Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/277

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.29

erfüllt wird. Setzen wir nun ${\mathsf {M}}^{*}={\sqrt[{l}]{\mu ^{*}}}$ und ferner allgemein für jeden Wert von $g$:

$\Omega _{g}={\frac {1-\alpha _{g}{\mathsf {M}}^{*}}{\lambda }}$,

so wird jedesmal $\Omega _{g}$ eine ganze Zahl in $k({\mathsf {M}},\zeta )$ und

$N_{k}(\Omega _{g})\equiv 1-\lambda ^{g}$, $({\mathfrak {l}}^{g+1})$.

Hieraus folgt unmittelbar, daß jede ganze Zahl $\nu$ in $k(\zeta )$, die der Kongruenz $\nu \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ genügt, Normenrest des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}$ ist. Die Beschränkung, die hier in der Annahme $\nu \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ liegt, wird leicht aufgehoben. Ist nämlich $\nu$ eine beliebige zu ${\mathfrak {l}}$ prime Zahl, und wird sie nach ${\mathfrak {l}}$ der ganzen rationalen Zahl $a$ kongruent, so setzen wir $\nu ^{*}=a^{*l}\nu$, wo $a^{*}$ eine ganze rationale Zahl mit der Kongruenzeigenschaft $aa^{*}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ bedeute; dann wird offenbar $\nu ^{*}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$, und andererseits werden $\nu$ und $\nu ^{*}$ gleichzeitig Normenrest oder Normennichtrest des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}$ sein.

Es sei zweitens in Formel (72) $m>l$ und mithin $\left\{{\frac {\mu ^{*}}{\mathfrak {l}}}\right\}=1$; dann können wir, wenn $g$ eine beliebige positive ganze rationale Zahl ist, stets zwei ganze Zahlen $\alpha _{g}$ und $\alpha _{g+1}$ in $k(\zeta )$ konstruieren derart, daß

$\left.{\begin{alignedat}{1}&\mu ^{*}\alpha _{g}^{l}&&\equiv 1+\lambda ^{l+1}+\lambda ^{l+g+1},\qquad &({\mathfrak {l}}^{l+g+2}),\\&\mu ^{*}\alpha _{g+1}^{l}&&\equiv 1+\lambda ^{l+1}+\lambda ^{l+g+2},&({\mathfrak {l}}^{l+g+3})\end{alignedat}}\right\}$

(74)

wird. Wir setzen gemäß dem Satze 149 ${\mathfrak {l}}={\mathfrak {LL'}}\ldots {\mathfrak {L}}^{l-1}$, wo ${\mathfrak {L}}$, ${\mathfrak {L}}^{'}$, …, ${\mathfrak {L}}^{(l-1)}$ voneinander verschiedene Primideale des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ bedeuten. Die beiden Zahlen

${\mathsf {A}}_{g}={\frac {1-\alpha _{g}{\mathsf {M}}^{*}}{\lambda }},$ ${\mathsf {A}}_{g+1}={\frac {1-\alpha _{g+1}{\mathsf {M}}^{*}}{\lambda }},$

${\mathsf {M}}^{*}={\sqrt[{l}]{\mu ^{*}}}$ gesetzt, sind ganze Zahlen, und da $N_{k}({\mathsf {A}}_{g})\equiv -\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ wird, so enthält ${\mathsf {A}}_{g}$ eines der in ${\mathfrak {l}}$ aufgehenden Primideale, es sei dies etwa das Primideal ${\mathfrak {L}}$, zur ersten Potenz und die anderen in ${\mathfrak {l}}$ aufgehenden Primideale gar nicht. Aus den Formeln (74) folgt

$\alpha _{g}^{l}\equiv \alpha _{g+1}^{l}$, $({\mathfrak {l}}^{l+2})$,

und wir können nun voraussetzen, daß $\alpha _{g+1}$ in der Reihe der Zahlen $\alpha _{g+1}$, $\zeta \alpha _{g+1}$, …, $\zeta ^{l-1}\alpha _{g+1}$ in solcher Weise gewählt sei, daß $\alpha _{g}\equiv \alpha _{g+1}$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ und also ${\mathsf {A}}_{g}={\mathsf {A}}_{g+1}$ nach ${\mathfrak {l}}$ ausfällt. Wegen der letzteren Kongruenz ist auch die Zahl ${\mathsf {A}}_{g+1}$ durch ${\mathfrak {L}}$, aber durch keines der Primideale ${\mathfrak {L}}'$, …, ${\mathfrak {L}}^{(l-1)}$ teilbar und da auch $N_{k}({\mathsf {A}}_{g+1})\equiv -\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ ist, so ist ${\mathsf {A}}_{g+1}$ ebenfalls nur durch die erste Potenz von ${\mathfrak {L}}$ teilbar. Wir können mit Rücksicht auf das eben Bewiesene die gebrochene Zahl ${\frac {{\mathsf {A}}_{g}}{{\mathsf {A}}_{g+1}}}$ in der Form eines Bruches schreiben, dessen Zähler und Nenner zu ${\mathfrak {l}}$ prim sind. Setzen wir ${\frac {{\mathsf {A}}_{g}}{{\mathsf {A}}_{g+1}}}\equiv \Omega _{g}$ nach ${\mathfrak {l}}^{g+1}$ in solcher Weise,

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 260. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/277&oldid=- (Version vom 2.10.2016)