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erfüllt wird. Setzen wir nun und ferner allgemein für jeden Wert von :

,

so wird jedesmal eine ganze Zahl in und

, .

Hieraus folgt unmittelbar, daß jede ganze Zahl in , die der Kongruenz nach genügt, Normenrest des Körpers nach ist. Die Beschränkung, die hier in der Annahme nach liegt, wird leicht aufgehoben. Ist nämlich eine beliebige zu prime Zahl, und wird sie nach der ganzen rationalen Zahl kongruent, so setzen wir , wo eine ganze rationale Zahl mit der Kongruenzeigenschaft nach bedeute; dann wird offenbar nach , und andererseits werden und gleichzeitig Normenrest oder Normennichtrest des Körpers nach sein.

Es sei zweitens in Formel (72) und mithin ; dann können wir, wenn eine beliebige positive ganze rationale Zahl ist, stets zwei ganze Zahlen und in konstruieren derart, daß

(74)

wird. Wir setzen gemäß dem Satze 149 , wo , , …, voneinander verschiedene Primideale des Körpers bedeuten. Die beiden Zahlen

 

gesetzt, sind ganze Zahlen, und da nach wird, so enthält eines der in aufgehenden Primideale, es sei dies etwa das Primideal , zur ersten Potenz und die anderen in aufgehenden Primideale gar nicht. Aus den Formeln (74) folgt

, ,

und wir können nun voraussetzen, daß in der Reihe der Zahlen , , …, in solcher Weise gewählt sei, daß nach und also nach ausfällt. Wegen der letzteren Kongruenz ist auch die Zahl durch , aber durch keines der Primideale , …, teilbar und da auch nach ist, so ist ebenfalls nur durch die erste Potenz von teilbar. Wir können mit Rücksicht auf das eben Bewiesene die gebrochene Zahl in der Form eines Bruches schreiben, dessen Zähler und Nenner zu prim sind. Setzen wir nach in solcher Weise,

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 260. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/277&oldid=- (Version vom 2.10.2016)