher Systeme. S. 274
  • Art. 4. Geometrie der Hassen. Von G. JUNG in Mailand. (Abgeschlossen im März 1903.). S. 279
    • 1. Der Begriff des Massensystems. S. 282

I. Lineare Momente. Der Schwerpunkt. S. 283

    • 2. Polare lineare Momente. Die verschiedenen Arten von Massensystemen. S. 283
    • 3. Planare lineare Momente. Statische Momente in Bezug auf eine Ebene. S. 286
    • 4. Ebene Projektionen eines Massensystems. Geradlinige Systeme. S. 287
    • 5. Sätze über den Schwerpunkt. Das Zentrum der mittleren Entfernungen. S. 288
    • 6. Baryzentrische Koordinaten. S. 290
    • 7. Das Massensystem, aufgefasst als ein System paralleler Kräfte. S. 291
    • 8. Kongruente und ähnliche Systeme. S. 293
  • II. Quadratische Momente. Das Antipolarsystem. S. 293
    • 9. Die verschiedenen Arten quadratischer Momente und ihre gegenseitigen Beziehungen. S. 293
    • 10. Polare quadratische Momente. S. 296
    • 11. Planare quadratische Momente, Deviationsmomente und ihre Beziehung zu dem mit dem Massensystem verknüpften Antipolarsystem. S. 299
    • 12. Die Zentralflächen für die planaren quadratischen Momente und die Deviationsmomente. S. 303
    • 13. Die konfokalen Flächen konstanten planaren Momentes. S. 306
    • 14. Axiale quadratische Momente und die zugehörigen Zentralflächen für allgemeine Systeme. S. 308
    • 15. Deviationsmomente, insbesondere für rechtwinkelige Ebenenpaare, bei Schwersystemen. S. 311
    • 16. Die Trägheitsflächen eines beliebigen Punktes. S. 312
    • 17. Das Hauptträgheitstripel eines beliebigen Punktes. S. 316
    • 18. Der Trägheitskomplex eines Massensystems. S. 319
    • 19. Planare und axiale Hauptmomentenflächen. Die Schar der Strahlenkomplexe konstanten axialen Momentes. S. 320
    • 20. Quadratische Momente bei ebenen und geradlinigen (allgemeinen) Massen-Systemen. S. 322
    • 21. Die historische Entwickelung der Lehre von den Trägheitsmomenten und Trägheitsflächen. S. 325
    • 22. Quadratisch äquivalente Massensysteme. S. 329
  • III. Anhang zur Theorie der linearen und quadratischen Momente. S. 331
    • 23. Lineare und quadratische Momente kontinuierlicher Systeme. Der Kern einer kontinuierlichen Figur. S. 331
    • 24. Die Auswertung linearer und quadratischer Momente. S. 334
  • IV. Höhere Momente. S. 337
    • 25. Allgemeine Definition der höheren Momente. S. 337
    • 26. Die Nullflächen eines Massensystems. S. 338
    • 27. Äquivalenz höheren Grades, Indifferenz höheren Grades. S. 339
    • 28 Polarität und Apolarität. S. 341
    • 29. Ersetzung eines Massensystems hinsichtlich seiner Momente mten Grades durch einzelne Punkte. S. 342
    • 30. Das Problem der Grenzwerte von P. L. Tschebyscheff. S. 344
  • Art 5. Die graphische Statik der starren Körper. Von L. HENNEBERG in Darmstadt. (Abgeschlossen im Juni 1903.). S. 345
    • 1. Vorbemerkung. S. 349
    • 2. Historisches. S. 349

I. Grundzüge der graphischen Statik. S. 351 A. Das ebene Kräftesystem. S. 351

    • 3. Die analytische Zusammensetzung der Kräfte. S. 351
    • 4. Graphische Bestimmung des resultierenden statischen Momentes. S. 351
    • 5. Graphische Zusammensetzung der Kräfte durch das Seilpolygon. S. 352
    • 6. Die verschiedenen Seilpolygone des nämlichen Kräftesystem es. S. 354
    • 7. Das Seilpolygon als Projektion des Schnittes eines räumlichen Gebildes. S. 354
    • 8. Das Gelenkpolygon als Seilpolygon. S. 356
    • 9. Weitere Methoden für die graphische Zusammensetzung der Kräfte. S. 358
    • 10. Kräftekurve und Seilkurve. S. 360
    • 11. Kräfte mit demselben Angriffspunkt. Reziproke Figuren. S. 361
    • 12. Allgemeine Theorie der reziproken Figuren. S. 362
    • 13. Zerlegung einer Kraft in Komponenten in derselben Ebene. S. 366

B. Das ebene Kräftesystem. Anwendungen. S. 366

    • 14. Graphische Schwerpunktsbestimmung. S. 366
    • 15. Weitere graphische Methoden für die Schwerpunktsbestimmung. S. 366
    • 16. Bestimmung des statischen Momentes einer Kraft durch das Seilpolygon. S. 367
    • 17. Biegungsmoment. Biegungsmomentenfläche. Einflusslinie. S. 369
    • 18. Konstruktion des Trägheitsmomentes durch das Seilpolygon. S. 372
    • 19. Weitere graphische Methoden zur Bestimmung des Trägheitsmomentes. S. 374
    • 20. Konstruktion der Trägheitsellipse. S. 375
    • 21. Trägheitskreis und Zentralkreis. S. 376
    • 22. Zentrifugalmoment (Deviationsmoment). S. 377
    • 23. Zentralkern. S. 379

C. Das räumliche Kräftesystem. S. 379

    • 24. Kräfte mit demselben Angriffspunkt. S. 381
    • 25. Kräftepaare in verschiedenen Ebenen. S. 382
    • 26. Graphische Zusammensetzung der Kräfte im Raum mit verschiedenen Angriffspunkten. S. 382
    • 27. Parallele Kräfte. Mittelpunkt. Schwerpunkt. S. 385
  • II. Die bestimmten Fachwerke. Allgemeine Theorie. S. 385

A. Ebene Fachwerke. S. 385

    • 28. Einleitung. S. 385
    • 29. Gelenksysteme und deren Klassifikation. Definition der freien Fachwerke. S. 386
    • 30. Analytische Kennzeichen für die verschiedenen Arten von Gelenksystemen. S. 388
    • 31. Das statische Grundproblem für die freien Fachwerke. „Bestimmte“ Fachwerke. S. 390
    • 32. Dreiecksfachwerke. Schnittmethode. Methode der Kräftepolygone. S. 393
    • 33. Maxwellsche Fachwerke. S. 397
    • 34. Die Struktur des (allgemeinen) „bestimmten“ ebenen Fachwerkes. S. 401
    • 35. Bestimmung der Spannungen in den (allgemeinen) „bestimmten“ ebenen Fachwerken. Einleitung. S. 404
    • 36. Fortsetzung: Die Methode von Henneberg. S. 406
    • 37. Fortsetzung: Die kinematische Methode von Mohr und Müller-Breslau. S. 408
    • 38. Fortsetzung: Die allgemeine Verwendung der reziproken Fachwerke. S. 411
    • 39. Allgemeine Kriterien für das Auftreten der Grenzfälle. S. 411

B. Räumliche Fachwerke. S. 412

    • 40. Raumliche Gelenksysteme. „Bestimmte“ räumliche freie Fachwerke. S. 412
    • 41. Spezielle räumliche Fachwerksformen und Diagramme. S. 415
    • 42. Struktur des (allgemeinen) „bestimmten“ räumlichen Fachwerkes. S. 417
    • 43. Bestimmung der Spannungen im (allgemeinen) „bestimmten“ räumlichen Fachwerke. S. 419
    • 44. Allgemeine Kriterien für das Auftreten der Grenzfälle. S. 420
  • III. Spezielle Fachwerksträger. S. 421
    • 45. Vorbemerkung. S. 421
    • 46. Lagerpunkte der Fachwerke. S. 421
    • 47. Gestützte Fachwerke. S. 422
    • 48. Spezielle ebene Fachwerksträger. S. 424
    • 49. Fortsetzung: Gestützte ebene Fachwerke als Fachwerksträger. S. 428
    • 50. Spezielle räumliche Fachwerksträger. S. 431

Schlusswort. S. 434

  • Art. 6. Elementare Dynamik der Punktsysteme und starren Körper. Von P. STÄCKEL in Hannover. (Abgeschlossen im Dezember 1905.). S. 435
    • 1. Geschichtliche Bemerkungen. Begriff und Aufgabe der elementaren Dynamik. S. 443

I. Punktdynamik. S. 449

    • 2. Bedeutung der Punktdynamik für die gesamte Mechanik und Physik. S. 449

A. Allgemeine Theorie. S. 454

    • a) Der einzelne Punkt. S. 454
    • 3. Fundamentale Begriffe. S. 454
    • 4. Aufstellung der Differentialgleichungen der Bewegung. S. 457
    • 5. Diskussion der Differentialgleichungen der Bewegung. S. 462
    • 6. Reibung. S. 469
    • b) Systeme diskreter Punkte. S. 473
    • 7. Die Differentialgleichungen der Bewegung. S. 473
    • 8. Mechanische Ähnlichkeit. S. 478
    • 9. Kleine Schwingungen ohne Reibung. S. 480
    • 10. Relative Bewegung. S. 485
    • c) Beziehungen zu Nachbargebieten. S. 489
    • 11. Beziehungen zur Lehre von der Gleichgewichtsgestalt der Fäden. S. 489
    • 12. Beziehungen zur Optik. S. 490

B. Spezielle Ausführungen. S. 493

    • a) Der einzelne Punkt. S. 493
    • 13. Freie Bewegung in der Ebene und im Räume. S. 493
    • 14. Bewegung auf einer Kurve. S. 499
    • 15. Bewegung auf einer krummen Fläche. S. 502
    • 16. Nichtholonome Bedingungen. S. 508
    • b) Systeme materieller Punkte. S. 510
    • 17. Spezielle Probleme aus der Statik der Systeme; statische Behandlung kinetischer Probleme. S. 510
    • 18. Stösse bei Systemen. S. 514
    • 19. Sogenannte Anfangsbewegungen. S. 520
    • 20. Ausführungen über kleine Schwingungen der Systeme, insbesondere über solche mit Reibung. S. 521
    • 21. Sonstige Probleme aus der Kinetik der Systeme. S. 526

C. Zwischenstück: Zusammenhang mit der Mechanik der Kontinua. S. 531

    • 22. Übergang zu Systemen von unendlich vielen Punkten. S. 531
    • 23. Gleichgewichtsgestalten von Fäden. S. 533
    • 24. Gleichgewichtsgestalten von Membranen. S. 537
  • II. Dynamik starrer Körper. S. 539
    • 26. Allgemeine Bemerkungen und Geschichtliches über die Dynamik starrer Körper. S. 539
    • 26. Bedeutung der Mechanik starrer Körper für die gesamte Mechanik und Physik. S. 549

A. Der einzelne starre Körper: Allgemeine Theorie. S. 552 Vorbemerkung. S. 552

    • 27. Bemerkungen zur Statik des starren Körpers. S. 553
    • 28. Vorbereitungen zur Kinetik des starren Körpers. S. 556
    • a) Lage und Beweglichkeit, b) Massenverteilung, c) Geschwindigkeitszustand, d) Lebendige Kraft und Impuls. S. 571
    • 29. Allgemeine Kinetik des starren Körpers. S. 571
    • a) Aufstellung der Differentialgleichungen der Bewegung in synthetischer Behandlung, b) Analytische Behandlung, c) Kinetostatik, d) Bedeutung der Schraubentheorie für die Kinetik des starren Körpers. S. 571
    • 30. Drehung um einen festen Punkt: Eulersehe Gleichungen. S. 581
    • 31. Reibung. Gebundene Bewegungen; nichtholonome Bedingungen. S. 589
    • a) Reibung, b) Aufstellung der Differentialgleichungen der Bewegung für einen starren Körper auf einer Unterlage, c) nichtholome Bedingungen. S. 589

B. Der einzelne starre Körper: Spezielle Ausführungen. S. 598

    • 32. Drehung um eine feste Axe. S. 598
    • 33. Ebene Bewegungen. S. 603
    • 34. Kräftefreier Kreisel. S. 605
    • a) Synthetische Behandlung der Bewegungsgleichungen, b) Analytische Behandlung der Bewegungsgleichungen. S. 619
    • 35. Schwerer symmetrischer Kreisel. S. 619
    • a) Allgemeine Sätze über den Bewegungsverlauf, b) Besondere Fälle; reguläre und pseudoreguläre Präzession. S. 639
    • 36. Schwerer unsymmetrischer Kreisel. S. 639
    • 37. Auf horizontaler Ebene spielender Kreisel (Spielkreisel). S. 646
    • 38. Gleiten und Rollen auf Unterlagen. S. 650
    • 39. Schwimmende Körper. S. 657

C. Systeme starrer Körper. S. 660

    • 40. Einleitende Bemerkungen. S. 660
    • 41. Die Differentialgleichungen der Bewegung. S. 661
    • a) Freie starre Körper, b) Allgemeine Kinetik der gebundenen Systeme starrer Körper, c) Gelenkketten; Massenausgleich. S. 667
    • 42. Kinetostatik der Systeme starrer Körper. S. 667
    • 43. Spezielle Probleme aus der Kinetik der Systeme starrer Körper. S. 670
    • a) Regulatoren, b) Kreisel mit einem Freiheitsgrade; Gyrostaten, c) Kreisel mit zwei Freiheitsgraden. S. 682
    • 44. Stösse starrer Körper. S. 682

Namenverzeichniss. S. 685 Verbesserungsvorschläge und Ergänzungen. S. 693

Band 4–2[Bearbeiten]

B. Mechanik der Punkte und starren Systeme (Art. 2 –13). S. 1

  • II. Anwendungen, mit Berücksichtigung der störenden Einflüsse (Art 7–10). S. 1
  • Art. 7. Die Mechanik der einfachsten physikalischen Apparate und Versuchsanordnungen. Von PH. FURTWÄNGLER in Wien. (Abgeschlossen im März 1904.). S. 1
    • 1. Vorbemerkung. S. 7

I. Das Pendel. S. 7

    • 2. Relative und absolute Messungen. S. 7

A) Die Schwingungsdauer des Pendels. S. 9

    • 3. Die Fundamentalformel für die Schwingungsdauer des Pendels. S. 9
    • 4. Die Bestimmung der Schwingungsdauer. S. 10

B) Die störenden Einflüsse. S. 13

    • 5. Der Einfluß der endlichen Amplitude. S. 13
    • 6. Der Einfluß des umgebenden Mediums. S. 14
    • a) Einfluß auf die Schwingungsdauer. S. 14
    • b) Der Einfluß auf die Amplitude. S. 16
    • 7. Das Mitschwingen des Stativs, des Pfeilers und Untergrundes. S. 17
    • 8. Der Einfluß der Aufhängung. Das Gesetz der Amplitudenabnahme. S. 22
    • 9. Die Elastizität der Pendel. S. 27
    • 10. Der Einfluß der Temperatur. S. 29

C) Die Methoden zur Bestimmung von g mit Hilfe des Pendels. S. 30

    • 11. Zwei Fadenpendel von verschiedener Länge. S. 30
    • 12. Das symmetrische Reversionspendel. S. 30
    • 13. Die Messung des Schneidenabstandes. S. 32
    • 14. Spezielle Fehlerquellen des Reversionspendels. S. 33
    • 15. Benutzung von zwei Reversionspendeln. S. 36
    • 16. Resultate einiger absoluten Schwerkraftsmessungen. S. 36
  • II. Die Wage. S. 37
    • 17. Einleitung. S. 37

A) Theorie der Wage. S. 37

    • 18. Prinzip der Wage. S. 37
    • 19. Empfindlichkeit. S. 37
    • 20. Fehler der Schneidenlage. S. 38
    • 21. Konstruktion des Gehänges. S. 39
    • 22. Homogeneität und Elastizität des Wagebalkens. S. 40
    • 23. Die Schneiden und Pfannen. S. 40
    • 24. Bewegung der Wage. S. 41
    • 25. Mathematische Darstellung gestörter pendelartiger Schwingungen. S. 44

B) Theorie der Wägung. S. 45

    • 26. Methoden von J. C. Borda und C. F. Gauß. S. 45
    • 27. Bestimmung der Gleichgewichtslage. S. 45
    • 28. Beobachtungsfehler. S. 46
    • 29. Fehler, die ans Veränderungen der Wage und äußeren Umständen folgen. S. 46
    • 30. Übergang von den bewegenden Kräften zu den Massen. S. 47
    • 31. Gewichte. S. 47
    • 32. Genauigkeit von Wägungen. S. 48
  • III. Versuche zum mechanischen Nachweis der Erdrotation. S. 49

A) Abweichung eines frei fallenden Körpers von der Lotlinie. S. 49

    • 33. Formel für die östliche Abweichung. S. 49
    • 34. Berücksichtigung des Luftwiderstandes. S. 49
    • 35. Versuche. S. 50

B) Einfluß der Erdrotation auf die Bewegung des frei schwingenden Pendels. S. 51

    • 36. Differentialgleichungen und Resultat einer angenäherten Integration für das mathematische Pendel. S. 51
    • 37. Störende Einflüsse. S. 53
    • 38. Weitere Annäherungen. S. 53
    • 39. Benutzung des physischen Pendels. S. 54
    • 40. Versuche:. S. 54
    • a) Der Foucaultsche Pendelversuch. S. 54
    • b) Der Bravaissche Pendelversuch. S. 55
    • 41. Das Gaußsche Pendel:. S. 55
    • a) Theorie. S. 55
    • b) Theorie und Versuche von H. Kamerlingh-Onnes. S. 56

C) Versuche mit Gyroskopen. S. 56

    • 42. Das Foucaultsche Gyroskop. S. 56
    • 43. Das Gübertsche Barogyroskop. S. 58
    • 44. Der Versuch von A. Föppl. S. 60
  • Art. 8. Physiologische Mechanik (Bewegungsphysiologie). Von O. FISCHER (+) in Leipzig. (Abgeschlossen im Juni 1904.). S. 62
    • 1. Einleitung. S. 80

I. Kinematik. S. 82 A. Gelenkuntersuchungen. S. 82

    • 2. Form der Gelenkflächen. S. 82
    • 3. Freiheit der Gelenkbewegung. S. 86
    • 4. Schluß der Gelenke. S. 87
    • 5. Art der Gelenkbewegung. S. 88

B. Ableitung des Bewegungsgesetzes des lebenden Körpers bei der Lokomotion und anderen Bewegungsarten. S. 91

    • 6. Empirische Grundlagen. S. 91
    • 7. Ableitung des Bewegungsgesetzes. S. 93
  • II. Kinetik. S. 94

A. Muskelstatik. S. 94

    • 8. Massen- und Schwerpunktsbestimmungen. S. 94
    • 9. Die Hauptpunkte der Glieder eines beliebigen Gelenkmechanismus. S. 95
    • 10. Einwirkung der Schwere. S. 98
    • 11. Die Drehungsmomente der Muskeln. S. 98
    • 12. Gleichgewichtsprobleme. S. 100

B. Muskeldynamik. S. 103

    • 13. Bestimmung der Trägheitsmomente der einzelnen Körperteile. S. 103
    • 14. Die lebendige Kraft der Bewegung des menschlichen Körpers. S. 103
    • 15. Die Bewegungsgleichungen. S. 108
    • 16. Allgemeines über die Probleme der Muskeldynamik. S. 109
    • 17. Spezielle Probleme der ersten Art. S. 111
    • 18. Spezielle Probleme der zweiten Art. S. 114

Anhang. S. 116 Namensverzeichnis. S. 123

  • Art. 9. Spiel und Sport. Von G. T. WALKER in Simla (Indien). (Abgeschlossen im Sommer 1900.). S. 127

Vorbemerkung. S. 129

    • 1. Das Billardspiel. S. 129
    • a) Gegenseitige Reibung der Bälle. S. 130
    • b) Gegenseitiger Stoß der Bälle. S. 131
    • e) Der Stoß an der Bande. S. 133
    • d) Der Stoß am Queue. S. 134
    • e) Einwirkung des Billardtuches. S. 134
    • 2. Ballspiele. S. 135
    • a) Einleitende Bemerkung. S. 135
    • b) Die seitliche Abweichung eines Golfballes. S. 135
    • c) Erklärung der seitlichen Abweichung des Golf ball es. S. 136
    • 3. Der Bumerang. S. 138
    • a) Einleitende Bemerkung. S. 138
    • b) Der Luftwiderstand. S. 140
    • c) Die Bewegung des Bumerangs: Vereinfachende Voraussetzungen. S. 140
    • d) Fortsetzung: Qualitative Theorie. S. 141
    • e) Fortsetzung: Quantitative Theorie; Vergleich mit den Beobachtungen. S. 141
    • f) Die zusammengesetzte schleifenförmige Bahn des Bumerangs. S. 144
    • g) Nichtzurückkehrender Bumerang. S. 145
    • 4. Das Fahrrad. S. 145
    • a) Allgemeine Grundlagen. S. 145
    • b) Die Theorie des modernen Zweirades. Einleitung. S. 146
    • c) Fortsetzung: Freihändiges Fahren. S. 147
    • d) Fortsetzung: Das Lenken des Fahrrades. S. 148
    • e) Die Arbeit. S. 149

Anhang. S. 150

  • Art. 10. Dynamische Probleme der Maschinenlehre. Von R. v. MISES in Istanbul (Türkei). (Abgeschlossen im Juli 1911.). S. 153

Vorbemerkung. S. 159 Historische Übersicht. S. 160 I. Übersicht über die Kraftfelder der Maschinen. S. 165

    • 1. Einleitung. S. 165
    • a) Abgrenzung des Problems vom Standpunkt der Stereokinetik. S. 165
    • b) Die verschiedenen Arten auftretender Kräfte. S. 167
    • c) Die Methoden der mathematischen Darstellung der Kraftfelder. S. 169
    • 2. Kolbenmaschinen. S. 170
    • a) Hydraulische Kolbenmotoren und -Pumpen. S. 171
    • b) Dampf-, Gas- und Luftmaschinen. S. 172
    • c) Veränderungen im Kraftfeld; Darstellung des Kraftverlaufes. S. 174
    • 3. Kreiselräder. S. 176
    • a) Allgemeine Gleichungen für das Moment des Raddruckes. S. 177
    • b) Besondere Fälle. S. 178
    • 4. Elektrische Maschinen. S. 181
    • a) Gleichstrommaschinen. S. 182
    • b) Wechselstrommaschinen. S. 183
    • 5. Bearbeitungsmaschinen. S. 187
    • 6. Theorie der Reibung. S. 189
    • a) Die Reibungsgesetze. S. 190
    • b) Kritik der Reibungsgesetze. Reibungstheorie von P. Painlevé. S. 193
    • 7. Experimentelle Untersuchung der Reibung. S. 196
    • a) Versuche zur Erforschung der Reibungsgesetze. S. 197
    • 1) Standpunkt von A. Morin. S. 197
    • 2) Einfluß der Oberflächenbeschaffenheit. Trockene und geschmierte Reibung. S. 200
    • 3) Einfluß der Geschwindigkeit auf .. . Verhältnis zu .. S. 202
    • 4) Einfluß des Normaldruckes, der Oberflächengröße und der Berührungsdauer. S. 205
    • 5) Roll- und Bohrreibung. S. 207
    • b) Versuche an besonderen Reibungserscheinungen. S. 209
    • 1) Zapfen- und Lagerreibung. S. 209
    • 2) Bremsen. S. 210
    • 3) Riemen- und Seilreibung. S. 211
    • 4) Haftreibung der Fahrzeugtriebräder. S. 212
    • 5) Gleitwiderstand von Nietverbindungen. S. 212
    • c) Generalisierende Widerstandsformeln. S. 213
    • 1) Dampfmaschinen usw. S. 213
    • 2) Widerstände der Eisenbahnen. S. 214
    • 8. Widerstände im umgebenden Mittel. S. 216
  • II. Besondere dynamische Probleme. S. 218

Vorbemerkung. S. 218 A. Das einfache Maschinengetriebe. S. 222

    • 9. Kinematik des Schubkurbelgetriebes. S. 222
    • a) Geschwindigkeit und Beschleunigung. S. 222
    • b) Massenkinematik. Ersatz der Schubstangenmasse. S. 225
    • c) Reduzierte Masse des Getriebes. S. 227
    • 10. Aufstellung und Diskussion der Bewegungsgleichung. S. 228
    • a) Die Kräfte am Schubkurbelgetriebe. S. 229
    • b) Zur Integration der Bewegungsgieichung. S. 231
    • 11. Die stationäre Bewegung (Schwungradbewegung). S. 233
    • a) Schwungradberechnung für ein nur von der Kurbelstellung abhängiges Kraftfeld. S. 233
    • b) Besondere Fragen. S. 236
    • c) Das Kraftfeld hängt auch von der Geschwindigkeit ab. S. 238
    • d) Das Kraftfeld ist auch explizite von der Zeit abhängig. S. 239
    • e) Experimentelle Untersuchungen. S. 241
    • 12. Der Massenausgleich bei mehrkurbeligen Maschinen. S. 242
    • a) Formulierung des Problems. S. 243
    • b) Die allgemeinen Bedingungen des Massenausgleiches. S. 244
    • c) Spezielle Resultate. S. 246
    • 13. Kinetostatik. Einfluß der Elastizität und der Ungenauigkeit der Gelenke. S. 249
    • a) Ermittelung der Gelenkreaktionen. S. 249
    • b) Schnittreaktionen der Schubstange. S. 250
    • c) Torsionsschwingungen der Kurbel welle. S. 251
    • d) Stöße in den Gelenken des Kurbelgetriebes. S. 253

B. Regulierung des Maschinenganges. S. 254

    • 14. Allgemeine Orientierung. S. 254
    • a) Der Regler. S. 255
    • b) Die Arten der Regulierung mittels Fliehkraftreglers und die Richtungen der theoretischen Untersuchung. S. 257
    • c) Die Reguliermechanismen. S. 259
    • 15. Das statische Regulatorproblem. S. 262
    • a) Der allgemeine Ansatz. S. 262
    • b) Grundbegriffe der elementaren Regulatortheorie. S. 265
    • c) Wirkung rotierender Federn. S. 268
    • 16. Direkte, stetige und einfache Regulierung. S. 269
    • a) Der vollständige kinetische Ansatz. S. 269
    • b) Begriff des Beharrungsreglers. S. 273
    • c) Ansatz für kleine Schwingungen unter Vernachlässigung der Reibung und Stellkraft. S. 274
    • d) Stabilitätsbedingungen. S. 276
    • e) Einfluß der Reibung (Stellkraft). S. 278
    • 17. Direkt und intermittierend wirkende Regulierung. S. 282
    • a) Allgemeine Problemstellung. S. 282
    • b) Vereinfachter Ansatz. S. 284
    • c) Weitere Fragen. S. 286
    • 18. Indirekte Regulierung. S. 287
    • a) Ansatz für indirekte einfache Regulierung. S. 287
    • b) Stabilitätsbedingungen. S. 289
    • c) Einfluß langer Rohrleitungen auf die Regulierung hydraulischer Motoren. S. 292
    • d) Isodrom-Regulierung. S. 294

C. Maschinenelemente und Apparate. S. 296

    • 19. Welle und Lager. S. 296
    • a) Lagerreibung. S. 296
    • b) Das Schleudern rotierender Wellen. S. 300
    • 20. Riemen-, Seil- und Kettentrieb. S. 303
    • a) Wechselwirkung zwischen Rolle und Band. S. 303
    • b) Das Verhalten des freien Seiles. S. 307
    • c) Seilsteifigkeit. S. 308
    • 21. Weitere Getriebe. S. 310
    • 22. Druckindikator. S. 312

D. Fahr- und Hebezeuge. S. 315

    • 23. Schienenfahrzeuge. S. 315
    • a) Rad und Schiene. (Stationäre Bewegung). S. 316
    • b) Allgemeine Bewegung des Fahrzeuges. Das Zucken der Lokomotive. S. 319
    • c) Die kinetischen Reaktionen des Fahrzeuges. S. 323
    • d) Bremsen. S. 325
    • e) Schwingungen des Lokomotiv-Oberbaues. S. 328
    • 24. Hebezeuge. S. 331
    • 25. Schilfe. S. 334
    • a) Die Schiffsschwingungen. S. 334
    • b) Allgemeiner Ansatz für die Schwingungen des Kreiselschiffes. S. 337
    • c) Rollen des Kreiselschiffes im Seegang. S. 340
    • d) Dämpfung der freien Schwingungen durch den Kreisel. S. 341
    • 26. Luftfahrzeuge. S. 343
    • a) Allgemeiner Ansatz. S. 343
    • b) Stationäre Bewegung. Kreiselwirkung. S. 347
    • c) Kleine Schwingungen. S. 348
    • d) Stabilität. S. 351

Sachregister. S. 353

  • III. Behandlung beliebiger Systeme von endlichem Freiheitsgrad in analytischer Allgemeinheit (Art. 11–13). S. 357
  • Art. 11. Ansätze und allgemeine Methoden der Systemmechanik. Von K. HEUN (+) in Karlsruhe i. B. (Abgeschlossen im April 1913.). S. 360
    • 1. Vorbemerkungen. S. 360
    • a) Historische Übersicht. S. 360
    • b) Abgrenzung und Zielpunkte des Referates. S. 364
    • c) Hilfsmittel aus der Dyadenrechnung. S. 366

I. Teil. Systeme aus diskreten starren Elementen. S. 370

    • 2. Systemkoordinaten und -parameter. S. 370
    • 3. Methoden der phoronomischen Beobachtung. S. 376
    • a) Bemerkungen zur Experimentalmechanik. S. 376
    • b) Photogramme. Bestimmung der absoluten Raumkoordinaten aus den Bildkoordinaten eines Punktes. S. 377
    • c) Messungen. S. 379

A. Vektorielle Ansätze. S. 379

    • 4. Systemgeschwindigkeit, Impuls und kinetische Energie. S. 379
    • a) Allgemeine Ansätze für die Raumbewegung des starren Körpers. S. 380
    • b) Impulsgrößen für die Planbewegung des starren Körpers. S. 382
    • c) Impulsgrößen für die Scheibenbewegung ebener Zylinderzapfenketten. S. 383
    • d) Die kinetische Energie des Flachreglers. S. 386
    • e) Anwendung auf den Kurbelmechanismus. S. 387
    • f) Erweiterung der Impulsmomente für die Planbewegung der Zylinderzapfenkette. S. 389
    • g) Impulsgrößen für die räumliche Zylinderzapfenkette. S. 390
    • h) Anwendung auf den Muffenregler. S. 394
    • 5. Systembeschleunigung. S. 397
    • a) Aligemeiner Beschleunigungszustand des starren Körpers. S. 397
    • b) Beschleunigung bei der Planbewegung des starren Körpers. S. 400
    • c) Planbewegung der Gelenkkette mit Anwendung auf den Kurbelmechanismus. S. 401
    • d) Das Rollprobem des einzelnen starren Körpers als Beispiel eines nichtholonomen Systems. S. 405
    • 6. Statische Kräftereduktionen. S. 408
    • a) Die Gleichgewichtsbedingungen in Eulerscher Form. S. 409
    • b) Lagrangeschen Gradientengleichungen für Punktsysteme. S. 410
    • c) Bedeutung von Zentralaxe und Kraftkreuz für die Auffassung der Systemreaktion am unfreien starren Körper. S. 411
    • d) Yektorstatik der Gelenkketten. S. 412
    • e) Die Lagrangeschen Gradientengleichungen für Systeme aus starren Elementen. S. 416
    • 7. Der kinetische Ansatz auf der Beschleunigungsstufe (ohne Reibung). S. 417
    • a) Der kinetische Ansatz für den starren Körper und Systeme starrer Körper. S. 417
    • b) Der kinetische Ansatz für Fahrzeuge mit Rollbewegung. S. 421
    • 8. Ermittlung der kinetischen Reaktionen. S. 423
    • a) Die Reaktionen bei ebenen und räumlichen Körperketten. S. 423
    • b) Die Berücksichtigung der Reibung bei kinetischen Ansätzen. S. 425
    • 9. Impulskinetik. S. 429
    • a) Die reine Impulsion. S. 429
    • b) Der Stoß. S. 432
    • 10. Relativbewegung in vektorieller Form. S. 434
    • a) Relativbewegung mit nichtbeschränkter Führungsbewegung. S. 434
    • b) Punktbewegung auf einer rotierenden starren Röhre. S. 435
    • c) Punktbewegung auf einer deformierbaren rotierenden Leitkurve. S. 437
    • d) Allgemeine vektorielle Auffassung der Relativbewegung des freien oder gebundenen starren Körpers. S. 438
    • e) Geführte Bewegung allgemeiner Mechanismen. S. 442
    • f) Der Eingriffswiderstand. S. 443

B. Skalare Ansätze. S. 445

    • 11. Die Lagrang eschen Komponenten der Systembeschleunigung. Die Zentralgleichung. S. 445
    • 12. Skalare Kräftereduktionen. S. 450
    • 13. Lagvanges kinetostatische Gleichungen. S. 452
    • 14. Weiterbildung der Lagrangeschen Gleichungen. S. 453
    • a) Die Eouthsche Funktion. S. 453
    • b) Differentialgleichungen für zyklische Systeme. S. 454
    • c) Lagrawge-Eulersche Gleichungen für nicht-holonome Systeme. S. 457
    • 15. Skalare Ansätze der Impulskinetik. S. 460
    • 16. Skalare Behandlung der geführten Bewegung. S. 462

C. Variation der Integrationskonstanten. S. 464

    • 17. Die allgemeine Problemstellung. S. 464
    • 18. Störungen durch momentane Stoßkräfte. S. 474
  • II. Teil. Theorie der gespannten Kontinua. S. 477
    • 19. Lineare Kontinua (Fäden, Bänder und Drähte). S. 477
    • a) Statische Ansätze. S. 477
    • b) Kinetik. S. 483
    • 20. Zweidimensionale Kontinua (Flächengebilde). S. 485
    • a) Geometrische Grundlagen. S. 485
    • b) Einführung der spezifischen eingeprägten Kräfte und der lokalisierten spezifischen Reaktionen (Spannungen). S. 486
    • c) Die Zentralgleichung. S. 488
    • 21. Räumliche Kontinua. S. 490
    • a) Definition der lokalisierten spezifischen Reaktionen (Spannungen). S. 490
    • b) Die statische Zentralgleichung. S. 491
    • c) Übergang zu den kinetischen Gleichungen. S. 492
    • d) Einführung der Eulerschen Winkel. S. 493
  • III. Teil. Heterogene Substanzen. S. 494
    • 22. Spannung und Temperatur. S. 495
    • a) Umkehrbare Vorgänge. S. 495
    • b) Wärmeleitung in gespannten Körpern. S. 496
    • 23. Erweiterung des Geltungsbereiches der Lagrang eschen Gleichungen. S. 497
    • a) Allgemeinere Auffassung der mechanischen Elementarbegriffe. S. 497
    • b) Temperatur und Entropie im Rahmen der Lagrang eschen Gleichungen. S. 499
    • 24. Die Gibbssche Statik. G. Jaumanns Erweiterung des Massenbegriffs. S. 500
    • a) Allgemeine Gleichgewichtsbedingungen. S. 500
    • b) Fester Körper in einer Flüssigkeit. Hinweis auf Oberflächenspannungen. S. 502
    • c) G. Jaumanm Auffassung der stetigen Massenänderung. S. 503
  • Art. 12 u. 13. Die allgemeinen Integrationsmethoden der analytischen Mechanik. Von GEORG PRANGE in Hannover. (Abgeschlossen im Dezember 1933.). S. 505
    • 1. Abgrenzung des Artikels. Geschichtliche Bemerkungen. S. 509

A. Die Differentialgleichungen der Bewegung und ihr Ansatz mit Hilfe der Differentialprinzipien. S. 514

    • 2. Begriff eines mechanischen Systems von endlich vielen Freiheitsgraden. Allgemeine Koordinaten. S. 514
    • 3. Die virtuellen Verrückungen in allgemeinen Koordinaten. S. 521
    • 4. Ansatz der Bewegungsgleichungen auf Grund der Lagrangesehen Formel des d’Alembertschen Prinzips und der Lagrangeschen Zentralgleichung. S. 529
    • 5. Das Prinzip des kleinsten Zwanges und der Ansatz der Bewegungsgleichungen. S. 541
    • 6. Die Lagrangeschen Gleichungen und ihre Lösungen. S. 547
    • 7. Painleves allgemeine Diskussion der Singularitäten der Bahnkurven eines Systems. S. 560

B. Die Variationsprinzipien. S. 564

    • 8. Das Hamiltomsche Prinzip. S. 564
    • 9. Zyklische Koordinaten Die kanonische Gestalt der Bewegungsgleichungen. Die Routh-Helmholtzsche Transformation. S. 571
    • 10. Das Prinzip der kleinsten Aktion. S. 580

C. Vorbereitende Ansätze zur allgemeinen Integrationstheorie. S. 586

    • 11. Einleitende Bemerkungen. S. 586
    • 12. Die Variation der Konstanten bei Lagrange und Poisson. S. 587
    • 13. W. E. Hamiltons Untersuchungen zur geometrischen Optik. S. 593
    • 14. Einführung der charakteristischen Funktion in die Mechanik und Anwendung auf die Störungsrechnung. S. 604
    • 15. Das Eingreifen Jacobis. S. 611

D. Die variierte Wirkung. S. 615

    • 16. Die Hamiltomsche Prinzipalfunktion. S. 615
    • a) Die Ableitungen der Prinzipalfunktion. S. 615
    • b) Die Reziprozitätssätze. S. 616
    • c) Das Feld extremaler Eaumzeitlinien. S. 619
    • 17. Die Hamilton-Jacobiache partielle Differentialgleichung. S. 625
    • 18. Vereinfachung der Hamilton-Jacobischen Gleichung, wenn ein Integral der Bewegungsgleichungen bekannt ist. S. 631
    • a) Zyklische Koordinaten und Energieintegral. S. 631
    • b) Existenz eines beliebigen ersten Integrals. S. 636
    • 19. Integration der Hamilton-Jacobischen Gleichung durch Trennung der Veränderlichen. S. 644
    • a) Allgemeine Fragestellung. S. 644
    • b) Der Satz von Levi-Civita. Der „wesentlich geodätische“ Fall und der Fall des Stäckelschen Theorems. S. 646
    • c) Die Diskussion der (n + 1)-Einzelfälle. S. 653

E. Die Integralinvarianten. S. 657

    • 20. Die Jacobischen. Gleichungen. Invariante Differentiaiformen. Der Begriff der Integralinvariante. S. 657
    • 21. Die relative Integralinvariante erster Ordnung. Der zugehörige Pfaffsche Ausdruck und seine bilineare Kovariante. Die n charakteristischen absoluten Integralinvarianten des kanonischen Systems. S. 667
    • 22. Integralinvarianten von der Ordnung des Systems. Der Jacobische Multiplikator. S. 674
    • 23. Poincares Wiederkehrsatz. Adiabatische Invarianten eines mechanischen Systems. S. 682

F. Die systematische Integration des kanonischen Systems. S. 690

    • 24. Die 2 n Integrale der Bewegungsgleichungen und ihre geometrische Deutung. S. 690
    • 25. Zusammenhang zwischen einem Integral und einer infinitesimalen Transformation. S. 694
    • 26. Die Involutionsbeziehung zwischen zwei Integralen und das Poissonsche Theorem. S. 699
    • 27. Vereinfachung des kanonischen Systems bei Kenntnis eines Integrals. S. 713
    • 28. Vereinfachung der Integration bei Kenntnis einer Funktionengruppe von Integralen. S. 726
    • 29. Integrale besonderer Gestalt, insbesondere rational in den Impulsen. S. 735
    • 30. Stationäre Bewegungen bei zyklischen Koordinaten und ihre Verallgemeinerung. S. 743

G. Die kanonische Transformation. S. 748

    • 31. Das kanonische System als charakteristisches Pfaffsches System einer linearen Differentialform. Die bilineare Kovariante. Historischer Zusammenhang mit der Störungsrechnung. S. 748
    • 32. Die Substitutionsfunktion. S. 757
    • 33. Bedingungen, damit eine Transformation kanonisch ist. S. 768
    • 34. Zusammenhang der kanonischen Transformationen mit den Berührungstransformationen. S. 773

H. Äquivalenzprobleme und Verwandtes. S. 786

    • 35. Transformation eines mechanischen Problems in ein anderes. Begriff der Äquivalenz. S. 786
    • 36. Geodätische Abbildung zweier Mn. Korrespondenz der Bogenelemente und allgemeine Korrespondenz mechanischer Systeme mit eingeprägten Kräften. S. 792
    • 37. Mechanische Probleme, deren Bahnkurven bei Transformationsgruppen in sich übergehen. S. 799

Band 4–3[Bearbeiten]

C. Mechanik der deformierbaren Körper (Art. 14 – 28). S. 1 I. Analytisch-geometrische Hülfsmittel (Art. 14). S. 3

  • Art. 14. Geometrische Grundbegriffe. Von M. ABRAHAM in Göttingen. (Abgeschlossen mit Februar 1901.). S. 3
    • 1. Einleitende Übersicht über die geometrischen Grossen der Mechanik und Physik. S. 4

