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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.31

Idealklassen des Körpers $k(\zeta )$ nicht durch $l$ teilbar ist. Die weiteren Kapitel werden lediglich von regulären Kreiskörpern und von solchen Kummerschen Körpern handeln, welche aus regulären Kreiskörpem entspringen, und die ich daher reguläre Kummersche Körper nennen will; für dieselben können wir sofort folgende einfache Tatsache beweisen:

Satz 153. Es sei $k(\zeta )$ ein regulärer Kreiskörper und $K$ ein aus $k(\zeta )$ entspringender Kummerscher Körper: wenn dann ein Ideal ${\mathfrak {j}}$ des Körpers $k(\zeta )$ in dem Körper $K$ Hauptideal ist, so ist das Ideal ${\mathfrak {j}}$ auch in dem Kreiskörper $k(\zeta )$ selbst ein Hauptideal.

Beweis. Setzen wir ${\mathfrak {j}}=({\mathsf {A}})$, wo ${\mathsf {A}}$ eine ganze Zahl in $K$ bedeutet, so folgt, indem wir die Relativnorm bilden ${\mathfrak {j}}^{l}=(N_{k}({\mathsf {A}}))$, d. h. es gilt in $k(\zeta )$ die Äquivalenz ${\mathfrak {j}}^{l}\sim 1$. Andererseits ist auch ${\mathfrak {j}}^{h}\sim 1$, wobei $h$ die Klassenanzahl von $k(\zeta )$ bedeutet. Bestimmen wir nun zwei ganze rationale positive Zahlen $a$ und $b$, so daß $al-bh=1$ wird, so folgt ${\mathfrak {j}}^{al-bh}\sim 1$, d. h. es ist ${\mathfrak {j}}$ in $k(\zeta )$ ein Hauptideal.

Es entsteht weiter die Aufgabe, ein Kriterium zu finden, durch welches sich auf leichte Weise ermitteln läßt, ob eine Primzahl $l$ regulär ist. Es sollen zunächst zwei Hilfssätze entwickelt werden, die zu einem solchen Kriterium führen.

§ 137. Ein Hilfssatz über die Teilbarkeit des ersten Faktors der Klassenanzahl von $k\left(\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}\right)$ durch $l$.

Hilfssatz 28. Ist $l$ eine ungerade Primzahl und $k(\zeta )$ der Kreiskörper der $l$-ten Einheitswurzeln, so ist der erste Faktor der Klassenanzahl von $k(\zeta )$ dann und nur dann durch $l$ teilbar, wenn $l$ im Zähler einer der ersten $l^{*}={\frac {l-3}{2}}$ Bernoullischen Zahlen aufgeht [Kummer (8), Kronecker (5)].

Beweis. In Satz 142 ist die Klassenanzahl $h$ des Körpers $k(\zeta )$ als Produkt von zwei Faktoren dargestellt; wir betrachten den dort angegebenen Ausdruck für den ersten Faktor dieser Klassenanzahl. Zur Abkürzung werde ${\mathsf {Z}}=\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l-1}}$ gesetzt; ferner denken wir uns die zugrunde gelegte Primitivzahl $r$ nach $l$ speziell derart angenommen, daß $r^{\frac {l-1}{2}}+1$ nur durch die erste Potenz von $l$ teilbar ist. Es sei endlich, wie in § 108 und § 109, allgemein $r_{i}$ der kleinste positive Rest von $r^{i}$ nach $l$ und $q_{i}={\frac {rr_{i}-r_{i+1}}{l}}$.

Der erste Faktor der Klassenanzahl $h$ stellt sich in Satz 142 als ein Bruch dar, dessen Nenner den Wert $(2l)^{l*}$ hat, und dessen Zähler von der Gestalt

$f({\mathsf {Z}})f({\mathsf {Z}}^{3})f({\mathsf {Z}}^{5})\cdots f({\mathsf {Z}}^{l-2})$

(105)

ist, wo zur Abkürzung $f(x)$ die ganzzahlige Funktion

$f(x)=r_{0}+r_{1}x+r_{2}x^{2}+\cdots +r_{l-2}x^{l-2}$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 279. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/296&oldid=- (Version vom 28.11.2016)