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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.28

Da ferner die Zahl ${\mathsf {M}}^{*}$ durch ${\mathfrak {P}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {P}}^{2}$ teilbar ist, und da die Relativdiskriminante der Zahl ${\mathsf {M}}^{*}$ in bezug auf $k(\zeta )$ den Wert $(-1)^{\frac {l-1}{2}}l^{l}\mu ^{*l-1}$ hat, so ist nach Hilfssatz 23 das Ideal ${\mathfrak {p}}$ auch in der Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ genau zur $(l-1)$-ten Potenz enthalten.

Ist dagegen der Exponent $e$ der in $\mu$ enthaltenen Potenz von ${\mathfrak {p}}$ ein Vielfaches von $l$, so ist $\mu ^{*}={\frac {\mu v^{e}}{\pi ^{e}}}$ eine nicht durch ${\mathfrak {p}}$ teilbare ganze Zahl in $k(\zeta )$; da die Relativdiskriminante der Zahl ${\mathsf {M}}^{*}={\sqrt[{l}]{\mu ^{*}}}$ in bezug auf $k(\zeta )$ den Wert $(-1)^{\frac {l-1}{2}}l^{l}\mu ^{*l-1}$ hat, so ist sie zu ${\mathfrak {p}}$ prim. Das gleiche gilt mithin von der Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ in bezug auf $k(\zeta )$.

Jetzt betrachten wir die Verhältnisse in betreff des Primfaktors ${\mathfrak {l}}$. Im Falle, daß derselbe in $\mu$ zu einem solchen Exponenten $e$ erhoben aufgeht, der kein Vielfaches von $l$ ist, verfahren wir in entsprechender Weise, wie im ersten Teil dieses Beweises bei Behandlung des Primideales ${\mathfrak {p}}$ verfahren wurde, indem wir an die Stelle von $\mu$ eine Zahl $\mu ^{*}$ bringen, die durch ${\mathfrak {l}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {l}}^{2}$ teilbar ist. Da die Relativdiskriminante der Zahl ${\mathsf {M}}^{*}={\sqrt[{l}]{\mu ^{*}}}$ den Wert $(-1)^{\frac {l-1}{2}}l^{l}\mu ^{*l-1}$ hat, so ist, nach der Beschaffenheit von $\mu ^{*}$, dem Hilfssatze 23 zufolge die Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ in bezug auf $k(\zeta )$ genau durch ${\mathfrak {l}}^{l^{2}-1}$ teilbar.

An zweiter Stelle haben wir den Fall zu untersuchen, daß $\mu$ nicht durch ${\mathfrak {l}}$ teilbar ist. Der für diesen Fall in Satz 148 bezeichnete Exponent $m(\leqq l)$ sei zunächst $=l$; es gebe also eine ganze Zahl $\alpha$ in $k(\zeta )$ derart, daß $\mu \equiv \alpha ^{l}$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ ist; dabei wird dann ${\frac {\mu -\alpha ^{l}}{\lambda ^{l}}}$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$, und folglich besitzt die Gleichung $l$-ten Grades in $x$

${\frac {(\lambda x-\alpha )^{l}+\mu }{\lambda ^{l}}}=0$.

lauter ganze Koeffizienten. Da $x={\frac {\alpha -{\mathsf {M}}}{\lambda }}$, wo ${\mathsf {M}}={\sqrt[{l}]{\mu }}$ gesetzt ist, eine Wurzel dieser Gleichung ist, so erweist sich die Zahl $\Omega ={\frac {\alpha -{\mathsf {M}}}{\lambda }}$ des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ als ganze Zahl. Die Relativdiskriminante dieser Zahl $\Omega$ ist gleich $\varepsilon \mu ^{l-1}$, wo $\varepsilon$ eine Einheit bedeutet, und folglich ist auch die Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ in bezug auf $k(\zeta )$ zu ${\mathfrak {l}}$ prim.

Zweitens sei $m<l$, so daß also $\mu$ nicht einer $l$-ten Potenz nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ kongruent gesetzt werden kann; wir setzen $\mu \equiv \alpha ^{l}+a\lambda ^{m}$ nach ${\mathfrak {l}}^{m+1}$, wo $\alpha$ eine ganze Zahl in $k(\zeta )$, ferner $m$ der im Satze erklärte Exponent ist und $a$ eine ganze rationale, nicht durch $l$ teilbare Zahl bedeutet. Wir betrachten nun das Ideal

${\mathfrak {A}}=(\lambda ,a-{\mathsf {M}})$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 252. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/269&oldid=- (Version vom 4.9.2016)