I. Vektoranalysis. S. 6

    • 2. Polare Vektoren. S. 6
    • 3. Axiale Vektoren. S. 8
    • 4. Feld eines Skalars. S. 10
    • 5. Feld eines Vektors. S. 11
    • 6. Potentielles Feld. S. 14
    • 7. Solenoidales Feld. S. 15
    • 8. Laplacesches Feld. S. 17
    • 9. Flächennormales Vektorfeld. S. 18
    • 10. Zerlegung des Vektorfeldes in ein potentielles und ein solenoidales Feld. S. 18
    • 11. Ableitung neuer Vektoren und Skalaren aus gegebenen Vektoren. S. 20
  • II. Kinematik und Statik der Kontinua. S. 21
    • 12. Homogene Deformation. S. 21
    • 13. Lineare Vektorfunktion. S. 22
    • 14. Zerlegung in eine Deformation und Rotation. S. 23
    • 16. Andere Zerlegungen. S. 24
    • 16. Unendliche kleine, insbesondere homogene Deformation. S. 25
    • 17. Formänderung bei homogener Deformation; Tensoren. S. 26
    • 18. Unendlich kleine heterogene Formänderung; Tensorfelder. S. 29
    • 19. Spannungen in einem Körper. S. 31
    • 20. Einführung krummliniger Koordinaten in Vektor- und Tensorfelder. S. 34
  • III. Wechselwirkungen der Felder von Skalaren, Vektoren und Tensoren. S. 39
    • 21. Symmetrie physikalischer Erscheinungen und Krystallsymmetrie. S. 39
    • 22. Wechselwirkungen Ton Vektorfeldern. S. 41
    • 23. Wechselwirkungen, bei denen Tensoren eine Rolle spielen. S. 44
  • II. Hydrodynamik (Art. 15 – 22),. S. 48
  • Art. 15. Hydrodynamik: Physikalische Grundlegung. Von A. E. H. LOVE in Oxford. (Abgeschlossen mit April 1901.). S. 48
    • 1. Der Begriff des Flüssigkeitsdruckes. S. 50
    • 2. Die Gleichgewichtsbedingungen. S. 52
    • 3. Eine ruhende inkompressible Flüssigkeit unter Einwirkung der Schwere. S. 53
    • 4. Schwimmende Körper. S. 54
    • 5. Der Luftdruck. S. 56
    • 6. Die ersten Untersuchungen über Flüssigkeitsbewegung. S. 57
    • 7. Kinematik der Flüssigkeiten. S. 58
    • 8. Bewegungsgleichungen der idealen Flüssigkeiten. S. 62
    • 9. Flüssigkeit, die wie ein starrer Körper rotiert. S. 64
    • 10. Die Druckgleichung. Ausfluss von Flüssigkeiten. (Die vena contracta.). S. 65
    • 11. Erhaltung der Energie in idealen Flüssigkeiten. S. 67
    • 12. Der Begriff der Flüssigkeitsreibung. S. 67
    • 13. Bewegungsgleichungen für zähe Flüssigkeiten. S. 70
    • 14. Dissipation der Energie. S. 72
    • 15. Folgerungen aus den Bewegungsgleichungen (Ausbreitung von Wirbelbewegung, Bewegung einer Pendelkugel, Abnahme der Wellenbewegung). S. 73
    • 16. Laminarbeweguug. S. 75
    • 17. Turbulente Bewegung. S. 76
    • 18. Labilität der Laminarbewegung. S. 79
    • 19. Beziehungen zur Molekulartheorie. S. 82
  • Art. 16. Hydrodynamik: Theoretische Ausführungen. Von A. E. H. LOVE in Oxford. (Abgeschlossen im Mai 1901.). S. 84
    • 1. Wirbelfreie Bewegung:. S. 86
    • a) Permanenz der wirbelfreien Bewegungen. Cyklische Bewegungen. S. 86
    • b) Wirbelfreie Bewegung einer inkompressiblen Flüssigkeit. S. 87
    • c) Quellen und Senken. S. 90
    • d) Bilder. S. 91
    • e) Strömen in zwei Dimensionen. S. 92
    • f) Diskontinuierliche Bewegung. S. 97
    • g) Dreidimensionale Bewegung einer inkompressiblen Flüssigkeit. S. 101
    • 2. Bewegung eines festen Körpers in einer inkompressiblen Flüssigkeit:. S. 102
    • a) Kinematik. Bewegung einer Kugel. S. 102
    • b) Kinetische Energie. S. 104
    • c) Hydrokinetische Symmetrie. S. 105
    • d) Bewegungsgleichungen. S. 106
    • e) Cyklische Bewegung. S. 109
    • f) Bewegung zweier Kugeln. S. 110
    • g) Pulsierende Kugeln. S. 111
    • 3. Wirbelbewegung:. S. 112
    • a) Transformation der allgemeinen hydrodynamischen Gleichungen. S. 112
    • b) Allgemeine Sätze über Wirbelsysteme. S. 114
    • c) Kreiswirbel. S. 117
    • d) Ebene Wirbelfelder. S. 119
    • e) Schwingungen von Wirbeln. S. 120
    • f) Gegenseitige Wirkung beliebiger unendlich dünner Wirbelringe. S. 122
    • g) Wirbel von endlichem Querschnitt. S. 122
    • 4. Der eigenen Schwere unterworfene, flüssige Ellipsoide:. S. 125
    • a) Allgemeine Theorie. S. 125
    • b) Nähere Angaben über Maclaurins Sphäroid und Jacobis Ellipsoid. S. 127
    • 5. Wellenbewegung inkompressibler Flüssigkeiten:. S. 130
    • a) Natur der Bewegung. S. 130
    • b) Lange Wellen. S. 131
    • c) Oscillatorische Wellen. S. 132
    • d) Energie der Wellenbewegung. Gruppengeschwindigkeit. S. 133
    • e) Stehende Wellen. S. 134
    • f) Stehende Oscillationen in Bassins. S. 136
    • g) Genauere Bestimmung der Wellenbewegungen. S. 137
    • h) Die Einzelwelle. S. 139
    • i) Oscillationen einer flüssigen Kugel. S. 141
    • 6. Zähe Flüssigkeiten:. S. 141
    • a) Bewegungsgleichungen. Stationäre Bewegung. S. 141
    • b) Veränderliche und periodische Bewegungen. S. 144
  • Art. 17. Aerodynamik. Von S. FINSTERWALDER in München. (Abgeschlossen mit August 1902.). S. 149

Vorbemerkung. S. 150

    • 1. Einleitung. Das Verhalten bewegter Luft an Hindernissen. S. 150
    • 2. Aerostatik. Theorie des Freiballons und des gesteuerten Ballons. S. 155
    • 3. Beobachtung der auf die Aerodynamik bezüglichen Grossen. S. 158
    • 4. Abhängigkeit des Luftwiderstandes von den Dimensionen des Hindernisses, sowie von der Dichte, Geschwindigkeit und Beschleunigung der Luft. S. 160
    • 5. Grosse und Richtung des Luftwiderstandes ebener Flächen, die schief zu ihrer Ebene bewegt werden. S. 164
    • 6. Der Luftwiderstand von flachgewölbten und krummen Flächen, sowie von Flächenkombinationen. S. 167
    • 7. Drachen. S. 170
    • 8. Fallschirme und ähnliche passive Flugapparate. S. 170
    • 9. Aktive Flugmaschinen. Drachenflieger, Radflieger und Schwingenflieger. S. 173
    • 10. Propeller und Windmotoren. S. 177
    • 11. Der Vogelflug. S. 180
  • Art. 18. Ballistik. Von Carl Julius Cranz in Stuttgart (jetzt in Charlottenburg). (Abgeschlossen mit Februar 1903.). S. 185

I. Äussere Ballistik. S. 190 Vorbemerkung. S. 190

    • 1. Der Luftwiderstand gegen das Geschoss:. S. 190
    • a) Theoretischer Ansatz. S. 190
    • b) Empirische Luftwiderstandsgesetze. S. 195
    • c) Experimentelle Grundlagen des Vorhergehenden. S. 198
    • d) Abhängigkeit des Luftwiderstandes von der Form der Geschossspitze und der Neigung der Geschossaxe. Querschnittsbelastung. S. 199
    • 2. Das spezielle ballistische Problem und die wichtigsten Näherungsmethoden zur Lösung desselben:. S. 203
    • a) Angabe des Problems und allgemeine Folgerungen für die Flugbahn. S. 203
    • b) Zurückführung des Problems auf quadrierbare Differentialgleichungen. S. 205
    • c) Angenäherte Lösung der ursprünglichen Differentialgleichungen. S. 207
    • d) Graphische Ausführungen hierzu. S. 209
    • e) Genaue Lösung angenäherter Differentialgleichungen. S. 210
    • f) Fortsetzung: Die Methode von F. Siacci. S. 212
    • g) Kritische Bemerkung. S. 214
    • h) Schusstafeln. S. 216
    • 3. Gleichmässige Abweichungen des Geschosses und deren Ursachen:. S. 219
    • a) Angabe der Ursachen. S. 219
    • b) Änderung der Anfangsgeschwindigkeit. S. 219
    • c) Änderung des Abgangswinkels. S. 221
    • d) Änderung der Luftdichte. S. 222
    • e) Einfluss des Windes. S. 223
    • f) Einfluss der Erdrotation. S. 224
    • g) Einfluss der Rotation des Geschosses. Einleitung. S. 226
    • h) Seitenabweichungen rotierender Langgeschosse. S. 229
    • 4. Zufällige Geschossabweichungen. S. 234
    • 5. Das Eindringen des Geschosses in das ausgedehnte materielle Ziel. S. 237
    • 6. Messungsapparate und Messungsmethoden (der äusseren Ballistik):. S. 239
    • a) Messung des wahren Abgangswinkels … S. 239
    • b) Messung der Anfangsgeschwindigkeit durch ältere und neuere Apparate. S. 241
    • c) Messung sonstiger Grossen. S. 243
  • II. Innere Ballistik. S. 243
    • 7. Einleitung. Die Aufgabe der inneren Ballistik. S. 243
    • 8. Thermochemische und thermodynamisehe Grundlagen:. S. 247
    • a) Wärmegehalt und Arbeitsvermögen einer Pulversorte. S. 247
    • b) Verbrennungstemperatur der Pulvergase. S. 252
    • c) Spezifisches Volumen, spezifischer Druck, Kovolumen, Ladedichte. S. 253
    • d) Gasdruck bei konstantem Volumen. S. 255
    • e) Art und Geschwindigkeit der Verbrennung des Pulvers. S. 255
    • 9. Theoretische Behandlung des dynamischen Problems:. S. 258
    • a) Fall der Detonation. S. 258
    • b) Fall der allmählichen Verbrennung des Pulvers. S. 261
    • 10. Praktische Lösung des dynamischen Problems:. S. 263
    • a) Die Formeln von E. Sarrau. S. 263
    • b) Neuere Experimente und Diagramme. S. 264
    • c) Die Formeln von E. Vallier. S. 267
    • 11. Die Beanspruchung des Geschützes und Verwandtes:. S. 269
    • a) Festigkeit des Rohrs. S. 269
    • b) Züge, Drall. S. 271
    • c) Rückstoss, Inanspruchnahme der Lafette. S. 273
    • 12. Messungsapparate und Messungsmethoden (der inneren Ballistik):. S. 274
    • a) Statische Methoden zur Messung des Gasdrucks. S. 274
    • b) Dynamische Methoden zur Messung des Gasdrucks. S. 275
    • c) Kritische Bemerkung über Messung des Gasdrucks. S. 277
    • d) Andere Messungsapparate und Messungsmethoden. S. 278

Schlusswort. S. 278

  • Art. 19. Besondere Ausführungen über unstetige Bewegungen in Flüssigkeiten. Von G. ZEMPLÉN in Budapest. (Abgeschlossen mit September 1905.). S. 281

Vorbemerkung. S. 282

    • 1. Über die Möglichkeit unstetiger Bewegungen in kompressiblen idealen Flüssigkeiten (Gasen). S. 283
    • 2. Die identischen Bedingungen und die kinematischen Kompatibilitätsbedingungen. S. 284
    • 3. Die dynamischen Kompatibilitätsbedingungen. S. 288
    • 4. Physikalische Interpretation der Kompatibilitätsbedingungen. S. 291
    • 5. Analytische Formulierung des Problems der unstetigen insbes. eindimensionalen Gasbewegung. Seine Beziehung zur Charakteristikentheorie der partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. S. 295
    • 6. Nähere Ausführungen zum Problem der eindimensionalen unstetigen Gasbewewegung (das Riemannsche Problem). S. 298
    • 7. Fortsetzung: Der Hugoniotsche Spezialfall der eindimensionalen unstetigen Gasbewegung. S. 303
    • 8. Schluss: Thermodynamisehe Diskussion im Falle von Stosswellen. S. 306
    • 9. Allgemeinere eindimensionale Probleme unstetiger Gasbewegung. S. 309
    • 10. Zweidimensionale Probleme unstetiger Gasbewegung. S. 310
    • 11. Dreidimensionale Probleme unstetiger Gasbewegung (Potential- und Wirbelbewegung). S. 312
    • 12. Die Rolle der Unstetigkeiten in der Ballistik. S. 314
    • 13. Unstetige Bewegungen in inkompressiblen idealen (tropfbaren) Flüssigkeiten. S. 319
    • 14. Unstetige Bewegungen in zähen Flüssigkeiten. S. 320

Schlussbemerkung. S. 323

  • Art. 20. Hydraulik. Von PH. FORCHHEIMER in Graz. (Abgeschlossen mit November 1905.). S. 324

Vorbemerkung. S. 327 I. Einleitung. S. 328

    • 1. Hauptarten der hydraulischen Vorgänge. S. 328
    • 2. Voraussetzungen und Grundbegriffe:. S. 329
    • a) Das Bernoullische Theorem. S. 329
    • b) Der Satz von der Bewegungsgrösse. S. 332
    • 3. Ergänzende Bemerkung. S. 333
  • II. Das Strömen von Wasser in Röhren und Wasserläufen bei stetiger Wandung. S. 333
    • 4. Die gleichförmige (von Zeit und Ort unabhängige) Strömung in Bohren und Wasserläufen:. S. 333
    • a) Grundlage der empirischen Formeln. S. 333
    • b) Einige der wichtigsten empirischen Formeln. S. 334
    • c) Hilfsmittel für die Ausrechnung. Bestimmung des Gefälles. Zusammenhang von Durchfluss und Wasserstand. S. 340
    • d) Die Geschwindigkeitsverteilung über den Querschnitt. S. 343
    • e) Die Pulsationen (Turbulenz). S. 346
    • f) Der J. Boussinesqschs Ansatz für die Eeibung. S. 347
    • 5. Die stationäre (von der Zeit unabhängige) Strömung, insbesondere in Wasserläufen mit freiem Spiegel:. S. 351
    • a) Eintritt und Aufhören der gleichförmigen Bewegung in Leitungen. S. 351
    • b) Die Grundgleichung für die stationäre Strömung. S. 352
    • c) Integration der Staugleichung für einen rechteckigen Kanal (einfache Stautheorie). S. 353
    • d) Die Diskussion der Staugleichung für sehr breite ebene Gerinne. S. 356
    • e) J. Boussinesqs Behandlung des Stauproblems: Staugleichung bei konstantem Sohlengefälle. S. 359
    • f) Fortsetzung: Diskussion der Staugleichung. S. 362
    • g) Schluss: Die Staugleichung bei wechselndem Sohlengefälle. S. 364
    • 6. Mit der Zeit veränderliche Strömung:. S. 366
    • a) Die Grundgleichungen für einen sehr breiten rechteckigen Kanal. S. 366
    • b) Fortpflanzung von kleinen Anschwellungen auf fliessendem Wasser. S. 369
    • c) Fortpflanzung von kleinen Anschwellungen auf ruhendem Wasser. S. 373
    • d) Fortpflanzung langer Anschwellungen: Staukurve bei bewegter Wand und „Dammbruchkurve“. S. 375
    • e) Fortsetzung: Ebbe und Flut in Strommündungen. S. 378
    • f) Hochwasserverlauf. S. 381
    • g) Hochwasservorhersage. S. 385
  • III. Das Strömen von Wasser in Röhren und Wasserläufen bei unstetiger Wandung. S. 387
    • 7. Rasche Querschnitts- und Richtungsänderungen bei Röhren und Gerinnen:. S. 387
    • a) Sohlenstufen und seitliche Erweiterungen bezw. Verengungen des Bettes. S. 387
    • b) Rohrerweiterungen und -Verengungen. S. 390
    • c) Richtungsänderungen von Röhren bezw. Gerinnen. S. 394
    • 8. Ausfluss von Wasser aus Gefässen:. S. 396
    • a) Der Geschwindigkeitskoeffizient und die Kontraktion. S. 396
    • b) Der Ausflusskoeffizient. S. 399
    • c) Der Ausflussstrahl. S. 403
    • d) Bewegung des Wassers innerhalb des sich entleerenden Gefässes. S. 405
    • 9. Überfall über ein Wehr:. S. 408
    • a) Der Überfall als seitlicher Ausfluss. S. 408
    • b) J. Boussinesqs Behandlung des Überfallproblems. S. 412
    • c) Unvollkommener Überfall. Überfall mit Seitenkontraktion. S. 414
  • IV. Oscillatorische Bewegung des Wassers. S. 419
    • 10. Wellen, insbesondere in Wasserläufen:. S. 419
    • a) Einteilung der Wellen. S. 419
    • b) Dünung. S. 420
    • c) Durchdringung, Zurückwerfung und Beugung der Wellen. S. 425
    • d) Das Branden der Wellen. S. 426
    • e) Stehende Wellen. S. 428
    • f) Die Wirkung des Windes auf die Wellenbildung. S. 428
    • g) Wanderwellen. S. 432
    • 11. Schwingungen des Wassers in Röhren und Gefässen. S. 434
    • 12. Der Widderstoss:. S. 437
    • a) in Röhren. S. 437
    • b) bei Vorhandensein eines Windkessels. S. 443

V. Grundwasserbewegung. S. 445

    • 13. Vorbemerkung über die Bewegung des Wassers durch enge Röhren. S. 445
    • 14. Bewegung des Wassers durch Sand. S. 449
    • 15. Stationäre Grundwasserbewegung:. S. 452
    • a) in räumlicher Behandlung. S. 452
    • b) als Flächenproblem. S. 454
    • 16. Mit der Zeit veränderliche Grundwasserströmung. S. 458
  • VI. Anhang. S. 462
    • 17. Einwirkung des Wassers auf das Flussbett und den Meeresboden. S. 462
  • Art. 21. Theorie der hydraulischen Motoren und Pumpen. Von M. GRÜBLER in Dresden. (Abgeschlossen mit Juni 1907.). S. 473
    • 1. Einleitende Übersicht. S. 474
    • 2. Grundbegriffe und theoretische Grundlagen. S. 476
    • 3. Wasserräder. S. 479
    • 4. Grundgleichungen der Turbinentheorie. S. 484
    • 5. Bedingungen für das Maximum des Wirkungsgrades der Turbinenanlage. S. 494
    • 6. Versuche an Vollturbinen. S. 495
    • 7. Freistrahlturbinen. S. 497
    • 8. Die Regulierung der Turbinen. S. 500
    • 9. Anwendungsbereiche der hydraulischen Motoren. S. 501
    • 10. Kolbenpumpen. S. 502
    • 11. Zentrifugalpumpen. S. 509
    • 12. Saugstrahlpumpen. S. 512
    • 13. Hydraulische Widder. S. 514
  • Art. 22. Die Theorie des Schiffes. Von A. KRILOFF in St. Petersburg. Mit einem Anhang: Hydrodynamik des Schiffes von C. H. MÜLLER in Göttingen. (Abgeschlossen mit März 1906, Anhang mit Dezember 1907.). S. 517

Vorbemerkung. S. 519

    • 1. Die Hauptprobleme der Theorie des Schiffes in ihrer historischen Entwickelung. S. 520
    • 2. Die Schwimmfähigkeit des Schiffes. S. 526
    • 3. Die Stabilität des Schiffes. S. 529
    • 4. Die Schwingungen des Schiffes:. S. 536
    • a) Einleitende Übersicht. S. 536
    • b) Die freien Schwingungen (Schiff auf ruhendem Wasser). S. 539
    • c) Fortsetzung: Berücksichtigung des Wasserwiderstandes. S. 542
    • d) Erzwungene Schwingungen (Schiff im Seegange): Die Froudesche Theorie des Rollens. S. 544
    • e) Fortsetzung: Kriloffs Theorie des Stampfens. S. 546
    • f) Schluss: Die Theorie der allgemeinen Schiffsschwingungen. S. 550
    • g) Die Apparate zur Eegistrierung der Schiffsschwingungen. S. 555
    • 5. Die Drehung des Schiffes. S. 558
    • 6. Die Vibrationen des Schiffes. S. 559

Anhang: Hydrodynamik des Schiffes. S. 563

    • 7. Das Schiff in einer idealen Flüssigkeit:. S. 564
    • a) Das allseitig eingetauchte Schiff. S. 564
    • b) Das Schiff auf dem Wasser. S. 573
    • 8. Der Schiffswiderstand:. S. 576
    • a) Einteilung des Schiffswiderstandes. S. 576
    • b) Genauere Angaben über die verschiedenen Arten des Schiffswiderstandes. S. 579
    • c) Praktische Bestimmung des Schiffswiderstandes. Die Modellregel. S. 587
    • 9. Die Schiffspropulsion. S. 588

Band 4–4[Bearbeiten]

Anmerkungen C. Mechanik der deformierbaren Körper (Art. 14 – 31). S. 1

  • III. Elastizitäts- und Festigkeitslehre (Art. 23 – 31). S. 1
  • Art. 23. Die Grundgleichungen der mathematischen Elastizitätstheorie. Von C. H. MÜLLER in Göttingen (jetzt in Hannover) und A. TIMPE in Danzig (jetzt in Münster i. W.). (Abgeschlossen im Dezember 1906.). S. 1
    • 1. Einleitung: Anfange der mathematischen Elastizitätstheorie. S. 3
    • 2. Die Grundgleichungen als Bewegungsgleichungen des einzelnen Teilchens:. S. 6
    • a) Naviers molekulartheoretischer Ansatz für isotrope Körper. S. 7
    • b) Cauchys molekulartheoretischer Ansatz für anisotrope Körper. S. 12
    • 3. Die Einführung der Spannungsgleichungen:. S. 17
    • a) Der Spannungsbegriff und die Formänderung. S. 18
    • b) Die Spannungsgleichungen. S. 20
    • 4. Beziehungen zwischen den Spannungen und Deformationsgrössen:. S. 26
    • a) Direkte Annahme des Hookeschen Gesetzes. Kontinuitätsvorstellungen. S. 27
    • b) Molekulartheoretische Herleitung des Hookesehen Gesetzes. S. 32
    • c) Die Zahl der Konstanten des Hooke sehen Gesetzes. S. 37
    • 5. Die Einführung des elastischen Potentials:. S. 42
    • a) Molekulartheoretische Begründung des elastischen Potentials. S. 42
    • b) Direkter Ansatz des elastischen Potentials. S. 45
    • c) Thermodynamische Begründung des elastischen Potentials. S. 48
    • 6. Anhang: Endliche Deformation. S. 51
  • Art. 24. Allgemeine Theoreme der mathematischen Elastizitätslehre (Integrationstheorie). Von O. TEDONE in Genua. (Abgeschlossen im April 1906.). S. 55

Vorbemerkung. S. 57 I. Einleitende Bemerkungen. S. 58

    • 1. Bezeichnungen. S. 58
    • 2. Formulierung des Integrationsproblems in cartesischen Koordinaten:. S. 59
    • a) Die allgemeinen Grundgleichungen und die Hauptprobleme der Integration. S. 59
    • b) Die speziellen Formen des elastischen Potentials für die verschiedenen Krystallgruppen. S. 62
    • c) Der besondere Fall der Isotropie. S. 65
    • 3. Reduktion des allgemeinen elastischen Potentials auf den Fall verschwindender äußerer Kräfte. S. 67
    • 4. Einordnung der thermischen Deformation in die allgemeine Theorie. S. 68
    • 5. Die Grundgleichungen in rechtwinkligen krummlinigen Koordinaten:. S. 71
    • a) Die Einführung krummliniger Koordinaten. S. 71
    • b) Die Grundgleichungen für den anisotropen Fall. S. 72
    • c) Die Grundgleichungen für den isotropen Fall. S. 73
    • 6. Die Theorie der Elastizität in einem Raum mit beliebigem Bogenelement. S. 74
  • II. Allgemeine Theorie des elastischen Oleichgewichts. S. 76
    • 7. Bestimmung der Verschiebungen aus den Formänderungen oder Spannungen:. S. 76
    • a) Die Kompatibilitätsbedingungen für die Formänderungen und Spannungen. S. 76
    • b) Die Verschiebungen für einfach und mehrfach zusammenhängende Systeme berechnet aus den Formänderungskomponenten. S. 78
    • c) Die Befestigungsbedingungen. S. 80
    • 8. Eindeutigkeit der Lösung. S. 80
    • 9. Existenz der Lösung: Dirichletsches Prinzip. S. 83
    • 10. Analogien zur Methode der Greenschen Funktionen in der Potentialtheorie :. S. 85
    • a) Das Theorem von E. Betti und seine unmittelbaren Folgerungen. S. 85
    • b) Die Formeln von C. Somigliana für die Verschiebungskomponenten. S. 88
    • c) Fortsetzung: Folgerungen; verschiedene Ansätze zur Erbringung des Existenzbeweises. S. 89
    • d) Die Formeln von E. Betti für die Dilatation und Rotation. S. 91
    • e) Integration mittels Systeme Green scher Funktionen. S. 94
    • f) Die Integrationsmethode von E. Betti-V. Cerruti. S. 96
    • g) Ausdehnung der Resultate für krummlinige Koordinaten und auf anisotrope Körper. S. 97
    • 11. Übertragung der Methode der Reihenentwicklung der Potentialtheorie. S. 98
    • 12. Gemischte Integrationsmethoden. S. 101
    • 13. Analytische Verallgemeinerung des Gleichgewichtsproblems. S. 103
  • III. Allgemeine Theorie der elastischen Bewegung. S. 105
    • 14. Eindeutigkeit der Lösung. S. 105
    • 15. Die ausgezeichneten Lösungen bei begrenzten Systemen:. S. 106
    • a) Definition der ausgezeichneten Lösungen. Ihre Haupteigenschaften. S. 106
    • b) Die Superposition der ausgezeichneten Lösungen (das Prinzip von D. Bernoulli). S. 108
    • c) Die Existenz der Lösung, insbesondere der ausgezeichneten Lösungen. S. 110

Das Rayleighsche Prinzip. S. 110

    • d) Fortsetzung: Weitere Existenzbeweise. S. 111
    • e) Fortsetzung: Der Spezialfall der Isotropie. Die Gleichung Au + k2u = 0. S. 113
    • f) Die Aufstellung der ausgezeichneten Lösungen. S. 114
    • 16. Der Fall eines unbegrenzten Mediums. Wellen. S. 115
    • a) Der besondere Fall der Schallgleichung. S. 115
    • b) Ausdehnung der Resultate auf allgemeine isotrope elastische Systeme. S. 117
    • c) Weitergehende Untersuchungen. S. 118
    • 17. Ausbreitung einer Stosswelle in einem beliebigen elastischen Medium. S. 121
    • 18. Analytische Verallgemeinerung des Bewegungsproblems. S. 124
  • Art. 25. Spezielle Ausführungen zur Statik elastischer Körper. Von O. TEDONE in Genua und A. TIMPE in Danzig (jetzt in Münster i. W.). (Abgeschlossen im Juli 1906.). S. 125

Vorbemerkung. S. 127 I. Allgemeine Lösungen für Körper einfachster Begrenzung. S. 127

    • 1. Isotroper Boden (unendlicher Halbraum). S. 128
    • 2. Allgemeinere von Ebenen begrenzte (auch anisotrope) Körper. S. 133
    • 3. Isotrope Kugel: Erste Lösung mittelst bestimmter Integrale über Greensche Punktionen. S. 135
    • 4. Isotrope Kugel: Zweite Lösung mittelst Reihenentwicklungen nach Kugelfunktionen. S. 140
    • 5. Isotropes Rotationsellipsoid. S. 143
    • 6. Unendlicher isotroper Kreiszylinder. S. 149
    • 7. Allgemeinere isotrope Rotationskörper. S. 152
  • II. Lösungen für besondere Randbedingungen oder Singularitäten. S. 155
    • 8. Einleitende Bemerkung. Ableitung partikulärer Lösungen überhaupt. S. 155
    • 9. Potentialdeformationen und dilatationsfreie Drillungsdeformationen. S. 156
    • 10. Eindimensionale Probleme:. S. 158
    • a) Isotroper Hohlzylinder unter normalem Druck. Thermische Deformation eines Zylinders. S. 158
    • b) Isotrope Hohlkugel unter normalem Druck. Thermische Deformation einer Kugel. S. 160
    • 11. Zweidimensionale Probleme: Allgemeine Integrationstheorie:. S. 161
    • a) Ebene Deformation. S. 161
    • b) Ebener Spannungszustand. S. 164
    • c) Axensymmetrische Deformation. S. 166
    • 12. Einfache Polynome als Lösungen der elastischen Gleichungen:. S. 167
    • a) Lösungen in zwei Dimensionen. S. 167
    • b) Lösungen in drei Dimensionen. S. 168
    • 13. Balkentheorie im besonderen:. S. 170
    • a) Historische Bemerkungen. S. 170
    • b) Von z unabhängiger Spannungszustand (einfacher Zug; gleichförmige Biegung; Torsion). S. 172
    • c) Von z linear abhängiger Spannungszustand (Biegung durch Querkraft). S. 175
    • d) Von z quadratisch abhängiger Spannungszustand (gleichmäßig belasteter Balken). S. 178
    • 14. Plattentheorie im besonderen:. S. 181
    • a) Historische Bemerkungen. S. 181
    • b) Die Kirchhoff sche Näherungstheorie. S. 183
    • c) Die genauere Theorie. S. 186
    • 15. Singularitäten in zwei und drei Dimensionen:. S. 190
    • a) Singularitäten in zwei Dimensionen. S. 190
    • b) Singularitäten in drei Dimensionen. S. 193
  • III. Körper mit einer oder zwei unendlich kleinen Dimensionen. S. 197
    • 16. Allgemeine Prinzipien. S. 197
    • 17. Anfänglich gerade unendlich dünne Stäbe. S. 198
    • 18. Gerade Stäbe, bei denen nur an den Enden Spannungen angreifen. Kinetische Analogie. S. 201
    • 19. Anfänglich krumme unendlich dünne Stäbe. S. 206
    • 20. Unendlich dünne Platten und Schalen. S. 208
    • 21. Stabilität des Gleichgewichts. S. 211
  • Art. 26. Schwingungen elastischer Systeme, insbesondere Akustik. Von H. LAMB in Manchester. (Abgeschlossen im Juli 1906.). S. 215

Vorbemerkung. S. 215

    • 1. Schwingungen eines Systems von endlichem Freiheitsgrade:. S. 220
    • a) Freie Schwingungen. S. 220
    • b) Erzwungene Schwingungen. S. 225
    • c) Einfluß der Reibung. S. 227
    • d) Schwingungen von endlicher Amplitude. S. 231
    • e) Übergang zu Kontinuen. Numerische Auflösung der Periodengleichung. S. 233
    • 2. Schwingungen von Saiten:. S. 235
    • a) Freie und erzwungene Schwingungen. Störende Einflüsse. S. 235
    • b) Wellen auf einer gespannten Saite. S. 241
    • c) Saite als Grenzform eines mit Massenpunkten belasteten Fadens. S. 242
    • d) Saite von veränderlicher Dichte. S. 243
    • 3. Schwingungen von Stäben:. S. 245
    • a) Längsschwingungen eines geraden Stabes. S. 245
    • b) Querschwingungen eines geraden Stabes. S. 246
    • c) Gerader Stab von veränderlichem Querschnitt. S. 252
    • d) Schwingungen krummer Stäbe. S. 252
    • 4. Schwingungen von Membranen. S. 254
    • 5. Schwingungen von Platten und Schalen:. S. 260
    • a) Dehnungsschwingungen einer gleichförmigen Platte. S. 260
    • b) Biegungsschwingungen einer Platte. S. 261
    • c) Dehnungsschwingungen einer Schale. S. 266
    • d) Biegungsschwingungen einer Schale. S. 269
    • 6. Allgemeine Theorie der Schallwellen (in einer Flüssigkeit):. S. 272
    • a) Ebene Wellen und Kugelwellen. S. 272
    • b) Die allgemeine Grundgleichung des Schalls. S. 274
    • c) Allgemeine Sätze über einfache Schwingungen. S. 277
    • d) Wellen endlicher Amplitude. S. 281
    • 7. Spezielle Probleme betreffend Luft Schwingungen:. S. 284
    • a) Reflexion und Brechung des Schalls. S. 284
    • b) Beugung. S. 286
    • c) Normalschwingungen begrenzter Luftmassen. Mitteilung von Schwingungen. S. 290
    • d) Theorie der Orgelpfeifen und Resonatoren. S. 294
    • e) Störende Einflüsse. S. 298
    • 8. Schwingungen elastischer fester Körper:. S. 301
    • a) Wellen in einem unbegrenzten elastischen Medium. S. 301
    • b) Wellen in einem teilweise begrenzten festen Körper. Reflexion. S. 304
    • c) Normalschwingungen eines endlichen festen Körpers. Schwingungen einer Kugel. S. 306
    • d) Theorie des physikalischen Stosses. S. 308
  • Art. 27. Festigkeitsprobleme im Maschinenbau. Von Th. v. KÁRMÁN in Göttingen (jetzt in Aachen). (Abgeschlossen im März 1910.). S. 311

Einleitung. S. 314

    • 1. Grundlegende Annahmen. S. 316
    • 2. Gerade Stäbe:. S. 321
    • a) Normalbeanspruchung gerader Stäbe. S. 321
    • b) Schubbeanspruchung gerader Stäbe. S. 322
    • c) Torsion gerader Stäbe. S. 323
    • d) Biegung gerader Stäbe. S. 326
    • 3. Typische Beispiele zur Anwendung der Theorie gerader Stäbe. S. 334
    • 4. Ursprünglich gekrümmte Stäbe:. S. 336
    • a) Stäbe mit schwacher Krümmung. S. 336
    • b) Stäbe mit starker Krümmung. S. 337
    • 5. Typische Beispiele zur Anwendung der Theorie krummer Stäbe. S. 341
    • 6. Theorie der Federn. S. 343
    • 7. Theorie der Seile. S. 346
    • 8. Ebene Platten. S. 348
    • 9. Rohre und Schalen:. S. 352
    • a) Dünne zylindrische Bohre. S. 352
    • b) Dünne Schalen mit nichtzylindrischer Zentralfläche. S. 354
    • c) Dickwandige Bohre und Schalen. S. 355
    • 10. Konstruktionsteile mit Abmessungen von gleicher Grössenordnung. Kugeln und Rollen. S. 356
    • 11. Kinetostatische Beanspruchungen:. S. 358
    • a) Kinetostatische Beanspruchung der Stäbe. S. 358
    • b) Kinetostatische Beanspruchung der Platten und Scheiben. S. 359
    • c) Rotierende Körper mit endlichen Abmessungen. S. 361
    • 12. Beanspruchung durch Schwingungen:. S. 362
    • a) Allgemeines. S. 362
    • b) Periodisch veränderliche Belastung. S. 364
    • c) Plötzliche Belastung. Stoss. S. 366
    • 13. Stabilitätsprobleme:. S. 370
    • a) Stabilität des Gleichgewichts. S. 370
    • b) Stabilität rotierender Wellen. S. 380
  • Art. 28. Theorie des Erddrucks. Von H. REISSNER in Aachen (jetzt in Charlottenburg). (Abgeschlossen im November 1909.). S. 386

Vorbemerkung. S. 387 I. Spannungszustand des Erdkörpers und die Ermittlung der Wandkräfte. S. 388

    • 1. Die physikalische Kennzeichnung des kohäsionslosen Erdkörpers. S. 389
    • 2. Das Köttersehe Variationsprinzip. S. 390
    • 3. Die streng gelösten Fälle des rechteckigen und des kreisförmigen Spaltes und deren überschlägliche Behandlung. S. 394
    • 4. Rankine-Schefflers Spannungszustand im unendlichen, schweren Erdkörper und die davon ausgehenden Arbeiten. S. 397
    • 5. Grenzzustände im ring- und spaltförmigen gewichtslosen Erdkörper. S. 400
    • 6. Das Pauker-Rankinesche Fundamentproblem. S. 401
    • 7. Boussinesqs Kennzeichnung körniger Stoffe und die Spannungszustände zwischen den Grenzwerten. S. 401
  • II. Coulombs Prisma des größten Druckes und die Gleitflächentheorie. S. 403
    • 8. Prisma des größten Wanddrucks. Analytisches Verfahren. S. 403
    • 9. Poncelets gedrehtes Kräftepolygon. S. 405
    • 10. Die Guimannsche Kurve und das Engessersehe Polgebiet. S. 406
    • 11. Der Rebhannsche Satz. S. 407
    • 12. Poncelets Gleitflächenkonstruktion. S. 407
    • 13. Grosse und Lage des Drucks an einer ebenen Gleitfläche. S. 409
    • 14. Grosse und Lage des Drucks an einer gekrümmten Gleitfläche. S. 411
  • III. Versuche. S. 413
    • 15. Elementareigenschaften des Erdreichs. S. 413
    • 16. Experimentelle Bestimmung der Grenzwerte. S. 414
    • 17. Bestimmung wirklich auftretender Erddrucke zwischen den Grenzwerten. S. 415
    • 18. Die Bestimmung der Gleitflächen. S. 417
  • Art. 29 a. Theorie der Baukonstruktionen I: Allgemeine Theorie des Fachwerks und der vollwandigen Systeme. Von M. GRÜNING in Düsseldorf (jetzt in Köln). (Abgeschlossen im April 1912.). S. 419
    • 1. Vorbemerkung. S. 421
    • 2. Einleitung. S. 422

I. Allgemeine Prinzipien. S. 425

    • 3. Das Prinzip der virtuellen Verrückungen und die Gleichgewichtsbedingungen. S. 425
    • 4. Das Prinzip der virtuellen Verrückungen und die elastischen Formänderungen. S. 428
    • 5. Das elastische Potential. S. 430
    • 6. Die Formänderungs- oder Deformationsarbeit und der Clapeyron sehe Satz. S. 432
    • 7. Das Prinzip der kleinsten Forxnänderungsarbeit von Menabrea für das Fachwerk. S. 437
    • 8. Die Sätze Castiglianos für das Fachwerk. S. 439
    • 9. Die Sätze Castiglianos für den festen elastischen Körper. S. 443
    • 10. Weitere Beweise und Beziehungen der Sätze Castiglianos zu anderen Sätzen. S. 447
    • 11. Die Kritik der Sätze Castiglianos. S. 449
    • 12. Ergänzungen zu den Sätzen Castiglianos. S. 450
    • 13. Verallgemeinerungen der Sätze Castiglianos. S. 452
  • II. Formulierung des Problems der Statik des Fachwerks und der vollwandigen Systeme und ein allgemeiner Ansatz zur Lösung des Spannungsproblems. S. 455
    • 14. Die Grundgleichungen der Statik des Fachwerks. S. 455
    • 15. Die Grundgleichungen der Statik fester elastischer Körper, insbesondere des einzelnen Stabes und der Stabwerke. S. 458
    • 16. Die Airysche Spannungsfunktion und Spannungsfläche ebener Kontinua. S. 462
    • 17. Das Spannungspolyeder des ebenen Fachwerks. S. 466
    • 18. Reziproke ebene Diagramme und ihre Beziehungen zur Spannungsfläche. S. 470
    • 19. Räumliche Spannungssysteme und Spannungsfunktionen. S. 471
  • III. Die Spannkraftermittelung in statisch bestimmten Systemen. S. 473
    • 20. Die Polygonalmethode und die Methoden der Stab vertauschung. S. 473
    • 21. Die Schnittmethoden. S. 475
    • 22. Die kinematische Methode. S. 476
    • 23. Einflusslinien. S. 481
  • IV. Die Bestimmung der elastischen Formänderungen. S. 485
    • 24. Maxweih und Mohrs Methoden. S. 485
    • 25. Castiglianos Methode. S. 490
    • 26. Die Sätze von der Gegenseitigkeit der elastischen Formänderungen. S. 491
    • 27. Die Gleichung der Biegungslinie eines Stabes. S. 494
    • 28. Darstellung der Biegungslinie als Seilkurve bzw. als Seilpolygon der elastischen Gewichte. S. 495
    • 29. Die Biegungslinie als Einflusslinie einer elastischen Formänderung. S. 499
    • 30. Vollständige Darstellung der Formänderung eines Fachwerks durch den Verschiebungsplan Williots. S. 500
    • 31. Vollständige Darstellung der Formänderungen nach dem Stabzugverfahren. S. 503
    • 32. Lösung des Formänderungsproblems mit Hilfe der Elastizitätsellipse. S. 505
    • 33. Der Einfluss der Schubspannungen auf die Durchbiegung des steifen Stabes. S. 508

V. Theorie der statisch unbestimmten Systeme. S. 509

    • 34. Allgemeiner Gang der Untersuchung. S. 509
    • 35. Herleitung der Bedingungsgleichungen für die statisch unbestimmten Grössen mit Hilfe der Arbeitsgleichungen. S. 510
    • 36. Herleitung der Bedingungsgleiehungen mit Hilfe des Satzes von der Gegenseitigkeit elastischer Formänderungen. S. 516
    • 37. Herleitung der Bedingungsgleichungen nach dem Verfahren Menabreas und Castiglianos. S. 519
    • 38. Allgemeine Auflösung der Bedingungsgleichungen für die statisch unbestimmten Grossen. S. 522
    • 39. Aufstellung von „Bedingungsgleichungen“ mit einer Unbekannten: Graphisches Verfahren. S. 526
    • 40. Aufstellung von „Bedingungsgleichungen“ mit einer Unbekannten: Analytische Verfahren. S. 526
    • 41. Mathematischer Zusammenhang und Vergleichung der Lösungsmethoden für die „Bedingungsgleichungen“. S. 530
    • 42. Einige besondere Methoden zur Lösung der „Bedingungsgleichungen“. S. 532
  • Art. 29 b. Theorie der Baukonstruktionen II: Speziellere Ausführungen. Von K. WIEGHARDT in Wien. (Abgeschlossen im März 1914.). S. 535

Allgemeine Vorbemerkung. S. 535 I. Speziellere Fragen aus der Theorie der Fachwerke. S. 538

    • 1. Steife Stabverbindungen:. S. 538
    • a) Allgemeiner Ansatz einer die Steifigkeit der Stabverbindungen berücksichtigenden Statik der (ebenen) Fachwerke. S. 538
    • b) Fachwerke mit lauter steifen Stabverbindungen, die auch mit lauter gelenkigen Stabverbindungen tragfähig wären. Problem der sog. Nebenspannungen. S. 542
    • c) Fachwerke mit lauter steifen Stabverbindungen, die mit lauter gelenkigen Stabverbindungen nicht tragfähig wären. Regelmässiger Vierendeelträger als Beispiel. S. 545
    • d) Fachwerke mit steifen und gelenkigen Stabverbindungen. S. 550
    • 2. Schlaffe Stäbe. S. 551
    • 3. Zerlegung von Brücken in ebene Fachwerke. S. 552
    • 4. Zusammenhänge zwischen einem statisch unbestimmten Fachwerk und den darin enthaltenen Fachwerken:. S. 555
    • a) Reduktion der Berechnung eines statisch unbestimmten Fachwerkes auf die Berechnung darin enthaltener statisch bestimmter und überbestimmter Fachwerke. S. 555
    • b) Vergleich eines statisch unbestimmten Fachwerkes mit den darin enthaltenen in bezug auf den Materialaufwand. S. 558
    • 5. Dynamik der Fachwerke. S. 561
  • II. Statik der Steinbauten. S. 563
    • 6. Allgemeines. S. 563
    • 7. Historisches über die Statik der Gewölbe. S. 564
    • 8. Die Stützlinie. S. 565
    • 9. Das Tonnengewölbe als krummer Stab; die sog. technische Theorie des Tonnengewölbes. S. 569
    • 10. Das Tonnengewölbe als krummer Stab; der sog. Winklersche Satz. S. 578
    • 12. Schiefe Tonnengewölbe. S. 580
    • 11. Tonnengewölbe mit geschlossener Mittellinie (Tunnelgewölbe). S. 580
    • 13. Das Tonnengewölbe als zylindrische Schale. S. 580
    • 14. Doppelt gekrümmte Gewölbe (Kuppeln). S. 583
    • 15. Stüzmauern, Talsperrenmauern u. dgl,. S. 586
    • 16. Schornsteine. S. 589
  • III. Statik der Balken und Gewölbe aus Eisenbeton. S. 592
    • 17 Vorbemerkung. S. 592
    • 18. Mathematische Formulierung der physikalischen Eigenschaften des Eisenbetons. S. 592
    • 19. Das Integrationsproblem der Statik des Eisenbetons. S. 593
    • 20. Frage der Reduktion auf zweidimensionale Probleme. S. 594
    • 21. Einfache Lösungen des zweidimensionalen Problems. S. 595
    • 22. Technische Ansätze. S. 598
    • 23. Schlusswort. S. 600
  • Art. 30. Die allgemeinen Ansätze der Mechanik der Kontinua. Von E. HELLINGER in Marburg a. L. (Abgeschlossen im August 1913.). S. 601
    • 1. Einleitung. S. 602
    • 2. Der Begriff des Kontinuums:. S. 606
    • a) Das Kontinuum und seine Deformation. S. 606
    • b) Adjunktion physikalischer Parameter, insbesondere Dichte and Orientierung. S. 609
    • c) Zwei- und eindimensionale Kontinua. S. 611

