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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.31

so ergibt eine Anwendung des Multiplikationssatzes der Determinanten

${\frac {\bar {\Delta }}{R}}={\frac {\bar {\Delta }}{\Delta }}\cdot {\frac {\Delta }{R}}=\left.{\begin{vmatrix}M_{11},&M_{21},&\cdots ,&M_{l^{*}1}\\M_{12},&M_{22},&\cdots ,&M_{l^{*}2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\M_{1l^{*}},&M_{2l^{*}},&\cdots ,&M_{l^{*}l^{*}}\end{vmatrix}}\right\}$.

(118)

Die rechts stehende Determinante ist eine ganze rationale und überdies eine zu $l$ prime Zahl. Wäre nämlich diese Determinante durch $l$ teilbar, so würde man imstande sein, $l^{*}$ ganze rationale Zahlen $N_{1}$, …, $N_{l^{*}}$ zu finden, die nicht sämtlich durch $l$ teilbar sind, während die aus ihnen gebildeten Ausdrücke

$\sum _{(t)}N_{t}M_{1t}$, $\sum _{(t)}N_{t}M_{2t},\ldots ,\sum _{(t)}N_{t}M_{l^{*}t}$ $(t=1,2,\ldots ,l^{*})$

sämtlich durch $l$ teilbar ausfallen. Durch Berücksichtigung dieses zweiten Umstandes ergibt sich aus (117) eine Gleichung von der Gestalt

$N_{1}\log \varepsilon _{1}+N_{2}\log \varepsilon _{2}+\cdots +N_{l^{*}}\log \varepsilon _{l^{*}}=l\log {\mathsf {E}}$,

in welcher ${\mathsf {E}}$ eine gewisse positive Einheit des Körpers $k(\zeta )$ bezeichnet. Setzen wir beide Seiten in den Exponenten von $\mathrm {e}$, so haben wir

$\varepsilon _{1}^{N_{1}}\varepsilon _{2}^{N_{2}}\cdots \varepsilon _{l^{*}}^{N_{l^{*}}}={\mathsf {E}}^{l}$.

(119)

Es ist nun das Bestehen einer solchen Gleichung (119) unmöglich. Denn es würde zunächst ${\mathsf {E}}\equiv {\mathsf {E}}^{l}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ folgen; denken wir uns die zu ${\mathsf {E}}$ gehörende Funktion ${\mathsf {E}}(x)$ eingeführt und betrachten wir die Werte der ersten $l-2$ Differentialquotienten von $\log {\mathsf {E}}(\mathrm {e} ^{v})$ an der Stelle $v=0$, so würden aus (119) unter Verwendung von (110) die Kongruenzen

$(-1)^{t+l^{*}}{\frac {B_{t}}{4tr^{2t}}}N_{t}\equiv 0$, $(l)$, $(t=1,2,\ldots ,l^{*})$

folgen. Es sollen aber die Bernoullischen Zahlen $B_{1}$, $B_{2}$, …, $B_{l^{*}}$ sämtlich zu $l$ prim und andererseits die Zahlen $N_{1}$ …, $N_{l^{*}}$ nicht sämtlich kongruent $0$ nach $l$ sein; wir erhalten damit einen Widerspruch.

Hiernach ist die Determinante rechts in (118) nicht durch $l$ teilbar. Da andererseits ihre Faktoren ${\frac {\bar {\Delta }}{\Delta }}$ und ${\frac {\Delta }{R}}$ beide ebenfalls als ganze Zahlen erscheinen und ${\frac {\Delta }{R}}$ den zweiten Faktor der Klassenanzahl $h$ darstellt, so ist auch der zweite Faktor der Klassenanzahl nicht durch $l$ teilbar. Damit ist der Beweis des Satzes 154 vollständig erbracht.

Auf Grund des Satzes 154 findet sich aus den Werten der ersten 47 Bernoullischen Zahlen, daß außer den drei Primzahlen 37, 59, 67 die unterhalb 100 liegenden Primzahlen sämtlich regulär sind. Wie sich ferner durch Rechnung findet, sind die Klassenanzahlen $h$ der Kreiskörper $k\left(\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}\right)$ für $l=37,59,67$ nur durch die erste und nicht durch eine höhere Potenz von $l$ teilbar [Kummer (11, 26)].

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 285. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/302&oldid=- (Version vom 22.12.2016)