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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.29

und bringe $\varkappa$ in die Gestalt eines Bruches ${\frac {\varrho }{\sigma }}$, dessen Zähler $\varrho$ und Nenner $\sigma$ nicht durch ${\mathfrak {w}}$ teilbar sind. Das Symbol $\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}$ werde dann durch die Formel

$\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=\left\{{\frac {\varkappa }{\mathfrak {w}}}\right\}=\left\{{\frac {\varrho }{\mathfrak {w}}}\right\}\left\{{\frac {\sigma }{\mathfrak {w}}}\right\}^{-1}$

definiert. Es ergeben sich hieraus unmittelbar für dieses Symbol die einfachen Regeln:

$\left.{\begin{aligned}\left\{{\frac {\nu _{1},\nu _{2},\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=\left\{{\frac {\nu _{1},\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}\left\{{\frac {\nu _{2},\mu }{\mathfrak {w}}}\right\},\\\left\{{\frac {\nu ,\mu _{1},\mu _{2}}{\mathfrak {w}}}\right\}=\left\{{\frac {\nu ,\mu _{1}}{\mathfrak {w}}}\right\}\left\{{\frac {\nu ,\mu _{2}}{\mathfrak {w}}}\right\},\\\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}\left\{{\frac {\mu ,\nu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1,\end{aligned}}\right\}$

(80)

wo $\nu$, $\nu _{1}$, $\nu _{2}$, $\mu$, $\mu _{1}$, $\mu _{2}$ beliebige von Null verschiedene ganze Zahlen in $k(\zeta )$ bedeuten können.

Um das neue Symbol für den Fall ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$ zu definieren, stellen wir folgende Überlegungen an:

Wenn eine beliebige ganze Zahl $\omega$ in $k(\zeta )$ vorgelegt ist, welche der Kongruenz $\omega \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ genügt, und wenn wir setzen

$\omega =c+c_{1}\zeta +\cdots +c_{l-2}\zeta ^{l-2}$,

so daß $c$, $c_{1}$, …, $c_{l-2}$ ganze rationale Zahlen sind, so genügen diese notwendig der Kongruenz

$c+c_{1}+\cdots +c_{l-2}\equiv 1$, $(l)$.

Setzen wir dann

$\omega (x)=c+c_{1}x+\cdots +c_{l-2}x^{l-2}-{\frac {c+c_{1}+\cdots +c_{l-2}-1}{l}}(1+x+\cdots +x^{l-1})$,

so stellt $\omega (x)$ eine ganzzahlige Funktion $(l-1)$-ten Grades dar, und es wird

$\omega (1)=1$  und  $\omega (\zeta )=\omega$.

Diese Funktion heiße die zur ganzen Zahl $\omega$ gehörende Funktion. Wir schreiben ferner

$\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{g}\log \omega (\mathrm {e} ^{v})}{\mathop {\mathrm {d} } v^{g}}}\right]_{v=0}=1^{(g)}(\omega )$, $(g=1,2,\cdots ,l-1)$,

(81)

welche Verbindungen von Kummer mit Vorteil zur Abkürzung gewisser Rechnungen eingeführt sind [Kummer (12^[1])].

Wird die Zahl $\omega$ mit der Kongruenzeigenschaft $\omega \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ auf irgendeine Weise in die Gestalt

$\omega =a+a_{1}\zeta +\cdots +a_{t}\zeta ^{t}$

gebracht, wo $a$, $a_{1}$, …, $a_{t}$ ganze rationale Zahlen bedeuten, so stellt

${\bar {\omega }}(x)=a+a_{1}x+\cdots +a_{t}x^{t}$

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1. Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reziprozitätsgesetzen. J. Math. 44 (1851).^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kummer, Ernst Eduard: Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 44 (1851), S. 93–146 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 265. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/282&oldid=- (Version vom 17.10.2016)