I. Die Grundansätze der Statik. S. 611

    • 3. Das Prinzip der virtuellen Verrückungen:. S. 611
    • a) Kräfte und Spannungen. S. 611
    • b) Aufstellung des Prinzips der virtuellen Verrückungen. S. 615
    • c) Anwendung auf stetig deformierbare Kontinua. S. 616
    • d) Beziehung zur Mechanik starrer Körper. S. 618
    • e) Zwei- und eindimensionale Kontinua im dreidimensionalen Raum. S. 620
    • 4. Erweiterungen des Prinzips der virtuellen Verrückungen:. S. 622
    • a) Auftreten höherer Ableitungen der Verrückungen. S. 622
    • b) Medien mit orientierten Teilchen. S. 623
    • c) Auftreten von Nebenbedingungen. S. 627
  • II. Die Grundansätze der Kinetik. S. 629
    • 5. a) Die Bewegungsgleichungen des Kontinuums. S. 629
    • b) Übergang zu dem sog. Hamiltonschen Prinzip. S. 631
    • c) Das Prinzip des kleinsten Zwanges. S. 633
    • d) Ansätze allgemeinerer Natur. S. 635
  • III. Die Formen der Wirkungsgesetze. S. 637

A. Formulierung der allgemeinen Typen. S. 637

    • 6. Die Typen der Abhängigkeit der Kraftwirkungen von den Deformationsgrössen. S. 637
    • 7. Medien mit einer charakteristischen Zustandsfunktion:. S. 643
    • a) Das gewönliche Potential und seine nächsten Verallgemeinerungen. S. 643
    • b) Der Potentialansatz für Medien mit orientierten Teilchen. S. 648
    • c) Der Potentialansatz für zwei- und dreidimensionale Kontinua. S. 651
    • d) Die Bedeutung des wirklichen Minimums. S. 652
    • e) Direkte Bestimmung der Spannungskomponenten. S. 654
    • f) Die entsprechenden Ansätze für die Kinetik. S. 655
    • 8. Grenzfälle des gewöhnlichen dreidimensionalen Kontinuums:. S. 658
    • a) Unendlich dünne Platten und Drähte. S. 658
    • b) Medien mit einer kinematischen Nebenbedingung. S. 660

B. Individualisierung für einzelne Gebiete. S. 663

    • 9. Eigentliche Elastizitätstheorie. S. 663
    • 10. Dynamik idealer Flüssigkeiten. S. 668
    • 11. Innere Reibung und elastische Nachwirkung. S. 670
    • 12. Kapillarität. S. 674
    • 13. Optik. S. 675
    • 14. Beziehungen zur Elektrodynamik. S. 679
    • 15. Einfügung der thermodynamischen Ansätze. S. 682
    • 16. Beziehungen zur Relativitätstheorie. S. 685
  • Art. 31. Physikalische Grundlagen der Festigkeitslehre. Von TH. v. KÁRMÁN in Aachen unter Mitwirkung von L. FÖPPL in Würzburg. (Abgeschlossen im September 1913). S. 695

Einleitung. S. 697 A. Empirische Tatsachen. S. 698 I. Deformations- und Bruchvorgänge bei langsam fortschreitender Belastung (erste Näherung). S. 698

    • 1. Das Hookesche Gesetz. S. 698
    • 2. Abweichungen vom Hookeschen Gesetz. S. 701
    • 3. Proportionalitätsgrenze. Elastizitätsgrenze, Fliessgrenze. S. 703
    • 4. Allgemeines über Formänderungskurve, Sprödigkeit und Zähigkeit. S. 705
    • 5. Beziehungen zwischen Formänderungskurven bei verschiedener Beanspruchung. S. 708
    • 6. Härte und Mass der Härtung. S. 710
    • 7. Labilitätserscheinungen. Bruch. S. 714
    • 8. Trennungsbruch. S. 719
    • 9. Verschiebungsbruch. S. 722
    • 10. Elastizitätsgrenze und Bruchgefahr beim allgemeinen Spannungszustand. S. 724
  • II. Langsam wechselnde Belastung (zweite Näherung). S. 727
    • 11. Hysteresis. S. 727
    • 12. Bruchgefahr bei wechselnder Belastung. S. 731
  • III. Einfluß der Zeit. Rasch wechselnde Belastung (dritte Näherung). S. 733
    • 13. Nachwirkungserscheinungen:. S. 733
    • a) Einfache Nachwirkungserscheinungen. S. 733
    • b) Einfluss von Ruhepausen. Verschiebung des Geschwindigkeitsfeldes. Ermüdung und Erholung. S. 737
    • c) Superposition von Nachwirkungserscheinungen. S. 739
    • 14. Bruchgefahr bei rascher Belastung. Stoss- und Schlagproben. S. 741

B. Theoretische Ansätze. S. 743 I. Phänomenologischer Standpunkt. S. 743

    • 15. Einleitung. S. 743
    • 16. Die St.-Venantsche Theorie der Plastizität. S. 745
    • 17. Theorie der inneren Reibung fester Körper. S. 748
    • 18. Theorie des Doppelmediums. S. 748
    • 19. Theorie der Relaxation. Maxwell und Boltzmann. S. 752
  • II. Standpunkt der Strukturtheorie. S. 757
    • 20. Allgemeines. S. 757
    • 21. Bleibende Deformation in Kristallen. S. 759
    • 22. Bleibende Deformation in kristallinischen Haufwerken. S. 761
    • 23. Eingreifen der Thermodynamik. Phasen- und Gefügegleichgewicht. S. 765
    • 24. Hysteresis und Nachwirkung in Kristallen und kristallinischen Haufwerken. S. 767

Schlussbemerkung. S. 770 D. Mechanik der aus sehr zahlreichen diskreten Teilen bestehenden Systeme (Art. 32). S. 1

  • Art. 32. Begriffliche Grundlagen der statistischen Auffassung in der Mechanik. Von P. und F. EHRENFEST in St. Petersburg (jetzt in Leiden). (Abgeschlossen im Dezember 1909, Nachträge abgeschlossen im September 1911.). S. 3

Vorbemerkung. S. 8

    • 1. Einleitung. S. 9

I. Die ältere Fassung statistisch-mechanischer Untersuchungen (Kineto-Statistik des Moleküls). S. 11

    • 2. Die ersten, vorläufigen Wahrscheinlichkeitsansätze. S. 11
    • 3. Die Gleichhäutigkeit anscheinend gleichberechtigter Vorkommnisse:. S. 13
    • a) Die Ansätze bei Clausius. S. 13
    • b) Der „Stosszahlansatz“. S. 13
    • 4. Die Relativhäufigkeit nicht gleichberechtigter Vorkommnisse:. S. 14
    • a) Die qualitativen Ansätze und ersten Abschätzungen bei Clausius. S. 14
    • b) Die Aufstellung eines Geschwindigkeitsverteilungsgesetzes durch Maxwell. S. 15
    • c) Die Verallgemeinerung des Maxwellschen Ansatzes durch Boltzmann. S. 15
    • 5. Ableitungs versuche der Häufigkeitsansätze zweiter Art aus denen erster Art. S. 17
    • 6. Das Boltzmannsche H-Theorem: Die kinetische Deutung einseitig verlaufender Prozesse. S. 20
    • 7. Die Einwände gegen das Irreversibilitätsresultat:. S. 22
    • a) Der Loschmidtsche Umkehreinwand. S. 22
    • b) Der Zermelosche Wiederkehreinwand. S. 22
    • 8. Abschliessende Bemerkung. S. 23
  • II. Die moderne Fassung statistisch-mechanischer Untersuchungen (Kinetostatistik des Gasmodells). S. 24
    • 9. Mechanische Eigenschaften des Gasmodells:. S. 24
    • a) Das Gasmodell und seine Phase. S. 24
    • b) Der Phasenraum des Gasmodells (F-Raum). S. 25
    • c) Das Liouvillesche Theorem. S. 27
    • d) Stationäre Dichtenverteilungen im F-Raum. S. 28
    • 10. Das Gasmodell als ergodisches System:. S. 30
    • a) Ergodische mechanische Systeme. S. 30
    • b) Ergodische Dichtenverteilungen im F-Raum. S. 32
    • 11. Das mittlere Verhalten des Gasmodells für eine unbegrenzte Bewegungsdauer:. S. 33
    • a) Die Boltzmanmche Untersuchung. S. 33
    • b) Kritik und Bedeutung des Boltzmannschen Resultates. S. 35
    • 12. Mechanische Eigenschaften des Gasmodells: Fortsetzung. S. 36
    • a) Der Phasenraum der Moleküle (..-Raum). Zustandsverteilung Z der Moleküle. S. 36
    • b) Das einer Zustandsverteilung Z entsprechende Volumen des F-Raumes. S. 37
    • c) Funktionen der Zustandsverteilung. S. 38
    • d) Die Funktion H(Z). S. 39
    • e) Die Symbole .. und .. H(Z). S. 39
    • 13. Das Vorhersehen der Maxwell-Boltzmanmchen Verteilung. S. 40
    • 14. Die modifizierte Fassung des H-Theorems. S. 41
    • a) Die Treppenkurve der H(Z)-Werte. S. 41
    • b) Die H-Kurven. S. 42
    • c) Das Büschel der H-Kurven. Seine Verdichtungskurve. S. 44
    • d) Die Kurve des H-Theorems. S. 44
    • 15. Der statistische Charakter kinetischer Deutungen:. S. 45
    • a) Zustandsverteilung und beobachtbare Daten. S. 45
    • b) Determinationspostulat. Brownsche Bewegung. S. 45
    • 16. Rückblick auf den Umkehr- und Wiederkehreinwand. S. 46
    • 17. Verhältnis der statistischen Auffassung zum Entropiesatz. S. 47
    • 18. Die statistische Weiterbildung des Stosszahlansatzes. Hypothese der molekularen Unordnung:. S. 48
    • a) Boltzmanns Andeutungen. S. 48
    • b) Verschärfte Determination der Zustandsverteilung. Jeans-Gruppierung. S. 49
    • c) Die Hypothese der molekularen Unordnung. S. 50
  • III. Die „statistische Mechanik“ von W. Gibbs. S. 51
    • 19. Das Axiomatisierungsproblem der Kinetostatistik. S. 51
    • 20. Das Programm von W. Gibbs in seiner „statistischen Mechanik“. S. 53
    • 21. Die Einführung gewisser spezieller stationärer Dichtenverteilungen im ..-Raum (Kanonische und mikrokanonische Verteilung). S. 54
    • 22. Mittelwerts-Relationen bei kanonisch verteilten Systemscharen:. S. 56
    • a) Einige der Gibbsschen Resultate. S. 56
    • b) Beziehung zum Maxwell-Boltzmannschen Verteilungsgesetz. S. 58
    • c) Die Gibbssclae Massfunktion a für die Abweichung von der kanonischen Verteilung. S. 59
    • 23. Nichtstationäre Dichtenverteilungen im P-Raum:. S. 60
    • a) Das „Zerrühren“ der nichtstationären Verteilungen. S. 60
    • b) Das Verhalten spezieller nichtstationärer Gasmodellscharen. S. 63
    • 24. Die Analogien zum beobachtbaren Verhalten warmer Körper:. S. 64
    • a) Aufstellung einiger Hilfsformeln. S. 64
    • b) Das Gas im Wärmegleichgewicht und der Temperaturausgleich zweier verschieden warmer Körper. S. 66
    • c) Die Temperatur als integrierender Nenner. Deutung der Entropie und Entropievermehrung bei irreversiblen Prozessen. S. 67
    • d) Bemerkungen zur Interpretation der Entropie durch die Gibbssche Massfunktion (– 2). S. 69
    • e) Die Monocykel-Analogien zur Thermodynamik. S. 71
    • 25. Arbeiten, die sich an die Gibbssche Darstellung anschliessen oder mit ihr verwandt sind. S. 71
    • 26. Schlussbemerkung. S. 74
  • IV. Nachträge. S. 77
    • 27. Nachtrag zu Nr. 23: Nichtstationäre Dichteverteilung im r-Raum. S. 77
    • 28. Nachträge zu Nr. 24 und 25: Die Analogien zum beobachtbaren Verhalten warmer Körper und Arbeiten, die an die Gibbssche Darstellung sich anschliessen. S. 78
    • 29. Nachtrag zu Nr. 26: Schlussbemerkung. S. 82
    • 30. Nachtrag zu Nr. 19: Das Axiomatisierungsproblem der Kinetostatik. S. 87

Band 4-Reg[Bearbeiten]

Schlußwort zu dem Gesamtwerk: C. Carathéodory;

  • Nachwort zum Bande IV, Mechanik: Conrad Müller;
  • Stichwortregister für den Gesamtband IV. S. 1
  • Register zu Band IV, 1. Teilband. S. 47
  • Register zu Band IV, 2. Teilband. S. 71
  • Register zu Band IV, 3. Teilband. S. 103
  • Register zu Band IV, 4. Teilband. S. 127

Band 5–1[Bearbeiten]

A. Einleitende Artikel. S. 1

  • 1. Maß und Messen. Von C. RUNGE in Hannover. (Abgeschlossen im Januar 1902.). S. 3
    • 1. Die Messungsskalen. S. 4
    • 2. Indirekte Vergleichung oder Messung. S. 6
    • 3. Die Beziehungen zwischen den Einheiten verschiedenartiger Größen. S. 9
    • 4. Die Messung der Zeit. S. 10
    • 5. Die Messung der Länge. S. 12
    • 6. Die Wellenlänge als Längenmaß. S. 14
    • 7. Die Messung der Masse. S. 16
    • 8. Die Beziehungen zwischen den Einheiten der Zeit, der Länge und der Masse. S. 17
    • 9. Das absolute Maßsystem. S. 19
    • 10. Abarten des absoluten Maßsystems. Das technische Maßsystem. S. 21
    • 11. Die praktischen Einheiten. S. 23
  • 2. Gravitation. Von J. ZENNECK in Straßburg. (Abgeschlossen im August 1901.). S. 25
    • 1. Das Newtonsche Gesetz. S. 26

I. Bestimmungen der Gravitationskonstanten. S. 27

    • 2. Bedeutung dieser Bestimmung. S. 27
    • 3. Übersicht über die verschiedenen Methoden. S. 28
    • 4. Bestimmungen mit der Drehwage. S. 28
    • 5. Bestimmung mit dem Doppelpendel. S. 30
    • 6. Bestimmungen mit der gewöhnlichen Wage. S. 30
    • 7. Bestimmungen mit Lot und Pendel. S. 31
    • 8. Berechnungen der Gravitationskonstanten. S. 32
    • 9. Das Ergebnis der Bestimmungen. S. 33
  • II. Astronomische und experimentelle Prüfung des Newtonschen Gesetzes. S. 35
    • 10. Allgemeines. S. 35
    • 11. Abhängigkeit von der Masse. Astronomische Prüfung. S. 37
    • 12. Abhängigkeit von der Masse. Experimentelle Prüfung für Massen desselben Materials. S. 38
    • 13. Abhängigkeit von der Masse. Experimentelle Prüfung für Massen verschiedener chemischer Zusammensetzung. S. 38
    • 14. Abhängigkeit von der Masse. Experimentelle Prüfung für Massen verschiedener Struktur. S. 40
    • 15. Abhängigkeit von der Entfernung. Astronomische Prüfung. S. 41
    • 16. Abhängigkeit von der Entfernung. Experimentelle Prüfung. S. 42
    • 17. Einfluß des Mediums auf die Gravitation. S. 42
    • 18. Einfluß der Temperatur. S. 43
    • 19. Abhängigkeit von der Zeit. Konstanz. S. 44
    • 20. Abhängigkeit von der Zeit. Endliche Portpflanzungsgeschwindigkeit. S. 44
  • III. Erweiterung des Newtonschen Gesetzes für bewegte Körper. S. 46
    • 21. Übertragung der elektrodynamischen Grundgesetze auf die Gravitation. S. 46
    • 22. Übertragung der Lorentzschen elektromagnetischen Grundgleichungen auf die Gravitation. S. 47
    • 23. Die Laplacesche Annahme. S. 48
    • 24. Die Annahme von Gerber. S. 49
  • IV. Erweiterung des Newtonschen Gesetzes für unendlich große Massen. S. 51
    • 25. Schwierigkeit des Newtonschen Gesetzes bei unendlich großen Massen. S. 51
    • 26. Beseitigung der Schwierigkeit durch Änderung des Attraktionsgesetzes. S. 51
    • 27. Beseitigung der Schwierigkeit durch Einführung negativer Massen. S. 52

V. Versuche einer mechanischen Erklärung der Gravitation. S. 53

    • 28. Druckdifferenzen und Strömungen im Äther. S. 53
    • 29. Ätherschwingungen. S. 54
    • 30. Ätherstöße. Die ursprünglichen Ideen von Le Sage. S. 57
    • 31. Ätherstöße. Weitere Ausbildung der Le Sageschen Theorie. S. 59
    • 32. Ätherstöße. Schwierigkeiten dieser Theorien. S. 60
    • 33. Ätherstöße. Einwände und Theorie von Jarolimek. S. 62
  • VI. Zurückführung der Gravitation auf elektromagnetische Erscheinungen. S. 64
    • 34. Die Gravitation als Feldwirkung. S. 64
    • 35. Elektromagnetische Schwingungen. S. 65
    • 36. Die Mossottische Annahme und ihre moderne Ausbildung. S. 66

B. Thermodynamik. S. 69

  • 3. Allgemeine Grundlegung der Thermodynamik. Von G. H. BRYAN in Bangor. (Abgeschlossen im Januar 1903.). S. 71

Bezeichnungen. S. 73 I. Der erste und zweite Hauptsatz. S. 76

    • 1. Äquivalenz von Arbeit und Wärme. S. 76
    • 2. Wärmeeinheiten. S. 78
    • 3. Thermodynamik einfacher und zusammengesetzter Systeme. S. 80
    • 4. Innere Energie. S. 81
    • 5. Das Carnot-Clausiussche Prinzip. S. 83
    • 6. Gleiche und ungleiche Temperaturen. S. 84
    • 7. Wirkungsgrad der Wärmemaschinen. S. 85
    • 8 Carnots Kreisprozeß. S. 87
    • 9. Absolute Temperatur. S. 89
    • 10. Die Carnotsche Funktion. S. 90
    • 11. Die Entropie eines einfachen Systems. S. 91
    • 12. Übertragung des Entropiebegriffes auf zusammengesetzte Systeme. S. 93
    • 13. Die Entropie eines thermisch inhomogenen Systems. Die Clausiussche Ungleichung bei irreversibeln Vorgängen. S. 95
    • 14. Anwendungen der Clausiusschen Ungleichung, insbesondere auf das Universum. S. 98
    • 15. Nutzbare Energie oder Wirkungsfähigkeit. S. 100
  • II. Allgemeine Begriffe und Methoden der Thermodynamik. S. 104
    • 16. Thermodynamische Potentiale. S. 104
    • 17. Stabilitätsbedingungen. S. 107
    • 18. Wechsel der unabhängigen Variabein. S. 110
    • 19. Folgerungen aus den Integrabilitätsbedingungen. S. 113
    • 20. Die thermodynamischen Koeffizienten, ausgedrückt durch die thermo-dynamischen Potentiale. S. 115
    • 21. Thermo-Elastizität. S. 117
  • III. Anwendung der thermodynamischen Prinzipien auf besondere Systeme. S. 119
    • 22. Vollkommene Gase. S. 119
    • 23. Bestimmung der absoluten Temperatur. S. 125
    • 24. Phasenänderungen, insbesondere Änderungen des Aggregatzustandes. S. 129
    • 25. Der Tripelpunkt. S. 134
    • 26. Gleichgewicht chemischer Systeme. S. 137
    • 27. Thermodynamik des galvanischen Elementes. S. 144
  • IV. Ableitung des zweiten Hauptsatzes aus den Prinzipien der Mechanik. S. 146
    • 28. Übersicht über die verschiedenen Methoden. S. 146
    • 29. Stationäre oder quasi-periodische Bewegungen. S. 148
    • 30. Monozyklische Systeme. S. 151
    • 31. Mechanische und statistische Bilder. S. 153
    • 32. Analogien zum Wärmegleichgewicht. S. 155
    • 33. Nicht-umkehrbare Erscheinungen. S. 157
  • 4. Wärmeleitung. Von E. W. HOBSON in Cambridge und H. DIESSELHORST in Berlin. (Abgeschlossen im März 1904.). S. 161

I. Mathematischer Teil (Rechnungsmethoden). S. 163

    • 1. Allgemeines über Dissipation der Energie. S. 163
    • 2. Die Grundlagen der Theorie der Wärmebewegung. S. 165
    • 3. Die partielle Differentialgleichung der Wärmebewegung in einem isotropen festen Körper. Allgemeine Sätze. S. 171
    • 4. Die Wärmeleitung in kristallinischen Körpern. S. 178
    • 5. Die lineare Wärmeleitung. S. 181
    • 6. Die Behandlung der linearen Wärmebewegung nach der Methode der Quellpunkte. S. 187
    • 7. Die Wärmeleitung in zwei oder drei Dimensionen. S. 193
    • 8. Wärmeleitung in einer Kugel. S. 197
    • 9. Wärmeleitung in einem Kreiszylinder. S. 199
    • 10. Wärmeleitung in Körpern von verschiedenen speziellen Formen. S. 201
    • 11. Theorie des Schmelzens und des Gefrierens bei Wärmeleitung. S. 204
    • 12. Wärmeleitung und innere Reibung in einer bewegten Flüssigkeit. S. 205
    • 13. Diffusion. S. 206
  • II. Physikalischer Teil (Meßmethoden). S. 208
    • 14. Zweck der Messungen. S. 208
    • 15. Grundlagen und Voraussetzungen. S. 209
    • 16. Allgemeine Übersicht über die Methoden. S. 212
    • 17. Methode von Péclet (1841). S. 213
    • 18. Wärmedurchgang durch Heizflächen. S. 214
    • 19. Methode von Berget (1887). S. 215
    • 20. Methode von Despretz (1822) und Forbes (1852). S. 215
    • 21. Äußere Wärmeleitung. S. 217
    • 22. Methode von Angström (1861). S. 218
    • 23. Methoden von Fr. Neumann (1862). S. 219
    • 24. Methode von Kirchhoff und Hansemann (1879). S. 221
    • 25. Methode von L. Lorenz (1881). S. 222
    • 26. Methoden aus dem Berliner physikalischen Institut (1898–1903). S. 224
    • a) Bespülung der Endfläche mit einem Wasserstrahl. S. 224
    • b) Bestrahlung der Endflächen mit einem glühenden Platinblech. S. 225
    • c) Berechnung der nach diesen Methoden angestellten Versuche. S. 226
    • 27. Isothermenmethode von Voigt (1897). S. 227
    • 28. Wärmeleitung in Kristallen. Allgemeines. S. 227
    • 29. Methode von H. de Sénarmont (1847). S. 228
    • 30. Methode von Voigt (1896). S. 228
    • 31. Messungsergebnisse. S. 229
  • 5. Technische Thermodynamik. Von M. SCHRÖTER in München und L. PRANDTL in Göttingen. (Abgeschlossen im Juli 1905.). S. 232
    • a) Technische Thermodynamik im engeren Sinne. S. 234

Vorbemerkung. S. 234 Bezeichnungen. S. 235 I. Die Grundlagen der technischen Thermodynamik. S. 238

    • 1. Historische Übersicht. S. 238
    • 2. Die allgemeinen Gleichungen der Thermodynamik. S. 243
    • 3. Graphische Darstellungen. S. 244
    • 4. Vollkommene Gase. S. 246
    • 5. Zustandsänderungen der Gase. S. 248
    • 6. Gesättigte Dämpfe. S. 251
    • 7. Überhitzte Dämpfe. S. 259
  • II. Kreisprozesse der thermodynamischen Maschinen. S. 262
    • 8. Allgemeines über die technischen Kreisprozesse. S. 262
    • 9. Die Wärmekraftmaschinen und ihr Wirkungsgrad. S. 264
    • 10. Die Dampfmaschine im besonderen. S. 269
    • 11. Verbundmaschine. Anwendung von überhitztem Dampf. S. 273
    • 12. Der Gesamt- oder wirtschaftliche Wirkungsgrad der Dampfmaschine. S. 277
    • 13. Die Verbrennungsmotoren (Gasmaschine, Dieselmotor). S. 279
    • 14. Kältemaschinen. S. 284
    • b) Strömende Bewegung der Gase und Dämpfe. S. 287

Vorbemerkung. S. 287

    • 15. Abgrenzung des Stoffss. S. 288
    • 16. Allgemeine Theorie der stationären Strömungen. S. 289
    • 17. Bewegung ohne Widerstände und Wärmemitteilung. S. 293
    • 18. Ausströmen aus Öffnungen und Mundstücken. S. 295
    • 19. Strömungswiderstände. S. 305
    • 20. Strömung durch Röhren und Düsen. S. 308
    • 21. Stationäre Wellen in einem freien Gasstrahl. S. 314
    • 22. Überströmen. S. 315
    • 23. Dampfturbinen. S. 318

C. Molekularphysik. S. 321

  • 6. Chemische Atomistik. Von F. W. HINRICHSEN in Aachen und L. MAMLOCK in Berlin. Nebst zwei Beiträgen von E. STUDY. (Abgeschlossen im März 1905.). S. 323

I. Die Grundbegriffe der chemischen Atomistik in historischer Entwicklung. S. 324

    • 1. Die Atomistik bis zum Ende des 18. Jahrhunderts. S. 325
    • 2. B. J. Richter. S. 327
    • 3. Proust und Berthollet. S. 328
    • 4. Dalton. S. 330
    • 5. Gay-Lussacs gasvolumetrische Messungen. S. 332
    • 6. Die Avogadrosche Hypothese. S. 333
    • 7. Berzelius' Atomgewichtsbestimmungen und elektrochemische Theorie der chemischen Verbindungen. S. 334
    • 8. Entwickelung der organischen Chemie. S. 337
    • 9. Valenztheorie und Strukturchemie. S. 339
    • 10. Das periodische System der Elemente. S. 343
    • 11. Abhängigkeit der Eigenschaften von Elementen von ihrer Stellung im periodischen System. S. 346
    • 12. Weitere Entwickelung der chemischen Atomistik. S. 348
    • 13. Die absolute Größe der Atome. S. 350
    • 14. Bedeutung der chemischen Atomistik in erkenntnistheoretischer und und systematischer Beziehung. S. 354
  • II. Stereochemie. S. 355
    • 15. Einleitung. S. 355

A. Die Stereochemie des Kohlenstoffs. S. 358

    • a) Das asymmetrische Kohlenstoffatom. S. 358
    • 16. Das Kohlenstofftetraeder. S. 358
    • 17. Symmetrieebenen im Kohlenstofftetraeder. S. 358
    • 18. Enantiomorphe Formen. S. 358
    • 19. Die racemische (r) Verbindung. S. 360
    • b) Die Gewinnung optisch aktiver Verbindungen. S. 361
    • 20. Spaltung durch Anwendung aktiver Verbindungen. S. 361
    • 21. Spaltung durch Anwendung von Organismen. S. 361
    • 22. Spontane Spaltung (Umwandlungstemperatur). S. 362
    • 23. Spaltung durch fraktionierte Veresterung und Verseifung. S. 362
    • 24. Zusammenhang zwischen der Konfiguration und der Enzymwirkung. S. 362
    • 25. Die gegenseitige Umwandlung optischer Antipoden. S. 363
    • 26. Die Bildung von Körpern mit asymmetrischem Kohlenstoff. S. 364
    • c) Verbindungen mit mehreren asymmetrischen Kohlenstoffatomen. S. 365
    • 27. Verbindungen mit zwei asymmetrischen Kohlenstoffatomen. S. 365
    • 28. Verbindungen mit drei und vier asymmetrischen Kohlenstoffatomen. S. 367
    • 29. Allgemeine Regeln über die Anzahl der Stereomeren. S. 368
    • 30. Umlagerungen aktiver Verbindungen mit mehreren asymmetrischen Kohlenstoffatomen. S. 370
    • 31. Konfigurationsbestimmung bei Stereomeren. S. 371
    • d) Numerischer Wert des Drehungsvermögens. S. 372
    • 32. Allgemeines. S. 372
    • 33. Die Hypothese von Guye und Crum Brown. S. 373
    • 34. Die optische Superposition. S. 374
    • 35. Das Gesetz von Oudemans-Landolt. S. 375
    • e) Ungesättigte Kohlenstoffverbindungen. S. 375
    • 36. Geometrische Isomerie. S. 375
    • 37. Konfigurationsbestimmung geometrisch Isomerer. S. 377
    • f) Ringförmige Kohlenstoffverbindungen. S. 378
    • 38. Bildung und Stabilität ringförmiger Verbindungen. S. 378
    • 39. Die Stereochemie des Kamphers. S. 381
    • 40. Die Stereochemie des Benzols. S. 381

B. Die Stereochemie des Stickstoffs, Schwefels usw. S. 382

    • 41. Dreiwertiger Stickstoff. S. 382
    • 42. Fünfwertiger Stickstoff. S. 383
    • 43. Das asymmetrische Stickstoffatom. S. 384
    • 44. Das asymmetrische Schwefel-, Selen- und Zinnatom. S. 384
  • III. Anhang. S. 385
    • 45. Spekulationen über die Atomgewichte. S. 385
    • 46. Kombinatorische Fragen. S. 387
  • 7. Kristallographie. Von Th. LIEBISCH in Göttingen, A. SCHOENFLIES in Königsberg und O. MÜGGE in Königsberg. (Abgeschlossen im Oktober 1905.). S. 391

A. Das kristallographische Grundgesetz und seine Anwendung auf die Berechnung und Zeichnung der Kristalle. S. 395

    • 1. Einfache konvexe Polyeder. S. 396
    • 2. Gesetz der Zonen. S. 396
    • 3. Raumgitter. S. 398
    • 4. Polfiguren. S. 399
    • 5. Projektionen. S. 399
    • 6. Ableitung des Gesetzes der rationalen Indizes aus dem Gesetz der Zonen. S. 407
    • 7. Topische Parameter. S. 410
    • 8. Transformation der Indizes. S. 410
    • 9. Koordinaten von Flächen und Kanten. S. 411
    • 10. Gesetz der rationalen Doppelverhältnisse. S. 413
    • 11. Allgemeine Beziehungen zwischen Winkeln, Achseneinheiten und Indizes. S. 417
    • 12. Eigenschaften der Büschel von Flächen oder Kanten. S. 419
    • 13. Flächendichte von Netzebenen. S. 421
    • 14. Einfallswinkel einer Kante in bezug auf eine Fläche. S. 422
    • 15. Aufeinander senkrechte Flächen und Kanten. S. 423
    • 16. Kristallberechnung. S. 423
    • 17. Berechnung der Achsenelemente. S. 424
    • 18. Berechnung der Indizes. S. 426
    • 19. Berechnung der Flächenwinkel und Kantenwinkel. S. 427
    • 20. Berechnung der wahrscheinlichsten Werte der Achsenelemente. S. 428
    • 21. Anwendung mehrkreisiger Reflexionsgoniometer. S. 429
    • 22. Rechtwinklige Hilfsachsensysteme. S. 430
    • 23. Perspektivische Kristallzeichnungen. S. 430
    • 24. Homogene Deformationen. S. 436

B. Symmetrie und Struktur der Kristalle. S. 437

    • 25. Einleitende Erläuterungen, insbesondere zum kristallographischen Grundgesetz. S. 437
    • 26. Formulierung der mathematischen Probleme. S. 440

I. Die Symmetriegesetze und die 32 Symmetriegruppen. S. 442

    • 27. Die Symmetrieeigenschaften und ihre Gesetze. S. 442
    • 28. Historische Entstehung der Kristallsysteme. S. 443
    • 29. Die Deckoperationen und ihre Zusammensetzung. S. 444
    • 30. Der Gruppenbegriff. S. 446
    • 31. Mathematische Ableitung aller Symmetriegruppen. S. 447
    • 32. Gruppentheoretische Systematik der Kristalle. S. 449
    • 33. Die Unterabteilungen der Kristallsysteme. S. 451
    • 34. Die Symmetrie der einzelnen physikalischen Erscheinungen. S. 451
  • II. Die Strukturtheorien und die 230 Strukturgruppen. S. 452
    • 35. Die Raumgitter und die Gruppen von Translationen. S. 452
    • 36. Einteilung der Raumgitter nach der Symmetrie. S. 454
    • 37. Die Bravaissche Theorie. S. 455
    • 38. Ableitung der kristallographischen Grundtatsachen aus der Bravaisschen Theorie. S. 457
    • 39. Die Bravaissche Grenzbedingung und die Mallardsche Strukturauffassung. S. 458
    • 40. Die Verallgemeinerung der Bravaisschen Strukturhypothese. S. 459
    • 41. Die Deckoperationen und Symmetrieeigenschaften der allgemeinsten regelmäßigen Strukturen. S. 461
    • 42. Die Bewegungsgruppen und die Gruppen zweiter Art. S. 462
    • 43. Die reine Strukturtheorie. S. 466
    • 44. Reguläre Raumteilungen von gitterartiger Struktur. S. 467
    • 45. Allgemeinster Begriff der regulären Raumteilung und der Fundamentalbereich. S. 467
    • 46. Die Strukturauffassung von E. v. Fedorow. S. 469
    • 47. Die Kugelpackungen. S. 472
    • 48. Beziehungen der verschiedenen Strukturtheorien zueinander. S. 475

C. Zur Prüfung der Strukturtheorien an der Erfahrung. S. 478

    • 49. Einleitung. S. 478
    • 50. Formen der Kristalle. S. 479
    • 51. Die Spaltung. S. 483
    • 52. Translationsvermögen. S. 485
    • 53. Einfache Schiebungen. S. 486
    • 54. Zirkularpolarisation. S. 489
    • 55. Schlußwort. S. 492
  • 8. Kinetische Theorie der Materie. Von L. BOLTZMANN und J. NABL in Wien. (Abgeschlossen im Oktober 1905.). S. 493
    • 1. Grundanschauungen der Gastheorie. S. 494

A. Gasdruck. S. 497

    • 2. Einfachste Berechnung des Gasdruckes. S. 497
    • 3. Allgemeinere Ableitung des Gasdruckes. S. 499
    • 4. Die Gasgesetze. S. 501
    • 5. Andere Berechnungsarten des Gasdruckes. S. 503

B. Wärmegleichgewicht. S. 504

    • 6. Begriff des Wärmegleichgewichtes. S. 504
    • 7. Erster Beweis Maxwells für sein Geschwindigkeitsverteilungsgesetz. S. 506
    • 8. Zweiter Beweis Maxwells für sein Gesehwindigkeitsverteilumgagesetz. S. 507
    • 9. Bemerkungen zu Nr. 8. S. 510
    • 10. Der Satz bezüglich der gaatheoretischen Funktionaldetenainante. S. 511
    • 11. Das H-Theorem. S. 512
    • 12. Konsequenzen des H-Theorems. S. 516
    • 13. Die Entropie. S. 517
    • 14. Einwendungen gegen die Anwendung der Statistik auf die Gastheorie. S. 519

C. Reibung, Wärmeleitung und Diffusion. S. 522

    • 15. Verschiedene Mittelwerte. S. 522
    • 16. Die mittlere Weglänge. S. 524
    • 17. Maxwells erste Berechnung des typischen Falles der inneren Reibung, Wärmeleitung und Diffusion. S. 527
    • 18. Andere Berechnungen des typischen Falles der Reibung. S. 528
    • 19. Andere Berechnung des typischen Falles der Wärmeleitung. S. 531
    • 20. Vergleich mit der Erfahrung. S. 531
    • 21. Andere Berechnung des typischen Falles der Diffusion. S. 533

D. Zweite Theorie Maxwells. S. 534

    • 22. Spätere Theorie Maxwells, welche die Moleküle als Kraftzentra auffaßt. S. 534
    • 23. Anwendung der Kugelfunktionen. S. 536
    • 24. Hydrodynamische Gleichungen ohne Reibung. S. 537
    • 25. Hydrodynamische Gleichungen mit Reibung, Wärmeleitung und Diffusion. S. 538

E. Intramolekularbewegung. S. 542

    • 26. Notwendigkeit der Annahme intramolekularer Bewegungen. S. 542
    • 27. Liouvilles Satz. S. 545
    • 28. Berechnung des Verhältnisses der Wärmekapazitäten aus dem Liouvilleschen Satze. S. 547

F. Van der Waals' Theorie. S. 550

    • 29. Berücksichtigung der Ausdehnung der Moleküle. S. 550
    • 30. Van der Waalssche und andere Zustandsgieichungen. S. 552

G. Verallgemeinerung der kinetischen Methoden. S. 556

    • 31. Kinetische Theorie der tropfbaren Flüssigkeiten und festen Körper. S. 556
  • 9. Kapillarität. Von H. MINKOWSKI in Göttingen. (Abgeschlossen im Herbst 1906.). S. 558
    • 1. Kapillarität und Kohäsion. S. 559

I. Kapillarität als Flächenenergie. S. 560

    • 2. Oberflächenenergie und deren Variation. S. 560
    • 3. Differentialgleichung für eine freie Oberfläche. S. 564
    • 4. Randwinkel. S. 566
    • 5. Kapillardruck. Oberflächenspannung. S. 570
    • 6. Formen freier Oberflächen. Tropfen. S. 572
    • 7. Steighöhen. S. 576
    • 8. Kapillarauftrieb. Adhäsion. S. 578
    • 9. Ausschaltung der Schwerkraft. S. 581
    • 10. Flüssigkeitshäute. S. 583
    • 11. Stabilität einer Trennungsfläche. S. 587
    • 12. Kapillarschwingungen. S. 589
  • II. Kapillarität als räumlich verteilte Energie. S. 594
    • 13. Die Hypothese der Kohäsionskräfte. S. 594
    • 14. Potentielle Energie der Kohäsion in einem Medium. S. 596
    • 16. Potentielle Energie der Adhäsion zweier Medien. S. 600
    • 16. Eingehen der Kohäsion in die Beziehung zwischen Dichte und Druck. S. 602
    • 17. Theorien zur Vermeidung Ton Diskontinuitäten der Dichte. S. 604
    • 18. Entropie und Massendichten einer Trennungsfläche. S. 608
  • 10. Die Zustandsgleichung. Von H. KAMERLINGH ONNES und W. H. KEESOM in Leiden. (Abgeschlossen Dezember 1911.). S. 615

Bezeichnungen. S. 623 Einheiten. S. 626 I. Allgemeines über thermodynamische Zustandgleichungen und Diagramme. S. 631

