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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.24

auf, so können wir auf den Körper $C'_{h}$ das nämliche Verfahren anwenden, das wir soeben für den ursprünglich vorgelegten Körper $C_{h}$ dargelegt haben, und gelangen dann entweder zu der Einsicht, daß $C'_{h}$ ein Kreiskörper ist, oder wir werden auf einen zyklischen Körper $C''_{h}$ vom Grade $l^{h}$ geführt, dessen Diskriminante wieder mindestens eine rationale Primzahl, nämlich die Primzahl $p'$, weniger enthält als die Diskriminante des Körpers $C'_{h}$. Das so eingeleitete Verfahren führt nach einer gewissen Anzahl $m$ sich folgender Anwendungen entweder auf einen Körper $C_{h^{(m)}}^{(m)}$, der sich auf Grund unserer Annahme bereits als Kreiskörper erweist, oder wir gelangen schließlich zu einem zyklischen Körper $C_{h}^{(m)}$ vom Grade $l^{h}$ von der Art, daß der in $C_{h}^{(m)}$ enthaltene Unterkörper $C_{1}^{(m)}$ vom $l$-ten Grade eine Diskriminante besitzt, welche keine rationale Primzahl oder nur die Primzahl $l$ enthält. Da es nach den Bemerkungen auf S. 213 einen zyklischen Körper $l$-ten Grades mit der Diskriminante $\pm 1$ nicht gibt, so tritt notwendig der letztere Umstand ein.

Wir unterscheiden nunmehr zwei Fälle, je nachdem $l$ eine ungerade Primzahl $u$ oder gleich 2 ist.

Im ersteren Falle stimmt nach Hilfssatz 18 $C_{1}^{(m)}$ mit $U_{1}$ überein.

Im zweiten Falle $l=2$ ist, wenn $h=1$ ausfällt, der Körper $C_{h}^{(m)}=C_{1}^{(m)}$ entweder gleich $k(i)$ oder gleich $k\left({\sqrt {2}}\right)=\Pi _{1}$ und mithin offenbar ein Kreiskörper. Für $h>1$ erweist sich jedoch $C_{1}^{(m)}$ stets gleich $k\left({\sqrt {2}}\right)=\Pi _{1}$. Ist nämlich $C_{h}^{(m)}$ ein reeller Körper, so ist offenbar auch $C_{1}^{(m)}$ reell, und daraus folgt die Behauptung. Ist jedoch $C_{h}^{(m)}$ ein imaginärer Körper, so bilden die sämtlichen reellen Zahlen desselben einen reellen Unterkörper vom Grade $2^{h-1}$, und da $C_{1}^{(m)}$ notwendig in diesem reellen Körper enthalten ist, so ist $C_{1}^{(m)}$ ebenfalls reell und stimmt also mit $\Pi _{1}$ überein.

In den beiden oben unterschiedenen Fällen ist somit, wenn wir von $l=2$, $h=1$ absehen, stets der Körper $C_{1}^{(m)}=U_{1}$ bez. $=\Pi _{1}$. Nach Hilfssatz 19 ist infolgedessen $C_{h}^{(m)}$ Unterkörper eines Körpers, der sich aus $U_{h}$ bez. $\Pi _{h}$ und einem zyklischen Körper $C_{\bar {h}}$ vom Grade $l^{\bar {h}}<l^{h}$ zusammensetzt. Da nun der Fundamentalsatz 131 zyklische Körper von der letzteren Beschaffenheit bereits als bewiesen angenommen worden ist, so erweist sich auch $C_{h}^{(m)}$ als Kreiskörper. Damit ist der Fundamentalsatz 131 vollständig bewiesen, und zugleich ist ersichtlich, in welcher Weise man alle Abelschen Körper von gegebener Gruppe und gegebener Diskriminante aufstellen kann.

24. Die Wurzelzahlen des Kreiskörpers der $l$-ten Einheitswurzeln.

§ 105. Die Definition und Existenz der Normalbasis.

Eine Basis eines Abelschen Körpers $K$ von einem Grade $M$ soll eine Normalbasis heißen, wenn sie aus einer ganzen Zahl ${\mathsf {N}}$ des Körpers $K$ und den zu ${\mathsf {N}}$ konjugierten Zahlen ${\mathsf {N}}',\dots ,{\mathsf {N}}^{(M-1)}$ besteht. Es gilt der folgende Hilfssatz:

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 216. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/233&oldid=- (Version vom 31.7.2018)