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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.32

$\varepsilon _{1},\dotsc ,\varepsilon _{r^{*}},\vartheta _{1},\dotsc ,\vartheta _{n}$ eine Relation von der Gestalt

$\varepsilon _{1}^{a_{1}}\cdots \varepsilon _{r^{*}}^{a_{r^{*}}}\vartheta _{1}^{b_{1}}\cdots \vartheta _{n}^{b_{n}}=\varepsilon ^{l}$,

(141)

so daß die Exponenten $a_{1},\dotsc ,a_{r^{*}},b_{1},\dotsc ,b_{n}$ ganze rationale, nicht sämtlich durch $l$ teilbare Zahlen sind und $\varepsilon$ eine geeignete Einheit in $k(\zeta )$ vorstellt; dann müßte für $u=1,2,\dotsc ,t$ stets

$\left\{{\frac {\varepsilon _{1}^{a_{1}}\cdots \varepsilon _{r^{*}}^{a_{r^{*}}}\vartheta _{1}^{b_{1}}\cdots \vartheta _{n}^{b_{n}},\mu }{{\mathfrak {l}}_{u}}}\right\}=1$

ausfallen, und wenn wir berücksichtigen, daß die Einheiten $\vartheta _{1},\dotsc ,\vartheta _{n}$ sämtlich Relativnormen von Zahlen in $K$ sind und daher stets $\left\{{\frac {\vartheta _{v},\mu }{{\mathfrak {l}}_{u}}}\right\}=1$ für $u=1,2,\dotsc ,t,$ und $v=1,2,\dotsc ,n$ sein muß, so ergibt sich auch

$\left\{{\frac {\varepsilon _{1}^{a_{1}}\cdots \varepsilon _{r^{*}}^{a_{r^{*}}},\mu }{{\mathfrak {l}}_{u}}}\right\}=1$

für $u=1,2,\dotsc ,t$. Wegen der Formeln (140) für die Einheiten $\varepsilon _{1},\dotsc ,\varepsilon _{r^{*}}$, ist dies nur möglich, wenn die Exponenten $a_{1},\dotsc ,a_{r^{*}}$, sämtlich durch $l$ teilbar sind, und die Relation (141) würde somit die Gestalt

$\vartheta _{1}^{b_{1}}\cdots \vartheta _{n}^{b_{n}}=\varepsilon ^{*l}$

annehmen, wo $\varepsilon ^{*}$ wiederum eine Einheit in $k(\zeta )$ bedeutet. Das Bestehen einer solchen Relation ist aber, da $\vartheta _{1},\dotsc ,\vartheta _{n}$ die Basis einer Einheitenschar in $k(\zeta )$ bilden, nur möglich, falls die Exponenten $b_{1},\dotsc ,b_{n}$ sämtlich durch $l$ teilbar sind. Daraus folgt, daß eine Relation von der Gestalt (141), wie wir sie annahmen, nicht statthaben kann, d. h. die Einheiten $\varepsilon _{1},\dotsc ,\varepsilon _{r^{*}},\vartheta _{1},\dotsc ,\vartheta _{n}$ bilden eine Basis einer Einheitenschar; es ist der Grad dieser Einheitenschar $r^{*}+n$, und da der Grad einer Einheitenschar höchstens ${\frac {l-1}{2}}$ sein kann, so haben wir $r^{*}+n\leqq {\frac {l-1}{2}}$; hiermit deckt sich die Aussage des Hilfssatzes 33. Da $t+n-{\frac {l+1}{2}}\geqq 0$ ist, so folgt insbesondere, daß stets $r^{*}<t$, also $r\geqq 1$ ausfällt.

§ 152. Die Komplexe des regulären Kummerschen Körpers.

Es sei $h$ die Anzahl der Idealklassen des regulären Kreiskörpers $k(\zeta )$: dann gibt es in dem Kummerschen Körper $K=k\left({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta \right)$ genau $h$ voneinander verschiedene Idealklassen, welche unter ihren Idealen Ideale des Kreiskörpers $k(\zeta )$ enthalten. In der Tat, jede Klasse in $k(\zeta )$ liefert offenbar eine Klasse in $K$ von der fraglichen Art; würden nun zwei verschiedene Klassen $c_{1},c_{2}$ in $k(\zeta )$ Ideale enthalten, die in $K$ einander äquivalent sind, so würde ein Ideal ${\mathfrak {j}}$ in $k(\zeta )$ aus der Klasse ${\frac {c_{1}}{c_{2}}}$ stets zu einem Hauptideal im Körper $K$ werden müssen.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 309. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/326&oldid=- (Version vom 4.6.2018)