    • a) Thermodynamische Zustandsgleichungen. S. 631
    • 1. Bestimmung der thermodynamischen Größen einer Phase durch ihre Komponenten und ihren Zustand. Bemerkungen über ihre Bestandteile und ihre Molekülarten. S. 631
    • 2. Näheres über die Art des Gleichgewichts. S. 635
    • 3. Thermische Zustandsgleichung, kalorische Grundgleichung und fundamentale Zustandsgieichungen. S. 636
    • 4. Experimentelle und empirische Zustandsgieichungen. S. 638
    • 5. Molekulartheoretische Untersuchungen über die Zutandsgleichung. S. 639
    • 6. Andere als molekulartheoretische Untersuchungen über die Zustandsgleichung. S. 643
    • b) Thermodynamische Diagramme. S. 645
    • 7. Ebene Diagramme für einkomponentige Stoffe. S. 645
    • 8. Thermodynamische Flächen für einkomponentige Stoffe. S. 647
    • 9. Thermodynamische Diagramme auch für mehrkomponentige Stoffe. S. 650
    • 10. Gibbssche Tangentialflächen. S. 651
    • 11. Falten. S. 653
    • 12. Faltenpunkte. S. 655
    • 13. Falten theoretische Betrachtungen. S. 657
    • 14. Gibbssche Tangentialkurven und Doppelpunktskurven. S. 659
  • II. Thermische Zustandsgleichung für den fluiden Zustand. S. 661
    • a) Die Hauptzustandsgleichung von van der Waals, Historisches und Allgemeines. S. 661
    • 15. Untersuchungen über die Eigenschaften von Gasen, Dämpfen und Flüssigkeiten vor Andrews und van der Waals. S. 661
  • 16. Andrews' p, V- Diagramm der Isothermen von CO2, kritischer Punkt Liquid-Gas. S. 663
    • 17. Die Kontinuität des flüssigen und des gasförmigen Aggregatzustandes. Ableitung der heterogenen Gleichgewichte aus den homogenen. S. 666
    • 18. Die Hauptzustandsgieichung von van der Waals. S. 669
    • 19. Ableitung bekannter und Vorhersagung unbekannter Eigenschaften der Stoffe aus der van der Waalsschen Hauptzustandsgieichung. S. 674
    • 20. Die Verflüssigung früher permanent genannter Gase. S. 676
    • 21. Die Bedeutung der tiefen Temperaturen für die Zustandsgleichung. S. 682
    • 22. Die p, F, T-Fläche für die qualitative Diskussion der Eigenschaften des Fluidgebietes. Nahezu invariante Funktionen. S. 684
    • 23. Kontinuität oder Identität der fluiden Zustände?. S. 687
    • 24. Behauptete Unbestimmtheit gewisser fluider Zustände bei gegebenem p und T. S. 688
    • 25. Die van der Waalssche Hauptzustandsgieichung für binäre Gemische. S. 689
    • b) Van der Waals' Gesetz der korrespondierenden Zustände. S. 691
    • 26. Die reduzierte thermische Zustandsgleichung. S. 691
    • 27. Ableitung des Gesetzes der korrespondierenden Zustände aus dem Prinzip der mechanischen Ähnlichkeit. S. 694
    • 28. Die affine Verwandtschaft der Fluidgebiete der p, V, T-Flächen. S. 696
    • 29. Weitere Folgerungen aus der mechanischen Ähnlichkeit. S. 698
    • 30. Bedingungen für die mechanische Ähnlichkeit stationär sich bewegender Molekülsysteme. S. 700
    • 31. Die tieferen Gründe der stationären Ähnlichkeit verschiedener Stoffe. S. 708
    • 32. Weitere Ausarbeitung des auf Grund des Korrespondenzgesetzes gewonnenen Bildes der molekularen Wirkungen. S. 711
    • c) Vergleichung des Korrespondenzgesetzes mit der Erfahrung. S. 714
    • 33. Prüfung des Korrespondenzgesetzes durch affin transformierte, durch logarithmische und durch teilweise invariante Diagramme. Verwendung derselben zur Bestimmung der kritischen Größen. Die Korrespondenz b. S. 714
    • 34. Gruppen korrespondierender Stoffe. S. 717
    • 35. Normale und assoziierte Stoffe. S. 722
    • 36. Empirische reduzierte Zustandsgieichung für normale Stoffe. S. 727
    • 37. Kriterien für die Ähnlichkeit und für die Assoziation. S. 731
    • 38. Abweichungen von der Korrespondenz bei nicht assoziierten Stoffen; die Deviationsfunktionen. S. 735
    • d) Berücksichtigung der experimentellen Ergebnisse bei Versuchen zur Darstellung der in der van der Waalsschen Hauptzustandsgleichung eingeführten Größen als Funktionen des Zustandes. S. 743
    • 39. Extreme Zustandsgebiete. S. 743
    • 40. Darstellung von bw als Volumfunktion durch Berechnungen über die Stoßfunktion harter Kugeln. 1e Modifikation von bw. S. 747
    • 41. Der kritische Virialquotient, der kritische Spannungs- und der kritische Dampfspannungsquotient. S. 751
    • 42. Das p, T-Diagramm der Isopyknen. Abweichung der p, V, T-Fläche von einer Regelfläche. S. 754
    • 43. Berücksichtigung der Freiheitsgrade im Molekül mittels der Zustandsgleichung des Moleküls nach van der Waals. 2e Modifikation von bw. S. 760
    • 44. Die Abweichung des zweiten Virialkoeffizienten von einer linearen Funktion der reziproken Temperatur. S. 763
    • 45. Experimentelles über die Änderung der inneren Energie mit dem Volumen. S. 765
    • 46. Die Ableitung der Zustandsgleichung aus der statistischen Mechanik. S. 768
    • 47. Berücksichtigung der Vergrößerung der Staßzahl bei der Annahme Boltz-mann-van der Waalsscher Kräfte. 3e Modifikation von bw. S. 779
    • 48. Berücksichtigung des Aufbaus des Kohäsionsdruckes aus Boltzmann-van der Waalsschen Kräften bei Konglomeratenbildung. Modifikation von aw. S. 784
    • 49. Berücksichtigung der Bildung von Konglomeraten bei der Berechnung der Stoßfunktion. Modifikation von Rw. S. 790
    • 50. Die Zustandsgleichung in der Nähe des kritischen Punktes Liquid-Gas. S. 793
    • 51. Andere Formen der Zustandsgieichung. S. 798
    • 52. Weitere Probleme der Kinetik der Gase mit Rücksicht auf die Zustandsgleichung. S. 799
  • III. Kalorische Grundgleichungen für den fluiden Zustand. S. 801
    • a) Formelles. S. 801
    • 53. Bestimmung sämtlicher kalorischen Größen durch die thermische Zustandsgleichung und eine kalorische Grundgleichung. S. 801
    • 54. Umrechnung verschiedener experimenteller Daten auf .. und .. im Avo-gadroschen Zustand mit Hilfe der thermischen Zustandsgleichung. Darstellung von .. und .. mit Hilfe des S, T- und des S, log T-Diagra. S. 803
    • b) Experimentelles. S. 807
    • 55. Experimentelle Ergebnisse über die Temperaturabhängigkeit von .. für schwer zerlegbare Moleküle. S. 807
    • 56. Experimentelle Ergebnisse über die Temperaturabhängigkeit von .. für leichter zerlegbare Moleküle. S. 811
    • e) Molekulartheoretisches. S. 816
    • 57. Die Bedeutung der Molekularwärme bei konstantem Volumen im Avo-gadroschen Zustande für die Kenntnis der Struktur der Moleküle. S. 816
  • IV. Die Fundamentalgleichungen für den fluiden Zustand. S. 824
    • a) Die Fundamentalflächen für normale einkomponentige Stoffe. S. 824
    • 58. Die Gibbsschen Fundamentalgleichungen. Darstellung derselben durch die Gibbsschen Fundamentalflächen. Ableitung der thermischen und kalorischen Eigenschaften einer Phase aus denselben. S. 824
    • 59. Beziehung der Fundamentalflächen sowie der aus denselben abgeleiteten ebenen Diagramme untereinander. S. 829
    • 60. Die Liquid-Gas-Falte in der Energiefläche. S. 830
    • 61. Das Maxwellsche Kriterium für die gesättigte Koexistenz zweier Phasen. S. 831
    • 62. Die thermodynamische Ähnlichkeit verschiedener Stoffe. Anwendung auf die Verflüssigung des Wasserstoffs und des Heliums. S. 833
    • 63. Die reduzierten Energieflächen für normale Stoffe. Bau des Flüssigkeitskammes der Energiefläche. S. 836
    • 64. Die Konnodale auf der Energiefläche. S. 839
    • 65. Die Darstellung der Abweichungen von der Korrespondenz der Energieflächen. S. 843
    • b) Thermodynamische Flächen für mehrkomponentige und für assoziierte Stoffe. S. 844
    • 66. Die van der Waalssche ..-Fläche für binäre Gemische. S. 844
    • 67. Van der Waals' Methode zur Ableitung der heterogenen Gleichgewichte zweikomponentiger Stoffe. Die Querfalte in der ..-Fläche. Einfluß einer kleinen Quantität Beimischung zu einem einkomponentigen Stoffe. S. 848
    • 68. Die Längsfalte usw. der ..-Fläche für den fluiden Zustand. S. 857
    • 69. Ternäre und quaternäre Gemische. Thermodynamische Flächen für assoziierte Stoffe. S. 861

V. Ergänzung der Energie fläche durch die Teile, welche den festen Zuständen entsprechen. S. 863

    • 70. Der glasig-amorphe Zustand. S. 863
    • 71. Der kristallinische Zustand. S. 867
    • 72. Mehrere Kristallzustände. S. 870
    • 73. Die Ergänzung der experimentellen Fundamentalfläche durch Extrapolation. Die Frage der Kontinuität des kristallinischen und des fluiden bzw. glasigen Aggregatzustandes. S. 875
    • 74. Theoretische Ansätze über die Zustandsgieichung für den festen Zustand. S. 879
    • 76. Berücksichtigung der festen Phasen in den Fundamentalflächen für Gemische. S. 893
  • VI. Kontrollierung der thermischen Zustandsgleichung und des Gesetzes korrespondierender Zustände für das Fluidgebiet bei speziellen Zuständen und Prozessen. S. 895

A. Untersuchungen über die thermische Zustandsgleichung in der Nähe der Normaldichte. S. 895

    • 76. Die thermische Zustandsgieichung in der Nähe der Normaldichte. S. 895
    • a) Bestimmung der Molekulargewichte von Gasen und Dämpfen. S. 898
    • 77. Korrektion der Normaldichte auf die theoretische Normaldichte. S. 898
    • 78. Ausdruck für die theoretische Normaldichte auf Grund von Dichtigkeitsund Kompressibilitätsbestimmungen. S. 898
    • 79. Anwendung des Korrespondenzgesetzes. S. 900
    • 80. Vergleichung der physikalischen mit den chemischen Bestimmungen. S. 901
    • b) Reduktion des Gasthermometers auf die Kelvinskala. S. 903
    • 81. Spannungs- und Ausdehnungskoeffizient. S. 903
    • 82. Die absolute Temperatur und der absolute Nullpunkt. S. 906

B. Ausführungen zur Liquid-Gas-Konnodale und ihrer unmittelbaren Umgebung. S. 909

    • 83. Die Dampfspannungsformeln. S. 909
    • 84. Korrespondenz der Dampfspannungsformeln. Siedepunktsregeln. S. 917
    • 85. Cailletet und Mathias' Gesetz der geraden Mittellinie. S. 920
    • 86. Grenzlinie, Dichte des gesättigten Dampfes, Dichte, isobare Ausdehnung und isothermische Kompressibilität der Flüssigkeit. S. 923
    • 87. Die Verdampfungswärme. S. 930
    • 88 Die spezifischen Wärmen der gesättigten Flüssigkeit und des gesättigten Dampfes. S. 935

C. Die adiabatischen Prozesse. S. 937

    • 89. Der isentropische Prozeß. Die adiabatische Expansion ohne äußere Arbeitsleistung. S. 937
    • 90 Der Joule-Kelvin-Prozeß. S. 940
  • 11. Physikalische und Elektrochemie. Von K. F. HERZFELD in München. (Abgeschlossen Ende 1920.). S. 947

Bezeichnungen. S. 950 Begrenzung des Stoffes. S. 951 I. Allgemeine thermodynamische und statistische Gesetze. S. 952

    • 1. Erster und zweiter Hauptsatz. S. 952
    • 2. Allgemeines über Gleichgewichte. S. 953
    • 3. Abhängigkeit des Gleichgewichtes von Druck und Temperatur. Phasen gleicher Zusammensetzung. S. 959
    • 4. Nernstsches Wärmetheorem. S. 961
    • 5. Statistische Deutung der thermodynamischen Formeln. S. 966
    • 6. Allgemeines über Reaktionsgeschwindigkeit. S. 975
  • II. Homogene Gasgleichgewichte. S. 981
    • 7. Thermodynamische Potentiale von Gasen und Gasmischungen. S. 981
    • 8. Homogene Gasgleichgewichte. S. 983
    • 9. Reaktionsgeschwindigkeiten in Gasen. S. 987
  • III. Homogene Losungsgleichgewichte. S. 991
    • a) Das Potential von Lösungen. Gleichgewichte neutraler Moleküle. S. 991
    • 10. Verdünnte Lösungen. S. 991
    • 11. Konzentrierte Lösungen. S. 993
    • 12. Homogene Lösungsgleichgewichte. S. 994
    • b) Ionengleichgewichte. S. 998
    • 13. Elektrolytische Dissoziationstheorie. S. 998
    • 14. Verdünnungsgesetz und Löslichkeitsbeeinflussung. S. 999
    • 15. Mitwirkung des Lösungsmittels. Hydrolyse. S. 1003
    • 16. Schwache und starke Elektrolyte. S. 1004
    • 17. Einfluß des Lösungsmittels auf die Dissoziation. S. 1009
    • c) Geschwindigkeit und Größe der Ionen. S. 1011
    • 18. Elektrizitätsleitung in Elektrolyten, Überführungszahl. S. 1011
    • 19. Ionenbeweglichkeit. S. 1013
    • d) Vermischte Probleme der Lösungstheorie. S. 1018
    • 20. Die Bruttoleitfähigkeit. S. 1018
    • 21. Methoden zur Bestimmung der Dissoziation. S. 1019
    • 22. Diffusion. S. 1020
    • 23. Hydrate in Lösungen. S. 1023
    • 24. Reaktionsgeschwindigkeit in Lösungen. S. 1025
  • IV. Heterogene Gleichgewichte. S. 1029
    • a) Systeme mit einer Komponente. S. 1029
    • 25. Allgemeines Verhalten. S. 1029
    • 26. Allotrope Umwandlungen und Schmelzen. S. 1033
    • 27. Verdampfen. S. 1036
    • 28. Schmelz- und Verdampfungsgeschwindigkeit. S. 1039
    • b) Systeme mit mehreren Komponenten. S. 1042
    • 29. Der osmotische Druck. S. 1042
    • 30. Die kinetische Bedeutung des osmotischen Druckes. S. 1046
    • 31. Gefrierpunktserniedrigung. S. 1048
    • 32 Siedepunktserhöhung, Dampfdruckerniedrigung. S. 1050
    • 33. Allgemeiner Zusammenhang der besprochenen Größen. S. 1052
    • 34. Löslichkeit von Gasen. S. 1053
    • 35. Nernstscher Verteilungssatz. S. 1055
    • 36. Löslichkeit fester Körper konstanter Zusammensetzung. S. 1056
    • 37. Die Kristallisationsgeschwindigkeit aus Lösungen. S. 1061
    • 38. Schmelzpunkt von dissoziierenden Verbindungen (Hydraten). S. 1063
    • 39. Schmelzen unter dem Lösungsmittel. S. 1066
    • 40. Feste Lösungen und Mischkristalle. S. 1066
    • 41. Zustandsdiagramme und thermische Analyse. S. 1068
    • 42. Spezialausführungen hierzu (Metallographie). S. 1070
    • 43. Chemische Umsetzungen zwischen einer festen und einer gasförmigen Phase. S. 1073
    • 44. Chemische Umsetzungen zwischen zwei festen und einer gasförmigen Phase mit zwei Komponenten. S. 1074
    • 45. Reaktionsgeschwindigkeit in heterogenen Systemen. S. 1076

V. Elektrochemie. S. 1079

    • 46. Die Bewegungsgleichungen der Ionen. Diffusionspotentiale. S. 1079
    • 47. Zusammenhang zwischen elektrischer und gesamter Energie. S. 1082
    • 48. Umkehrbare Elektroden I. Art. Nernstsche Formel. S. 1084
    • 49. Anwendungen. S. 1086
    • 50. Gemischte Elektroden. S. 1090
    • 51. Gaselektroden. S. 1092
    • 52. Oxydations- und Reduktionspotentiale. S. 1095
    • 53. Chemisches Gleichgewicht und Potentiale der ganzen Kette. S. 1098
    • 54. Berechnung der E.M.K. aus anderen Größen, konzentrierte Lösungen. S. 1100
    • 55. Das Elektronengleichgewicht. S. 1102
    • 56. Die Einstellungsgeschwindigkeit der Potentiale. S. 1103
    • 57. Elektrolyse. S. 1104
    • 58. Polarisation. S. 1105
    • 59. Polarisationskapazität. S. 1110
    • 60. Zusammenfassung. S. 1111

Band 5–2[Bearbeiten]

D. Elektrizität und Optik. S. 1

  • 12. Standpunkt der Fernwirkung. Die Elementargesetze. Von E. REIFF in Stuttgart und A. SOMMERFELD in Aachen. (Abgeschlossen im Dezember 1902.). S. 3
    • 1. Coulomb. S. 4
    • 2. Örsted, Biot und Savart. S. 7
    • 3. Ampère. S. 10
    • 4. Graßmann. S. 20
    • 5. Franz Neumann. S. 23
    • 6 Wilhelm Weber. S. 34
    • 7. Gauß und Riemann. S. 45
    • 8. Carl Neumann. S. 51
    • 9. Clausius. S. 56
  • 13. Maxwells elektromagnetische Theorie. Von H. A. LORENTZ in Leiden. (Abgeschlossen im Juni 1903.). S. 63

I. Vorbereitende Begriffe und Rechnungsmethoden. S. 67

    • 1. Einleitung. S. 67
    • 2. Ponderabele Materie und Äther. S. 69
    • 3. Mathematische Behandlungsweise und Bezeichnungen. S. 70
    • 4. Hilfssätze aus der Vektorentheorie. S. 73
  • II. Die mathematische Formulierung der Maxwellschen Theorie. S. 78
    • 5. Die in den Feldgleichungen auftretenden Vektoren. S. 78
    • 6. Die Hauptgleichungen. S. 81
    • 7. Bemerkungen zu den angenommenen Einheiten. S. 83
    • 8. Beziehungen zwischen den Zustandsgrößen an derselben Stelle. S. 88
    • 9. Elektromotorische Kräfte. S. 89
  • III. Anwendung der Grundgleichungen. S. 90
    • 10. Vergleichung der Theorie mit den Beobachtungen. S. 90
    • 11. Elektrische Ladung. S. 92
    • 12. Elektrostatik. S. 93
    • 13. Elektrische Polarisation. S. 94
    • 14. Konstante Ströme in Leitern. S. 94
    • 15. Magnetismus. Magnetisierung. S. 95
    • 16. Das magnetische Feld konstanter Ströme. S. 96
    • 17. Zerlegung des elektrischen Stroms. S. 97
    • 18. Der magnetische Strom und die unipolare Induktion. Dualität zwischen den elektrischen und den magnetischen Erscheinungen. S. 99
    • 19. Permanente Magnete. S. 101
    • 20. Versuche von Blondlot. S. 102
    • 21. Fortpflanzung des Lichtes. Aberration. S. 103
  • IV. Allgemeine Folgerungen und Theoreme. S. 105
    • 22. Energie. Poyntingscher Satz. S. 105
    • 23. Ponderomotorische Kräfte. S. 107
    • 24. Beispiele für die Bestimmung der ponderomotorischen Kräfte. S. 110
    • 25. Bemerkung zur Definition der elektrischen und der magnetischen Kraft. S. 113
    • 26. Bewegungen des Äthers. S. 113
    • 27. Reziprozitäts- und Minimalsätze. S. 114
    • 28. Vektorpotential der magnetischen Erregung. S. 116
    • 29. Änderung der magnetischen Energie bei unendlich kleiner Änderung des elektrischen Stromes. S. 117
    • 30. Elektrische und magnetische Erregungslinien. S. 118
    • 31. Bewegung der Erregungslinien in einfachen Fällen. S. 121
    • 32. Verschiedene Auffassungen der Hauptgleichungen. S. 122

V. Zusammenhang der Theorie mit den Prinzipien der Mechanik. Mechanische Analogien und Bilder. S. 122

    • 33. Anwendung der Prinzipien der Mechanik. S. 122
    • 34. Dynamische Theorie von Maxwell. S. 123
    • 35. Allgemeine Betrachtungen. S. 124
    • 36. Ableitung der zweiten Hauptgleichung. S. 127
    • 37. Berechnung der ponderomotorischen Kräfte. S. 128
    • 38. Helmholtz' Anwendung des Prinzips der kleinsten Wirkung. S. 130
    • 39. Bemerkungen zu der Anwendung des Prinzips der kleinsten Wirkung. S. 133
    • 40. Die Elektrizität als inkompressibele Flüssigkeit. Maxwells Vorstellungen über den Mechanismus. S. 134
    • 41. Verschiedener Charakter der elektrischen und der magnetischen Zustandsgrößen. S. 135
    • 42. Anschluß an die Theorie elastischer Medien. S. 136
    • 43. Thermo dynamische Behandlung. S. 140
  • VI. Vergleichung von Fern- und Feldwirkungstheorien. S. 141
    • 44. Fern Wirkungstheorie von Helmholtz. S. 141
    • 45. Verhältnis zwischen den Feldwirkungs- und den Fernwirkungstheorien. S. 143
  • 14. Weiterbildung der Maxwellschen Theorie. Elektronentheorie. Von H. A. LORENTZ in Leiden. (Abgeschlossen im Dezember 1903.). S. 145

I. Grundlagen der Elektronentheorie. S. 151

    • 1. Allgemeines. S. 151
    • 2. Grundgleichungen für den Äther. S. 155
    • 3. Die auf die geladene Materie wirkende Kraft. S. 156
    • 4. Einführung von Potentialen. S. 156
    • 5. Integration der Potentialgleichungen. S. 158
    • 6 Energie. Poynting’scher Satz. S. 159
    • 7. Allgemeine Betrachtung der auf geladene Materie wirkenden Kräfte. Elektromagnetischer Impuls. S. 161
    • 8. Ableitung der Grundgleichungen aus den Prinzipien der Mechanik. S. 164
    • 9. Allgemeine den Grundgleichungen äquivalente Sätze. S. 167
    • 10. Die Hauptgleichungen für ein bewegliches Koordinatensystem. S. 170
  • II. Bestimmung des elektromagnetischen Feldes bei gegebener Lage und Bewegung der Elektronen. S. 173
    • 11. Elektrostatisches Feld. S. 173
    • 12. Zustand des Feldes, wenn die erregende Ladung in einem unendlich kleinen Raum liegt. S. 177
    • 13. Ein elektrisch polarisiertes Teilchen. S. 178
    • 14. Eine einfache Lichtquelle. S. 180
    • 15. Ein magnetisiertes Teilchen. S. 181
    • 16. Kotierende geladene Kugeln. S. 182
    • 17. Das von einem Elektron mit beliebiger Bewegung erregte Feld. S. 184
    • 18. Ausstrahlung von Energie. S. 186
    • 19. Entstehung von Röntgenstrahlen. S. 187
  • III. Freie Elektronen. Bestimmung der Bewegung bei gegebenem äußerem Felde. S. 188
    • 20. Rückwirkung des Äthers auf ein langsam bewegtes Elektron von beliebiger Gestalt. Widerstand gegen die Bewegung. S. 188
    • 21. Elektromagnetische Masse der Elektronen. S. 190
    • 22. Quasi-stationäre Bewegungen im allgemeinen. Rückwirkung des Äthers auf ein rotierendes Elektron. S. 193
    • 23. Wirkung eines äußeren Feldes. S. 194
    • 24. Bewegung eines Elektrons in einem gegebenen Felde. S. 198
    • 25. Wechselwirkung zweier Elektronen. S. 199
  • IV. Elektromagnetische Vorgänge in ponderablen Körpern. S. 200
    • 26. Die Elektronen in den ponderablen Körpern. S. 200
    • 27. Mittelwerte. S. 201
    • 28. Hilfssätze für die Berechnung der Mittelwerte. S. 203
    • 29. Mittelwerte, die von den Leitungselektronen herrühren. S. 206
    • 30. Mittelwerte, die von den Polarisationselektronen herrühren. S. 206
    • 31. Mittelwerte, die von den Magnetisierungselektronen herrühren. S. 207
    • 32. Die verschiedenen Teile des elektrischen Stroms. S. 208
    • 33. Die Grundgleichungen für die Mittelwerte. S. 208
    • 34. Versuche von Eichenwald. S. 210
    • 35. Das elektromagnetische Feld im Innern verschieden gestalteter Höhlungen. S. 211
    • 36. Die auf die Elektronen und die Teilchen wirkenden Kräfte. S. 215
    • 37. Leitfähigkeit. S. 218
    • 38. Elektrizitätsbewegung in Elektrolyten. S. 219
    • 39. Gasionen. S. 221
    • 40. Elektrizitätsbewegung in Metallen. S. 221
    • 41. Halleffekt und verwandte Erscheinungen. S. 222
    • 42. Induktion in bewegten Leitern. S. 223
    • 43. Polarisierte Dielektrika. S. 223
    • 44. Statistische Zustände in einem ruhenden System von Leitern und isotropen Nichtleitern. S. 225
    • 45. Induktion in einem bewegten Dielektrikum. S. 226
    • 46. Deformation eines Dielektrikums. S. 227
    • 47. Abhängigkeit der Dielektrizitätskonstante und des Brechungsexponenten von Dichte und Zusammensetzung der Körper. S. 229
    • 48. Elektronentheorie der Magnetisierung. S. 230
    • 49. Elektrische Ströme in magnetisierten Leitern. S. 235
    • 50. Allgemeine Betrachtungen betreffend die Beziehungen zwischen den Zustandsgrößen. S. 239
    • 51. Energie und Energiefluß in ruhenden Körpern. S. 240
    • 52. Andere Bestimmung der Energie und des Energieflusses. S. 241
    • 53. Fiktive Spannungskomponenten in ruhenden unmagnetisierten Nichtleitern. S. 245
    • 54. Energie und Energiefluß in bewegten Nichtleitern. Verifizierung der Resultate. S. 250
    • 55. Bemerkungen zu den ponderomotorischen Kräften. S. 254

V. Nähere Betrachtung bewegter Systeme,. S. 255

    • 56. Einfluß der Erdbewegung auf elektromagnetische Erscheinungen. S. 255
    • 57. Einfluß einer Translation auf optische Erscheinungen in durchsichtigen Körpern. S. 265
    • 58. Aberration des Lichtes. S. 266
    • 59. Versuche mit irdischen Lichtquellen. S. 267
    • 60. Mitführung der Lichtwellen durch die ponderabele Materie. S. 271
    • 61. Andere Ableitung des zur Erklärung der Aberration führenden Satzes. S. 272
    • 62. Der Micbelsonsche Interferenzversuch. S. 273
    • 63. Theorie von Cohn. S. 274
  • VI. Schluß. S. 277
    • 64. Gegenwärtiger Stand der Theorie. S. 277
    • 65. Anwendung der Begriffe der Elektronentheorie auf andere Gebiete. S. 279
  • 15. Elektrostatik und Magnetostatik. Von E. GANS in Tübingen. (Abgeschlossen im Oktober 1906.). S. 289
    • 1. Einleitung. S. 291
    • 2. Elektromagnetische Theorie. S. 292
    • 3. Die Grundgleichungen der Elektrostatik und der Magnetostatik. S. 293
    • 4. Eindeutigkeit des Feldes. Vergleich mit der Fernwirkungstheorie. S. 295
    • 5. Allgemeine Eigenschaften des Feldes. S. 296
    • 6. Superposition der Felder. Die Energie. S. 298

I. Elektrostatik. S. 299 A. Die Dielektrizitätskonstante ist im ganzen Baume eine und dieselbe Konstante. S. 299

    • 7. Systeme von Leitern. Kapazität. Potentialverstärker. Influenzmaschine. Plattenkondensator. S. 299
    • 8. Kräfte eines Leitersystems. Absolutes Elektrometer. Quadrantelektrometer. S. 304
    • 9. Zweidimensionale Probleme. Abbildung. Dichtigkeit der Elektrizität an Kanten. S. 306
    • 10. Anwendung auf das Schutzgitter. S. 310
    • 11. Anwendung auf den Kondensator. S. 313
    • 12. Kugel. Ellipsoid. Zylinder Ring. S. 317
    • 13. Elektrische Bilder. Zwei Kugeln. S. 319

B. Die Dielektrizitätskonstante hat in verschiedenen Teilen des Raumes verschiedene Werte. S. 325

    • 14. Ungeladene Dielektrika im Felde. Leiter als Grenzfall des Dielektrikums. Kondensator mit geschichtetem Dielektrikum. S. 325
    • 15. Influenz. Wahre und freie Elektrizität. S. 327
    • 16. Influenz auf Ellipsoid und Kugel. Clausius-Mossottische Theorie. S. 328
    • 17. Hohlkugel und Hohlzylinder im gleichförmigen Feld. S. 330
    • 18. Spannungen und Kräfte. S. 331
    • 19. Kräfte auf starre Körper. S. 331
    • 20. Elektromotorische Kräfte. S. 334
    • 21. Kristalle. S. 335
    • 22. Rückstand. S. 336
  • II. Magnetostatik. S. 337
    • 23. Unterschiede der magnetostatischen und elektrostatischen Probleme. S. 337
    • 24. Gibt es wahren Magnetismus?. S. 338
    • 26. Influenz. Wahrer und freier Magnetismus. S. 339
    • 26. Energie und Kräfte. S. 342
    • 27. Kräfte auf starre Körper. S. 342
    • 28. Magnetisches Moment. Horizontalintensität. Kompaß. S. 343
    • 29. Magnetische Doppelschichten. S. 346
    • 30. Kristalle. S. 346
    • 31. Ferromagnetische Körper. S. 347
    • 32. Hysteresis. S. 348
  • 16. Beziehungen zwischen elektrostatischen und magnetostatischen Zustandsänderungen einerseits und elastischen und thermischen andererseits. Von F. POCKELS in Heidelberg. (Abgeschlossen im Oktober 1906.). S. 350
    • 1. Maxwellsches Spannungssystem im Dielektrikum. S. 351
    • 2. Die Bedeutung der Maxwellschen Spannungen für die Elektrostriktion. S. 356
    • 3. Spannungen, welche durch die Veränderlichkeit der dielektrischen Konstanten bedingt werden. S. 359
    • 4. Elektrostriktion von Flüssigkeiten. S. 361
    • 5. Elektrostriktion isotroper fester Körper. Ihre Behandlung nach den Methoden der Elastizitätstheorie. S. 362
    • 6. Fortsetzung. Energetische Behandlung. S. 366
    • 7. Magnetostriktion. S. 369
    • 8. Piezoelektrizität und Elektrostriktion azentrischer Kristalle. Allgemeiner Ansatz. S. 374
    • 9. Spezialisierung für die einzelnen Kristallgruppen. S. 378
    • 10. Anwendung auf besondere Fälle. S. 380
    • 11. Polare Pyroelektrizität und reziproker Wärmeeffekt. S. 384
    • 12. Molekulartheorien der Piezo- und Pyroelektrizität. S. 386
    • 13. Zentrische Pyro- und Piezoelektrizität. S. 388
    • 14. Pyro- und Piezomagnetismus. S. 392
  • 17. Stationäre und quasistationäre Felder. Von P. DEBYE in München. (Abgeschlossen Ende 1909.). S. 393

I. Stationäres Feld. S. 395 A. Allgemeine Formulierung der Probleme. S. 395

    • 1. Grundgleichungen. S. 396
    • 2. Das innere elektrische Feld. S. 396
    • 3. Das äußere elektrische Feld. S. 398
    • 4. Das magnetische Feld. Allgemeiner Fall. S. 399
    • 5. Das magnetische Feld. Spezieller Fall .. = const. S. 401

B. Spezielle Behandlung körperlicher Leiter. S. 401

    • 6. Die übliche Fragestellung. S. 401
    • 7. Die Greensche Funktion. S. 404
    • 8. Elektroden endlicher Abmessungen. Halbraum, Kugel. S. 406
    • 9. Kirchhoffs Methode zur Bestimmung der Leitfähigkeit. Parallelopiped. Kreiszylinder. S. 411
    • 10. Nobilische Ringe. S. 412
    • 11. Inhomogene Leiter. S. 415
    • 12. Näherungsweise Berechnung des Widerstandes. Draht von variabelem Querschnitt. Übergangswiderstand. S. 416

C. Flächenleiter. S. 419

    • 13. Grundgleichungen. Übliche Fragestellung. S. 419
    • 14. Zusammenhang mit der Theorie der Flächen. S. 419
    • 15. Ebene Platten. S. 421
    • 16. Gekrümmte Platten. S. 424

D. Lineare Leiter. S. 425

    • 17. Grundgleichungen. S. 425
    • 18. Das äußere Feld. S. 427
    • 19. Spezielle Fälle der Stromverzweigung: Wheatstonesche Brücke usw. S. 429
    • 20. Das magnetische Feld in speziellen Fällen: Einzelner gerader Draht, zwei oder mehrere parallele gerade Drähte. S. 431
    • 21. Das magnetische Feld eines Kreisstroms. S. 434
    • 22. Das magnetische Feld einer Spule. S. 437
  • II. Quasistationäres Feld. S. 441

A. Allgemeines. S. 441

    • 23. Grundgleichungen und Potentiale. S. 441
    • 24. Die Energiegleichung. S. 445

B. Spezielles über Körper- und Flächenleiter. S. 446

    • 25. Körperliche Leiter. S. 446
    • a) Ruhende Körper. S. 446
    • b) Bewegte Körper. S. 449
    • 26. Flächenleiter. S. 452

C. Lineare Leiter. S. 454

    • 27. Die gewöhnlichen Differentialgleichungen für Stromkreise ohne Kapazität. Definition der Induktionskoeffizienten. S. 454
    • 28. Die Differentialgleichungen für Stromkreise mit Kapazität. S. 459
    • 29. Die Energiegleichung. S. 460
    • 30. Induktionskoeffizienten für geradlinige Leiter. Der mittlere geometrische Abstand. S. 462
    • 31. Werte für E in speziellen Fällen. S. 463
    • 32. Werte für die Induktionskoeffizienten in speziellen Fällen. S. 464
    • a) Gerade Leiter. S. 464
    • b) Kreisförmige Leiter. S. 467
    • 33. Spezielle Fälle von Stromkreisen mit zeitlich veränderlicher elektromotorischer Kraft. Der Widerstandsoperator. S. 472
    • 34. Wheatstonesche Brücke für Wechselstrom. S. 474
  • III. Ponderomotorische Wirkungen. S. 476
    • 35. Berechnung der Kräfte zwischen Strömen. S. 476
    • 36. Galvanometer. S. 478
    • 37. Das ballistische Galvanometer. S. 479
  • 18. Elektromagnetische Wellen. Von M. ABRAHAM in Mailand. (Abgeschlossen im Juli 1906.). S. 483

I. Einleitung. S. 484

    • 1. Die Feldgleichungen und die Grenzbedingungen. S. 484
    • 2. Geschichte und Begrenzung des Gebietes. S. 486
  • II. Entstehung und Ausbreitung elektrischer Wellen. S. 487
    • 3. Theorie der Entladung eines Kondensators. S. 487
    • 4. Die Hertzsche Lösung der Feldgleichungen. S. 489
    • 5. Superposition Hertzscher Lösungen. S. 492
    • 6. Elektrische Eigenschwingungen. S. 495
    • a) Allgemeine Sätze. S. 496
    • b) Orthogonale Koordinaten. S. 498
    • c) Spezielle Fälle. S. 500
    • 7. Sendeantennen der drahtlosen Telegraphie. S. 505
    • 8. Elektrische Resonanz. S. 509
    • 9. Zerstreuung elektrischer Wellen. S. 511
  • II. Fortleitung elektrischer Wellen durch Drähte. S. 514
    • 10. Eindringen des Feldes in zylindrische Leiter. Skin-Effekt. S. 514
    • 11. Elektrische Drahtwellen; elementare Theorie. S. 519
    • 12. Drahtwellen; strenge Theorie. S. 526
    • a) Einzeldraht. S. 526
    • b) Kabel und Paralleldrähte. S. 531
    • 13. Reflexion am Ende der Leitung. S. 535
  • 19. Relativitätstheorie. Von W. PAULI jr. in München. (Abgeschlossen im Dezember 1920.). S. 539

I. Grundlagen der speziellen Relativitätstheorie. S. 543

    • 1. Historisches (Lorentz, Poincaré, Einstein). S. 543
    • 2. Das Relativitätspostulat. S. 547
    • 3. Das Postulat von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Die Theorie von Ritz und verwandte Theorien. S. 549
    • 4. Relativität der Gleichzeitigkeit Ableitung der Lorentz-Transformation aus den beiden Postulaten. Axiomatik der Lorentz-Transformation. S. 553
    • 5. Lorentz-Kontraktion und Zeitdilatation. S. 556
    • 6. Einsteins Additionstheorem der Geschwindigkeiten und seine Anwendung auf Aberration und Mitführungskoeffizient. Dopplereffekt. S. 561
  • II. Mathematische Hilfsmittel. S. 567
    • 7. Die vierdimensionale Raum-Zeitwelt (Minkowski). S. 567
    • 8. Übergang zu allgemeineren Transformationsgruppen. S. 568
    • 9. Tensorrechnung bei affinen Koordinatentransformationen. S. 570
    • 10. Die geometrische Bedeutung der kontra- und kovarianten Komponenten eines Vektors. S. 575
    • 11. Flächen- und Raumtensoren. Vierdimensionales Volumen. S. 578
    • 12. Duale Ergänzung zu Flächen- und Raumtensoren. S. 581
    • 13. Übergang zur allgemeinen Geometrie Riemanns. S. 582
    • 14. Begriff der Parallel Verschiebung eines Vektors. S. 585
    • 15. Geodätische Linien. S. 588
    • 16. Raumkrümmung. S. 590
    • 17. Riemanns Normalkoordinaten und ihre Anwendungen. S. 593
    • 18. Die Spezialfälle der euklidischen Geometrie und der konstanten Krümmung. S. 598
    • 19. Die Integralsätze von Gauß und Stokes im vierdimensionalen Riemannschen Raum. S. 603
    • 20. Herleitung von invarianten Differentialoperationen mit Benutzung der geodätischen Komponenten. S. 607
    • 21. Affintensoren und freie Vektoren. S. 610
    • 22. Realitätsverhältnisse. S. 613
    • 23. Infinitesimale Koordinatentransformation und Variationssätze. S. 616
  • III. Weiterer Ausbau der speziellen Relativitätstheorie. S. 622
    • a) Kinematik. S. 622
    • 24. Vierdimensionale Darstellung der Lorentz-Transformation. S. 622
    • 25. Das Additionstheorem der Geschwindigkeiten. S. 625
    • 26. Transformation der Beschleunigung. Hyperbelbewegung. S. 626
    • b) Elektrodynamik. S. 628
    • 27. Invarianz der Ladung. Viererstrom. S. 628
    • 28. Die Kovarianz der Grundgleichungen der Elektronentheorie. S. 630
    • 29. Ponderomotorische Kraft und Dynamik des Elektrons. S. 634
    • 30. Impuls und Energie des elektromagnetischen Feldes. Differential- und Integralform der Erhaltungssätze. S. 638
    • 31. Das invariante Wirkungsprinzip der Elektrodynamik. S. 642
    • 32. Anwendungen auf spezielle Fälle:. S. 644
    • a) Die Integration der Potentialgleichungen. S. 644
    • b) Das Feld der gleichförmig bewegten Punktladung. S. 646
    • c) Das Feld der Hyperbelbewegung. S. 647
    • d) Invarianz der Lichtphase. Reflexion am bewegten Spiegel. Strahlungsdruck. S. 648
    • e) Das Strahlungsfeld eines bewegten Dipols. S. 652
    • f) Die Reaktionskraft der Strahlung. S. 654
    • 33. Minkowskis phänomenologische Elektrodynamik bewegter Körper. S. 654
    • 34. Elektronen theoretische Ableitungen. S. 659
    • 35. Impuls-Energietensor und ponderomotorische Kraft der phänomenologischen Elektrodynamik. Joulesche Wärme. S. 662
    • 36. Anwendungen der Theorie:. S. 668
    • a) Die Versuche von Rowland, Röntgen, Eichenwald und Wilson. S. 668
    • b) Widerstand und Induktion in bewegten Leitern. S. 670
    • c) Die Ausbreitung des Lichtes in bewegten Medien. Mitführungskoeffizient. Versuch von Airy. S. 670
    • d) Signalgeschwindigkeit und Phasengeschwindigkeit in dispergierenden Medien. S. 672
    • c) Mechanik und allgemeine Dynamik. S. 673
    • 37. Die Bewegungsgleichungen. Impuls und kinetische Energie. S. 673
    • 38. Von der Elektrodynamik unabhängige Begründung der relativistischen Mechanik. S. 675
    • 39. Das Hamiltonsche Prinzip der relativistischen Mechanik. S. 677
    • 40. Generalisierte Koordinaten. Kanonische Form der Bewegungsgleichungen. S. 678
    • 41. Die Trägheit der Energie. S. 679
    • 42. Allgemeine Dynamik. S. 682
    • 43. Transformation von Energie und Bewegungsgröße eines Systems bei Vorhandensein von äußeren Kräften. S. 684
    • 44. Anwendung auf spezielle Fälle. Versuch von Trouton- Noble. S. 685
    • 45. Hydrodynamik und Elastizitätstheorie. S. 689
    • d) Thermodynamik und Statistik. S. 693
    • 46. Das Verhalten der thermodynamischen Zustandsgrößen bei einer Lorentz-Transformation. S. 693
    • 47. Prinzip der kleinsten Wirkung. S. 695
    • 48. Die Anwendung der relativistischen Mechanik auf die Statistik. S. 696
    • 49. Spezialfälle:. S. 697
    • a) Die Strahlung im bewegten Hohlraum. S. 697
    • b) Das ideale Gas. S. 699
  • IV. Allgemeine Relativitätstheorie. S. 701
    • 50. Historisches bis zu Einsteins Arbeit von 1916. S. 701
    • 51. Allgemeine Formulierung des Äquivalenzprinzips. Zusammenhang zwischen Gravitation und Metrik. S. 705
    • 52. Das Postulat der allgemeinen Kovarianz der Naturgesetze. S. 710
    • 53. Einfache Folgerungen aus dem Äquivalenzprinzip:. S. 711
    • a) Die Bewegungsgleichungen des Massenpunktes bei langsamen Geschwindigkeiten und schwachen Gravitationsfeldern. S. 711
    • b) Die Rotverschiebung der Spektrallinien. S. 712
    • c) Fermats Prinzip der kürzesten Lichtzeit in statischen Gravitationsfeldern. S. 716
    • 54. Der Einfluß des Schwerefeldes auf materielle Vorgänge. S. 718
    • 55. Die Wirkungsprinzipien für materielle Vorgänge bei Vorhandensein von Gravitationsfeldern. S. 720
    • 56. Die Feldgleichungen der Gravitation. S. 721
    • 57. Herleitung der Gravitationsgleichungen aus einem Variationsprinzip. S. 724
    • 58. Vergleich mit der Erfahrung:. S. 726
    • a) Newtons Theorie als erste Näherung. S. 726
    • b) Strenge Lösung für das Gravitationsfeld eines Massenpunktes. S. 727
    • c) Perihelbewegung des Merkur und Krümmung der Lichtstrahlen. S. 730
    • 59. Andere spezielle, strenge Lösungen im statischen Fall. S. 733
    • 60. Einsteins allgemeine Näherungslösung und ihre Anwendungen. S. 736
    • 61. Die Energie des Gravitationsfeldes. S. 740
    • 62. Modifikation der Feldgleichungen. Relativität der Trägheit und räumlich-geschlossene Welt:. S. 743
    • a) Das Machsche Prinzip. S. 743
    • b) Betrachtungen über das statistische Gleichgewicht des Fixsternsystems. Das ..-Glied. S. 746
    • c) Die Energie der geschlossenen Welt. S. 748

V. Theorien über die Natur der elektrischen Elementarteilchen. S. 749

    • 63. Elektron und spezielle Relativitätstheorie. S. 749
    • 64. Die Theorie von Mie. S. 754
    • 65. Die Theorie von Weyl. S. 759
    • a) Reine Infinitesimalgeometrie. Eichinvarianz. S. 759
    • b) Elektromagnetisches Feld und Weltmetrik. S. 761
    • c) Der Tensorkalkül in Weyls Geometrie. S. 763
    • d) Feldgesetze und Wirkungsprinzip. Physikalische Folgerungen. S. 766
    • 66. Die Theorie von Einstein. S. 771
    • 67. Allgemeines über den gegenwärtigen Stand des Problems der Materie. S. 773
  • 20. Elektronentheorie der Metalle. Von RUDOLF SEELIGER in Greifswald. (Abgeschlossen im Mai 1921.). S. 777
    • 1. Einleitung; historische Übersicht; Abgrenzung des Gebietes. S. 778

I. Die gaskinetischen Theorien der Wärme- und Elektrizitätsleitung. S. 781

    • 2. Grundlagen der Theorien von Eiecke und Drude. S. 781
    • 3. Theorie von Eiecke. S. 784
    • 4. Theorie von Drude. S. 785
    • 5. Vervollkommnung der Theorie durch H. A. Lorentz. S. 788
    • 6. Allgemeine Statistik von Debye. S. 791
    • 7. Theorie von Bohr. S. 795
    • 8. Ergänzungen und Erweiterungen. S. 798
  • II. Anwendungen und Folgerungen der gaskinetischen Theorie. S. 803
    • 9. Das Gesetz von Wiedemann und Franz; Temperaturkoeffizient des elektrischen Leitvermögens. S. 803
    • 10. Thermoelektrische Effekte. Voltaeffekt. S. 807
    • 11. Thermomagnetigche und galvanomagnetische Effekte. S. 811
    • 12. Legierungen, Halbleiter. S. 822
    • 13. Optik der Metalle. S. 829
  • III. Das Elektronengas. S. 835
    • 14. Freie Elektronen im Innern des Metalls. Die Elektronenkonstanten. S. 835
    • 15. Thermoionische Untersuchungen. S. 843
    • 16. Die thennodynamischen Arbeiten von Laue und Schottky. S. 848
  • IV. Semigaskinetische und quantentheoretische Ansätze. S. 851
    • 17. Kritik der gaskinetischen Theorien. S. 851
    • 18. Theorie von J. J. Thomson. S. 855
    • 19. Die Gittertheorien. S. 859
    • 20. Die phoretische Elektronentheorie von Benedicks. S. 863
    • 21. Quantentheoretische Ansätze. S. 864
    • 22. Theorie von W. Wien. S. 870
    • 23. Beziehungen zur Atomphysik. Ausblick. S. 874

