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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.26

Bedeutet endlich $a$ eine gerade Zahl, so setzen wir

$\left[{\frac {a}{2^{2}}}\right]=0$, $\left[{\frac {a}{2^{h}}}\right]=0$,

$(h>2).$

Sind $a$, $b$ irgend zwei ganze rationale Zahlen, so gelten dann, wie man sieht, die Gleichungen

$\left[{\frac {ab}{2^{h}}}\right]=\left[{\frac {a}{2^{h}}}\right]\left[{\frac {b}{2^{h}}}\right]$,

$(h>1).$

Durch diese Festsetzungen ist das Symbol $\textstyle \left[{\frac {a}{L}}\right]$ vollständig für den Fall definiert, daß $a$ eine beliebige ganze rationale Zahl und $L$ eine höhere Potenz von $2$ als die erste oder eine Potenz einer ungeraden Primzahl bedeutet, wobei im letzteren Falle irgendeine Primitivzahl $r$ nach $L$ von vornherein zugrunde zu legen ist.

Sind $l_{1}^{h_{1}}$, $l_{2}^{h_{2}}$, … irgendwelche fest gegebene Potenzen verschiedener ungerader Primzahlen und $2^{h^{*}}$ eine Potenz von $2$, die größer als $2^{2}$ ist, so setzen wir zur Abkürzung

$\left[\overbrace {u_{1},\,u_{2},\,\ldots } ^{a}\right]=\left[{\frac {a}{l_{1}^{h_{1}}}}\right]^{u_{1}}\left[{\frac {a}{l_{2}^{h_{2}}}}\right]^{u_{2}}\cdots$,

ferner

$\left[\overbrace {u;\,u_{1},\,u_{2},\,\ldots } ^{a}\right]=\left[{\frac {a}{2^{2}}}\right]^{u}\left[{\frac {a}{l_{1}^{h_{1}}}}\right]^{u_{1}}\left[{\frac {a}{l_{2}^{h_{2}}}}\right]^{u_{2}}\cdots$,

ferner

$\left[\overbrace {u,\,u^{*};\,u_{1},\,u_{2},\,\ldots } ^{a}\right]=\left[{\frac {a}{2^{2}}}\right]^{u}\left[{\frac {a}{2^{h^{*}}}}\right]^{u^{*}}\left[{\frac {a}{l_{1}^{h_{1}}}}\right]^{u_{1}}\left[{\frac {a}{l_{2}^{h_{2}}}}\right]^{u_{2}}\cdots$;

darin soll $a$ eine beliebige ganze rationale Zahl, und die Exponenten $u$, $u^{*}$; $u_{1}$, $u_{2}$, … sollen ganze rationale, nicht negative Zahlen vorstellen. Endlich setzen wir fest, daß das Zeichen $\textstyle \left[{\frac {a}{L}}\right]^{0}$ stets den Wert $1$ bedeuten soll, auch wenn $\textstyle \left[{\frac {a}{L}}\right]=0$ ist.

§ 117. Die Ausdrücke für die Klassenanzahl im Kreiskörper der $m$–ten Einheitswurzeln.

Es gilt der folgende Satz, dessen Beweis in § 118 gegeben werden wird:

Satz 141. Es sei $m$ eine ganze rationale positive Zahl von der Gestalt $m=l_{1}^{h_{1}}l_{2}^{h_{2}}\ldots$, oder $=2^{2}l_{1}^{h_{1}}l_{2}^{h_{2}}\ldots$, oder $=2^{h^{*}}l_{1}^{h_{1}}l_{2}^{h_{2}}\ldots$

($h^{*}>2$, $h_{1}>0$, $h_{2}>0$, …),

wo $l_{1}$, $l_{2}$, … voneinander verschiedene ungerade Primzahlen bedeuten. Es seien ferner $r_{1}$, $r_{2}$, … Primitivzahlen bez. nach $l_{1}^{h_{1}}$, $l_{2}^{h_{2}}$, … und mit ihrer Hilfe die betreffenden Symbole definiert. Dann kann die Klassenanzahl $H$ des Kreiskörpers $k$ der $m$-ten Einheitswurzeln auf folgende zwei Weisen ausgedrückt werden:

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 235. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/252&oldid=- (Version vom 10.7.2016)