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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 4

Zum Beweise dieses Hilfssatzes bilden wir die ganze ganzzahlige Funktion

$F(x)=(x-s_{1}\Omega )(x-s_{2}\Omega )\ldots (x-s_{M}\Omega )$

und erhalten dann wegen

$F(x^{p})\equiv [F(x)]^{p},\qquad (p)$

die Kongruenz

$(\Omega ^{p}-s_{1}\Omega )(\Omega ^{p}-s_{2}\Omega )\ldots (\Omega ^{p}-s_{M}\Omega )\equiv 0,\qquad ({\mathfrak {P}}),$

welche die Richtigkeit des Hilfssatzes erkennen läßt.

Nun seien $z,\,z',\,z'',\,\ldots$ diejenigen sämtlichen $r_{z}$ Substitutionen der Gruppe $G$, welche das Primideal ${\mathfrak {P}}$ ungeändert lassen; dieselben bilden eine Gruppe vom $r_{z}$-ten Grade, welche die Zerlegungsgruppe des Primideals ${\mathfrak {P}}$ genannt und mit $g_{z}$ bezeichnet werden soll.

Nehmen wir $\Omega =A^{p^{f}-1}P$‚ wo $A$ eine nicht durch ${\mathfrak {P}}$, wohl aber durch alle zu ${\mathfrak {P}}$ konjugierten und von ${\mathfrak {P}}$ verschiedenen Primideale teilbare ganze Zahl ist, so zeigt die Anwendung des Hilfssatzes die Existenz einer Substitution $s$ von der Art, daß die Kongruenz

$s\left[A^{p^{f}-1}P\right]\equiv A^{p(p^{f}-1)}P^{p},\qquad ({\mathfrak {P}}),$

oder

$\left[sA\right]^{p^{f}-1}sP\equiv P^{p},\qquad \qquad ({\mathfrak {P}})$

gilt. Hieraus folgt $sA\equiv \!\!\!\!\!|\,\,\,0$ nach ${\mathfrak {P}}$ und $sP\equiv P^{p}$ nach ${\mathfrak {P}}$. Die erste Inkongruenz lehrt, daß $A$ nicht durch $s^{-1}{\mathfrak {P}}$ teilbar ist; folglich wird $s^{-1}{\mathfrak {P}}={\mathfrak {P}}$ oder ${\mathfrak {P}}=s{\mathfrak {P}}$ d. h. die Substitution $s$ gehört der Zerlegungsgruppe $g_{z}$ an. Wir setzen $s=z$ und haben dann die Kongruenz

$zP\equiv P^{p},\qquad ({\mathfrak {P}})$.

Die wiederholte Anwendung der Substitution $z$ liefert die Kongruenzen

$z^{2}P\equiv P^{p^{2}},\,z^{3}P\equiv P^{p^{3}},\,\ldots ,\,z^{f}P\equiv P^{p^{f}}\equiv P,\qquad ({\mathfrak {P}}),$

Infolge der letzten Kongruenz ist $t=z^{f}$ eine Substitution von der Beschaffenheit, daß für jede beliebige ganze Zahl $\Omega$ des Körpers $K$ die Kongruenz

$t\Omega \equiv \Omega ,\qquad ({\mathfrak {P}})$

erfüllt ist. Es seien $t,\,t',\,t'',\,\ldots$ diejenigen sämtlichen $r_{t}$ Substitutionen der Gruppe $G$, denen ebenfalls die genannte Eigenschaft zukommt; dann wird leicht gezeigt, daß diese $r_{t}$ Substitutionen eine Gruppe $r_{t}$-ten Grades bilden. Diese Gruppe werde die Trägheitsgruppe des Primideals ${\mathfrak {P}}$ genannt und mit $g_{t}$ bezeichnet. Da, wie ebenfalls leicht ersichtlich ist, das Primideal ${\mathfrak {P}}$ bei der Anwendung einer jeden der Substitutionen $t,\,t',\,t'',\,\ldots$ ungeändert bleibt, so ist die Trägheitsgruppe $g_{t}$ eine Untergruppe der Zerlegungsgruppe $q_{z}$; es ergibt sich ferner leicht der Satz:

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 14. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/31&oldid=- (Version vom 18.8.2016)