Band 5–3[Bearbeiten]

D. Elektrizität und Optik (Fortsetzung). S. 1

  • 21. Optik. Ältere Theorie. Von A. W ANGERIN in Halle a. S. (Abgeschlossen im November 1907.). S. 1

I. Die Optik bis Fresnel. S. 4

    • 1. Chr. Huygens und die Entwicklung der theoretischen Optik vor A. Fresnel. S. 4
    • 2. Augustin Fresnel (1788 – 1827). S. 8
  • II. Darstellung der Fresnelschen Optik. S. 9
    • 3. Fresnels analytische Behandlung der Lichtstrahlen. S. 9
    • 4. Das Interferenzprinzip bei Fresnel. Interferenz. S. 12
    • 5. Die Entdeckung der Polarisation durch E. L. Malus, D. F. J. Arago und A. Fresnel. Transversalität der Lichtschwingungen. S. 13
    • 6. Zusammensetzung und Zerlegung polarisierter Strahlen bei Fresnel. Das natürliche Licht. S. 16
    • 7. Fortpflanzung des Lichtes in Kristallen nach Fresnel. S. 19
    • 8. Die Fresnelsche Wellenfläche. S. 22
    • 9. Singuläre Punkte und singuläre Tangentialebenen der Wellenfläche. Optische Achsen und Strahlenachsen. Konische Refraktion. S. 26
    • 10. Die Fresnelsche Reflexionstheorie. S. 28
    • 11. Folgerungen aus den Fresnelschen Reflexionsformeln. S. 33
    • 12. Die Totalreflexion in Fresnelscher Auffassung. S. 36
    • 13. Die Aberration des Lichtes bei Fresnel. S. 38
  • III. Die mechanisch-elastische Begründung der Theorie. S. 39
    • 14. Die Lichtbewegung in isotropen Medien nach der Elastizitätstheorie. C. L. Navier, S. D. Poisson. S. 39
    • 15. A. L. Cauchy. Allgemeiner molekular-theoretischer Ansatz. S. 41
    • 16. Modifikation der Cauchyschen Theorie durch V. von Lang. S. 46
    • 17. Cauchysche Dispersionstheorie. S. 47
    • 18. Cauchysche Reflexionstheorie. S. 50
    • 19. F. Neumann. Allgemeine Grundlagen seiner Arbeiten. S. 51
    • 20. F. Neumanns Reflexionstheorie. S. 52
    • a) Reflexion an isotropen Medien. S. 52
    • b) Reflexion an Kristallflächen. S. 54
    • c) Metallreflexion. S. 56
    • 21. F. Neumanns Dispersionstheorie. S. 56
    • 22. F. Neumanns Theorie der akzidentellen Doppelbrechung. S. 57
    • 23. G. Green. S. 59
    • 24. J. M. Cullagh. S. 61
    • 25. G. Lame. S. 63
  • IV. Verschiedene Modifikationen der älteren Lichttheorie. S. 65
    • 26. C. Neumann. S. 65
    • a) Modifikation der allgemeinen Theorie. S. 65
    • b) Natürliche Drehung der Polarisationsebene. S. 67
    • c) Magnetische Drehung der Polarisationsebene. S. 67
    • 27. Ch. Briot, É. Sarrau. S. 68
    • 28. L. Lorenz, K. von der Mühll. S. 71
    • 29. J. W. Strutt (Lord Rayleigh). S. 73
    • 30. G. Kirchhoff. S. 75
    • 31. Sir W. Thomson (Lord Kelvin). S. 77

V. Theorien, die das Mitschwingen der ponderablen Teilchen in Rechnung ziehen. S. 78

    • 32. J. Boussinesq. S. 78
    • 33 W. Seilmeier. S. 80
    • 34. Weitere Ansätze zur Erklärung der anomalen Dispersion. S. 82
    • 35. W. Voigts ältere Arbeiten. S. 83
  • VI. Die Behandlung der Optik vom phänomenologischen Standpunkte. S. 86
    • 36. Theoretische Arbeiten, die wesentlich phänomenologischen Charakter haben. S. 86
    • 37. L. Lorenz, M. Levy. S. 88
    • 38. P. Drude. S. 89
    • 39. W. Voigts spätere Darstellung. S. 91
    • 40. Schlußwort. S. 93
  • 22. Elektromagnetische Lichttheorie. Von W. WIEN in Würzburg. Mit einem Beitrag über magneto-optische Phänomene. Von H. A. LORENTZ in Leiden. (Abgeschlossen im November 1908.). S. 95

Die Vorläufer. S. 99

    • 1. Die Lichttheorie von Mac Cullagh. S. 99
    • 2. Die Theorie von Riemann. S. 100
    • 3. Die Theorie von L. Lorenz. S. 101

Die Theorie Maxwells. S. 104

    • 4. Die Grundlagen. S. 104
    • 5. Grenzbedingungen. S. 108
    • 6. Ebene Wellen. S. 110
    • 7. Allgemeine Integrale der Maxwellschen Gleichungen in einem beliebigen unendlich ausgedehnten Medium. S. 113
    • 8. Ausbreitung beliebiger Störungen in durchsichtigen Medien. S. 119
    • 9. Das Huygenssche Prinzip. S. 124
    • 10. Reflexion und Brechung in durchsichtigen Medien. S. 130
    • 11. Totalreflexion. S. 135

Erweiterungen der Maxwellschen Theorie. S. 136

    • 12. Metallreflexion. Ableitung der Cauchyschen Formeln nach Lorentz. S. 136
    • 13. Metallreflexion. Zusammenhang der optischen Konstanten mit beobachtbaren Größen. S. 140
    • 14. Stehende Wellen. S. 145
    • 15. Theorie der Dispersion. Allgemeines über die Hypothese mitschwingender Ionen. S. 146
    • 16. Ableitung spezieller Dispersionsformeln. S. 151
    • a) Vernachlässigung des Reibungsgliedes (.. = 0). S. 151
    • b) Beibehaltung des Reibungsgliedes. Die Umgebung der Absorptionslinien. S. 153
    • 17. Drudes Bestimmung der bei der Dispersion wirksamen lonenaiten. S. 155
    • 18. Absorption in Metallen bei Annahme von Leitungselektronen. S. 157
    • 19. Theorie der Dispersion von Gibbs. S. 158
    • 20. Theorie von William Thomson. S. 159
    • 21. Dispersionstheorie von H. A. Lorentz. S. 162
    • 22. Theorie der Dispersion von Planck. S. 166
    • 23. Theorie der Fluoreszenz. S. 168
    • 24. Grundlagen der Kristalloptik. S. 169
    • 25. Ponderomotorische Kräfte. S. 174
    • 26. Lichtdruck. S. 181
    • 27. Die Relativitätstheorie. S. 183
    • 28. Vergleich mit der Erfahrung. S. 186
  • Theorie der magneto-optischen Phänomene. Von H. A.LORENTZ in Leiden. (Abgeschlossen im März 1909.). S. 199

Einleitung. S. 200

    • 29. Die zu behandelnden Erscheinungen. S. 200
    • 30. Benennungen und Bezeichnungen. S. 202

I. Direkter Zeeman-Effekt. S. 203

    • 31. Strahlung eines schwingenden Elektrons und eines Systems von Elektronen. S. 203
    • 32. Elementare Theorie des Zeeman-Effektea. S. 204
    • 33. Schwingungen eines beliebigen mit elektrischen Ladungen versehenen Teilchens. S. 205
    • 34. Freiheitsgrade von gleicher Frequenz. S. 208
    • 35. Allgemeine Sätze über magnetische Zerlegungen. S. 209
    • 36. Wechselwirkung zwischen zwei Spektrallinien. S. 212
    • 37. Schwingungen unter der Wirkung einer periodischen elektrischen Kraft. S. 213
    • 38. Magnetisch isotrope Teilchen. S. 215
    • 39. Orientierte Teilchen. S. 217
    • 40. Theorie von Voigt. S. 218
    • 41. Beispiel einer magnetischen Koppelung. S. 220
    • 42. Betrachtungen von Larmor. S. 221
    • 43. Rotierende Teilchen. S. 222
    • 44. Kombination verschiedener periodischer Bewegungen. S. 224
    • 45. Theorie von Ritz. S. 225
  • II. Inverser Zeeman-Effekt und magnetische Doppelbrechung. S. 226
    • 46. Vorzüge der Theorie des inversen Effektes. S. 226
    • 47. Grundgleichungen für die Fortpflanzung des Lichtes in einem System von Molekülen. S. 227
    • 48. Fortpflanzung senkrecht zu den Kraftlinien. Schwingungen in der Richtung des Feldes. S. 229
    • 49. Fortpflanzung in der Richtung der Kraftlinien. S. 232
    • 50. Fortpflanzungs- und Schwingungsrichtung normal zu den Kraftlinien. S. 234
    • 51. Versuche von Egoroff und Georgiewski. S. 235
    • 52. Magnetische Doppelbrechung. S. 237
    • 53. Magneto-optische Effekte an Kristallen. S. 239
    • 54. Anwendung des Satzes der Spiegelbilder. S. 244
  • III. Magnetische Drehung der Polarisatfonsebene und magnetooptischer Kerr-Effekt. S. 245
    • 55. Zusammenhang zwischen der Drehung der Polarisationsebene und der ungleichen Fortpflanzungsgeschwindigkeit links und rechts zirkulär polarisierten Lichtes. S. 245
    • 56. Voigts Theorie des Faraday-Effektes. S. 247
    • 57 Drehung der Polarisationsebene bei unmerklicher Absorption. S. 250
    • 58. Drehung der Polarisationsebene eines sich in beliebiger Richtung fortpflanzenden Strahls. S. 252
    • 59. Vereinfachte Form der Theorie. S. 254
    • 60. Frühere Theorien des Faraday-Effektes. S. 255
    • 61. Allgemeine Gleichungen für die Fortpflanzung des Lichtes im magnetischen Felde. S. 258
    • 62. Partikulare Lösungen. S. 264
    • 63. Metallreflexion im magnetischen Felde. S. 266
    • 64. Theorie des Kerr-Effektes. S. 270
    • 65. Besondere Fälle. S. 273
    • 66. Beziehungen zwischen den magneto-optischen Effekten bei parallel und bei senkrecht zur Einfallsebene polarisiertem einfallendem Licht. S. 274
    • 67. Ableitung und Anwendung eines Reziprozitätssatzes. S. 277
  • 23. Theorie der Strahlung. Von W. WIEN in Würzburg. (Abgeschlossen im Mai 1909.). S. 282
    • 1. Der Kirchhoffsche Satz. S. 284
    • 2. Temperatur der Strahlung. S. 288
    • 3. Arbeitsleistung der Strahlung. Stefan-Boltzmannsches Gesetz und Verschiebungsgesetz. S. 293
    • 4. Theorie der Strahlung von M. Planck. S. 301

A) Statistischer Teil. S. 303 B) Elektromagnetischer Teil. S. 309 I. Allgemeine Gleichungen der elektromagnetischen Strahlung. S. 309

  • II. Elektromagnetische Resonanz. S. 310
  • III. Weitere Spezialisierung. Bildung von Mittelwerten. Hypothese der natürlichen Strahlung. S. 312
    • 5. Die elektromagnetische Dämpfung unter Annahme von Elektronenbewegungen. S. 320
    • 6. Theorie von Rayleigh und Jeans. S. 322
    • 7. Theorie der Strahlung metallischer Leiter für lange Wellen von H. A. Lorentz. S. 326
    • 8. Untersuchungen über die molekulartheoretische Begründung des Strahlungsgesetzes. S. 333
    • 9. Untersuchungen von Laue über Veränderung der Strahlung beim Durchgang durch absorbierende und dispergierende Medien. S. 336
    • 10. Relative Temperatur und scheinbare Trägheit bewegter Hohlraumstrahlung. S. 338
    • 11. Interferenzphänomene. S. 344
    • 12. Vergleich mit der Erfahrung. S. 349
    • 13. Schlußbetrachtung. S. 354
  • 24. Wellenoptik. Von M. v. LAUE in Frankfurt a. M. Mit einem Beitrag über spezielle Beugungsprobleme. Von P. S. EPSTEIN in München. (Abgeschlossen im Juli 1915.). S. 359

I. Einleitung. S. 362

    • 1. Die Grundgleichungen. S. 362
    • 2. Ebene Wellen. S. 363
    • 3. Kugelwellen. S. 364
    • 4. Zylinderwellen. S. 365
    • 5. Sinusschwingungen. S. 367
    • 6. Dispergierende und absorbierende Körper. S. 370
    • 7. Die Intensität. S. 371
    • 8. Die Wellenoptik und die älteren Lichttheorien. S. 373
  • II. Die Superposition von Sinusschwingungen gleicher Frequenz. S. 373
    • 9. Das Interferenzprinzip. S. 373
    • 10. Zwei senkrecht zueinander polarisierte Schwingungen. S. 374
    • 11. Interferenz gleichgerichteter Schwingungen. S. 375
    • 12. Interferenzstreifen gleicher Dicke an dünnen Platten. S. 377
    • 13. Der Fresnelsche Spiegel. S. 378
    • 14. Die Streifen gleicher Neigung an planparallelen Platten. S. 380
    • 15. Die Queteletschen Ringe. S. 383
    • 16. Das Michelsonsche Interferometer. S. 384
    • 17. Das Gitter. S. 385
    • 18. Das Stufengitter. S. 388
    • 19. Die Ausdehnung der Lichtquelle. S. 390
    • 20. Die Gitterfehler. S. 391
    • 21. Interferenz vieler gleichgerichteter Schwingungen mit unregelmäßig verteilten Phasen. S. 393
    • 22. Wieners Versuch. Stehende Wellen. S. 395
    • 23. Interferenz elektrischer Wellen. S. 396
  • III. Die Superposition von Sinusschwingumgen verschiedener Frequenz; Spektrum, Beziehung zur Thermodynamik. S. 397
    • 24. Lichtschwebungen. S. 397
    • 25. Das Auflösungsvermögen. S. 398
    • 26. Inhomogene Strahlung. S. 399
    • 27. Natürliche Strahlung. S. 400
    • 28. Spektrale Zerlegung. S. 401
    • 29. Die Schwingungsform natürlicher Strahlung. S. 404
    • 30. Kohärenz und Inkohärenz. Polarisation. S. 406
    • 31. Zusammenhang mit der Thermodynamik. S. 408
    • 32. Die Interferenz inhomogener Strahlung; Sichtbarkeitskurve. S. 410
  • IV. Allgemeine Theorie der Beugung. S. 413
    • 33. Das Huygenssche Prinzip. S. 413
    • 34. Die Fresnelsche Zonenkonstruktion. S. 415
    • 35. Kirchhoffs Formulierung des Huygensschen Prinzipes. S. 418
    • 36. Einteilung der Beugungserscheinungen in Kirchhoffs Theorie; Beobachtungsmethoden, Babinetsches Prinzip. S. 421
    • 37. Fraunhofersche Beugungserscheinungen. S. 424
    • a) Beugung am Rechteck und Spalt. S. 424
    • b) Beugung am Kreis. S. 425
    • c) Veränderung des Beugungsbildes bei linearer Deformation der beugenden Öffnung. S. 427
    • 38. Talbotsche Streifen. S. 427
    • 39. Fresnelsche Beugungserscheinungen. S. 430
    • a) Die Fresnelschen Integrale. S. 430
    • b) Die Beugung am Spalt. S. 434
    • 40. Die geometrische Optik als Grenzfall für verschwindende Wellenlänge. S. 437
    • 41. Das Verhalten der Lichtwelle in der Umgebung eines Brennpunktes. S. 439
    • 42. Das Auflösungsvermögen des Prismas. S. 444
    • 43. Die optische Abbildung im Lichte der Wellenoptik. S. 445
    • a) Die Abbildung selbstleuchtender Körper. S. 445
    • b) Die Abbildung durch fremdes Licht. S. 447
    • c) Vergleich der Abbildung selbstleuchtender und durchleuchteter Gegenstände. S. 448
    • d) Anwendung auf das Mikroskop. S. 450
    • 44. Die Freiheitsgrade optischer Vorgänge. S. 450
    • a) Die Freiheitsgrade eines streng einfarbigen Strahlenbündels. S. 450
    • b) Die Freiheitsgrade eines im physikalischen Sinn einfarbigen Strahlenbündels. S. 454
    • c) Die Freiheitsgrade der Hohlraumstrahlung. S. 455

V. Interferenzerscheinungen bei Röntgenstrahlen. S. 457

    • 45. Historische Übersicht. S. 457
    • 46. Allgemeine Theorie. S. 459
    • 47. Allgemeine Folgerungen über die Lage der Interferenzmaxima. S. 461
    • 48. Ewalds Konstruktion der gebeogten Strahlen. S. 463
    • 49. Die scheinbare Spiegelung an den Netzebenen des Raumgitters. S. 464
    • 50. Die selektive Spiegelung an Kristallen. S. 467
    • 51. Die allgemeine Spiegelung. S. 469
    • 52. Die Intensität der Interferenzpunkte. S. 471
    • 53. Die Frage nach der Funktion .. S. 473
    • 54. Der Temperatureinfluß. S. 474
    • 55. Kompliziertere Strukturen. S. 479
    • 56. Die Struktur des Steinsalzes und des Diamantes. S. 482
    • 57. Die Form der Interferenzpunkte. S. 486
  • Spezielle Beugungsprobleme. Von PAUL S. EPSTEIN in München. Spezielle Beugungsprobleme. (Abgeschlossen im Juli 1915.). S. 488
    • 58. Einleitung. S. 488

I. Methode der mehrwertigen Lösungen. S. 491

    • 59. Die Sommerfeldsche Methode zur Gewinnung mehrwertiger Lösungen der Schwingungsgleichung. S. 491
    • 60. Beugung an der Halbebene. S. 496
    • 61. Der Keil und der Fresnelsche Doppel Spiegel. S. 501
    • 62. Der Spalt. S. 502
  • II. Methode der krummlinigen Koordinaten. S. 503
    • 63. Die Grundgleichungen in krummlinigen Koordinaten. S. 503
    • 64. Der Kreiszylinder. S. 505
    • 65. Der elliptische Zylinder. S. 507
    • 66. Der parabolische Zylinder. S. 511
    • 67. Die Kugel. Farben kolloidaler Metallösungen. S. 513
    • 68. Theorie des Himmelsblau. Opaleszens im kritischen Zustande. S. 518
    • 69. Das Ellipsoid, die kreisrunde Öffnung. S. 521
    • 70. Das Beugungsgitter. S. 522

E. Nachträge. S. 527

  • 25. Atomtheorie des festen Zustandes (Dynamik der Kristall-Kitter). Von M. BORN in Göttingen. (Abgeschlossen am 7. September 1922.). S. 527
    • 1. Einleitung. Abgrenzung des Stoffes. S. 529

I. Statik. S. 530

    • 2. Geometrie und Kinematik des Kristallgitters. S. 530
    • 3. Die potentielle Energie und die Kräfte. S. 534
    • 4. Die Oberflächenenergie. S. 538
    • 5. Gleichgewichtsbedingungen und Flächenkräfte. S. 544
    • 6. Energie und Spannungen bei homogener Verzerrung. S. 547
    • 7. Übergang zur Kontinuumstheorie. Elastizität. S. 550
    • 8. Elimination der inneren Verrückungen. Das Hookesche Gesetz. S. 552
    • 9. Starre Molekeln. S. 556
    • 10. Das Gitter im elektrischen Felde. S. 559
    • 11. Dielektrische Erregung, vektorielle Piezoelektrizität und Elektrostriktion. S. 561
    • 12. Inhomogene Felder. Momente zweiter Ordnung und tensorielle Piezoelektrizität. S. 562
    • 13. Beispiel. Reguläre D-Gitter. S. 565
  • II. Dynamik. S. 574
    • 14. Freie Schwingungen. Ebene Wellen. S. 574
    • 15. Lange Wellen. Schnelle (optische) Schwingungen. S. 578
    • 16. Lange Wellen. Langsame (akustische) Schwingungen. S. 582
    • 17. Erzwungene Schwingungen. Lange Wellen. S. 585
    • 18. Das Verteilungsgesetz der Eigenschwingungen. S. 587
    • 19. Normalkoordinaten. S. 593
  • III. Optik. S. 596
    • 20. Lichtwellen. S. 596
    • 21. Doppelbrechung. S. 600
    • 22. Optische Aktivität. S. 604
    • 23. Dispersion und Eigenfrequenzen. S. 612
    • 24. Beziehungen der Eigen frequenzen zu anderen Kristalleigenschaften. S. 621
  • IV. Thermodynamik. S. 630
    • 25. Klassische Theorie der Atomwärme. S. 630
    • 26. Quantentheorie der Atomwärme. S. 635
    • 27. Einfluß der Gitterstruktur auf die Atomwärme. S. 645
    • 28. Entwicklung der Lehre von der Zustandsgleichung. S. 652
    • 29. Quantentheorie der Zustandsgieichung. S. 661
    • 30. Anharmonische Oszillatoren. S. 667
    • 31. Die freie Energie des Gitters. S. 674
    • 32. Thermische Ausdehnung und Pyroelektrizität. S. 682
    • 33. Beispiel. Zentrische D-Gitter. S. 691
    • 34. Spezifische Wärme bei hohen Temperaturen. S. 698
    • 35. Verdampfen, Schmelzen. Irreversible Vorgänge. S. 701

V. Elektromagnetische Gitterpotentiale. S. 709

    • 36. Entwicklung der Lehre von der elektrostatischen Kohäsion. S. 709
    • 37. Elektrostatische Gitterpotentiale. S. 714
    • 38. Physikalische Folgerungen aus der Annahme elektrostatischer Kohäsion. S. 733
    • 39. Chemische Folgerungen aus der Annahme elektrostatischer Kohäsion. S. 745
    • 40. Elektrische Theorien der homöopolaren Bindung. S. 752
    • 41. Entwicklung der Lehre von den elektromagnetischen Gitterpotentialen. S. 756
    • 42. Der Hertzsche Vektor einer ebenen Welle. S. 760
    • 43. Elektromagnetische Wechselwirkungen. S. 767
    • 44. Reflexion und Brechung. Röntgenstrahlen. S. 774
  • 26. Die Seriengesetze in den Spektren der Elemente. Von C. RUNGE in Göttingen. (Abgeschlossen im März 1925.). S. 783
    • 1. Historisches. S. 783
    • 2. Das Wasserstoffspektrum. S. 789
    • 3. Die Spektren der Alkalien. S. 792
    • 4. Die Spektren von Kupfer, Silber und Gold. S. 800
    • 5. Die Spektren der zweiten Kolonne des periodischen Systems. S. 801
    • 6. Die Spektren der dritten Kolonne des periodischen Systems. S. 805
    • 7. Die Spektren von Helium, Neon, Argon und Kupfer. S. 807
    • 8. Die Regeln der zusammengesetzten Dubletts und Tripletts. S. 809
    • 9. Die Multipletts. S. 814
    • 10. Das Spektrum des Mangans. S. 816
    • 11. Der gegenwärtige Stand der Untersuchungen. S. 819
  • 27. Die Gesetzmäßigkeiten in den Bandenspektren. Von A. KRATZER in Münster i. W. (Abgeschlossen im März 1925.). S. 821
    • 1. Bezeichnungen. S. 822
    • 2. Historisches, Deslandressche Gesetze. S. 822
    • 3. Allgemeines über die Terme der Bandenspektren. S. 827
    • 4. Kombinationsbeziehungen. S. 829
    • 5. Auswahlregeln. S. 833
    • 6. Terme und Deslandressche Gesetze. S. 833
    • 7. Rotations- und Rotationsschwingungsbanden. S. 837
    • 8. Bandentypen. S. 841
    • 9. Bandensysteme, Systemserien. S. 849
    • 10. Bandenspektren und periodisches System der Elemente. S. 850
    • 11. Äußere Beeinflussung der Bandenspektren. Zeemaneffekt. S. 852
    • 12. Theorie der Bandenspektren. S. 855
    • 13. Schlußbemerkung. S. 859
  • 28. Allgemeine Grundlagen der Quantenstatistik und Quantentheorie. Von ADOLF SMEKAL in Wien. (Abgeschlossen am 13. Juni 1925.). S. 861

Vorbemerkung. S. 866 I. Die Entwicklung der klassischen statistischen Mechanik zur Quantenstatistik. S. 867

    • 1. Allgemeine Richtlinien. S. 867

Die Quasiergodenhypothese. S. 869 Die statistische Mechanik von P. Hertz. S. 870 Die neueste Entwicklung der „gastheoretischen“ Richtung. S. 872

    • 2. „Mechanische“ Eigenschaften der Gasmodelle. S. 873
    • 3. Die Struktur des Molekülphasenraumes. „Räumliche“ a priori-Häufigkeitseigenschaften des Gasmodells. S. 876

Innere Bewegung. S. 879 Translation. S. 885

    • 3 A. Theorie der Parameterinvarianten oder adiabatischen Invarianten. S. 886
    • 4. „Zeitliche“ a priori-Häufigkeitseigenschaften des Gasmodells. Seine Zeitgesamtheit. S. 896
    • 5. Die Boltzmannsche Verteilung des Gasmodells. S. 905
    • 5 a. Die strenge Methode. S. 906
    • 5 b. Das ältere Verfahren. S. 908
    • 5 c. Das Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilungsgesetz. S. 910
    • 6. Die Boltzmannsche Verteilung bei beliebig statistischen Gebilden. S. 914
    • 6 a. Gasgemische. S. 914
    • 6 b. Fester Körper und Hohlraumstrahlung. S. 915
    • 7. Thermodynamisches Gleichgewicht zwischen beliebigen warmen Körpern. S. 924
    • 7 a. Empirische Temperatur. S. 924
    • 7 b. Energieschwankungen. S. 928
    • 7 c. Impulsschwankungen. S. 935
  • 8. Die statistische Form des II. Hauptsatzes der Thermodynamik. S. 941
    • 8 a. Das Entropiedifferential. S. 941
    • 8 b. Das Boltzmannsche Prinzip. S. 946
    • 9. Bestimmung von Gewichtsfunktionen auf Grund experimenteller Ergebnisse. S. 949

Thermische Grenzgesetze für hinreichend hohe Temperaturen. S. 951 Die Energieverteilung im Normalspektrum der Hohlraumstrahlung. S. 952 Materielle Festkörper bei beliebigen Temperaturen. S. 957 Gase. S. 963

    • 10. Allgemeine Quantenstatistik. S. 965
    • 11. Absorption und Emission durch Gasmoleküle im Wärmegleichgewicht mit schwarzer Strahlung. S. 969
    • 12. Allgemeine Gesetze der Wechselwirkung zwischen Materie und Hohlraumstrahlung bei Wärmegleichgewicht. S. 978
  • II. Allgemeine Grundlagen der Quantentheorie. S. 983

A. Quantentheorie isolierter Atome und Moleküle. S. 983

    • 13. Das Rutherford-Bohrsche Atommodell. S. 983
    • 14. Die Korrespondenz- und Stabilitätsprinzipe der Quantentheorie. S. 988
    • 15. Quantentheorie bedingt periodischer Systeme. Modell des Wasserstoffatoms und des einfach positiv geladenen Heliumatoms. S. 1003
    • 15 a. Das störungsfreie Modell. S. 1003
    • 15 b. Theorie der Störungen des Modells durch äußere makroskopische Kraftfelder. S. 1019
    • 16. Quantentheorie nicht bedingt periodischer Systeme. S. 1042
    • 16 a. Spezielle Atommodelle mit mehreren Elektronen und idealisierte Atommodelle. S. 1047
    • 16 b. Molekülmodelle. S. 1055

B. Quantentheorie unabgeschlossener Systeme. S. 1059

    • 17. Allgemeine Gesichtspunkte zu einer einheitlichen Anwendung der Quantentheorie. S. 1059
    • 18. Quantenkinetik. S. 1067
    • 18 a. Strahlungslose Zusammenstöße und Quantenübergänge. S. 1069
    • 18 b. Strahlungsbedingte Zusammenstöße, kontinuierliche Spektren und lichtelektrischer Effekt. S. 1074
    • 19. Quantentheorie der Molekültranslation. S. 1083

C. Quantentheorie der Strahlungsvorgänge. S. 1088

    • 20. Wellentheorie und Quantentheorie. S. 1088
    • 21. Quantentheorie der optischen Zerstreuung und Dispersion. S. 1104
    • 22. Quantentheoretische Deutung der Gitterinterferenz und Beugung. S. 1121
    • 23. Bückblick auf die Quantentheorie. Prinzipielle Schwierigkeiten und Axiomatisierungsversuche. S. 1128
  • III. Spezielle Anwendungen der Quantenstatistik. S. 1133
    • 24. Spezifische Wärme von Gasen. S. 1133
    • 24 a. Einatomige Gase. S. 1136
    • 24 b. Mehratomige Gase. S. 1140
    • 24 c. Gasentartung. S. 1146
    • 25. Dissoziationsgleichgewicht. S. 1149
    • 25 a. Dissoziationsgleichgewicht bei monomolekularen Gasreaktionen. S. 1151
    • 25 b. Dissoziationsgleichgewicht beliebiger Gasreaktionen. S. 1167
    • 25 c. Dampfdruckformel und chemische Konstante. S. 1169
    • 26. Statistik quantenkinetischer Elementarvorgänge. S. 1180
    • 26 a. Strahlungslose Molekülzusammenstöße 1. und 2. Art. S. 1181
    • 26 b. Stoßionisation und strahlungslose Wiedervereinigungsstöße. S. 1185
    • 26 c. Lichtelektrische Ionisation und Wiedervereinigungsleuchten. S. 1192
    • 27. Rückblick auf die Quantenstatistik. Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik und Nernstsches Wärmetheorem. S. 1199

Berichtigungen. Nachwort zu Band V. S. 1215 Register zu Band V. S. 1217

Band 6–1[Bearbeiten]

A. Geodäsie. S. 1

  • 1. Niedere Geodäsie. Von C. REINHERTZ in Hannover. (Abgeschlossen im Oktober 1905.). S. 3

A. Allgemeines. S. 7

    • 1. Aufgabe und Einteilung der Geodäsie. S. 7
    • 2. Die Grundgedanken des Messens an der Erdoberfläche und die Einteilung der Messungen. S. 9
    • 3. Übersicht der Methoden. S. 11
    • 4. Allgemeines über die Anwendung der Auagleichsrechnung. S. 13
    • 5. Instrument eile Hilfsmittel. S. 17

B. Die fundamentalen Messungen. S. 19

    • 6. Die Längenmessuug. S. 19
    • 7. Die Winkelmessung. S. 22
    • a) Der Theodolit. S. 22
    • b) Horizontalwinkelmessung. S. 25
    • c) Vertikalwinkelmessung. S. 26

C. Die Lagemessungen. S. 27

    • 8. Die Koordinatensysteme der Lageinessungen. S. 27
    • a) Allgemeines über die geodätischen Koordinatensysteme. S. 27
    • b) Rechtwinklige ebene Koordinaten. S. 29
    • c) Rechtwinklige sphärische Linearkoordinaten. S. 30
    • d) Konforme rechtwinklige Gaußsche Koordinaten. S. 33
    • e) Koordinatentransformation. S. 34
    • 9. Die Punktbestimmung durch Triangulierung. S. 35
    • a) Allgemeines über Trianguilerung. S. 35
    • b) Zentrierung. S. 36
    • c) Die Winkelmessungen und ihre Anordnung. S. 37
    • 10. Die Grundaufgaben des trigonometrischen Einschneidens im rechtwinkligen Koordinatensystem. S. 40
    • a) Vorwärts- und Seitwärtsein schneiden. S. 40
    • b) Rückwärtseinschneiden. S. 41
    • c) Einige andere Methoden der trigonometrischen Punkteinschaltung. S. 43
    • 11. Ausgleichung von Kleintriangulierungen. S. 47
    • a) Methode der vermittelnden Beobachtungen. S. 48
    • b) Graphische Punktausgleichung. S. 50
    • c) Methode der bedingten Beobachtungen. S. 52
    • d) Die Genauigkeit der Kleintriangulierungen. S. 53
    • 12. Polygonzugmessung. S. 54
    • a) Der Theodolitpolygonzug. S. 55
    • b) Der Bussolen-(Kompaß-)zug. S. 58
    • 13. Einzelaufnahme. S. 59
    • 14. Berechnung und Teilung dei Flächen. S. 61
    • a) Die Flächenberechnung. S. 61
    • b) Die Flächenteilung. S. 63
    • 16. Das Abstecken von geraden Linien und Kreisbogen. S. 66

D. Die Höhenmessnungen. S. 69

    • 16. Das Nivellieren. S. 69
    • a) Definition des Höhenunterschiedes. Historisches. S. 69
    • b) Der Nivellierapparat. S. 70
    • c) Das Nivellierverfahren. S. 71
    • d) Die Genauigkeit der Nivellierung. S. 74
    • e) Erdmaseenberechnung. S. 76
    • f) Kotierte Projektion. S. 77
    • 17. Trigonometrische Höbenmessung. S. 78
    • 18. Barometrische Höhenmessung. S. 81

E. Tachymetriscke Methoden. S. 84

    • 19. Indirekte Längenmessung (Distanzmessung). S. 86
    • a) Distanzmesser mit Distanzlatte. S. 86
    • b) Distanzmesser mit Basisschiene (Basislineal). S. 88
    • 20. Tachymetrische Instrumente und Aufnahmen. S. 90
    • 21. Die Meßtischaufnahme. S. 92
    • 22. Flüchtige Aufnahmen. S. 96
  • 2. Photogrammetrie. Von S. FINSTERWALDER in München. (Abgeschlossen im Oktober 1905.). S. 98
    • 1. Einleitung. S. 99
    • 2. Apparate. S. 101
    • 3. Ausmessung der Bilder. S. 104
    • 4. Das Rückwärtseinscbneiden. S. 107
    • 5. Das Vorwärtseinschneiden und die Rekonstruktion der Objekte bei bekannten Standpunkten. S. 109
    • 6. Flüchtige Aufnahmen. Stereophotogrammetrie. Mechanismen. S. 113
  • 3. Höhere Geodäsie. Von P. PIZZETTI in Pisa. (Abgeschlossen im April 1906.). S. 117

I. Allgemeine Grundlagen. S. 125

    • 1. Aufgabe der höheren Geodäsie. S. 125
    • 2. Lotrichtung, Schwerkraft. S. 126
    • 3. Beobaehtungstatsaehen und Sätze der Potentialtheorie. S. 129
    • 4. Weitere Folgerungen aus der Potentialtheorie. Theorem von G. G. Stokes. S. 130
    • 5. Beobachtungen zur Bestimmung des Geoids. Reduktion der Schwer-kraftsmensungen. S. 134
    • 6. Geodätische Bestimmung des Geoids. – Referenzellipsoid. S. 138
    • 7. Lotabweichungen. S. 139
    • 8. Reduktion der beobachteten Lotrichtungen. S. 140
    • 9. Bessels Rotationsellipsoid. S. 141
  • II. Rechnungs- und Messungsmetlioden. S. 142

A. Geodätische Rechnungen auf dem Rotationsellipsoid. S. 142

    • 10. Fundamentalformeln. S. 142
    • 11. Normalschnitte. S. 146
    • 12. Geodätische Linien. S. 148
    • 13. Übertragung der geographischen Koordinaten und des Azimuts. S. 149
    • 14. Fortsetzung. Fall kleiner Bogen. S. 152
    • 15. Bestimmung der Länge und des Azimuts eines geodätischen Bogens aus den geographischen Koordinaten der Endpunkte. S. 153
    • 16. Geodätische Polarkoordinaten. S. 155
    • 17. Vergleichung der geodätischen Linie mit einem Normalschnitt. S. 157
    • 18. Das geodätische Dreieck. S. 158
    • 19. Auflösung des geodätischen Dreiecks durch Reduktion auf das ebene Dreieck. Sphäroidischer Exzeß. S. 161
    • 20. Sehnen und Normalschnitte. S. 163
    • 21. Reduktion ellipsoidischer Figuren auf sphärische durch konforme Abbildung. S. 164
    • 22. Rechtwinklige geodätische oder Soldnersche Koordinaten. S. 166
    • 23. Übertragung der geographischen Koordinaten vermittels rechtwinkliger geodätischer. S. 169
    • 24. Projektionen auf die Ebene. S. 170

B. Landesvermessung. S. 173

    • 25. Basismessungen. S. 173
    • 26. Basisapparate. S. 175
    • 27. Winkel; ihre Reduktion auf das Ellipsoid. S. 179
    • 28. Triangulation. S. 180
    • 29. Basisnetze oder Vergrößerungsnetze. S. 182
    • 30. Berechnung einer Triangulation und der geographischen Koordinaten der Dreieckspunkte. S. 183
    • 31. Ausgleichung. S. 184
    • 32. Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen. S. 190
    • 33. Genauigkeit der Basis- und Winkelmeseungen. S. 192

C. Höhenmessung. S. 194

    • 34. Trigonometrisches Nivellement. S. 194
    • 35. Der Refraktionskoeffizient als Funktion der atmosphärischen Verhältnisse. S. 197
    • 36. Empirische Untersuchungen über den Refraktionskoeffizienten. S. 199
    • 37. Geometrisches Nivellement. S. 200
    • 38. Einfluß der Schwerestörungen auf Nivellements. S. 206
    • 39. Das Mittelwasser der Meere und der Nullpunkt für die Höhen. S. 207
    • 40. Genauigkeit einer Nivellementsausgleichung. S. 209

D. Erdmessung. S. 211

    • 41. Ableitung der Konstanten des Erdellipeoids aus zwei oder mehr Meridianbogen. S. 211
    • 42. Bestimmung von a und e durch Parallelkreisbogen. S. 213
    • 43. Stücke des Ellipsoids. Lotabweichungen. S. 214
    • 44. Fortsetzung. Bestimmung der Lotabweichungen. Ausgleichung. S. 217
    • 45. Fortsetzung. Angenäherte Bestimmung von Geoidstücken. S. 220
    • 46. Die Schwerestörungen und die Abweichungen zwischen Geoid und Ellipsoid. S. 223
  • III. Summarische Entwicklungsgeschichte der geodätischen Kenntnisse. S. 223
    • 47. Anfänge der geodätischen Messungen, bei denen die Erde als Kugel betrachtet wird. S. 223
    • 48. Physikalische Untersuchungen über die Gestalt der Erde. S. 226
    • 49. Die wichtigsten geodätischen Messungen bis 1860. S. 230
    • 50. Die hauptsächlichsten Berechnungen der Konstanten des Erdellipsoids. S. 234
    • 51. Bestimmungen der Abplattung aus Pendelmessungen. S. 236
    • 52. Benutzung einiger astronomischer Daten zur Berechnung der Konstanten des Erdellipsoids. S. 237
    • 53. Moderne geodätische Arbeiten. Lotabweichungen. S. 239
  • 4. Kartographie. Von R. BOURGEOIS in Paris und PH. FÜRTWÄNGLER in Aachen. (Abgeschlossen im Januar 1909.). S. 245
    • 1. Einleitung. S. 250
    • 2. Problemstellung. Allgemeine Analyse der Verzerrungen. S. 252
    • 3. Perspektiven. S. 255
    • 4. Konische Abbildungen oder Kegelprojektionen und ihre Grenzfälle. Überblick und Einteilung. S. 259
    • 5. Azimutale Abbildungen. S. 261
    • 6. Zylindrische Abbildungen. S. 265
    • a) Flächentreue zylindrische Abbildungen. S. 266
    • b) Winkeltreue zylindrische Abbildungen (Mercatorprojektion). S. 267
    • c) Mittelabstandstreue zylindrische Abbildungen (Plattkarten). S. 269
    • 7. Konische Abbildungen. S. 269
    • a) Flächentreue konische Abbildungen. S. 270
    • b) Winkeltreue konische Abbildungen. S. 273
    • c) Mittelabstandstreue konische Abbildungen. S. 274
    • 8. Unechte Kegelprojektionen nebst Grenzfällen. S. 275
    • a) Die Bonnesche Projektion. S. 275
    • b) Die Sanson-Flamsteedsche Projektion. S. 278
    • c) Flächentreue Projektionen, bei denen die Parallelkreise durch ein System von parallelen Geraden abgebildet werden. S. 279
    • d) Die Planisphäre von Aiitow und verwandte Entwürfe. S. 280
    • 9. Polykonische Projektionen. S. 281
    • a) Die gewöhnliche polykonische Projektion. S. 281
    • b) Die rechtschnittige polykonische Projektion des englischen Office. S. 281
    • 10. Polyederprojektion. Gradabteilungskarten. S. 282
    • 11. Kreisnetze. S. 283
    • 12. Projektion mit geringster Längen Verzerrung nach Tissot. S. 285
    • 13. Allgemeines über die winkeltreuen Abbildungen. Projektionen von Tschebyschoff, Peirce und August. S. 287
    • 14. Allgemeines über die flächentreuen Abbildungen. S. 290
    • 15. Darstellung der Höhenverhältnisse. S. 290
    • 16. Kartometrie. S. 292
    • 17. Entwicklung des staatlichen Kartenwesens im 19. Jahrhundert. S. 294
  • 5. Nautik. Von H. MELDAU in Bremen. (Abgeschlossen im Juli 1909.). S. 297

A. Terrestrische Navigation. S. 301

    • 1. Einleitung. S. 302
    • a) Allgemeines, Begrenzung des Gebietes. S. 303
    • b) Erklärungen. S. 303
    • 2. Bestimmung des Kurses. S. 303
    • a) Kompaß. S. 303
    • b) Beschickung des Kompaßkurses zum wahren Kurs. S. 303
    • 3. Messung der Distanz. S. 304
    • 4. Loxodromische Schiffahrt. S. 306
    • a) Fundamentalgleichungen der Besteckrechnung. S. 306
    • b) Aufgaben der Besteckrechnung, rechnerische Lösung. S. 306
    • 5. Die loxodromische Karte. S. 309
    • a) Graphische Lösung der Aufgaben der Besteckrechnung im Netz der Seekarte. S. 309
    • b) Inhalt der Seekarte. S. 310
    • 6. Zuverlässigkeit der Besteckrechnung. S. 310
    • 7. Orthodromische Schiffahrt. S. 311
    • a) Allgemeines. S. 311
    • b) Rechnerische Lösungen. S. 312
    • c) Graphische Lösungen. S. 313
    • 8. Küstenschiffahrt. S. 315
    • a) Allgemeines. S. 315
    • b) Richtungsbestimmungen. S. 316
    • c) Abstandsbestimmungen. S. 316
    • d) Horizontalwinkel. S. 318
    • e) Lotungen, W. Thomsons Lotmaschine. S. 318
    • f) Verbindungen zweier Standlinien zur Bestimmung des Schiffsortes. S. 319

