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	Max Abraham: Theorie der Elektrizität, Zweiter Band: Elektromagnetische Theorie der Strahlung, Dritte Auflage

Geschwindigkeit, 1/4 des gesamten elektromagnetischen Impulses sein, damit für die Ruhmasse der Wert (131d) herauskommt.

Da in $W$ und ${\mathfrak {G}}$ alle beteiligten Energiearten mitgerechnet sind, so gilt für die longitudinale Masse, außer (115), auch (115b). Mithin sind $W$ und $|{\mathfrak {G}}|$ durch die Bedingung (111b) verknüpft, die identisch erfüllt wird, indem man Bewegungsgröße und Energie aus der Lagrangeschen Funktion ableitet:

(132)

$|{\mathfrak {G}}|={\frac {dL}{d|{\mathfrak {v}}|}},\quad W=|{\mathfrak {v}}|{\frac {dL}{d|{\mathfrak {v}}|}}-L.$

Führt man diese Ausdrücke in (131b) ein:

$|{\mathfrak {G}}|={\frac {|{\mathfrak {v}}|}{c^{2}}}W$

und setzt

$\beta ={\frac {|{\mathfrak {v}}|}{c}},$

so folgt

$\left(1-\beta ^{2}\right){\frac {dL}{d\beta }}=-\beta L.$

Die Integration dieser Differentialgleichung ergibt

$L=L_{0}{\sqrt {1-\beta ^{2}}},$

wobei, gemäß (132) und (131d), zu setzen ist:

$L_{0}=-W_{0}=-m_{0}c^{2}.$

Demnach folgt als Ausdruck der Lagrangeschen Funktion

(132a)

$L=-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}.$

Indem man $L$ in die Lagrangeschen Gleichungen (116) einsetzt, erhält man die für quasistationäre Translationsbewegungen gültigen Bewegungsgleichungen des Systemes.

Aus (132) folgen die Beträge von Impuls und Energie:

$|{\mathfrak {G}}|={\frac {1}{c}}{\frac {dL}{d\beta }}={\frac {m_{0}c\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}},$

(132b)

$W=\beta {\frac {dL}{d\beta }}-L=m_{0}c^{2}\left(1-\beta ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}.$

Der Impulsvektor (131b) ist also

(132c)

${\mathfrak {G}}=m_{0}{\mathfrak {v}}\left(1-\beta ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}.$

Empfohlene Zitierweise:
Max Abraham: Theorie der Elektrizität, Zweiter Band: Elektromagnetische Theorie der Strahlung, Dritte Auflage. Teubner, Leipzig 1914, Seite 192. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:AbrahamElektromagnetismus1914.djvu/202&oldid=- (Version vom 31.7.2018)