Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/324

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.32

eine Einheit $\xi _{3}=\varepsilon _{3}$ vorhanden ist, für welche wenigstens eines der $t-2$ Symbole

$\left\{{\frac {\varepsilon _{3},\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right\},\ldots ,\left\{{\frac {\varepsilon _{3},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-2}}}\right\}$

von $1$ verschieden ausfällt. Fahren wir in der geeigneten Weise fort, so erhalten wir schließlich eine gewisse Anzahl $r^{*}$ und dazu ein System von $r^{*}$ Einheiten $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\dotsc ,\varepsilon _{r^{*}}$ des Körpers $k(\zeta )$ von der Art, daß bei geeigneter Anordnung der Primideale ${\mathfrak {l}}_{1},\dotsc ,{\mathfrak {l}}_{t}$ die Gleichungen

$\left.{\begin{aligned}\left\{{\frac {\varepsilon _{1},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}&=\zeta ,\\\left\{{\frac {\varepsilon _{2},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}&=1,\;\left\{{\frac {\varepsilon _{2},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-1}}}\right\}=\zeta \\\left\{{\frac {\varepsilon _{3},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}&=1,\;\left\{{\frac {\varepsilon _{3},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-1}}}\right\}=1,\;\left\{{\frac {\varepsilon _{3},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-2}}}\right\}=\zeta ,\\&\;\vdots \\\left\{{\frac {\varepsilon _{r^{*}},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}&=1,\;\left\{{\frac {\varepsilon _{r^{*}},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-1}}}\right\}=1,\;\left\{{\frac {\varepsilon _{r^{*}},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-2}}}\right\}=1,\;\ldots ,\left\{{\frac {\varepsilon _{r^{*}},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-r^{*}+1}}}\right\}=\zeta \end{aligned}}\right\}$

(140)

gelten, und daß außerdem für eine jede solche Einheit $\xi$, die den $r^{*}$ Gleichungen

$\left\{{\frac {\xi ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}=1,\quad \left\{{\frac {\xi ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-1}}}\right\}=1,\ldots ,\left\{{\frac {\xi ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-r^{*}+1}}}\right\}=1$

genügt, notwendig auch die $r=t-r^{*}$ Symbole

$\left\{{\frac {\xi ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right\},\ldots ,\left\{{\frac {\xi ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{r}}}\right\}$

sämtlich den Wert $1$ besitzen.

Wir multiplizieren nunmehr die vorhin aus dem Ideal ${\mathfrak {J}}$ gebildete Zahl $\nu$ des Körpers $k(\zeta )$ derart mit Potenzen der Einheiten $\varepsilon _{1},\dotsc ,\varepsilon _{r^{*}}$, daß das entstehende Produkt ${\bar {\nu }}$ den Gleichungen

$\left\{{\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}=1,\;\left\{{\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-1}}}\right\}=1,\ldots ,\left\{{\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-r^{*}+1}}}\right\}=1$

genügt; dann bezeichne ich die $r=t-r^{*}$ Einheiten

$\chi _{1}({\mathfrak {F}})=\left\{{\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {l}}_{t-1}}}\right\},\ldots ,\chi _{r}({\mathfrak {F}})=\left\{{\frac {{\bar {\nu }},\mu }{{\mathfrak {l}}_{r}}}\right\}$

als das Charakterensystem des Ideals ${\mathfrak {J}}$. Dasselbe ist durch das Ideal ${\mathfrak {J}}$ völlig eindeutig bestimmt. In § 151 wird gezeigt werden, daß stets $r*<t$ und mithin $r\geq 1$ wird.

§ 150. Das Charakterensystem einer Idealklasse und der Begriff des Geschlechtes.

Mit Rücksicht auf den Satz 151 und die dazu auf S. 274 angefügten Bemerkungen erkennen wir sofort die Tatsache:

Satz 160. Die Ideale ein und derselben Klasse eines regulären Kummerschen Körpers besitzen sämtlich dasselbe Charakterensystem.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 307. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/324&oldid=- (Version vom 4.6.2018)