B. Der Kompaß an Bord eiserner Schiffe. S. 320

    • 9. Historische Einleitung. S. 320
    • a) Phasen der Problemstellung. S. 320
    • b) Phasen der Lösungsversuche. S. 320
    • c) Airys Kompensationsvorschlage. S. 322
    • d) Streit um die Kompensation. S. 323
    • e) Ausgang des Streites. S. 324
    • 10. Magnetische Eigenschaften des Schiffseisens, Kompaßort. S. 325
    • a) Fester Schiffsmagnetismus. S. 325
    • b) Halbfester Schiffsmagnetismus. S. 325
    • c) Flüchtiger Schiffsmagnetismus. S. 326
    • d) Wahl des Kompaßortes. S. 327
    • 11. Beobachtungsmethoden. S. 327
    • a) Zu bestimmende Größen. S. 328
    • b) Ermittelung der Deviationen. S. 328
    • c) Deviationskurven. S. 328
    • 12. Hilfsinstrumente. S. 329
    • a) Messung der horizontalen Feldstärke. S. 330
    • b) Typen von Deflektoren. S. 330
    • c) Messung der vertikalen Feldstärke (Vertikalkraftwage). S. 331
    • 13. Deviation bei aufrechtem Schiff. S. 333
    • a) Allgemeines. S. 333
    • b) Die Poissonschen Gleichungen. S. 333
    • c) Deviationsformeln. S. 334
    • d) Bestimmung der Koeffizienten. S. 334
    • e) Allgemeines über die Koeffizienten. S. 337
    • 14. Deviation bei geneigtem Schiff. S. 339
    • a) Der Krängungsfehler und seine Bestandteile. S. 341
    • b) Bestimmung des Krängungskoeffizienten. S. 341
    • 15. Änderungen der Deviation. S. 343
    • a) Änderungen mit der Breite. S. 344
    • b) Änderungen durch halbfesten Magnetismus. S. 344
    • c) Deviationsstörungen. S. 346
    • 16. Genauigkeit. S. 347
    • a) Bei unmittelbarer Beobachtung. S. 347
    • b) Ermittelung der Deviation aus Richtkraftmessungen. S. 348
    • c) Berechnung aus den Koeffizienten. S. 348
    • 17. Graphische Darstellungen der Feldstärke. S. 349
    • a) Allgemeines. Zweck der Darstellungen. S. 349
    • b) Darstellungen mit festliegendem Meridian. S. 350
    • c) Darstellungen mit festliegender Längdschiffalinie. S. 351
    • d) Dromoskope. S. 352
    • 18. Kompasse und Kompaßrosen. S. 352
    • a) Geschichtliches. S. 352
    • b) Nadelanordnung. S. 353
    • c) Magnetisches Moment des Rosensystems, Nadelinduktion. S. 354
    • d) Einstellungsvermögen. S. 355
    • e) Ruhe der Kompaßrose. S. 356
    • f) Trockenkompasse. S. 358
    • g) Fluidkompasse. S. 359
    • 19. Kompensation der Kompasse. S. 361
    • a) Aufgabe der Kompensation. S. 361
    • b) Kompensationsmittel. S. 361
    • c) Reihenfolge der Kompensationen. S. 363
    • d) Ausführung der Kompensation. S. 363
    • e) Hindernisse vollkommner Kompensation. S. 364
    • f) Kompaßsysteme mit besonderen Kompensationsvorrichtungen. S. 365
    • 20. Kompasse mit Doppelrosen. S. 366
    • a) Zwei Hosen. S. 366
    • b) Zwei Rosen und ein Deflektor. S. 367
    • 21. Bestimmung des Meridians durch die Inklinationsnadel. S. 368
    • 22. Fernübertragung von Kompaßangaben. S. 368
    • 23. Ersatz des magnetischen Kompasses durch Kreiselapparate. S. 369
    • a) Gyroskope zur Festhaltung einer an ihnen eingestellten Richtung. S. 369
    • b) Kreiselapparate mit eigener Richtkraft. S. 370

B. Geophysik. S. 1

  • 6. Bewegung der Hydrosphäre. Von Sir G. H. DARWIN in Cambridge und S. S. HOUGH in Capstadt. (Abgeschlossen im März 1908.). S. 3

Einleitung. S. 5 A. Historisches. S. 6

    • 1. Historisches. S. 6

B. Dynamische Theorie. S. 8

    • 2. Fluterzeugendes Potential. S. 8
    • 3. Gleichgewichtstheorie der Gezeiten. S. 9
    • 4. Entwicklung des fluterzeugenden Potentials. S. 10
    • 5. Korrektion der Gleichgewichtstheorie wegen der gegenseitigen Anziehung der Wassermassen. S. 11
    • 6. Korrektion wegen der Verteilung von Land und Wasser. S. 12
    • 7. Dynamische Theorie. Fundamentalgleichungen. S. 13
    • 8. Die Kontinuitätsgleichung. S. 14
    • 9. Bedingung für die freie Oberfläche. S. 14
    • 10. Gezeiten in Kanälen. S. 15
    • 11. Die Laplacesche Differentialgleichung für die Gezeiten. S. 16
    • 12. Gezeiten von langer Periode. Lösung durch Potenzreihenentwicklung. S. 17
    • 13. Gezeiten von langer Periode. Lösung durch Kugelfunktionen. S. 19
    • 14. Tägliche Gezeiten. Lösung von Laplace. S. 21
    • 15. Halbtägige Gezeiten. Lösung von Laplace. S. 22
    • 16. Transformation der Gleichungen von Laplace. S. 23
    • 17. Lösung in allgemeinen Kugelfunktionen. S. 24

C. Praktische Anwendungen. S. 26

    • 18. Beobachtung der Gezeiten. S. 26
    • 19 Seiches und Vibrationen der Seen und des Meeres. S. 27
    • 20. Fluterzeugende Kräfte. S. 28
    • 21. Lotablenkungen. S. 29
    • 22. Methoden zur Diskussion der wirklichen Ozeantiden. S. 31
    • 23. Harmonische Analyse. S. 33
    • 24. Meteorologische Tiden, Obertiden und kombinierte Tiden oder Seichtwassertiden. S. 38
    • 25. Die Resultate der harmonischen Analyse. S. 39
    • 26. Numerische harmonische Analyse. S. 41
    • 27. Erklärung einiger gebräuchlicher Ausdrücke; Nullpunkte. S. 44
    • 28. Synthetische Methode für die halbtägigen Gezeiten. S. 45
    • 29. Synthetische Methode für die täglichen Gezeiten. S. 48
    • 30. Reduktion der Beobachtungen von Hoch- und Niedrigwasser. S. 49
    • 31. Gezeitenvorhersage. Methoden zur Aufstellung von Gezeitentafeln. S. 50
    • 32. Fehler der Gezeitentafeln. S. 52
    • 33. Karten gleicher Gezeiten. S. 54
    • 34. Gezeitenströmungen, Stürmer. S. 57
    • 35. Gezeiten in Seen und Meeresbuchten. S. 59

D. Verschiedene Untersuchungen. S. 60

    • 36. Bestimmung der Mondmasse mit Hilfe der Gezeiten. S. 60
    • 37. Elastische Tiden und die Steifigkeit der Erde. S. 61
    • 38. Gezeiten der Atmosphäre. S. 66
    • 39. Präzession und Nutation. S. 67
    • 40. Breitentiden oder Euiersche Tiden. S. 68

E. Eintreibung und spekulative Astronomie. S. 68

    • 41. Geschichtliches. S. 68
    • 42. Allgemeine Betrachtung der Flutreibung. S. 71
    • 43. Die Gezeiten eines zähen Sphäroids. S. 72
    • 44. Die Natur des Problems der Gezeibenreibung und seine Einteilung. S. 73
    • 45. Problem, wenn die Mondbahn kreisförmig, aber nicht geneigt gegen die Ekliptik ist. S. 76
    • 46. Problem, wenn die Mondknoten oszillieren oder ungleichförmig umlaufen. S. 79
    • 47. Problem, wenn die Bahn exzentrisch, aber nicht geneigt ist. S. 80
    • 48. Analytische Lösung für zwei Körper. S. 82
    • 49. Eine Spekulation über Zeit und Art der Entstehung des Mondes. S. 82
    • 50. Gezeitenreibung bei Vorhandensein mehrerer Satelliten. S. 82
    • 51. Verwandte Probleme. S. 83
  • 7. Die Schwerkraft und die Massenverteilung der Erde. Von F. R. HELMERT in Potsdam. (Abgeschlossen im April 1910.). S. 85
    • 1. Überblick. S. 87
    • 2. Die normale Schwerebeschleunigung (Formel von Clairaut). S. 89
  • 3. Anmerkungen: Die maximale Erhebung des Niveauaphäroids ET über das Ellipsoid gleicher Achsenlängen u. a. S. 93
    • 4. Zahlen werte. M. S. 94
    • 5. Die normale Änderung der Schwerebeschleunigung g mit der Meereshöhe H. Beobachtungswerte. S. 97
    • 6. Die totale Schwerestörung. S. 99
    • 7. Zusammenhang zwischen Schwerestörung, Massenstörung und Höhenstörung der Mceresfläche. S. 100
    • 8. Die Reduktion der Schwerebeschleunigung aufs Meeresniveau nach Bouguer, Young und Poisson. S. 104
    • 9. Die Geländereduktion. S. 106
    • 10. Schätzung der Abweichungen N des Geoids vom Normalsphäroid. S. 111
    • 11. Die Schwerestörungen im Lichte der Gleichgewichtstheorie. S. 114
    • 12. Formeln für kreisförmige Kontinente und Inseln mit vertikalem Küstenabfall. S. 120
    • 13. Übersicht der Schwerestörungen: Schwerkraft auf dem Meere, Isostasie. S. 123
    • 14. Inselschwerkräfte. S. 128
    • 15. Küstennähe auf den Kontinenten. S. 134
    • 16. Küstennähe auf dem Meere. S. 141
    • 17. Festland, Gebirge. S. 144
    • 18. Horizontalverschiebungen der Ausgleichsmassen, ausgebreitete Massenanhäufungen und Defekte. S. 152
    • 19. Geologische und geotektonische Beziehungen Der wahre Charakter des Gleichgewichtszustandes. S. 154
    • 20. Interpolationsformel für die Schwerebeschleunigung innerhalb der Kontinente. S. 159
    • 21. Veränderung der Schwerebeschleunigung mit der Tiefe und Beobachtungen der Schwerebeschleunigung in Bergwerken. S. 160
    • 22. Zusammenhang zwischen der ideellen störenden Schicht und den Lot-Störungen. S. 162
    • 23. Methode von Baron Roland Eötvös zur Messung zweiter Differentialquotienten des Schwerepotentials. S. 166
    • 24. Noch einige Reduktionsweisen der Schwerebeschleunigung. S. 172
    • 25. Zeitliche Veränderungen der Schwerkraft. S. 175
  • 8. Dynamische Meteorologie. Von FELIX M. EXNER in Innsbruck und W. TRABERT in Wien. (Abgeschlossen im Dezember 1912.). S. 179

I. Grundbegriffe der Meteorologie. S. 180

    • 1. Messung der meteorologischen Elemente. S. 180
    • 2. Bearbeitung der meteorologischen Elemente. S. 185
    • 3. Abnahme des Luftdrucks mit der Höhe und Hebung der Flächen gleichen Druckes. S. 187
    • 4. Zusammensetzung der Luft. S. 190
    • 5. Zustandsänderungen der Luft. S. 194
    • 6. Ortsveränderungen der Luft. S. 197
    • 7. Die Strahlung. S. 201
    • 8. Die Wärmeverteilung auf der Erdoberfläche. S. 204
  • II. Dynamik der Atmosphäre. S. 207
    • 9. Allgemeine Ursache der Luftströmungen. S. 207

A. Allgemeine Zirkulation der Atmosphäre. S. 208

    • 10. Allgemeine Bewegungsgleichungen. S. 208
    • 11. Konstanz der Flächengeschwindigkeit. S. 210
    • 12. Gürtel hohen Druckes. S. 210
    • 13. Druck- und Geschwindigkeits Verteilung nach W. Ferrel. S. 212
    • 14. Schema der allgemeinen Zirkulation. S. 213
    • 15. Zusammenhang der allgemeinen Zirkulation mit den Störungen in der Atmosphäre. S. 214

B. Atmosphärische Störungen. S. 215

    • 16. Gleichgewicht in ruhender Luft. S. 215
    • 17. Energiequelle der atmosphärischen Störungen nach M. Margules. S. 216
    • 18. Gleichgewicht bewegter Luft. S. 218
    • 19. Geradlinige horizontale Bewegung. S. 219
    • 20. Gekrümmte Luftbahnen. S. 220
    • 21. Kreisförmige Isobaren. S. 221
    • 22. Kreisförmige Zyklonen nach Oberbeck. S. 221
    • 23. Depressionen höherer Breiten. S. 222
    • 24. Assymmetrische Zyklonen nach L. de Marchi. S. 223
    • 25. Vertikale Bewegung. S. 225
    • 26. Problem der Sturmtheorie. S. 225
    • 27. Kalte und warme Zyklonen. S. 225
    • 28. Antizyklonen. S. 226
    • 29. Kompression und Ausbreitung einer Luftmasse nach Margules. S. 227
    • 30. Bewegung der Isobaren. S. 227

C. Schwingungen der Atmosphäre. S. 229

    • 31. Schwingungen periodisch erwärmter Luft. S. 229
    • 32. Freie Schwingungen der Atmosphäre. S. 233
  • 9. Atmosphärische Elektrizität. Von E. v. SCHWEIDLER in Innsbruck. (Abgeschlossen im Juli 1915.). S. 235
    • 1. Historische Übersicht; Problemstellung. S. 236
    • 2. Die Quellen der Ionisierung der Atmosphäre. S. 239
    • 3. Der Ionisationszustand der Atmosphäre. S. 244
    • 4. Das elektrische Feld und die Raumladung der Atmosphäre. S. 250
    • 5. Die elektrischen Ströme in der Atmosphäre. S. 255
    • 6. Das gestörte Feld der Troposphäre. S. 260
    • 7. Elektrische Erscheinungen in der Stratosphäre (Polarlicht). S. 263
  • 10. Erdmagnetismus. Von AD. SCHMIDT in Potsdam. (Abgeschlossen im Februar 1917.). S. 266
    • 1. Einleitung. S. 267

A. Die Bestimmung des erdmagnetischen Feldes. Instrumente und Beobachtungsmethoden. S. 271

    • 2. Allgemeines. S. 271
    • 3. Die Elemente der Beobachtungsmittel und Methoden. S. 273
    • 4. Die ponderomotorische Einwirkung zweier Magnete aufeinander. S. 278
    • 5. Besondere Fälle. Gebrauchsformeln. S. 292
    • 6. Temperatureinfluß und Induktion. S. 298
    • 7. Ablenkungsbeobachtungen. S. 304
    • 8. Schwingungsbeobachtungen. S. 311
    • 9. Bestimmung der Magnetkonstanten. S. 314
    • 10. Variationsbeobachtungen. S. 317
    • 11. Richtungsmessungen. S. 322
    • 12. Intensitätsmessungen. S. 325
    • 13. Sonstige Messungen. Deviation. S. 328

B. Das erdmagnetische Feld. Beobachtungsergebnisse und zusammenfassende Bar Stellungen. S. 330

    • 14. Übersicht über die Erscheinungen. S. 330
    • 15. Gang der Mittelwerte. Säkularvariation. Nachstörung. S. 332
    • 16. Periodische Schwankungen, insbesondere die tägliche Variation. S. 335
    • 17. Störungen. S. 340
    • 18. Erdströme. Polarlicht. S. 346
    • 19. Die räumliche Verteilung des Feldes. S. 351
    • 20. Dis Gaußische Theorie. S. 361

C. Die physikalische Natur der erdmagnetischen Erscheinungen. S. 374

    • 21. Dauernde Magnetisierung und Säkularvariation. S. 374
    • 22. Periodische Schwankungen. Theorie von Schuster. S. 381
    • 23. Störungen und damit zusammenhängende Vorgänge. S. 389
  • 11. Dynamische Geologie. Von V. CONRAD in Wien. (Abgeschlossen im Oktober 1922.). S. 397

Vorbemerkung. S. 398 I. Erdbeben als Erreger elastischer Wellen in der Erde. S. 399

    • 1. Einleitung. S. 399
    • 2. Die allgemeinen Elastizitätsgleichungen. S. 401
    • 3. Isotropie und Äolotropie. S. 402
    • 4. Fortpflanzung elastischer Wellen in der Erde. S. 407
    • 4 a. Reflexion elastischer Wellen. S. 412
    • 5. Oberflächenwellen. S. 422
  • II. Theorie des Erdbebenstrahls. S. 438
    • 6. Grundproblem. Annahmen, Laufzeitkurve. S. 438
    • 7. Bezeichnungsweise. S. 440
    • 8. Die Strahlgleichung. S. 441
    • 9. Direkte Methode zur Lösung der Strahlgleichung. S. 444
    • 10. Indirekte Methoden zur Bestimmung der Geschwindigkeitsverteilung im Erdinnern. S. 453
  • III. Das Seismogramm. S. 470
    • 11. Allgemeine Charakteristik. S. 470
    • 12. Deutung von Einsätzen im Diagramm. S. 473
    • 13. Die Amplitudenfunktion (Intensitäts- und Energiebetrachtungen). S. 478
  • IV. Anhang. S. 486
    • 14. Epizentralort und -zeit. S. 486
    • 15. Herdtiefe. S. 490
  • 12. Optik der Atmosphäre. Von W. MÖBIUS in Leipzig. (Abgeschlossen im Märe 1921.). S. 497
    • 1. Einleitung. S. 498
    • 2. Gewöhnliche Strahlenbrechung (Refraktion). S. 499
    • 3. Außergewöhnliche Strahlenbrechung („Luftspiegelungen“). S. 500
    • 4. Szintillation („Funkeln“). S. 504
    • 5. Die Eiskristalle in der Atmosphäre und Allgemeines über die Halo-erscheinungen. S. 505
    • 6. Die durch Reflexion allein erzeugten Haloerscheinungen. S. 508
    • 7. Durchgang des Lichtes durch Prismen. S. 509
    • 8. Durch Brechung allein erzeugte Haloerscheinungen. S. 511
    • 9. Durch Mitwirkung innerer Reflexion erzeugte Haloerscheinungen. S. 514
    • 10. Die Regenbogentheorie (Historisches). S. 515
    • 11. Die Airysche Regenbogentheorie und ihr weiterer Ausbau. S. 516
    • 12. Vereinfachte Berechnung des Regenbogens und der überzähligen Bögen durch Mascart. S. 520
    • 13. Strenge Behandlung des Regenbogenproblems durch Debye und Lord Rayleigh. S. 521
    • 14. Randbeugung an Teilchen verschiedener Art und Größe (Kranzerscheinungen). S. 522
    • 15. Polarisationszustand, Farben und Helligkeit des klaren Himmels (Allgemeines). S. 524
    • 16. Der Polarisationszustand des klaren Himmels. S. 526
    • 17. Die Dämmerungserscheinungen. S. 530
    • 18. Die Heiligkeitsverteilung am klaren Himmel. S. 534
    • 19. Die allgemeine Tageshelle. S. 537
    • 20. Die scheinbare Gestalt des Himmelsgewölbes und damit zusammenhängende Erscheinungen. S. 539
  • Register zu Band IV, 1. Teil. S. 541

Band 6–2-1[Bearbeiten]

A. Sphärische Astronomie. S. 1

  • 1. Über Koordinaten und Zeit. Von E. ANDING in Gotha. (Abgeschlossen im Mai 1905.). S. 3
    • 1. Prinzip einer mechanischen Bestimmung des Bezugsysteins. S. 3
    • 2. Eein empirische Systeme. S. 6
    • 3. Rein mechanische Systeme, Konstruktion derselben. S. 8
    • 4. Das gemischte System der Planetenastronomie. S. 9
    • 5. Ergänzung der dritten Komponente. Mechanische Bestimmung der Präzessionskonstante. S. 12
  • 2. Reduktion der astronomischen Beobachtungen. (Sphärische Astronomie im engeren Sinne.) Von FRITZ COHN +. (Abgeschlossen im Juni 1905.). S. 16
    • 1. Aufgabe der sphuml;rischen Astronomie. S. 17
    • 2. Definition der üblichen Koordinatensysteme und der Zeit; erste Formulierung. S. 18
    • 3. Prinzip der Messung der äquatorealen Koordinaten und der Zeit. Prinzip der Meridianbeobachtungen. S. 21
    • 4. Die gegenwärtige Praxis der Meridianbeobachtungen. S. 25
    • 5. Kritische Untersuchungen der Voraussetzungen. S. 30
    • 5 a. Änderungen der Visierrichtung. (Parallaxe, Refraktion und Aberration.). S. 31
    • 5 b. Änderung des Koordinatensystems. Präzession, Nutation, Bewegung des Erdpols. S. 32
    • 5 c. Rotationsgesehwindigkeit, Konstanz des Zeitmaßes. S. 42
    • 6. Scharfe Definition der Koordinaten und der Zeit. S. 44
    • 7. Reduktion der scheinbaren Sternörter in mittlere. S. 47
    • 7 a. Parallaxe und Aberration. S. 48
    • 7 b. Präzession und Nutation. S. 59
    • 7 c. Zusammenfassung der verschiedenen Reduktionen der Beobachtungsgrößen auf ein mittleres Äquinoktium. S. 64
    • 8. Die weitere Verarbeitung der Meridianbeobachtungen; Sternkataloge und Jahrbücher. S. 66
    • 9. Die Bestimmung der Entfernungen der Gestirne. S. 70
    • 9 a. Der Mond. S. 71
    • 9 b. Die Sonne. S. 73
    • 9 c. Die Fixsterne. S. 78
  • 3. Geographische Ortsbestimmung, nautische Astronomie. Von C. W. WIRTZ in Kiel. (Abgeschlossen im Oktober 1904.). S. 80
    • 1. Einleitung. Begrenzung des Themas. S. 83
    • 2. Definition von Polhöhe, Zeit und Länge. S. 83
    • 3. Einfluß der Erdfigur bei Ortsbestimmungen. S. 85

I. Zeitbestimmung. S. 85 A. Durch Höhen. S. 85

    • 4. Eine einzelne Höhe. S. 85
    • 5. Die Methode der korrespondierenden Höhen. S. 87
    • 6. Gleiche Höhen verschiedener Gestirne. S. 89
    • 7. Eine Höhendifferenz. S. 90

B. Zeitbestimmung durch Azimute. S. 90

    • 8. Im Meridian. S. 90
    • 9. Im Vertikal des Polarsternes. S. 92
    • 10. In beliebigem Azimut; Olberssches Verfahren. S. 93
    • 11. Mehrere Azimute. S. 94
    • 12. Näherungsmethoden. S. 94
    • 13. Azimut, Höhen und Zeitdifferenz. S. 95
  • II. Polhöhenbestimmung. S. 96
    • 14. Meridianhöhe. S. 96
    • 15. Zirkummeridianhöhe. S. 98
    • 16. Polarishöhe. S. 99
    • 17. Zweihöhenproblem, Spezialfälle und verwandte Aufgaben. S. 100
    • 18. Gaußsche Methode. S. 103
    • 19. Drei Höhen. S. 104
    • 20. Horrebow-Talcottsehe Methode. S. 105
    • 21. Durchgänge durch den Ersten Vertikal. S. 107
    • 22. Digressionen. S. 110
    • 23. Absolute Methoden. S. 110
    • 24. Instrumente zur Beobachtung gleicher Höhen. S. 112
    • 25. Photographische Methoden. S. 113
  • III. Längenbestimmung. S. 114

A. Durch gleichzeitige Signale. S. 114

    • 26. Mondfinsternisse, Verfinsterungen der Jupitersatelliten. S. 114
    • 27. Sternschnuppen. S. 115
    • 28. Künstliche Signale. S. 117

B. Durch Zeitübertragungen. S. 118

    • 29. Chronometerreisen. S. 118
    • 30. Telegraph. S. 119

G. Auf den Mondort gegründete Methoden. S. 121

    • 31. Mondkulminationen. S. 121
    • 32. Mondhöhen. S. 123
    • 33. Monddistanzen. S. 124
    • 34. Sternbedeckungen und Sonnenfinsternisse. S. 132
    • 35. Verwandte Okkultationsphänomene. S. 136
  • IV. Azimutbestimmungen. S. 137
    • 36. Allgemeiner Weg. S. 137
    • 37. Spezielle Methoden. S. 138

V. Nautische Astronomie. S. 139

    • 38. Die Kimm und ihr Verhalten. S. 139
    • 39. Instrumente zur Bestimmung und Elimination der Kimmtiefe. S. 142
    • 40. Begriff der Standlinie und ihre Festlegung. S. 144
    • 41. Zweihöhenproblem nach der Standlinienmethode. S. 146
    • 42. Drei oder mehr Standlinien, Dreihöhenproblem. S. 147
    • 43. Standlinie für eine Höhendifferenz. S. 148
    • 44. Berechnung der Höhe, Höhentafeln. S. 148
    • 45. Gebrauch der Merkatorfunktion. S. 150
    • 46. Azimuttafeln. S. 151
    • 47. Ortsbestimmung mit Hilfe der erdmagnetischen Elemente. S. 153
    • 48. Aeronautische Astronomie. S. 153
  • VI. Anhang. S. 154
    • 49. Die sphärischen Grundformeln der geographischen Ortsbestimmung. S. 154
    • 50. Weitere Literatur. S. 159
  • 4. Theorie der Uhren. Von C. ED. CASPARI in Paris. (Abgeschlossen im April 1905.). S. 163
    • 1. Allgemeines. S. 164
    • 2. Das freie Pendel. S. 166
    • 3. Kompensationspendel. S. 169
    • 4. Isochronismus der Chronometerspiralen. S. 171
    • 5. Kompensationsunruhen. S. 174
    • 6. Die Hemmung. S. 176
    • 7. Störungen des Pendels. S. 177
    • 8. Störungen der Chronometer. S. 179
    • 9. Räderwerk und Triebwerk. S. 183
    • 10. Zeitübertragung. S. 185
    • 11. Gangformeln. S. 187
    • 12. Regulatoren für gleichförmige Drehung. S. 188
  • 5. Theorie der astronomischen Winkelmeßinstrumente, der Beobachtungsmethoden und ihrer Fehler. Von FRITZ COHN +. (Abgeschlossen im Sommer 1907.). S. 195
    • 1. Idee eines Universalinstruments zur astronomischen Ortsbestimmung. S. 196
    • 2. Die Durchführung der Idee in der Praxis; Beschreibung des Beobachtungsvorganges. S. 197
    • 3. Die Hilfsinstrumente, ihre Einrichtung und die Auswertung ihrer Skalen. S. 201
    • a) Die Mikrometerschraube und das Ablesemikroskop. S. 201
    • b) Die Teilungen von Maßstäben (Skalen) und Kreisen. S. 205
    • c) Die Uhr und der Chronograph. S. 208
    • d) Die meteorologischen Instrumente. S. 209
    • 4. Die eigentlichen Instrumente der exakten astronomischen Ortsbestimmung: A. Der Meridiankreis. S. 210

Die Bestimmung der Rektaszension. S. 211 Die Bestimmung der Deklination. S. 216 B. Der Refraktor. S. 222 Beobachtungen bei ruhendem Fernrohr. S. 223 Beobachtungen bei bewegtem Fernrohr. S. 224 Beobachtungen mit Hilfe der Photographie. S. 225 Das Heliometer. S. 230

    • 5. Die Fehler der Instrumente und ihre Bestimmung:. S. 233

Geometrische Fehlerquellen. S. 233 A. Instrumen talfehler des Meridiankreises. S. 234 B. Instrumentalfehler des Refraktors. S. 243 Physikalische Fehlerquellen. S. 245

    • 6. Die persönlichen Fehler bei astronomischen Beobachtungen. S. 249
    • a) Fehler in der Auffassung des Zeitmoments einer Erscheinung. S. 251
    • b) Fehler beim Pointieren eines Objekts mit einem Faden. S. 262
    • 7. Die Genauigkeit der astronomischen Beobachtungen. S. 265
    • a) Meridianbeobachtungen. S. 269
    • b) Visuelle Refraktorbeobachtungen. S. 273
    • c) Die Leistungsfähigkeit des Heliometers. S. 275
    • d) Photographische Beobachtungen. S. 276
    • e) Die Talcott-Horrebow-Methode. S. 278
    • 8. Die Abgrenzung des Arbeitsfeldes und das Ineinandergreifen der verschiedenen Instrumente und Beobachtungsmethoden. S. 279
    • a) Die Kooperation zur Bestimmung der Sonnenparallaxe aus Beobachtungen kleiner Planeten. S. 281
    • b) Die Bestimmung der Fixsternparallaxen. S. 283
  • 6. Besondere Behandlung des Einflusses der Atmosphäre. (Refraktion und Extinktion.) Von A. BEMPORAD in Catania. (Abgeschlossen im Dezember 1907.). S. 287
    • 1. Allgemeines über die Wirkungen der atmosphärischen Luft auf die Lichtstrahlen und ihre mathematische Darstellung. S. 292

I. Physikalische Erfahrungstatsachen. S. 294

    • 2. Abhängigkeit des Brechungsindex bzw. der Absorptionskonstante von der Luftfeuchtigkeit. S. 294
    • 3. Beziehungen zwischen Dichtigkeit, Temperatur, Luftdruck und Höhe über dem Meeresniveau. S. 297
    • 4. Temperaturänderung mit der Höhe. Beobachtungsresultate. S. 299
  • II. Physikalische Hypothesen. S. 301
    • 5. Kritische Besprechung der Hypothesen über die Konstitution der Atmosphäre. S. 301
    • 6. Schlußbetrachtung über die Leistungen der bis jetzt aufgestellten Hypothesen. Brunssches Verfahren. S. 313
  • III. Theorie der Refraktion. S. 314
    • 7. Aufstellung des Refraktionsintegrals. S. 314
    • 8. Refraktionsformeln nach den Hypothesen von Cassini und von Mayer. Bradleysche und Simpson sehe Formel. S. 317
    • 9. Orianis (Laplaces) Satz. S. 319
    • 10. Entwicklung des Refraktionsintegrals bei der Bessel sehen Theorie. S. 320
    • 11. Entwicklung des Refraktionsintegrals für die Schmidt sehe Theorie. S. 323
    • 12. Vergleichstabelle der nach den wichtigsten Theorien berechneten Werte der Refraktion. S. 325
  • IV. Theorie der Extinktion. S. 326
    • 13. Aufstellung des Extinktionsintegrals. S. 326
    • 14. Entwicklung des Extinktionsintegrals unter Annahme konstanter Dichtigkeit oder konstanter Temperatur. Lambert- und Bouguersche Formel. S. 327
    • 15. Laplacesche Extinktionsformel. S. 328
    • 16. Strengere Behandlung der Extinktionstheorie bei der Annahme einer gleichförmigen Temperaturabnahme mit der Höhe von Bemporad. S. 329
    • 17. Vergleichende Übersicht der verschiedenen Extinktionstheorien. S. 330
    • 18. Die terrestrische Extinktion. S. 330
    • 19. Die selektive Absorption. S. 331
  • 7. Theorie der Finsternisse. Von F. K. GINZEL in Berlin und A. WILKENS in Breslau. (Abgeschlossen im Dezember 1907.). S. 335
    • 1. Einteilung der Finsternisse. S. 338

A. Sonnenfinsternisse. S. 339

    • 2. Kriterium für das Zustandekommen einer Sonnenfinsternis überhaupt. S. 339
    • 3. Die Grundgleichung der Finsternisse. S. 340
    • 4. Die Grenzkurven der Sichtbarkeit. S. 346
    • a) Die Punkte des Beginns und Endes der Finsternis überhaupt. S. 346
    • b) Die östliche und westliche Grenzkurve. S. 349
    • c) Die nördliche und südliche Grenzkurve. S. 352
    • d) Kurven sonstiger spezieller Phasen. S. 354
    • 5. Der lokale Verlauf der Finsternis. S. 355
    • 6. Anwendung der Sonnenfinsternisse. Tafeln. S. 357
    • 7. Die Perioden der Sonnenfinsternisse. S. 359

B. Mondfinsternisse. S. 360

    • 8. Kriterum für das Stattfinden einer Mondfinsternis überhaupt. S. 360
    • 9. Verlauf einer Mondfinsternis. S. 361
    • 10. Tafeln zur Berechnung von Mondfinsternissen. S. 361

C. Andere Finsternisse und Bedeckungen. S. 362

    • 11. Sternbedeckung durch den Mond. S. 362
    • 12. Planetenvorübergänge. S. 363
    • 13. Finsterniserscheinungen in anderen Trabantensystemen. S. 363
  • 8. Chronologie. Von F. K. GINZEL in Berlin. (Abgeschlossen im Juli 1910.). S. 366
    • 1. Einleitung. S. 368
    • 2. Tagesbeginn und Tageseinteilung. S. 369
    • 3. Wochen. S. 369
    • 4. Jahreszeiten. S. 370
    • 5. Jahr, Urform desselben. S. 371
    • 6. Mond und Sonnenjahr. Einschaltung, Ausgleichung. S. 371
    • 7. Besondere Jahrformen und Zyklen. S. 374
    • 8. Epochen (Acren). S. 376

B. Mechanik des Himmels. S. 377

  • 9. Bahnbestimmung der Planeten und Kometen. Von G. HERGLOTZ in Leipzig. (Abgeschlossen im Dezember 1906.). S. 379

I. Keplersche Bewegung. S. 381

    • 1. Keplersche Gesetze. S. 381
    • 2. Elemente der Bahn. S. 381
    • 3. Koordinaten eines Ortes. S. 382
    • 4. Bestimmung der wahren Anomalie. S. 384
    • 5. Das Lambertsche Theorem. S. 387
    • 6. Das Verhalten der Koordinaten im komplexen Gebiete. S. 389
  • II. Vorläufige Bahnbestimmung. S. 390
    • a) Planetenbahnen. S. 390
    • 7. Formulierung der Aufgabe. S. 390
    • 8. Grundgleichungen. S. 391
    • 9. Herstellung der Ausdrücke der Dreiecksverhältnisse. Erforderliche Genauigkeit. S. 392
    • 10. Näherungsausdrücke der Dreiecksverhältnisse. S. 394
    • 11. Ermittlung von Näherungswerten der Distanzen. S. 396
    • 12. Methode von Laplace. Satz von Lambert. S. 400
    • 13. Bestimmung der Elemente aus zwei vollständigen heliozentrischen Orten. S. 403
    • 14. Ermittlung beliebig genauer Werte der Distanzen. S. 407
    • 15. Bahnbestimmung aus vier Beobachtungen. S. 409
    • 16. Bestimmung einer Kreisbahn. S. 411
    • b) Kometenbahnen. S. 412
    • 17. Formulierung der Aufgabe. S. 412
    • 18. Ermittlung von Näherungswerten der Distanzen nach der Methode von W. Olbers. S. 414
    • 19. Bestimmung der Elemente aus den Distanzen. S. 415
    • 20. Ermittlung beliebig genauer Werte der Distanzen. S. 416
    • 21. Ausnahmefälle. Methode von Gauß. S. 418
    • 22. Korrektionen wegen Parallaxe und Aberration. S. 419
  • III. Definitive Bahnbestimmung. S. 420
    • 23. Allgemeine Formulierung der Aufgabe. S. 420
    • 24. Methoden mit gleichmäßiger Berücksichtigung aller Orte. S. 421
    • 25. Differentialquotienten der geozentrischen Koordinaten nach den Elementen. S. 422
    • 26. Methoden mit Bevorzugung zweier Orte. S. 425
  • 10. Bestimmung der Meteorbahnen im Sonnensystem. Von P. VON NIESSL +. (Abgeschlossen im November 1907.). S. 427

Allgemeines. S. 429 I. Ermittlung der Radianten und der geozentrischen Geschwindigkeit. S. 430

    • 1. Mehrfache Beobachtungen aus verschiedenen Erdorten. S. 430
    • a) Bestimmung der geographischen Koordinaten und der Höhe des Endpunktes. S. 431
    • b) Bestimmung des scheinbaren Radiationspunktes. S. 436
    • c) Lage der Bahn gegen die Erde. Bahnlänge. Höhe des Aufleuchtens. S. 440
    • d) Geozentrische oder relative Geschwindigkeit. S. 440
    • 2. Beobachtungen verschiedener Körper desselben Stromes aus einem Erdorte. S. 442
  • II. Ableitung der Bahn im Sonnensystem. S. 444
  • III. Beobachtungs- und Rechnungsergebnisse aus Meteorbeobachtungen. S. 450
    • 1. Mittlere Genauigkeit der Beobachtungen und Rechnungsergebnisse. S. 450
    • 2. Ergebnisse für die Höhe des Aufleuchtens und der Hemmung und ihre Beziehung zu anderen Faktoren. S. 452
    • 3. Masse der Sternschnuppen. S. 459
    • 4. Durchschnittliche und außergewöhnliche Bahnllingen. S. 460
  • 11. Bahnbestimmunng der Doppelsterne und Satelliten. Von J. v. HEPPERGER in Wien. (Abgeschlossen im Dezember 1910.). S. 463
    • 1. Beobachtung von Doppelsternen. S. 466
    • 2. Einleitung zur Bahnbestimmung. S. 470
    • 3. Bahnbestimmung visueller Doppelsterne. S. 474
    • a) Benutzung einzelner örter. S. 474
    • b) Benutzung der vollständigen scheinbaren Ellipse. S. 478
    • c) Bahnverbesserung. S. 483
    • d) Bemerkungen über die bekannten Doppelsternbahnen. S. 483
    • 4. Bahnbestimmung spektroskopischer Doppelsterne. S. 486
    • 5. Einige Ergebnisse der Beobachtung und der Bahnbestimmung spektroskopischer Doppelsterne (von H. Ludendorff in Potsdam). S. 493
    • 6. Bestimmung der Bahn, Figur und Dichte veränderlicher Sterne. S. 498
    • 7. Bahnbestimmung der Satelliten. S. 508
  • 12. Prinzipien der Störungstheorie und allgemeine Theorie der Bahnkurven in dynamischen Problemen. Von E. T. WHITTAKER in Dublin (übersetzt von A. HAAR in Zürich). (Abgeschlossen im März 1912.). S. 512

Vorbemerkung. S. 513

    • 1. Reduktion der Differentialgleichungen des allgemeinen Dreikörper-problems. S. 514
    • 2. Die Differentialgleichungen in Spezialfällen des Dreikörperproblems. S. 519
    • 3. Die Differentialgleichungen des w-Körperproblems. S. 521
    • 4. Die Nichtexistenz bestimmter Klassen von Integralen. S. 521
    • 5. Periodische Lösungen; die allgemeine Theorie. S. 526
    • 6. Spezielle periodische Lösungen. S. 529
    • 7. Die Stabilituml;t der Lösungen definiert durch den Charakter der benachbarten Lösungen. S. 532
    • 8. Die Stabilität der Lösungen definiert durch den Charakter der Bewegung für große Werte der Zeit. S. 538
    • 9. Die Lösung des Dreikörperproblems durch unendliche Reihen. Die älteren Untersuchungen. S. 540
    • 10. Die Lösung des Problems mit Hilfe der Berühvungstransforinationen. S. 541
    • 11. Die Lösung des Problems durch sukzessive Bildung der Glieder wachsender Ordnung der Reihe. S. 546
    • 12. Die Konvergenz der Reihen für Himmelsmechanik. S. 549
    • 13. Eigenschaften der Koeffizienten besonderer Glieder in den Reihen der Himmelsmechanik. S. 553
  • 13. Entwicklung der Störungsfunktion. Von H. v. ZEIPEL in Upsala. (Abgeschlossen im Mai 1912.). S. 557
    • 1. Allgemeines über die Störungsfunktion und ihre Ableitungen. S. 560

I. Kreisbahnen in einer Ebene. S. 561

    • 2. Koeffizienten b(i)n von Laplace. S. 561
    • 3. Reihenentwicklungen der b(i)n. S. 562
    • 4. Integralausdrücke der b(i)n. S. 564
    • 5. Ältere Berechnungsmethoden. S. 568
    • 6. Methode von Newcomb. S. 570
    • 7. Koeffizienten von Cauchy. S. 572
    • 8. Koeffizienten von Gyldén. S. 574
    • 9. Koeffizienten von Radau. S. 576
    • 10. Tafeln. S. 576
  • II. Kreisbahnen in geneigten Ebenen. S. 577
    • 11. Koeffizienten bi, j von Jacobi. S. 577
    • 12. Integralausdrücke derselben. S. 577
    • 13. Rekursionsformeln von Jacobi. S. 578
    • 14. Entwicklungen bei kleiner Neigung. S. 578
    • 15. Entwicklungen von Tisserand. S. 579
    • 16. Entwicklungen von Hansen. S. 581
    • 17. Andere Entwicklungen von Hansen. S. 582
    • 18. Appells hypergeometrische Entwicklungen. S. 583
    • 19. Fortsetzung. S. 583
    • 20. Berechnungsmethode von Sundmann. S. 584
  • III. Entwicklung nach Potenzen von e und é. S. 586
    • 21. Methode von Leverrier. S. 586
    • 22. Methode von Newcomb. S. 589
    • 23. Entwicklungen von Cauchy. S. 594
    • 24. Entwicklung von Gylden. S. 595
    • 25. Entwicklung von Hill. S. 595
    • 26. Gruppenentwicklung von Bohlin. S. 596
    • 27. Zweiter Teil der Störungsfunktion. S. 597
    • 28. Kanonische Elemente. S. 598
  • IV. Entwicklung nach Potenzen des Verhältnisses der großen Achsen. S. 599
    • 29. Koeffizienten Xi n,s von Hansen. S. 599
    • 30. Störungsfunktion der Mondtheorie. S. 601

V. Konvergenz der Entwicklungen. S. 602

    • 31. Formulierung der ersten Aufgabe. S. 602
    • 32. Integralausdrücke der Koeffizienten. S. 602
    • 33. Allgemeines über die Singularitäten bestimmter Integrale. S. 604
    • 34. Fortsetzung. S. 605
    • 35. Konvergenz der Entwicklungen für Am,m' und Bm,m’. S. 606
    • 36. Konvergenz der Entwicklungen für As,s’,m,m' und Bs,s’,m,m’. S. 608
    • 37. Formulierung der zweiten Aufgabe. S. 608
    • 38. Konvergenz der Entwicklung von .. -1. S. 609
  • VI. Allgemeine Theorie der Kekursionsformeln und Differentialgleichungen. S. 610
    • 39. Formulierung der Aufgabe. S. 610
    • 40. Reduktion einiger Doppelintegrale. S. 611
    • 41. Reduktionsformein und Differentialgleichungen mit rationalen Koeffizienten. S. 614
    • 42. Fundamentalperioden. Rekursionsformeln und Differentialgleichungen mit eindeutigen Koeffizienten. S. 616
  • VII. Numerische Entwicklungsmethoden,. S. 618
    • 43. Unzulänglichkeit der analytischen Entwicklungen. S. 618
    • 44. Übergang von exzentrischen Anomalien zu mittleren. S. 619
    • 45. Zweiter Teil der Störungsfunktion. S. 621
    • 46. Entwicklungsmethode von Jacobi. S. 622
    • 47. Berechnung der Koeffizienten trigonometrischer Entwicklungen durch mechanische Quadratur. S. 622
    • 48. Methode von Liouville. S. 625
    • 49. Trigonometrische Interpolationsmethode von Leverrier. S. 626
    • 50. Cauchys gemischte Methode. S. 627
    • 51. Entwicklung von Hansen. S. 629
    • 52. Elimination von E’. S. 629
    • 53. Anwendung der elliptischen Funktionen. S. 630
    • 54. Gauß' Theorie der säkularen Störungen. S. 632
  • VIII. Asymptotische Ausdrücke für Funktionen großer Zahlen. S. 636
    • 55. Formulierung der Aufgabe. S. 636
    • 56. Asymptotische Ausdrücke entfernter Koeffizienten. S. 636
    • 57. Asymptotische Ausdrücke einiger bestimmter Integrale. S. 642
    • 58. Asymptotische Ausdrücke allgemeinerer bestimmter Integrale. S. 645
  • IX. Asymptotische Ausdrücke für die Koeffizienten der Entwicklungen der Störungsfunktion. S. 649
    • 59. Entfernte Glieder in der Entwicklung nach den Vielfachen der mittleren Anomalie des einen Planeten. S. 649
    • 60. Entfernte Glieder in der Entwicklung nach den Vielfachen der beiden mittleren Anomalien. S. 651
    • a) Methoden von Cauchy und Hamy. S. 651
    • b) Methode von Poincaré. S. 657
    • c) Methode von Féraud. S. 661
  • 14. Theorie des Erdmondes. Von ERNEST W. BROWN in New Haven. Übersetzt und mit einigen Zusätzen versehen von A. v. BRUNN in Danzig. (Abgeschlossen im Juli 1914.). S. 667
    • 1. Kurzer historischer Überblick. S. 669
    • 2. Verhältnis der Mondtheorie zum n-Körperproblem und zur Planetentheorie. S. 672

