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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.31

wo $C$, $C_{l-1}$, $C_{l+1}$, … gewisse Konstanten bedeuten. Das ausführlich geschriebene Produkt in dem Koeffizienten von $v^{2t}$ ist

$(-1)^{l^{*}}\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } (x-1)(x-r^{2})\cdots (x-r^{l-3})}{\mathop {\mathrm {d} } x}}\right]_{x=r^{2t}}$,

und die hier zu differentiierende Funktion ist $\equiv x^{\frac {l-1}{2}}-1$ nach $l$. Aus dieser Entwicklung folgt nun unmittelbar die Richtigkeit der Kongruenzen (110).

Da nach Voraussetzung die Zähler der ersten $l^{*}$ Bernoullischen Zahlen $B_{1}$, …, $B_{l^{*}}$ nicht durch $l$ teilbar sein sollen, so sind nach (110) die $l^{*}$ Differentialquotienten $1^{(2t)}(\varepsilon _{t})$ für $t=1,2,\ldots ,l^{*}$ sämtlich der Null inkongruent nach $l$. Aus dem letzteren Umstande schließen wir zunächst, daß keine der Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}$ nach $l$ der Zahl $1$ kongruent ausfällt. Setzen wir daher

$\left.{\begin{aligned}\varepsilon _{1}&\equiv 1+a_{1}\lambda ^{e_{1}},&({\mathfrak {l}}^{e_{1}+1}),\\&\;\vdots \\\varepsilon _{l^{*}}&\equiv 1+a_{l^{*}}\lambda ^{e_{l^{*}}},&\quad ({\mathfrak {l}}^{e_{l^{*}}+1}),\end{aligned}}\right\}$

(112)

mit solchen Exponenten $e_{1}$, …, $e_{l^{*}}$, daß dabei $a_{1}$, …, $a_{l^{*}}$ ganze rationale, nicht durch $l$ teilbare Zahlen bedeuten, so sind diese Exponenten $e_{1}$, …, $e_{l^{*}}$, sämtlich $<l-1$. Nun erhält man aus den Kongruenzen (112), da die Entwicklung eines Ausdruckes $(1-\mathrm {e} ^{v})^{g}$ nach Potenzen von $v$ mit dem Gliede $(-1^{g})v^{g}$ beginnt, für die Einheit $\varepsilon _{t}$ die Kongruenzen

${\begin{aligned}1^{(1)}(\varepsilon _{t})&\equiv 0,\qquad 1^{(2)}(\varepsilon _{t})\equiv 0,\ldots ,1^{(e_{t}-1)}(\varepsilon _{t})\equiv 0,&(l),\\1^{(e_{t})}(\varepsilon _{t})&\equiv (-1)^{e_{t}}a_{t}\cdot e_{t}!,&(l),\end{aligned}}$

und da $a_{t}$ nicht durch $l$ teilbar sein soll, so ergibt sich mit Rücksicht auf die vorhin bemerkte Folgerung aus den Kongruenzen (110) $e_{t}=2t$, womit der Hilfssatz 29 bewiesen ist.

§ 139. Ein Kriterium für die regulären Primzahlen.

Der folgende Satz liefert ein einfaches Kriterium für die regulären Primzahlen $l$:

Satz 154. Eine ungerade Primzahl $l$ ist dann und nur dann regulär, wenn sie in den Zählern der ersten $l^{*}={\frac {l-3}{2}}$ Bernoullischen Zahlen nicht aufgeht [Kummer (8^[1])].

Beweis. Der Hilfssatz 28 zeigt, daß, wenn $l$ im Zähler wenigstens einer der ersten $l^{*}$ Bernoullischen Zahlen aufgeht, die Klassenanzahl $h$ des Körpers $k(\zeta )$ jedenfalls durch $l$ teilbar ist. Sind hingegen die Zähler der ersten $l^{*}$ Bernoullischen Zahlen sämtlich zu $l$ prim, so zeigt der nämliche Hilfssatz 28, daß der erste Faktor der Klassenanzahl zu $l$ prim ist. Es bedarf also nur noch des Nachweises, daß auch der zweite Faktor der Klassenanzahl $h$ nicht durch $l$ teilbar ist, wenn die Zähler der ersten $l^{*}$ Bernoullischen Zahlen sämtlich zu $l$ prim sind. Diesen Nachweis führen wir in folgender Weise:

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1. Zwei besondere Untersuchungen über die Klassenanzahl und über die Einheiten der aus $\lambda$-ten Wurzeln der Einheit gebildeten komplexen Zahlen. J. Math. 40 (1850).^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kummer, Ernst Eduard: Zwei besondere Untersuchungen über die Classen-Anzahl und über die Einheiten der aus $\lambda$-ten Wurzeln der Einheit gebildeten komplexen Zahlen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 40 (1850), S. 117–129 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 283. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/300&oldid=- (Version vom 10.12.2016)