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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.28

§ 126. Die Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers.

Unsere erste Aufgabe ist die Ermittlung der Relativdiskriminante von $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ in bezug auf $k(\zeta )$. Wir beweisen zunächst die folgende Tatsache:

Hilfssatz 23. Wenn ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ des Kreiskörpers $k(\zeta )$ gleich der $l$-ten Potenz eines Primideals ${\mathfrak {P}}$ des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ wird und ${\mathsf {A}}$ eine ganze durch ${\mathfrak {P}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {P}}^{2}$ teilbare Zahl in $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ ist, so enthalten die Relativdiskriminante der Zahl ${\mathsf {A}}$ und die Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ in bezug auf $k(\zeta )$ genau die gleiche Potenz von ${\mathfrak {p}}$ als Faktor.

Beweis. Jede ganze Zahl des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ ist offenbar in der Gestalt

$\Omega {\frac {\alpha +\alpha _{1}{\mathsf {A}}+\alpha _{2}{\mathsf {A}}^{2}+\cdots +\alpha _{l-1}{\mathsf {A}}^{l-1}}{\beta }}$

(68)

darstellbar, so daß $\alpha$, $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, …, $\alpha _{l-1}$, $\beta$ ganze Zahlen in $k(\zeta )$ sind. Ist dabei $\beta$ durch ${\mathfrak {p}}$ teilbar, so folgt, daß auch der Zähler des rechter Hand stehenden Bruches kongruent $0$ nach ${\mathfrak {p}}$ sein muß. Wegen ${\mathsf {A}}\equiv 0$ nach ${\mathfrak {P}}$ geht hieraus $\alpha \equiv 0$ nach ${\mathfrak {P}}$ und, da $\alpha$ in $k(\zeta )$ liegt, auch $\alpha \equiv 0$ nach ${\mathfrak {p}}$ hervor. Aus der letzten Kongruenz ergibt sich

$\alpha _{1}{\mathsf {A}}+\alpha _{2}{\mathsf {A}}^{2}+\cdots +\alpha _{l-1}{\mathsf {A}}^{l-1}\equiv 0$, $({\mathfrak {p}})$,

und da ${\mathsf {A}}\not \equiv 0$, ${\mathsf {A}}^{2}\equiv 0$, ${\mathsf {A}}^{3}\equiv 0$, …, ${\mathsf {A}}^{l-1}\equiv 0$ nach ${\mathfrak {P}}^{2}$ ist, so folgt $\alpha _{1}\equiv 0$ nach und ${\mathfrak {P}}$ daher auch nach ${\mathfrak {p}}$, also ist auch

$\alpha _{2}{\mathsf {A}}^{2}+\cdots +\alpha _{l-1}{\mathsf {A}}^{l-1}\equiv 0$, (${\mathfrak {p}}$).

Wegen ${\mathsf {A}}^{2}\not \equiv 0$, ${\mathsf {A}}^{3}\equiv 0$, …, ${\mathsf {A}}^{l-1}\equiv 0$ nach ${\mathfrak {P}}^{3}$ folgt $\alpha _{2}\equiv 0$ nach ${\mathfrak {P}}$ und daher auch nach ${\mathfrak {p}}$. Fahren wir so fort, so erkennen wir, daß notwendig alle Koeffizienten $\alpha$, $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, …, $\alpha _{l-1}$ durch ${\mathfrak {p}}$ teilbar sein müssen. Ist jetzt $\beta '$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$, welche durch $\textstyle {\frac {\beta }{\mathfrak {p}}}$ teilbar, aber nicht durch $\beta$ teilbar ist, so werden die Zahlen $\alpha \beta '$, $\alpha _{1}\beta '$, …, $\alpha _{l-1}\beta '$ sämtlich durch $\beta$ teilbar. Wir setzen

$\alpha '={\frac {\alpha \beta '}{\beta }}$, $\alpha _{1}'={\frac {\alpha _{1}\beta '}{\beta }}$, …, $\alpha _{l-1}'={\frac {\alpha _{l-1}\beta '}{\beta }}$

und erhalten dann

$\Omega ={\frac {\alpha '+\alpha _{1}'{\mathsf {A}}+\alpha _{2}'{\mathsf {A}}^{2}+\cdots +\alpha _{l-1}'{\mathsf {A}}^{l-1}}{\beta '}}$,

(69)

wo die im Nenner stehende Zahl $\beta '$ jetzt einen Idealfaktor ${\mathfrak {p}}$ weniger enthält als $\beta$. Wenden wir die eben auf (68) angewandte Schlußweise nunmehr wiederum auf (69) an usf., so gelangen wir schließlich zu dem Resultat, daß jede ganze Zahl $\Omega$ des Körpers $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ in der Gestalt

$\Omega ={\frac {\alpha +{\overline {\alpha }}_{1}{\mathsf {A}}+{\overline {\alpha }}_{2}{\mathsf {A}}^{2}+\cdots +{\overline {\alpha }}_{l-1}{\mathsf {A}}^{l-1}}{\overline {\beta }}}$

(70)

darstellbar ist derart, daß ${\overline {\alpha }}$, ${\overline {\alpha }}_{1}$, …, ${\overline {\alpha }}_{l-1}$, ${\overline {\beta }}$ sämtlich ganze Zahlen in $k(\zeta )$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 250. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/267&oldid=- (Version vom 22.8.2016)