I. Das Hauptproblem. S. 673

    • 3. Die Kräftefunktion. S. 673
    • 4. Die Bewegungsgleichungen. S. 675
    • 5. Spezielle Differentialgleichungen. S. 677
    • 6. Die Formen der Ausdrücke für die Koordinaten. S. 681
    • 7. Konvergenz und Divergenz. S. 684
    • 8. Intermediäre Bahnen. S. 685
    • 9. Die Entwicklung der Störungsfunktion. S. 687
    • 10. Die Variation der Konstanten. S. 688
    • 11. Verschiedene Eigenschaften der Lösung. S. 689
  • II. Die Lösungsmethoden. S. 692
    • 12. Die geometrischen Methoden. S. 692
    • 13. Die wahre Länge als unabhängige Veränderliche. S. 692
    • 14 Polarkoordinaten mit der Zeit als unabhängiger Veränderlicher. S. 694
    • 15. Die Variation der willkürlichen Konstanten (Delaunays Theorie). S. 696
    • 16. Rechtwinklige Koordinaten mit beweglichen Achsen. S. 698
    • 17. Mittlere Anomalie und Verhältnis der Entfernung zu einem elliptischen Radiusvektor als abhängige Variable. S. 703
    • 18. Die wahre Anomalie als unabhängige Veränderliche. S. 709
  • III. Planetarische und andere störende Einflüsse. S. 713
    • 19. Behandlungsmethoden. S. 713
    • 20. Der Einfluß der nichtsphärischen Figur der Erde und des Mondes. S. 714
    • 21. Die direkten Planetenstörungen. S. 715
    • 22. Die indirekten Planetenstörungen. S. 718
    • 23. Die säkularen Beschleunigungen. S. 720
    • 24. Störungen zweiter Ordnung. S. 723
    • 25. Andere mögliche störende Ursachen. S. 724
    • 26. Der gegenwärtige Stand der Mondtheorie. S. 726
    • 27. Tafeln der Mondbewegung. S. 727
  • 15. Theorie der Planeten. Von KARL F. SUNDMANN in Helsingfors. (Abgeschlossen im Februar 1915.). S. 729
    • 1. Numerische Verhältnisse. S. 731
    • 2. Die Differentialgleichungen der Bewegung. S. 733
    • 3. Die erste Annäherung. Das Zweikörperproblem. S. 736
    • 4. Die Störungen. S. 738

I. Die Methode der Variation der Konstanten,. S. 738

    • 5. Anwendungsweise der Methode der Störungstheorie. S. 738
    • 6. Die Methode der Variation der elliptischen Elemente. Differentialgleichungen. S. 739
    • 7. Fortsetzung. S. 742
    • 8. Integration. S. 743
    • 9. Verschiedene Arten von Gliedern und deren Klassifikation. S. 745
    • 10. Säkulare Störungen. S. 747
    • 11. Angenäherte Berechnung der säkularen Werte der Elemente. S. 748
    • 12. Fortsetzung. S. 751
    • 13. Die säkularen Störungen der kleinen Planeten. S. 753
    • 14. Säkulare Glieder höheren Grades. S. 754
    • 15. Berücksichtigung der säkularen und langperiodischen Störungen in den periodischen Gliedern. S. 754
    • 16. Langperiodische Glieder. S. 756
    • 17. Die Lücken in den mittleren Bewegungen der kleinen Planeten. Libration. S. 757
    • 18. Die Methode von Poincaré. S. 759
  • II. Die Hansensehe Methode. S. 760
    • 19. Vorbemerkung. S. 760
    • 20. Die Hansenschen beweglichen Koordinaten. Ideale Koordinaten. S. 761
    • 21. Die Differentialgleichungen der Bewegung in der instantanen Bahnebene. S. 763
    • 22. Die Differentialgleichungen für die Bewegung der Bahnebene und die Lage der X-Achse. S. 764
    • 23. Die Differentialgleichungen zur Bestimmung des Radiusvektors und der mittleren Anomalie. S. 766
    • 24. Bestimmung der Funktion W. S. 768
    • 25. Bestimmung der Breite. S. 769
    • 26. Weitere Ausführung der Methode. S. 770
    • 27. Integration mit der Zeit als unabhängiger Veränderlicher. S. 771
    • 28. Die exzentrische Anomalie als unabhängige Veränderliche. S. 772
  • III. Koordinatenstörungen. S. 775
    • 29. Störungen der rechtwinkligen Koordinaten. S. 775
    • 30. Störungen der polaren Koordinaten. S. 778
  • IV. Theorie von Gylden. S. 782
    • 31. Vorbemerkung. S. 782
    • 32. Differentialgleichungen der Gyldénschen Koordinaten. S. 783
    • 33. Zerlegung der Variablen. S. 786
    • 34. Entwicklung der Größen P, Q und R. Fundamentale Entwicklung. S. 789
    • 35. Diastematische Entwicklung. S. 791
    • 36. Einteilung der Glieder. S. 795
    • 37. Integration. S. 796
    • 38. Integration der elementaren und charakteristischen Glieder. S. 797
    • 39. Spezielle Ausarbeitungen und Anwendungen der Gyldénschen Methode. Methode von Brendel. S. 801

V. Verschiedene Methoden. S. 803

    • 40. Methode von Backlund. S. 803
    • 41. Die Jupitergruppe. S. 804
    • 42. Angenäherte Störungen. S. 804
  • 16. Die Satelliten. Von KURT LAVES in Chikago (Ill.). (Abgeschlossen im Sommer 1916). S. 809

Einleitung. S. 812 A. Die empirische Methode (1610–1760). S. 812

    • 1. Das Jupitersystem. S. 812
    • 2. Das Saturnsystem. S. 814

B. Die analytische Methode. 1760 bis zur Gegenwart. S. 815

    • 3. Einführung in die Lagrange-Laplacesche Theorie der Galileischen Satelliten und Neuentdeckungen. S. 815
    • 4. Bessels Untersuchungen über das Saturn System. S. 819
    • 5. Die Auffindung der Satelliten von Uranus, Neptun und Mars. S. 821
    • 6. Die Störungen in einem Satellitensystem; Bezeichnungsweise. S. 821
    • 7. Die Differentialgleichungen der Bewegung der Drehungsachse der Hauptplaneten. S. 822
    • 8. Die Differentialgleichungen der Bewegung der Drehungsachse der Ringe. S. 823
    • 9. Die Differentialgleichungen der Bewegung eines Satelliten. S. 824
    • 10. Die Störungsfunktion E. S. 824
    • 11. Die säkularen Ungleichheiten der Knoten und Neigungen. S. 825
    • 12. Die Integrale der Gleichungen für die Spezialsysteme. S. 827
    • a) Das Jupitersystem. S. 827
    • ß) Das Saturnsystem. S. 828
    • y) Die Satelliten des Mars, Uranus und Neptun. S. 832
    • 13. Die säkularen und langperiodischen Ungleichheiten der Exzentrizitäten, der Längen, der Perizentren und der mittleren Längen. S. 834
    • a) Das Jupitersystem. S. 834
    • ß) Das Saturnsystem. S. 838
    • y) Die übrigen Satellitensysteme. S. 841
    • 14. Die kurzperiodischen und die von der Sonne herrührenden Störungen. S. 842
    • 15. Die Bestimmung der Konstanten der Satellitensysteme. S. 842
  • 17. Bestimmung und Zusammenhang der astronomischen Konstanten. Von J. BAUSCHINGER in Leipzig. (Abgeschlossen im Sommer 1919.). S. 844

Einleitung. S. 845

    • 1. Die astronomischen Konstanten. S. 845
    • 2. Geodätische Konstanten. S. 846
    • 3. Physikalische Konstanten. S. 847
    • 4. Astronomische und physikalische Einheiten. S. 848

Die Konstanten der Erde und der Erdbewegungen. S. 851

    • 5. Die Sonnenparallaxe, trigonometrische Bestimmung. S. 851
    • 6. Die Aberrationskonstante. S. 852
    • 7. Die Lichtgleichung. S. 855
    • 8. Die Mondgleichung in der Erdbewegung. Beziehung zwischen Mondmasse und Sonnenparallaxe. S. 856
    • 9. Die Präzessions- und Nutationskonstante. S. 857
    • 10. Die Trägheitsmomente und die Abplattung der Erde. S. 861
    • 11. Die Schiefe der Ekliptik und der Frühlingspunkt. S. 863
    • 12. Tropisches und siderisches Jahr. S. 864
    • 13. Sternzeit und mittlere Zeit. S. 865
    • 14. Verwendung der Schweremessungen. S. 867
    • 15. Die Erdmasse und ihre Beziehung zur Sonnenparallaxe. S. 868

Der Mond. S. 869

    • 16. Die Mondparallaxe. S. 869
    • 17. Die parallaktische Ungleichheit in der Mondbewegung. S. 874
    • 18. Die Elemente der Mondbahn. S. 877
    • 19. Die Störungsglieder der Mondbewegung. S. 880
    • 20. Die Mondmasse. S. 881

Die Planeten. S. 882

    • 21. Die Theorien der Sonne und der großen Planeten. S. 882
    • 22. Die Massen der Planeten. S. 882
    • 23. Ableitung der Massen von Merkur, Venus und Erde aus den Säkularstörungen. S. 886
    • 24. Die Massen der Planeten Merkur, Venus und Erde. S. 890
    • 25. Die Sonnenparallaxe aus den Gravitationsmethoden. S. 893
    • 26. Die Masse der Planeten Mars, Jupiter, Saturn, Uranus und Neptun. S. 894
  • 18. Kometen. Von S. OPPENHEIM in Wien. (Abgeschlossen im Oktober 1922.). S. 897
    • 1. Historische Übersicht. S. 899
    • 2. Störungen der Kometen. S. 901
    • 3. Anomalien in den Bewegungen der Kometen. S. 910
    • 4. Masse der Kometen. S. 914
    • 5. Helligkeit der Kometen. S. 917
    • 6. Die kosmogonische Stellung der Kometen. S. 920
    • a) Die scheinbare Verteilung der Bahnelemente der Kometen. S. 921
    • b) Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen über den Ursprung der Kometen. S. 926
    • c) Die Problemstellung E. Strömgrens. S. 929
    • 7. Die kurzperiodischen Kometen. Das Tisserandsche Kriterium. S. 932
    • 8. Teilungen von Kometen, Kometensysteme und Familien. S. 936
  • 18 a. Beziehungen zwischen Kometen und Sternschnuppen. Von CUNO HOFFMEISTER in Sonneberg (Thüringen). (Abgeschlossen im Oktober 1922.). S. 939
    • 1. Geschichtliche Einleitung. S. 940
    • 2. Die Arbeiten von Schiaparelli, Weiß und Nachfolgern. S. 941
    • 3. Nähere Untersuchungen über die Art des Zusammenhanges. S. 945
    • 4. Kritik der Lehre vom allgemeinen kometarischen Ursprung der Sternschnuppen. S. 950
    • 5. Regeln für die Untersuchung des Zusammenhanges von Kometen und Sternschnuppen. S. 952
  • 19. Spezielle Störungen der Planeten und Kometen, numerische Behandlung besonderer Fälle des Dreikörperproblems. Mehrfache Fixsternsysteme. Von H. SAMTER in Berlin. (Abgeschlossen im Dezember 1922.). S. 958
    • 1. Die speziellen Störungen. Geschichtliches. S. 959
    • 2. Allgemeines über die Methode. S. 960
    • 3. Die einzelnen Rechnungsarten. S. 962
    • 4. Die numerische Behandlung des Dreikörperproblems. Geschichtliches. S. 966
    • 5. Die systematische Behandlung des restringierten Problems. S. 968
    • 6. Die genauer untersuchten Bahnklassen des restringierten Problems. S. 974
    • 7. Fälle des nicht restringierten Dreikörperproblems. S. 988
    • 8. Das Vier- und das Vielkörperproblem. S. 992
  • 20. Rotation der Himmelskörper, Präzession und Nutation der starren Erde. Von J. BAUSCHINGER in Leipzig. (Abgeschlossen im Mai 1923.). S. 995
    • 1. Einleitung, Geschichte. S. 996
    • 2. Allgemeine Theorie der Drehung. S. 996
    • 3. Anwendung der Drehungstheorie auf die Erde. S. 999
    • 4. Drehungstheorie der Erde. Zahlenwerte. S. 1008
    • 5. Übergang zur astronomischen Praxis. S. 1011
    • 6. Bestimmung der Präzessionskonstanten. S. 1014
    • 7. Theoretische Behandlungen. S. 1017
    • 8. Polhöhenschwankungen. S. 1018
  • 20 a. Die Libration des Mondes. Von F. HAYN in Leipzig. (Abgeschlossen im Februar 1923.). S. 1020
    • 1. Einleitung, die Cassinischen Gesetze. S. 1021
    • 2. Aufstellung der Bewegungsgleichungen. S. 1023
    • 3. Entwicklung der Variablen als Funktionen der Zeit. S. 1025
    • 4. Die Integration der Bewegungsgleichungen. S. 1029
    • 5. Der Einfluß der Sonnenanziehung. S. 1036
    • 6. Die Ermittlung der Konstanten aus den Beobachtungen. S. 1038
    • 7. Die Unmöglichkeit der Cassiniscben Gesetze bei gewissen Formen des Trägheitsellipsoids. S. 1042
  • Register zu Band VI, 2. Teil, 1. Hälfte. S. 1044

Band 6–2-2[Bearbeiten]

B. Mechanik des Himmels. (Fortsetzung.). S. 1

  • 21. Die Theorie der Gleichgewichtsfiguren der Himmelskörper. Von S. OPPENHEIM + (in Wien). (Abgeschlossen Juli 1919.). S. 1

I. Ältere Literatur. S. 1

    • 1. Einleitung. S. 5
    • 2. Newton und Huygens. S. 7
    • 3. Das Maclaurinsche Rotationsellipsoid. S. 11
    • 4. Diskussion der Gleichgewichtsbedingung für das Rotationsellipsoid. S. 13
    • 5. Diskussion des Rotationsmomentes. S. 14
    • 6. Heterogene Flüssigkeiten. Clairauts Theorie. S. 15
    • 7. D’Alembert und die Theorie der Präzession. S. 18
    • 7 a. Laplace und die Theorie der Mondbewegung. S. 19
  • II. Einführung des Potentialbegriffes. S. 20
    • 8. Einführung des Potentialbegriffes. S. 20
    • 9. Theorie der geschichteten Sphäroide nach Legendre und Laplace. S. 21
    • 10. Diskussion der Clairautschen Differentialgleichung. S. 23
    • 11. Integration der Clairautschen Differentialgleichung. S. 26
    • 12. Numerische Daten. S. 27
    • 13. Diskontinuierliche Dichteverteilung. S. 29
    • 14. Berücksichtigung der höheren Potenzen der Abplattung. S. 30
    • 15. Das dreiachsige Ellipsoid als Gleichgewichtsfigur. S. 32
    • 16. Das heterogene dreiachsige Ellipsoid. S. 36
  • III. Stabilitätsuntersuchungen. S. 37
    • 17. Grenzen der Rotationsgeschwindigkeit. S. 37
    • 18. Stabilität der Gleichgewichtsfiguren. Ältere Literatur. S. 39
    • 19. Dynamische Stabilität. S. 40
    • 20. Statische Stabilität. Das Energiekriterium. S. 41
    • 21. Verzweigungs- und Grenzfiguren. S. 43
    • 22. Die Stabilität der Kugel als Gleichgewichtsfigur. S. 45
    • 23. Die Stabilitätskoeffizienten des dreiachsigen Ellipsoides. S. 46
    • 24. Die birnenförmigen und andere Gleichgewichtsfiguren bedingter Stabilität. S. 48
    • 25. Numerische Daten. S. 50
  • IV. Die Gleichgewichtsfigur der Monde. S. 51
    • 26. Figur des Mondes. S. 51
    • 27. Stabilität der Gleichgewichtsfigur eines Mondes. S. 54

V. Ringförmige Gleichgewichtsfiguren. S. 57

    • 28. Zylindrische Gleichgewichtsfiguren. S. 57
    • 29. Theorie des Saturnringes nach Laplace. S. 58
    • 30. Allgemeine Untersuchungen über ringförmige Gleichgewichtsfiguren. S. 60
    • 31. Statische Stabilität der Ringe. S. 64
    • 32. Dynamische Stabilität der Ringe. S. 66
  • VI. Die Atmosphäre der Himmelskörper. S. 69
    • 33. Gleichgewichtsfigur der Atmosphäre eines Himmelskörpers. S. 69
  • VII. Die Gestalt der Kometen. S. 71
    • 34. Gleichgewichtsfigur der Kometen. S. 71
    • 35. Dynamische Theorie der Kometenschweife nach Bessel. S. 72
    • 36. Die Bredichinsche Typenteilung der Kometenschweife. S. 75
    • 37. Die Kometentheorie von Schiaparelli. S. 77
  • 22. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes. Von S. OPPENHEIM + (in Wien). (Abgeschlossen Februar 1920.). S. 80

I. Das Newtonsche Gesetz. S. 83

    • 1. Das Newtonsche Gesetz. S. 83
    • 2. Das Newtonsche Gesetz und der Raum. S. 84
    • 3. Bestimmung der Gravitationskonstanten k in astronomischen Einheiten. S. 87
    • 4. Die Konstante k in absoluten Maßeinheiten (C.-G.-S.-System). S. 88
  • II. Genauigkeitsgrad des Newtonschen Gesetzes aus der Bestimmung der Massenfaktoren. S. 91
    • 5. Masse der Planeten aus Mondelongationen. S. 91
    • 6. Masse der Planeten aus Störungen von Planeten. S. 93
    • 7. Masse der Planeten aus Kometenstörungen. S. 95
    • 8. Masse des Erdmondes. S. 98
    • a) aus den Ebbe- und Fluterscheinungen. S. 98
    • b) aus der Präzession und Nutation. S. 101
    • c) aus Ungleichheiten der Sonnenbewegung. S. 101
    • d) aus der paralaktischen Ungleichheit der Mondbewegung. S. 103
    • 9. Masse der Monde der anderen Planeten. S. 103
    • 10. Prüfung der Ergebnisse. S. 105
    • 11. Masse von Doppelsternen. S. 106
  • III. Berechnung des Genauigkeitsgrades für die Gültigkeit des Newtonschen Gesetzes auf Grund der Abhängigkeit von der Entfernung. S. 108
    • 12. Berechnung der Fallbeschleunigung auf der Erde aus der Mondbewegung. S. 108
    • 13. Theorie der Erdgestalt. S. 109
    • 14. Die Schwere auf der Erde. Das Clairautsche Theorem. S. 112
    • 15. Lotabweichungen und Schwereanomalien (Theorie des Geoids). S. 114
    • 16. Die Schwerkraft im Erdinnern. Die Clairautsche Differentialgleichung. S. 115
    • 17. Die Abplattung der Erde aus der Präzession und Mondbewegung. S. 118
    • 18. Theorie der Ebbe und Flut. S. 119
    • 19. Theorie der Lot- und Schwerestörungen durch die Anziehung von Sonne und Mond. S. 120
    • 20. Zusammenfassung der Ergebnisse. S. 122
    • 21. Theorie der Planeten. S. 123
    • 22. Theorie der Kometen. S. 127
    • 23. Theorie des Erdmondes. S. 128
    • 24. Theorie der Satelliten der Planeten und der Doppelsterne. S. 131
  • IV. Versuche zur Erklärung der Bewegungsanomalien auf Grund des Newtonschen Gesetzes. S. 132
    • 25. Hypothetische Massenannahmen. S. 132
    • a) Einwirkung eines unbekannten Planeten oder eines Planetenschwarmes. S. 132
    • b) Elliptizität der Sonne und die Sonnenkorona. S. 134
    • c) Ein Merkurmond. S. 136
    • d) Das Zodiakallicht und die Seeligersche Theorie. S. 136
    • 26. Die Hypothese des widerstehenden Mediums. S. 139
    • a) Enckes Hypothese. S. 139
    • b) Seeligers Theorie. S. 141
    • c) Der Lichtdruck. S. 142
    • 27. Veränderungen in der Rotationsdauer der Erde. S. 142
    • a) Theorie. S. 142
    • b) Flutreibung. S. 143
    • c) Massenvergrößerung der Erde. S. 145

V. Mögliche Korrektionen des Newtonschen Gesetzes. S. 147

    • 28. Änderung des Exponenten. S. 147
    • 29. Absorption der Gravitation. S. 148
    • 30. Abhängigkeit von der Krümmung des Raumes. S. 150
    • 31. Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Gravitation. S. 152
    • a) Ältere Theorie. S. 152
    • b) Die älteren elektrodynamischen Gesetze. S. 154
  • 22 a. Gravitation und Relativitätstheorie. Von FR. KOTTLER in Wien. (Abgeschlossen am 23. März 1922.). S. 159

I. Spezielle Relativitätstheorie. S. 160 A. Mechanik. S. 160

    • 1. Mechanik des Massenpunktes in der speziellen Eelativitätstheorie. S. 160
    • 2. Das Newtonsche Gesetz in der speziellen Relativitätstheorie. S. 164
    • 3. Astronomische Anwendungen der relativistischen Form des Newtonschen Gesetzes. S. 170

B. Optik. S. 173

    • 4. Optik in bewegten Körpern nach der speziellen Relativitätstheorie. S. 173
    • 5. Beziehungen der Optik in bewegten Körpern zur Astronomie. S. 178
  • II. Allgemeine Relativitätstheorie. S. 188

A. Mechanik. S. 188

    • 6. Das Prinzip der allgemeinen Relativität. S. 188
    • 7. Mechanik des Massenpunktes in der allgemeinen Relativitätstheorie. S. 191
    • 8. Das Verhältnis der Mechanik des Massenpunktes zur Mechanik der Kon-tinua. S. 194
    • 9. Theorie des Schwerefeldes. S. 196
    • 10. Näherungs weise Integration der Feldgleichungen. S. 200
    • 11. Das Feld diskreter Massenpunkte. S. 202
    • 12. Die Newtonsche Gravitationstheorie. S. 204
    • 13. Die Perihelbewegung des Merkur. S. 205
    • 14. Strenge Lösungen der Feldgleichungen für das radialsymmetrische statische Schwerefeld. S. 207
    • 15. Die Perihelbewegung des Merkur (Fortsetzung). S. 210
    • 16. Zahlenwerte. S. 212
    • 17. Die Bewegung des Mondes. S. 214
    • 18. Der Einfluß der Rotation der Sonne. S. 218

B. Optik. S. 220

    • 19. Die Rotverschiebung der Spektrallinien der Sonne. S. 220
    • 20. Die Rotverschiebung bei den Fixsternen. S. 226
    • 21. Die Ablenkung der Lichtstrahlen im Schwerefeld der Sonne. S. 229
    • 22. Die Beobachtungen bei der Sonnenfinsternis vom 29. Mai 1919. S. 231
    • 23. Mögliche andere Ursachen für die Lichtablenkung. S. 234

C. Stellarastronomie. S. 239

  • 23. Stellarastronomie. Von H. KOBOLD in Kiel. (Abgeschlossen im Juli 1924.). S. 239

I. Die charakteristischen Eigenschaften der Sterne. S. 241

    • 1. Die unmittelbaren Beobachtungsergebnisse. S. 241
    • 2. Die mittelbaren Beobachtungsergebnisse. S. 246
  • II. Das Beobachtungsmaterial. S. 248
    • 3. Ältere Sternkataloge. S. 248
    • 4. Fundamentalkataloge. S. 249
    • 5. Kataloge der einzelnen Sternwarten. S. 252
    • 6. Photographische Sternkataloge. S. 253
    • 7. Sammelkataloge. S. 254
    • 8. Durchmusterungskataloge. S. 255
    • 9. Kataloge von Sternhaufen und Nebeln. S. 256
    • 10. Sternkarten. S. 257
    • 11. Eigenbewegungsverzeichnisse. S. 259
    • 12. Radialbewegungen. S. 265
    • 13. Parallaxen. Trigonometrische Methoden. S. 268
    • 14. Parallaxen. Spektröskopische Methoden. S. 272
    • 15. Photometrische Kataloge. S. 276
    • 16. Kataloge der Spektraltypen und der Farben der Sterne. S. 278
  • III. Ergebnisse der Bearbeitung des Beobachtungsmaterials. S. 279

A. Scheinbare Verteilung der Sterne. Die Milchstraße. S. 279

    • 17. Allgemeine Verhältnisse. Der Gouldsche Gürtel. S. 279
    • 18. Die galaktische Kondensation. S. 281
    • 19. Die äußere Erscheinung der Milchstraße. S. 287
    • 20. Der Spektralcharakter der Milchstraßensterne. S. 291
    • 21. Ebenen der scheinbaren Stern Verteilung. S. 293

B. Die räumliche Verteilung der Sterne, Extinktion. S. 294

    • 22. Ältere Theorien. S. 294
    • 23. Seeligers Untersuchungen. S. 298
    • 24. Folgerungen aus der Seeligerschen Theorie. S. 305
    • 25. Beziehung zwischen Eigenbewegung, Parallaxe und Leuchtkraft. S. 308
    • 26. Schwarzschilds Entwicklungen. S. 312
    • 27. Charliers Behandlung der Aufgabe. S. 315
    • 28. Neuere empirische und theoretische Forschungen. S. 316
    • 29. Extinktion des Lichtes im Weltraum. S. 321

C. Eigenbewegung der Sterne und der Sonne. S. 326

    • 30. Erste Versuche. S. 326
    • 31. Neuere Methoden. S. 328
    • 32. Berücksichtigung der Massen der Sterne. S. 333
    • 33. Kobolds Kritik der Hypothese der Regellosigkeit der Eigenbewegungen. S. 335
    • 34. Kapteyns Zweischwarm-Hypothese. S. 338
    • 35. Schwarzschilds Ellipsoidhypothese. S. 340
    • 36. Charliers Behandlung des Problems nach den Methoden der Kollektivmaßlehre. S. 343
    • 37. Die Exzentrizitätshypothese Oppenheims. S. 346
    • 38. Allgemeine kritische Untersuchungen. S. 347
    • 39. Systematische Bewegungen. S. 348

D. Besonderheiten des Bewegungszustandes. S. 351

    • 40. Allgemeine Beziehungen. S. 351
    • 41. Abhängigkeit der Eigenbewegungen. S. 352
    • 42. Abhängigkeit der Radialbewegungen. S. 353
    • 43. Abhängigkeit der Bewegung von der absoluten Helligkeit. S. 355
    • 44. Die Bewegungen in Beziehung zum Bau des Sternsystems. S. 357
    • 45. Erklärung der Bewegungen. S. 358

E. Bewegte Sterngrippen. S. 360

    • 46. Einzelne Sterngruppen. S. 360
    • 47. Partialsysteme. S. 362

F. Bau des Sternsystems. S. 364

    • 48. Erste Versuche. S. 364
    • 49. Neuere Theorien. S. 365
    • 50. Kinematik des Sternsystems. S. 368

D. Astrophysik. S. 373

  • 24. Thermodynamik der Himmelskörper. Von R. EMDEN in München. (Abgeschlossen Ende 1925.). S. 373

Einleitung. S. 377 I. Einfache Umsätze thermischer und mechanischer Energie. S. 379

    • 1. Mechanische Energiequellen der Sternstrahlung. S. 379
    • 2. Sternschnuppen. S. 381
    • 3. Eindringen eines Weltkörpers in eine kosmische Staubmasse. S. 382
    • 4. Die Abkühlung der Erde. S. 384
  • II. Aufbau der Himmelskörper unter Berücksichtigung von thermischer Energie und Gravitationsenergie. S. 385

A. Allgemeinste Sätze über Gas- und Staubmassen. S. 385

    • 5. Der Virialsatz. S. 385
    • 6. Anwendung des Virialsatzes. S. 386

B. Die polytropen Kurven. S. 388

    • 7. Definition der polytropen Zustandsänderung. S. 388
    • 8. Kosmogenetische Zustandsänderung. Kosmogenide. S. 391
    • 9. Energieumsatz bei gleichförmiger Kontraktion. S. 393
    • 10. Homogene Kontraktion und Strahlung. S. 394

C. Polytrope Atmosphären. S. 395

    • 11. Begriff der polytropen Atmosphäre. S. 395
    • 12. Stabilität polytroper Atmosphären. S. 395
    • 13. Die fundamentalen Gleichungen polytroper Atmosphären. S. 397
    • 14. Periodisch wiederkehrende Irrtümer. S. 399
    • 15. Dispersionstemperatur. S. 402
    • 16. Einfluß der Kondensierbarkeit der Gase. S. 403

D. Gaskugeln. S. 404

    • 17. Aufstellung der Differentialgleichung. S. 404
    • 18. Lösungen der Differentialgleichung, die sich in geschlossener Form angeben lassen. S. 406
    • 19. Über die Differentialgleichung der polytropen Gaskugel. S. 408
    • 20. Numerische Auswertung der Differentialgleichung. S. 412
    • a) Gaskugeln von endlichem Radius. S. 412
    • 21. Thermische Energie und Eigenpotential einer polytropen Gaskugel. S. 412
    • 22. Kosmogenetische Flächen. S. 413
    • b) Gaskugeln von unendlichem Radius. S. 414
    • 23. Die isotherme Gaskugel. S. 414
    • 24. Energetik der isothermen Kugel. S. 416
    • 25. Polytrope Kugeln n‘5. S. 417
    • c) Gemischte Systeme. S. 417
    • 26. Gaskugeln in starrer Hülle. S. 417
    • 27. Gaskugeln mit starrem Kern. S. 420
    • 28. Zusammengesetzte Gaskugeln. S. 422

E. Abweichung von den Gasgesetzen. S. 423

    • 29. Einführung der Zustandsgleichung von van der Waals. S. 423
    • 30. Über die Bedeutung der Ergebnisse der Nr. 5 – 29. S. 424
    • 31. Eine Gaskugel anderer Bauart. S. 425

F. Eingreifen der kinetischen Gastheorie und statistischen Mechanik. S. 426

    • 32. Massenverlust einer Gaskugel. S. 426
    • 33. Behandlungsweise von Milne. S. 428
    • a) Kosmische Staubmassen. S. 430
    • 34. Über die Notwendigkeit von Geschwindigkeiten im interstellaren Raum. S. 430
    • 35. Über die zulässige Steingröße. S. 432
    • 36. Bau kosmischer Staubmassen. S. 433
    • 37. Grenzverhältnisse und Massenverlust kosmischer Staubmassen. S. 437
    • 38. Zähigkeit kosmischer Staubmassen. S. 438
    • 39. Kugelförmige Sternhaufen. S. 440
    • 40. Das Fixsternsystem als kosmische Staubmasse. S. 442

G. Über säkulare Stabilität der Gaskugeln. S. 444

    • 41. Problemstellung. S. 444
    • 42. Ein Grenzfall. S. 445
    • 43. Anwendung auf gasförmige Gebilde. S. 446

H. Freie Schwingungen einer Gaskugel. S. 448

    • 44. Schwingungen bei konstantem Volumen. S. 448
    • 45. Schwingungen bei konstanter Form (Pulsationen). S. 451
  • III. Aufbau der Himmelskörper unter Berücksichtigung von thermischer Energie, Gravitationsenergie und Strahlungsenergie. S. 456

A. Exkurs über Strahlung. S. 458

    • 46. Wärmetransport und Wärmequellen. S. 458
    • 47 a. Größenordnung des Lichtdruckes an der Sonnenoberfläche. S. 461
    • 47. Exkurs über Strahlung und Strahlungsgleichgewicht. S. 462
    • 48. Berücksichtigung des Strahlungsdruckes nach T. Bialobjewski. S. 468

B. Atmosphären im Strahlungsgleichgewicht. S. 469

    • 49. Temperaturverteilung bei Strahlungsgleichgewicht. S. 470
    • 50. Aufbau der Atmosphäre im Strahlungsgleichgewicht ohne Berücksichtigung des Strahlungsdruckes. S. 471
    • 61. Aufbau der Atmosphäre mit Berücksichtigung des Strahlungsdruckes. S. 473

C. Die Helligkeitsverteilung auf der Sonnenscheibe. S. 474

    • 52. Über die bolometrische Helligkeitsverteilung der Sonnenscheibe. S. 474
    • 53. Die Helligkeitsverteilung in den einzelnen Wellenlängen. S. 476
    • 54. Einfluß der Streuung des Lichtes auf die Helligkeitsverteilung. S. 478
    • 55. Die Näherung von A. Schuster. S. 481
    • 56. Streuung und Absorption. S. 482

D. Über das Strahlungsgleichgewicht der Erdatmosphäre. S. 486

    • 57. Das Strahlungsgleichgewicht der Erdatmosphäre. S. 486

E. Gaskugeln im Strahlungsgleichgewicht. S. 487

    • 58. Weggleichung bei Strahlungsgleichgewicht. S. 487
    • 59. Ersatz der Weggleichung bei Strahlungsgleichgewicht durch eine Polytrope. S. 489
    • 60. Der Faktor 1 – ß und seine Berechnung. S. 490
    • 61. Energetik bei Strahlungsgleichgewicht. S. 491
    • 62. Typischer Riesenstern. S. 492
    • 63. Behandlung der äußeren Schichten. S. 493
    • 64. Einführung der van der Waalsschen Zustandsgieichung. S. 495
    • 65. Das Molekulargewicht der Sternmaterie. S. 496
    • 66. Der Absorptionskoeffizient k. S. 498
    • 67. Beziehungen zwischen Leuchtkraft und Masse. S. 505
    • 68. Verhalten hoch ionisierter Gase. S. 507
    • 69. Veränderlichkeit der Sternmasse. S. 509
    • 70. Zusätze zur Eddingtonschen Theorie. S. 510
    • 71. Rotierende Massen im Strahlungsgleichgewicht. S. 514
  • IV. Eingreifen von Atomphysik und Quantentheorie. S. 515

A. Ionisation und Strahlung. S. 515

    • 72. Ionisationsgleichgewicht. S. 516
    • 73. Die Untersuchungen Megh Nad Saha’s. S. 519
    • 74. Verfeinerung der Methode durch R. H. Fowler und E. A. Milne. S. 521

B. Ionisation und Lichtdruck. S. 524

    • 75. Aufbau der äußersten Schichten einer Sternatmosphäre. S. 524
    • 76. Anwendung auf planetarische Nebel. S. 529
    • 77. Fühlbare Lücken der Erkenntnis. S. 529
  • 25. Die Spektralanalyse der Gestirne. Von ADOLF HNATEK in Wien. (Abgeschlossen Ende 1928.). S. 533

I. Einleitung. S. 535

    • 1. Geschichtlicher Überblick. S. 535
    • 2. Die Aufnahme zur Vermessung geeigneter Spektren. S. 536
    • 3. Die Ausmessung der Sternspektren und die Ermittlung der Wellenlängen. S. 539
  • II. Die theoretischen Grundlagen. S. 543
    • 4. Die Strahlungsgesetze. S. 543
    • a) Der Kirchhoffsche Satz. S. 543
    • b) Das Stefan-Boltzmannsche Gesetz. S. 543
    • c) Die spektral zerlegte Strahlung. S. 545
    • d) Die numerischen Werte der Konstanten der Strahlungsformeln. S. 551
    • 5. Das Dopplersche Prinzip. S. 552
    • 6. Der Atombau und die Gesetzmäßigkeiten in den Spektren. S. 557
    • a) Allgemeines. S. 557
    • b) Die Linienserien von H und He+. S. 561
    • c) Die Linienserien der anderen Elemente. S. 572
    • d) Das kontinuierliche Spektrum an der Seriengrenze. S. 576
    • e) Die Bandenspektren. S. 577
    • 7. Die Ionisation. S. 583
    • a) Die elektrische Erregung. Erregungspotential und lonisationspotential. S. 583
    • b) Die thermische Ionisation. S. 585
    • c) Die Messung der Linienintensitäten. S. 591
    • 8. Der Einfluß von Druck und Dichte. S. 594
    • 9. Zeemaneffekt, Starkeffekt. S. 596
  • III. Die Sonne. S. 601
    • 10. Das mittlere Sonnenspektrum. S. 601
    • 11. Das Spektrum der Sonnenflecken. S. 617
    • 12. Flash- und Chromosphärenspektrum. S. 626
    • 13. Monochromatische Aufnahmen der Sonne. Spektroheliograph. S. 634
    • 14. Das Spektrum der Protuberanzen. S. 640
    • 15. Das Spektrum der Sonnenkorona. S. 646
    • 16. Die Temperatur der Sonnenoberfläche. S. 652
    • 17. Die spektroskopische Bestimmung der Rotationselemente der Sonne. S. 666
  • IV. Die Körper des Sonnensystems. S. 671
    • 18. Der Mond. S. 671
    • 19. Die Planeten. S. 672
    • 20. Die Versuche zur spektroskopischen Ermittlung der Rotationszeiten der Planeten. S. 678
    • 21. Die Spektren der Kometen. S. 679
    • 22. Die Spektren der Sternschnuppen und ihrer Schweife. S. 687
    • 23. Das Zodiakallicht. S. 691

V. Das Fixsternsystem. S. 692

    • 24. Die Klassifikation der Fixsternspektren. S. 692
    • 25. Besonderheiten in den Spektren der Fixsterne. S. 708
    • 26. Die effektiven Temperaturen der Fixsterne. S. 714
    • 27. Die Trennung in Riesen- und Zwergsterne. S. 721
    • 28. Die Ermittlung der absoluten Größe der Fixsterne auf spektroskopischem Wege. Spektroskopische Parallaxen. S. 725
    • 29. Die relative Häufigkeit der Elemente in den Atmosphären der Fixsterne. S. 729
    • 30. Die neuen Sterne. S. 730
    • 31. Die veränderlichen Sterne. S. 743
    • 32. Die Spektren der Nebelflecken. S. 757
    • 33. Das mittlere Spektrum der Sternhaufen. S. 764
    • 34. Das mittlere Spektrum der Milchstraße. S. 765
    • 35. Kalzium- und Natriumwolken im interstellaren Raum. S. 766
  • 26. Astronomische Kolorimetrie. Von JOSEF HOPMANN in Leipzig. Mit Beiträgen von BERNHARD STICKER in Bonn. (Abgeschlossen Dezember 1930.). S. 769

I. Theoretisches und Geschichtliches. S. 770

    • 1. Definition und Aufgabenkreis der Kolorimetrie. S. 770
    • 2. Geschichtliche Bemerkungen. S. 773
  • II. Die kolorimetrischen Beobachtungsmethoden. S. 774

A. Visuelle Beobachtungsverfahren. S. 774

    • 3. Psycho-physiologisches. S. 774
    • 4. Farbenschätzungen. S. 775
    • 5. Wilsings Rotkeil, Fessenkoffs Blaukeil. S. 778
    • 6. Visuelle effektive Wellenlängen. S. 782
    • 7. Visuelle Farbenindizes. S. 782

B. Photographische Beobachtungsverfahren. S. 785

    • 8. Photographische Farbenindizes. S. 785
    • 9. Methode Seares. S. 789
    • 10. Methode Tikhoff. S. 790
    • 11. Methode Rosenberg. S. 792
    • 12. Photographische effektive Wellenlängen. S. 792

C. Elektrische Beobachtungsverfahren. S. 794

    • 13. Lichtelektrische Farbenindizes. S. 794
    • 14. Die thermoelektrische Methode. S. 795
    • 15. Zusammenfassende Übersicht. S. 796
  • III. Ergebnisse bei normalen Sternen. S. 798
    • 16. Allgemeines. S. 798
    • 17. Farbe und absolute Helligkeit. S. 800
    • 18. Farbe und Sternort (interstellare Absorption). S. 806
    • 19. Die Verteilungsfunktion der Farben. S. 806
    • 20. Bolometrische und instrumenteile Größenklassen. S. 808
    • 21. Farbe und Sterndurchmesser. S. 809
  • IV. Ergebnisse bei veränderlichen Sternen. S. 810
    • 22. Bedeckungsveränderliche. S. 810
    • 23. Die ..-Cephei-Sterne. S. 812
    • 24. Die Mira-Sterne. S. 815
    • 25. Sonstige Veränderliche. S. 818

V. Ergebnisse bei Sternhaufen und Nebelflecken. S. 819

    • 26. Kugelförmige Sternhaufen. S. 819
    • 27. Offene Sternhaufen und Milchstraßenwolken. S. 820
    • 28. Die Nebelflecken. S. 822
  • VI. Ergebnisse im Sonnensystem. S. 824
    • 29. Die Sonne. S. 824
    • 30. Der Mond. S. 824
    • 31. Die großen Planeten. S. 826
    • 32. Die Kleinkörper des Sonnensystems. S. 828
  • 27. Photometrie der Gestirne. Von ERICH SCHOENBERG in Breslau. (Abgeschlossen im August 1982.). S. 831

Einleitung. S. 833

    • 1. Die Entwicklung der photometrischen Theorien. S. 833
    • 2. Die Entwicklung der Beobachtungsmethoden. S. 837

I. Die Methoden der Astrophotometrie und ihre Grenzen. S. 844

    • 3. Allgemeine Definitionen. S. 844
    • 4. Die Definitionen der visuellen Photometrie. S. 846
    • 5. Das Prinzip des astronomischen Photometers. S. 850
    • 6. Die Grenzen der Sichtbarkeit. S. 851
    • 7. Das Fechner-Webersche psychophysische Gesetz und die Größenklassen der Gestirne. S. 852
    • 8. Die Methoden der photographischen Photometrie und die photographische Helligkeitsskala. S. 854
    • 9. Die Eigenschaften der photographischen Platten. Die Schwärzungskurve. S. 858
    • 10. Farbenindizes. S. 862
    • 11. Die lichtelektrische Methode der Photometrie. S. 864
    • 12. Der Einfluß der Extinktion auf photometrische Messungen. S. 866
    • 13. Die radiometrischen Messungen der bolometrischen Größenklassen und Temperaturen der Gestirne. S. 869
  • II. Theorien und Ergebnisse. S. 871

A. Die Strahlung der Selbstleuchter, der Sonne und der Fixsterne. S. 871

    • 14. Das Lambertsche Emanationsgesetz. S. 871
    • 15. Die Helligkeitsverteilung auf der Sonne. S. 874
    • 16. Die Gesamtstrahlung der Sonne und der Fixsterne. S. 877
    • 17. Interpolationsformeln für die Eandverdunkelung bei Bedeckungsveränderlichen und bei der Sonne. S. 877
    • 18. Strenge Berechnung der Helligkeitsverteilung aus Finsternisbeobachtungen nach Heckmann und Siedentopf. S. 881

B. Die Resonanzstrahlung der Nebel und Kometen. S. 884

    • 19. Untersuchungen über die galaktischen Nebel von Hubble. S. 884
    • 20. Die Theorie der Nebelstrahlung von H. Zanstra. S. 887
    • 21. Die Helligkeitsverteilung auf elliptischen Nebeln. S. 888
    • 22. Die Resonanzstrahlung der Kometen. S. 893

C. Die reflektierte Strahlung der Planeten und Meteore. S. 898

    • 23. Die Lambertsche Formel für diffuse Reflexion. S. 898
    • 24. Die Formeln von Seeliger, Lommel, Fessenkow und Schoenberg. S. 898
    • 25. Die Helligkeit von eben begrenzten, diffus reflektierenden Flächen und von Kugeln. Experimentelle Prüfung der Reflexionsgesetze. S. 902
    • 26. Die Reflexion an farbigen Substanzen und die Polarisation des reflektierten Lichtes. S. 902
    • 27. Über den Begriff der Albedo. S. 903
    • 28. Der Reflexionskoeffizient und die sphärische Albedo nach Bond. S. 905
    • 29. Die Phasenkurven. S. 909
    • 30. Die beobachteten Phasenkurven und Phasenkoeffizienten. S. 910
    • 31. Die Reflexionskoeffizienten von irdischen Substanzen und Mondgebilden. S. 912
    • 32. Die Bestimmung der Albedo und der Durchmesser der Planeten. S. 913
    • 33. Der Einfluß der Unebenheiten der Oberfläche auf die Lichtverteilung auf derselben und auf die Phasenkurve der Planeten. S. 914
    • 34 Die Flächenphotometrie der großen Planeten. S. 916
    • 35. Die Beleuchtung der Planetentrabanten. Das aschfarbene Mondlicht. S. 917
    • 36. Die Verfinsterung der Jupitertrabanten. S. 918
    • 37. Über die Vergrößerung des Erdschattens bei Mondfinsternissen. S. 923
    • 38. Über die Beleuchtung der Planetenatmosphären. S. 926
    • 39. Die Theorie der Diffusion und Absorption des Lichtes in Gasen von L.V. King. S. 927
    • 40. Die Anwendung der Theorie auf die Erdatmosphäre. S. 933
    • 41. Über die Beleuchtung eines von einer Atmosphäre umgebenen Planeten. S. 935
    • 42. Die Theorie der Verfärbung bei Diffusion in Anwendung auf astronomische Probleme. S. 939
    • 43. Seeligers Theorie der Beleuchtung staubförmiger Massen. S. 941
    • 44. Die allgemeine Gleichung der Helligkeit einer beleuchteten Staubmasse. S. 942
    • 45. Die Beleuchtung des Saturnringes. S. 944
    • 46. Die Beleuchtung des Zodiakallichtes. S. 950
    • 47. Über die Beleuchtung kosmischer Staubmassen durch Sterne. S. 953
  • III. Die veränderlichen Sterne. S. 956
    • 48. Das Bedeckungsproblem. S. 956
    • 49. Die Lösung des Problems für den Fall einer totalen Bedeckung nach H.N.Russell. S. 959
    • 50. Partielle Bedeckungen. S. 961
    • 51. Der Einfluß der Randverdunkelung. S. 962
    • 52. Bestimmung der Abplattung. S. 963
    • 53. Der Einfluß der gegenseitigen Beleuchtung der Komponenten. S. 967
    • 54. Der Periastron-Effekt. S. 968
    • 55. Die Dichte der Komponenten. S. 968
    • 56. Statistische Ergebnisse. S. 969
    • 57. Andere Methoden und ungelöste Probleme. S. 975
    • 58. Die anderen Klassen der veränderlichen Sterne. S. 976
    • 59. Die ..-Cephei-Sterne. S. 978
  • 60. Die Perioden-Leuchtkraftkurve (PLk). S. 979
  • 61. Die Perioden-Spektrenkurve (PSk). S. 981
    • 62. Das Leuchtkraft-Spektraltypendiagramm. S. 982
    • 63. Die langperiodischen Veränderlichen. S. 984
    • 64. Die halbregelmäßigen periodischen Veränderlichen. S. 984
    • 65. Die seltenen Typen veränderlicher Sterne: R-Coronae, U-Geminorum und Novae. S. 985
  • 28. Kosmogonie. Von H. KIENLE in Göttingen. (Abgeschlossen im Oktober 1933.). S. 987

I. Einleitung. S. 987

    • 1. Kosmogonie. S. 988
    • 2. Entwicklung der Theorien. S. 990
    • 3. Methoden der Kosmogonie. S. 992
  • II. Innerer Aufbau und normale Sternentwicklung. S. 993
    • 4. Zustandsgrößen. S. 993
    • 5. Zustandsgleichungen der normalen Sterne. S. 998
    • 6. Zustandsverteilungen. S. 1003
    • 7. Alter und Energieerzeugung. S. 1011
    • 8. Die Weggleichung der normalen Sternentwicklung. S. 1016
  • III. Dynamik der Entwicklungsvorgänge. S. 1024
    • 9. Rotationsdeformationen. S. 1024
    • 10. Gezeitendeformationen. S. 1029
    • 11. Schwingungen und Pulsationen. S. 1035
    • 12. Gezeitenreibung. S. 1036
    • 13. Widerstehendes Mittel und Einfang von Massen. S. 1039
    • 14. Massenänderungen und Energieaustausch. S. 1045
  • IV. Die Entstehung des Planetensystems. S. 1052
    • 15. Gesetzmäßigkeiten des Zustandes. S. 1052
    • 16. Rotationshypothesen. S. 1055
    • 17. Katastrophenhypothesen. S. 1059
    • 18. Monde und Kleinkörper. S. 1065

V. Einzelprobleme. S. 1071

    • 19. Doppelsterne. S. 1071
    • 20. Veränderliche Sterne. S. 1075
    • 21. Novae, Planetarische Nebel und weiße Zwerge. S. 1077
    • 22. Nebel und Sternsysteme. S. 1079
  • Sachregister zu Band VI, 2. Teil, 2. Hälfte. S. 1089
  • Namensverzeichnis zu Band VI, 2. Teil, A und B. S. 1107

Inhalt der 2. Auflage[Bearbeiten]

Völlig neu bearbeitete Auflage: Ab 1939 wurde von den Akademien der Wissenschaften in Göttingen, Berlin, Wien und Heidelberg und vom Verlag B.G.Teubner eine Neubearbeitung geplant. Als Herausgeber fungierten Helmut Hasse, Erich Hecke, Max Deuring, Emanuel Sperner. Davon sind nachfolgende Bände erschienen.
Eine Darstellung der Theorie der Algebren (damals Hyperkomplexe Zahlen genannt) von Richard Brauer (in der Zeit des Nationalsozialismus emigriert) lag 1936 vor, ist aber nicht erschienen.

Band 1, Teil 1, Heft 1, Teil 1[Bearbeiten]

Hans Hermes, Heinrich Scholz Mathematische Logik 1952 GDZ Göttingen

  • 1. Mathematische Logik. Von H. Hermes und H. Scholz. S. 2
    • Einleitung. S. 2
    • 1. Satzlogik und Regellogik. S. 6
    • 2. Aussagenkalkül. S. 13
    • 3. Prädikatenkalkül. S. 18
    • 4. Prädikatenkalkül mit Identität. S. 25
    • 5. Axiomatisch-deduktive Methode. S. 28
    • 6. Axiomatisierung des Aussagenkalküls. S. 32
    • 7. Axiomatisierung des Prädikatenkalküls. S. 37
    • 8. Axiomatisierung des Prädikatenkalküls mit Identität. S. 45
    • 9. Entscheidbarkeit. S. 46
    • 10. Entscheidungsprobleme im PK. S. 52
    • 11. Das Entscheidungsproblem im IK. S. 55
    • 12. Erweiterungen des Prädikatenkalküls. S. 57
    • 13. Logik und mathematische Theorien. S. 65
    • 14. Das Antinomienproblem und die Unvollständigkeit der Erweiterungen des Prädikatenkalküls. S. 71
    • 15. Konsequenzenlogik. S. 78

Band 1, Teil 1, Heft 2[Bearbeiten]

Arnold Schmidt Die mathematische Grundlagenforschung, 1950 GDZ Göttingen

  • 2. Mathematische Grundlagenforschung. Von Arnold Schmidt. S. 2
    • A. Axiomatik und allgemeine Beweistheorie S. 3
    • 1. Einleitende Abgrenzung. S. 2
    • 2. Die Grundforderungen der Axiomatik. S. 3
    • 3. Grundgedanke der Beweistheorie. Methoden. S. 6
    • 4. Rekursive Zahlentheorie. Syntaxarithmetisierung. Unvollständigkeitssatz. S. 11
    • 5. Interpretatinstechnische Weiterführung der Axiomatik. Grundsprache. S. 15
    • 6. Forderungen an das Begriffsnetz. S. 18
    • B. Kodifikation und Beweistheorie der Zahlenlehre. S. 19
    • 7. Zahlentheoretische Funktionen. Rekursion. S. 19
    • 8. Einige Kodifikate der reinen Zahlenlehre. S. 22
    • 9. Widerspruchsfreiheitsnachweise für Teile der Zahlenlehre. S. 25
    • 10. Widerspruchsfreiheitsnachweise für die Zahlenlehre. S. 29
    • 11. Widerspruchsfreiheitsnachweise für die verzweigte Analysis. S. 31
    • C. Die logische Begründung der Mathematik. S. 34
    • 12. Grundgedanke. S. 34
    • 13. Definition der Zahl. Typentheorie. S. 34
    • 14. Grenzen der Zurückführung der Mathematik und Logik. S. 38
    • D. Intuitionistische Mathematik. S. 39
    • 15. Konstruktivität. Nennbarkeit. S. 39
    • 16. Vorrats- und Vollzugsauffassung. Die natürlichen Zahlen als Gesamtheit. S. 40
    • 17. Intuitionistischer Umgang mit den natürlichen Zahlen. S. 42
    • 18. Intuitionistischer Umgang mit den reellen Zahlen. Wichtigste Ergebnisse. S. 45

Band 1, Teil 1, Heft 2[Bearbeiten]

Friedrich Bachmann Aufbau des Zahlensystems 1939 GDZ Göttingen

  • 3. Aufbau des Zahlensystems. Von Friedrich Bachmann. S. 2
    • A. Einführung der natürlichen Zahlen. S. 2
    • 1. Axiomatische Einführung der natürlichen Zahlen. S. 2
    • 2. Einführung der Rechenoperationen für natürliche Zahlen auf axiomatischer Grundlage. S. 3
    • 3. Die natürlichen Zahlen als Ordinal- und Kardinalzahlen. S. 5
    • 4. Mengentheoretische Begründung der elementaren Arithmetik. S. 6
    • B. Aufbau des Zahlensystems aus den natürlichen Zahlen. S. 8
    • 5. Arithmetischer Aufbau des Zahlensystems. S. 8
    • 6. Einführung der rationalen Zahlen. S. 12
    • 7. Einführung der reellen Zahlen durch Fundamentalfolgen. S. 15
    • 8. Einführung der reellen Zahlen durch Schnitte. S. 16
    • 9. Weitere Methoden zur Einführung der reellen Zahlen. S. 17
    • 10. Der Körper der reellen Zahlen. S. 19
    • 11. Einführung der komplexen Zahlen. S. 23
    • 12. Der Körper der komplexen Zahlen. S. 26
  • 4. Darstellung der reellen Zahlen durch Grenzprozesse. Von Konrad Knopp
    • 1. Abgrenzung des Gegenstandes.
    • 2. Schnitt, Folge, Schachtelung.
    • 3. Das Epsilon. Exhaustionsmethode. Grenzwert.
    • 4. Besondere Formen des Schnittes: Untere und obere Grenze, Häufungswert und Häufungsgrenzen, unterer und oberer Limes.
    • 5. Besondere Formen der Schachtelung: Dezimalbrüche, Halbierungsmethode.
    • 6. Besondere Formen von Folgen: Unendliche Reihen, Produkte, Kettenbrüche.
    • 7. Unendliche Reihen.
    • S. Unendliche Produkte.
    • 9. Unendliche Kettenbrüche.
    • 10. Spezielle Darstellungsformen (Reihen von Cantor, Lüroth, Engel u. a.).
    • 11. Güte der Approximation.
    • 12. Nachweis der Irrationalität reeller Zahlen.
  • 5. Allgemeine Mengenlehre. Von E.Kamke
    • A. Einleitung
    • 1. Bedeutung und Gliederung der Mengenlehre.
    • B. Allgemeine Mengenreehnung
    • 2. Menge und Element.
    • 3. Untermenge, Summe, Produkt, Differenz von Mengen.
    • 4. Grenzwerte. Suslinsches Schema.
    • 5. Mengensysteme.
    • c. Äquivalenz von Mengen / Kardinalzahlen
    • 6. Äquivalenz und Kardinalzahlen.
    • 7. Erste Einteilung der Mengen. Beispiele von äquivalenten Mengen und Kardinalzahlen.
    • 8. Die Summe von Kardinalzahlen.
    • 9. Das Produkt von Kardinalzahlen.
    • 10. Die Potenz von Kardinalzahlen.
    • D. Kritische Bemerkungen über die Grundlagen der Mengenlehre
    • 11. Einwände gegen den Mengenbegriff.
    • 12. Das Auswahlprinzip.
    • 13. Die Potenzmenge.
    • 14. Axiomatische Grundlegungen.
    • 15. Brouwers intuitionistische Mengenlehre.
    • 16. Zusammenfassung.
    • E. Geordnete und wohlgeordnete Mengen / Ordnungstypen und Ordnungszahlen
    • 17. Geordnete Mengen. Ähnlichkeit und Ordnungstypus.
    • 18. Summe und Produkt von Ordnungstypen.
    • 19. Wohlgeordnete Mengen. Summe und Produkt von Ordnungszahlen.
    • 20. Rechenregeln für Ordnungszahlen.
    • 21. Ordnungszahlen erster und zweiter Art. Zahlenfolgen.
    • 22. Transfinite Induktion. Beliebige Produkte und Potenzen von Ordnungszahlen. Anfang der Zahlenfolge.
    • 23. Kanonische Darstellungen von Ordnungszahlen. Normalfunktionen.
    • 24. Der Wohlordnungssatz.
    • 25. Die Aleph-Folge. Weiterer Ausbau des Rechnens mit Kardinalzahlen.
    • 26. Konstruktive Erzeugung von Ordnungszahlen.
    • 27. Abschließende Bemerkungen über den Aufbau der Mengenlehre, insbesondere über einen solchen konstruktiver Art.
    • 28. Das Kontinuumproblem.
    • 29. Anwendungen der Ordnungszahlen und der wohlgeordneten Mengen.
    • 30. Hausdorffs Produkte und Potenzen von Ordnungstypen.
    • 31. Weitere Untersuchungen über Ordnungstypen

Band 1,Teil 1,Heft 3,T1[Bearbeiten]

Günter Pickert Normalform Matrizen, Lineare Algebra 1953 GDZ Göttingen

  • 6. Lineare Algebra. Von Günter Pickert. S. 2
    • 1. Einleitung. S. 2
    • A. Moduln und Vektorräume. S. 3
    • 2. Grundbegriffe. S. 3
    • 3. Lineare Abhängigkeit. S. 8
    • 4. Vektorräume. S. 10
    • 5. Linearformen. S. 13
    • 6. Dualität in Vektorräumen. S. 15
    • 7. Lineare Gleichungen. S. 17
    • 8. Veränderung des Skalarbereichs bei Vektorräumen. S. 19
    • 9. Matrizen. S. 21
    • B. Tensorielle und äußere Produkte. S. 25
    • 10. Tensorielles Produkt von Moduln. S. 25
    • 11. Tensoren. S. 28
    • 12. Die äußeren Potenzen von Moduln. S. 31
    • 13. Determinanten. S. 34
    • 14. Dualität in der äußeren Algebra. S. 39
  • 7. Normalformen von Matrizen. (2., völlige neu bearbeitete Auflage). Von Günter Pickert. S. 44
    • Tabelle, Liste S. 44
    • 1. Das charakteristische Polynom einer Matrix. S. 45
    • 2. Teilbarkeit von Matrizen. S. 48
    • 3. Elementarteiler. S. 51
    • 4. Ähnlichkeit. S. 55
    • 5. Äquivalenz von Matrixpaaren. S. 59
    • 6. Kongruenz. S. 61
    • 7. Kongruenz von Matrixpaaren. S. 67
    • 8. Unitäre Ähnlichkeit und normale Matrizen. S. 69

Band 1,Teil 1,Heft 3,T2[Bearbeiten]

Wilhelm Specht Algebraische Gleichungen mit reellen oder komplexen Koeffizienten, 1958 GDZ Göttingen

  • 8. Algebraische Gleichungen mit reellen oder komplexen Koeffizienten. Von Wilhelm Specht. S. 2
    • Einleitung. S. 2
    • 1. Abgrenzung. S. 2
    • 2. Grundlagen. S. 3
    • 4. Problemstellung. S. 4
    • A. Der Fundamentalsatz. S. 6
    • 4. Grundbegriffe. S. 6
    • 5. Beweise des Fundamentalsatzes. S. 8
    • 6. Die symmetrischen Funktionen der Nullstellen eines Polynoms. S. 11
    • 7. Der Stetigkeitssatz. S. 13
    • 8. Analytische Darstellungen. S. 15
    • B. Schrankensätze. S. 17
    • 9. Allgemeine Schranken. S. 17
    • 10. Einschränkung der absolut kleinsten Nullstellen. S. 24
    • 11. Reelle Polynome. S. 29
    • 12. Das Problem von Landau-Montel. S. 32
    • 13. Werteverteilung. S. 34
    • C. Zählung der Nullstellen in vorgegebenen Gebieten. S. 37
    • 14. Die Zeichenregeln. Der Sturmsche Satz. S. 37
    • 15. Die Formenmethode. S. 40
    • 16. Die Charakteristikenmethode. S. 42
    • 17. Das Kreisproblem. S. 45
    • 18. Das Halbebenenproblem. S. 48
    • 19. Der Satz von Erhard Schmidt. S. 52
    • D. Die kritischen Punkte eines Polynoms. S. 55
    • 20. Der Satz von Gauß-Lucas. S. 55
    • 21. Der Satz von Laguerre. S. 60
    • 22. Der Satz von Rolle. S. 62
    • 23. Die kritischen Punkte einer rationalen Funktion. S. 65
    • E. Kompositionssätze. S. 68
    • 24. Der Satz von Grace. S. 68
    • 25. Multiplikative Komposition. S. 69
    • 26. Lineare Komposition. S. 72
    • 27. Entwicklungen nach Orthogonalsystemen. S. 75

Band 1,Teil 1,Heft 4,T1[Bearbeiten]

Wilhelm Magnus Allgemeine Gruppentheorie 1939 GDZ Göttingen

  • 9. Allgemeine Gruppentheorie. Von Wilhelm Magnus. S. 3
    • 1. Vorbemerkungen zur Literatur. S. 3
    • A. Allgemeine Begriffe der Gruppentheorie. S. 3
    • 2. Definition einer Gruppe. Verwandte Begriffsbildungen. S. 3
    • 3. Komplexe. Untergruppen. Quotientengruppen. S. 6
    • 4. Homomorphe Abbildungen. Operatoren. Isomorphie. Automorphismen. Charakteristische Untergruppen.. S. 12
    • B. Struktur der Gruppen mit endlichen Untergruppenketten. S. 19
    • 5. Kompositionsreihen. S. 19
    • 6. Endomorphismenbereiche und Zerlegungen einer Gruppe in ein direktes Produkt. S. 21
    • 7. Abelsche Gruppen mit endlicher Basis. S. 23
    • C. Endliche Gruppen. S. 26
    • 8. Existenz und Anzahl von Untergruppen und Elementen gegebener Ordnung in einer endlichen Gruppe. S. 26
    • 9. Kriterien für die Existenz von eigentlichen Normalteilern in endlichen Gruppen. S. 28
    • 10. Einfache Gruppen von zusammengesetzter Ordnung. S. 30
    • 11. Auflösbare Gruppen. S. 31
    • 12. Gruppen von Primzahlpotenzordnung. S. 33
    • D. Konstruktion von Gruppen / Unendliche Gruppen. S. 36
    • 13. Erweiterung von Gruppen. S. 36
    • 14. Erzeugende und definierende Relationen. Freie Gruppen. S. 39
    • 15. Freie Produkte. S. 45
    • 16. Topologische Gruppen und Limesgruppen. Metrische Gruppen. S. 46
    • 17. Unendliche abelsche Gruppen. S. 49

Band 1,Teil 1,Heft 5[Bearbeiten]

Wolfgang Krull Grundbegriffe der Theorie der Operatorgruppen und der Idealtheorie, Theorie der Polynomideale und Eliminationstheorie; Hans Hermes, Gottfried Köthe Theorie der Verbände 1939 GDZ Göttingen

  • 11. Allgemeine Modul-, Ring- und Idealtheorie Von Wolfgang Krull. S. 2
    • A. Grundbegriffe der Theorie der Operatorgruppen und der Ideale.
    • 1. Vorbemerkungen. S. 2
    • 2. Operatorgruppen (Moduln). S. 3
    • 3. Grundbegriffe der Idealtheorie. S. 6
    • 4. Prim- und Primärideale. Kettensätze. S. 9
    • B. O-Ringe (Ringe mit Maximalbedingung). S. 11
    • 6. Teilerfremde Ideale und direkte Summenzerlegung. U-Ringe. S. 13
    • 7. Beliebige O-Ringe. Der Durchschnittssatz. Methode der Primidealquotientenringe. S. 16
    • 8. Dimensionstheorie der Stellenringe. S. 19
    • 9. Verhalten der Primideale bei algebraisch ganzer Ringerweiterung. Diskriminantensätze. S. 22
    • C. Multiplikative Idealtheorie. S. 26
    • 10. Zahlentheoretische Grundlagen. Z.P.I.-Ringe. S. 26
    • 11. v-Ideale. S. 30
    • 12. Multiplikationsringe. S. 32
    • 13. '-Operationen, a-Ideale, Funktionalringe. S. 33
    • 14. Bewertungsarithmetik. S. 35
    • 15. Wertideale. S. 37
    • 16. Spezielle, insbesondere endliche diskrete Hauptordnungen. S. 40
    • 17. Algebraische Erweiterungen endlicher diskreter Hauptordnungen. S. 42
    • D. U-Ringe (Ringe mit Minimalbedingung) S. 45
    • 18. Umkehrbare Ideale. S. 45
    • 19. Ganz abhängige Oberringe. Führersätze. S. 47
    • 20. Grad- und Normensätze. S. 49
    • 21. Differentensätze. S. 52
  • 12. Theorie der Polynomideale und Eliminationstheorie. Von Wolfgang Krull. S. 2
    • A. Nullstellen- und Dimensionstheorie der Polynomideale. S. 2
    • 1. Vorbemerkungen. S. 2
    • 2. Hilbertscher und Laskerscher Satz. Nullstellen von Polynomidealen. S. 2
    • 3. Die Nullstellentheorie von van der Waerden. S. 4
    • 4. Der Dimensionsbegriff der Idealtheorie. S. 7
    • 5. Einschiebung über Potenzreihenringe. S. 8
    • 6. Dimensionserniedrigung, algebraische Abschließung des Grundkörpers. Ungemischtheitssätze. S. 9
    • B. Eliminationstheorie. S. 12
    • 7. Grundaufgaben. Allgemeine Variable. S. 12
    • 8. Die Resultante und die Eliminationsmethode von Kronecker. S. 13
    • 9. Die Hentzeltsche Eliminationsmethode. S. 14
    • 10. Berechnungsprobleme bei Idealen. S. 15
    • 11. Homogene Probleme. Beispiel der linearen Gleichungen. S. 18
    • 12. Resultantensysteme und Trägheitsformen. S. 19
    • 13. Grundeigenschaften der Resultante. S. 21
    • 14. Die u-Resultante. S. 22
    • 15. Inhomogene Gleichungssysteme mit nichtverschwindener Resultante. S. 24
    • 16. Irrationale Darstellung der Resultante. Die Diskriminante. S. 26
    • 17. Mehrfach homogene Gleichungssysteme. S. 28
    • 18. Die Vielfachheitstheorie van der Waerdens. S. 29
    • 19. Anwendungen der Vielfachheitstheorie van der Waerdens. S. 31
    • C. Weiterer Ausbau der Polynomidealtheorie. S. 37
    • 20. Lineare Gleichungen im Polynomring. S. 37
    • 21. H-Ideale. Die Syzygienkette. S. 39
    • 22. Die Hilbertsche Funktion. S. 41
    • 23. Das inverse System. S. 43
    • 24. Perfekte Ideale. S. 46
    • 25. Funktionaldeterminanten und Polynomideale. S. 47
    • 26. Polynomideale und Singularitäten algebraischer Gebilde. S. 50
  • 13. Theorie der Verbände. Von Hans Hermes und Gottfried Köthe. S. 2
    • A. Grundlagen. S. 2
    • 1. Einleitung. S. 2
    • 2. Axiome. S. 3
    • 3. Grundbegriffe. S. 6
    • 4. Allgemeine Verbände. S. 7
    • 5. Modulare Verbände. S. 8
    • 6. Der Satz von Jordan-Hölder. S. 10
    • 7. Zerlegungssätze. S. 11
    • C. Distributive und Boolesche Verbände. S. 13
    • 8. Distributive Verbände. S. 13
    • 9. Boolesche Verbände. S. 14
    • 10. Darstellung distributiver und Boolescher Verbände durch Mengenverbände. S. 17
    • 11. Beziehungen zur Topologie. S. 18
    • 12. Beziehungen zur Logik. S. 19
    • D. Komplementäre modulare Verbände. S. 23
    • 13. Längenendliche komplementäre modulare Verbände. S. 23
    • 14. Die kontinuierlichdimensionalen Geometrien. S. 25
    • 15. Darstellung durch Hauptidealverbände. S. 26

Band 1,Teil 1,Heft 6,T2[Bearbeiten]

Hermann Boerner Darstellungstheorie der endlichen Gruppen 1967 GDZ Göttingen

  • 15. Darstellungstheorie der endlichen Gruppen. Von Hermann Boerner. S. 3
    • 1. Vorbemerkung. S. 3
    • A. Allgemeine Theorie der gewöhnlichen Darstellungen. S. 4
    • 2. Grundbegriffe. S. 4
    • 3. Lemma von Schur. Verkettungsmatrizen. S. 6
    • 4. Der Satz von Maschke. S. 7
    • 5. Gruppenring. Reguläre Darstellung. Anzahlsatz. S. 8
    • 6. Charaktere. S. 12
    • 7. Kronecker-Produkte. S. 15
    • 8. Die Frage der Treue. S. 18
    • 9. Schur-Index. Zerfällungskörper. S. 20
    • 10. Gruppe und Untergruppe oder Normalteiler. S. 23
    • 11. Abelsche Gruppen. S. 27
    • B. Gewöhnliche Darstellungen spezieller Gruppen. S. 29
    • 12. Symmetrische und alternierende Gruppen. S. 29
    • 13. Beziehungen zur vollen linearen Gruppe und verschiedene Produktbildungen. S. 34
    • 14. Darstellungen weiterer spezieller Gruppen. S. 38
    • 15. Theorie der modularen Dartsellungen. S. 40
    • 16. Modulare Darstellungen spezieller Gruppen. S. 51
    • 17. Ganzzahlige Darstellungen. S. 54
    • D. Anwendungen auf die Gruppentheorie. S. 60
    • 18. Anwendungen der gewöhnlichen und der modularen Darstellungstheorie. S. 60
    • E. Verallgemeinerungen und verwandte Theorien. S. 66
    • 19. Monomiale Darstellungen. S. 66
    • 20. Darstellungen durch Kollineationen. S. 68
    • 21. Darstellungen durch halblineare Transformationen. S. 71
    • 22. Darstellungen von Halbgruppen. S. 72
    • Index S. 76

Band 1,Teil 1,Heft 7,T1[Bearbeiten]

Wilhelm Maak Darstellungstheorie unendlicher Gruppen und fastperiodische Funktionen 1953 GDZ Göttingen

  • 16. Darstellungstheorie unendlicher Gruppen und fastperiodische Funktionen. (2., bearbeite Auflage). Von Wilhelm Maak. S. 3
    • A. Fastperiodische Funktionen und beschränkte Darstellungen. S. 3
    • 1. Definition von „fastperiodisch“. S. 3
    • 2. Mittelwertsatz. S. 3
    • 3. Eigenschaften des Mittelwertes. S. 4
    • 4. Beschränkte Darstellungen. S. 5
    • 5. Aufspalten in unitäre irreduzible Darstellungen. S. 6
    • 6. Orthogonalitätsrelationen. S. 7
    • 7. Der Gruppenring … . S. 7
    • 8. Invariante Moduln und Rechtsideale. S. 8
    • 9. Idempotente Elemente. S. 9
    • 10. Historische Anmerkungen. S. 10
    • 11. Fourierreihen. S. 10
    • 12. Eindeutigkeitssatz. S. 11
    • 13. Fourierreihen als Elemente eines Matrizenringes. S. 11
    • 14. Das Glätten von fp. Funktionen. S. 12
    • 15. Aufspaltung invarianter Moduln. S. 13
    • 16. Approximationssatz. S. 13
    • 17. Summierung der Fourierreihen. Vollständigkeitsrelation. S. 14
    • 18. Die zu einer Gruppe assoziierte kompakte Gruppe. S. 15
    • 19. Die Fourierreihen der fastperiodischen Funktionen eines invarianten Moduls. S. 16
    • 20. Volle Moduln. S. 16
    • B. Verallgemeinerungen. S. 17
    • 21. Weyl-fatsperiodische und …-fastperiodische Funktionen. S. 17
    • 22. Allgemeine Wertebereiche. S. 18
    • 23. Fastperiodische Funktionen auf Halbgruppen. S. 19
    • C. Anwendungen und Anwendungsmöglichkeiten. S. 20
    • 24. Periodische und eigentlich-fastperiodische Funktionen. S. 20
    • 25. Kugelfunktionen. S. 21
    • 26. Maximal- und minimalfastperiodische Gruppen. S. 21
    • 27. Darstellungen kompakter Gruppen. S. 22
    • 28. Struktur maximalfastperiodischer Gruppen. S. 24
    • 29. Pontrjaginscher Dualitätssatz. S. 24
    • 30. Tannakas Dualitätssatz. S. 25

Band 1,Teil 2,Heft 8,T2[Bearbeiten]

Philipp Furtwängler, bearbeitet von Helmut Hasse, Wolfram Jehne: Allgemeine Theorie der algebraischen Zahlen 1953 GDZ Göttingen

  • 19. Allgemeine Theorie der algebraischen Zahlen. Von Philipp Furtwängler. S. 3
    • 1. Einleitung. S. 3
    • 2. Ganze algebraische Zahlen; Teilbarkeit. S. 4
    • 3. Grundbegriffe der Dedekindschen Modultheorie. S. 6
    • 4. Die Idealtheorie nach Dedekind. S. 7
    • 5. Ideale in verschiedenen Körpern. S. 10
    • 6. Die Kroneckersche Methode der Unbestimmten. S. 11
    • 7. Axiomatische Brgründung der Idealtheorie. S. 13
    • 8. Der divisorentheoretische Aufbau der Arithmetik nach Kummer-Hensel. S. 13
    • 9. Struktur des Restklassenringes und der primen Restklassengruppe nach einem ganzen Ideal; Theorie der Einseinheiten. S. 16
    • 10. Einteilung der Ideale in Klassen. S. 18
    • 11. Differente und Diskriminante. S. 18
    • 12. Zerlegung von Primidealen in Erweiterungskörpern. S. 23
    • 13. Galoissche Körper. S. 25
    • 14. Einheiten. S. 31
    • 15. Zerlegbare Formen; Kleinsche Gitterfigur. S. 35
    • 16. Zusammensetzung von Körpern. S. 37
    • 17. Zahlringe (Ordnungen). S. 39
    • 18. Die Artinschen Führer und Artinschen L-Funktionen. S. 40
    • 19. Analytische Bestimmung der Idealklassenzahl. S. 47

Band 1,Teil 2,H10,T2[Bearbeiten]

Max Deuring Der Klassenkörper der komplexen Multiplikation 1958 GDZ Göttingen

  • 23. Die Klassenkörper der komplexen Multiplikation. Von Max Deuring. S. 2
    • A. Funktionentheoretische Grundlagen. S. 2
    • 1. Modulfunktionen. S. 2
    • 2. Die Modulfunktionen zu Untergruppen von … . S. 4
    • 3. Transformationen der Modulfunktionen. S. 6
    • 4. Die Funktionen … . S. 13
    • 5. Elliptische Funktionen. S. 14
    • 6. Die Webersche Funktion. S. 15
    • 7. Die Teilwerte der Weberschen Funktion. S. 16
    • B. Zahlentheoretische Grundlagen. S. 19
    • 8. Ordnungen in quadratischen Zahlkörpern. S. 19
    • C. Der erste Hauptsatz. S. 23
    • 9. Formulierung des ersten Hauptsatzes. S. 23
    • 10. Beweis des ersten Hauptsatzes mit Hilfe der allgemeinen Theorie der abelschen Zahlkörper. S. 24
    • 11. Übersicht über den von der allgemeinen Klassenkörpertheorie unabhängigen Beweis des ersten Hauptsatzes. S. 25
    • 12. Das Klassenpolynom. S. 26
    • 13. Die singulären Werte der Funktionen … . Erster Teil. S. 32
    • 14. Beweis der grundlegenden Kongruenz (33). S. 34
    • 15. Der Isomorphismus … von … mit … . S. 34
    • 16. Die Galoisgruppe … . S. 36
    • 17. Das Reziprozitätsgesetz für … . S. 37
    • 18. Die Geschlechter der Ordnung R. S. 37
    • 19. Der Anordnungssatz für die Ringklassenkörper. S. 38
    • 20. Die singulären Werte der Funktion aus P… . S. 38
    • 21. Der Hauptidealsatz für imaginäre quadratische Zahlkörper. S. 41
    • 22. Die singulären Werte der Funktionen von … . Zweiter Teil. S. 42
    • 23. Kongruenzen für singuläre Werte von Funktionen aus P… . S. 44
    • D. Der zweite Hauptsatz. S. 46
    • 24. Die singulären elliptischen Funktionen. S. 46
    • 25. Die singulären Werte der Weberschen Funktion. Strahlklasseninvarianten. S. 47
    • 26. Der zweite Hauptsatz. S. 49
    • 27. Von der allgemeinen Klassenkörpertheorie unabhängiger Beweis des zweiten Hauptsatzes. S. 51
    • 28. Die fundamentale Kongruenz. S. 52
    • 29. Die Erzeugung des Stahlenkörpers durch eine einzelne Strahlklasseninvariante. S. 54
    • 30. Das Reziprozitätsgesetz für den Strahlklassenkörper. S. 54
    • 31. Das Strahlklassenpolynom. S. 56
    • E. Bemerkungen. S. 59

Band 1,Teil 2,H11,T3[Bearbeiten]

Ott-Heinrich Keller Geometrie der Zahlen 1954 GDZ Göttingen

  • 27. Geometrie der Zahlen. (2., bearbeite Auflage). Von Otto-Heinrich Keller. S. 2
    • Einleitung. S. 2
    • A. Die grundlegenden Sätze über konvexe Körper in Zahlengitter. S. 3
    • 1. Das Gitter. S. 3
    • 2. Minkowskische Geometrie. S. 4
    • 3. Der erste Minkowskische Hauptsatz. S. 5
    • 4. Der zweite Minkowskische Satz. S. 9
    • 5. Stufen größten Volumens, Paralleloeder, Wabenzellen. S. 12
    • 6. Kritische Gitter und dichteste gitterförmige Lagerung kongruenter Körper. S. 15
    • B. Sternenkörper. S. 17
    • 7. Definitionen. S. 17
    • 8. Sätze. S. 19
    • 9. Vermutungen und Probleme. S. 22
    • 10. Spezielle Sternkörper. S. 23
    • 11. Der Minkowski-Hlawkasche Satz. S. 26
    • C. Lineare Formen. S. 27
    • 12. Der Minkowskische Linearformensatz. S. 27
    • 13. Der Minkowski-Hajóssche Satz. S. 31
    • 14. Diophantische Approximationen. S. 34
    • D. Das Minimum homogener Formen. S. 35
    • 15. Das Minimum definiter quadratischer Formen; dichteste Kugelpackung. S. 35
    • 16. Höhere Minima definiter quadratischer Formen. S. 38
    • 17. Indefinite binäre quadratische Formen. S. 39
    • 18. Indefinite binäre Minimalformen. S. 40
    • 19. Indefinite binäre quadratische Formen in imaginär-quadratischen Zahlkörpern. S. 41
    • 20. Binäre positiv-definite Hermitesche Formen. S. 41
    • 21. Ternäre indefinite quadratische Formen. S. 43
    • 22. Binäre kubische Formen. S. 43
    • 23. Potenzsummen. S. 44
    • 24. Produkte homogener Linearformen. S. 46
    • E. Inhomogene Formen. S. 48
    • 25. Das Produkt inhomogener Linearformen. S. 48
    • 26. Inhomogene binäre und ternäre quadratische Formen. S. 53
    • F. Definite quadratische Formen. S. 54
    • 27. Reduktion der definiten quadratischen Formen. S. 54
    • 28. Der Koeffizientenraum. S. 57
    • 29. Paralleleoeder und quadratische Formen. S. 59
    • G. Kettenbrüche. S. 61
    • 30. Die Kleinschen Polygone. S. 61
    • 31. Deutung der quadratischen Formen und der Kettenbrüche in der Modulfigur. S. 66
    • 32. Der Euklidische Algorithmus in quadratischen Zahlkörpern. S. 69
    • 33. Mehrdimensionale Ketten. Kriterien für algebraische Zahlen. S. 71
    • H. Algebraische Zahlen. S. 76
    • 34. Die Diskriminante eines algebraischen Zahlkörpers. S. 76
    • 35. Einheiten. S. 77
    • 36. Zerlegbare Formen und Ideale. S. 80
    • 37. Galoissche Theorie. S. 82
    • I. Partitionen und Gitterpunktfiguren. S. 83

Band 1,Teil 2,H13,T1[Bearbeiten]

Loo-Keng Hua Abschätzung von Exponentialsummen und ihre Anwendung in der Zahlentheorie 1959 GDZ Göttingen

  • 29. Abschätzungen von Exponentialsummen und ihre Anwendung in der Zahlentheorie. Von Loo-Keng Hua. S. 2
    • Einleitung. S. 2
    • A. Elementare Methoden. S. 8
    • 1. Dichte. S. 8
    • 2. Hilbert-Waringscher Satz. S. 9
    • 3. Siebmethode und Schnirelmann-Goldbachscher Satz. S. 11
    • 4. Fortsetzung. S. 15
    • 5. Elementarer Beweis des Primzahlsatzes. S. 18
    • 6. Elementare Methode in der geometrischen Zahlentheorie. S. 20
    • B. Abschätzung von Exponentialsummen. S. 23
    • 7. Die Methode von Weyl. S. 23
    • 8. Die Methode von van der Corput. S. 24
    • 9. Der Mittelwertsatz von Vinogradov. S. 28
    • 10. Folgerungen aus dem Mittelwertsatz. S. 33
    • 11. Gruppencharaktere. S. 35
    • 12. Summen mit Charakteren. S. 36
    • 13. Vollständige Exponentialsummen. S. 40
    • 14. Methode zur Abschätzung von unvollständigen Summen. S. 41
    • 15. Exponentialsummen mit Primzahlen als Veränderliche. S. 45
    • C. Primzahlverteilung und damit zusammenhängende Eigenschaften der Riemannschen …-Funktion. S. 49
    • 16. Der Primzahlsatz. S. 49
    • 17. Die analytische Methode von Riemann. S. 51
    • 18. Beiträge von Hadamard und von v. Mangoldt. S. 54
    • 19. Der Primzahlsatz mit Restglied. S. 57
    • 20. Schwankungen im Restglied des Primzahlsatzes. S. 59
    • 21. Die Differenz aufeinanderfolgender Primzahlen. S. 61
    • 22. Die Verteilung der Primzahlen in einer arithmetischen Reihe. S. 66
    • 23. Andere Primzahlprobleme. S. 69
    • 24. Verteilung von Zahlen, deren Primfaktoren gewissen Bedingungen genügen. S. 70
    • D. Waringsches Problem. S. 72
    • 25. Einführung in die analytische Methode. S. 72
    • 26. Die obere Schranke für G(k). S. 75
    • 27. Verschiedene Verallgemeinerungen des Waringschen Problems. S. 78
    • 28. Die obere Schranke von g(k). S. 81
    • 29. Simultanproblem. S. 82
    • E. Das Goldbachsche Problem. S. 85
    • 30. Der Satz von Vinogradov. S. 85
    • 31. Verallgemeinerung des Satzes von Vinogradov. S. 86
    • 32. Ergebnisse über das Goldbachsche Problem für gerade Zahlen. S. 87
    • 33. Das Waring-Goldbachsche Problem. S. 90
    • 34. Abänderung des Problems. S. 92
    • 35. Simultanproblem. S. 92
    • F. Gleichverteilung. S. 93
    • 36. Definition und das Kriterium von Weyl. S. 93
    • 37. Abschätzung des Restgliedes. S. 96
    • 38. Verteilung einer Funktion mit einer Primzahlvariablen. S. 98
    • 39. Die Verteilung von {ax}. S. 99
    • 40. Diophantische Ungleichungen. S. 101
    • G. Weitere zahlentheoretische Funktionen. S. 101
    • 41. Einführung. S. 101
    • 42. Ausdrücke für … (n) und … (n). S. 103
    • 43. Gitterpunktprobleme in einem allgemeinen Bereich. S. 105
    • 44. Das Kreisproblem und das Teilerproblem. S. 105
    • 45. Methode zur abschätzung von Exponentialsummen. S. 106
    • 46. Verallgemeinerung des Teilerproblems. S. 107
    • 47. Verallgemeinerung des Kreisproblems. S. 109
    • 48. Verteilung von k-freien Zahlen. S. 112
    • 49. Allgemeine Methode. S. 113
    • Verzeichnis der wichtigsten in diesem Artikel behandelten Probleme mit ihren neuesten Ergebnissen. S. 116