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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.32

Wir wollen nun die Anzahl $a$ der ambigen Komplexe ermitteln. Zu dem Zwecke bedenken wir, daß nach Satz 159 der Grad der aus allen ambigen Klassen bestehenden Klassenschar gleich $t+n-{\frac {l+1}{2}}$ ist. Es sei $A_{1},\dotsc ,A_{t+n-{\frac {l+1}{2}}}$ eine Basis dieser Klassenschar, dann stellt der Ausdruck

$A_{1}^{u_{1}}\cdots A_{t+n-{\frac {l+1}{2}}}^{u_{t+n-{\frac {l+1}{2}}}}$,

wenn die Exponenten $u_{1},\dotsc ,u_{t+n-{\frac {l+1}{2}}}$ unabhängig voneinander die Werte $0,1,\dotsc ,l-1$ durchlaufen, lauter ambige Klassen dar, welche in verschiedenen Komplexen liegen, und es werden somit durch diese Klassen genau $l^{\,t+n-{\frac {l+1}{2}}}$ Komplexe bestimmt. Jede vorhandene ambige Klasse $A$ ist in der Gestalt

$A=A_{1}^{a_{1}}\cdots A_{t+n-{\frac {l+1}{2}}}^{a_{t+n-{\frac {l+1}{2}}}}c$

darstellbar, wo $a_{1},\dotsc ,a_{t+n-{\frac {l+1}{2}}}$ ganze rationale Exponenten sind und $c$ eine Klasse in $k(\zeta )$ bedeutet. Berücksichtigen wir nun, daß die $l$-ten Potenzen der ambigen Klassen $A_{1},\dotsc ,A_{t+n-{\frac {l+1}{2}}}$ Klassen sind, welche Ideale des Körpers $k(\zeta )$ enthalten, so folgt, daß $A$ notwendig einem der oben bestimmten $l^{\,t+n-{\frac {l+1}{2}}}$ Komplexe angehören muß, und mithin ist die gesuchte Anzahl $a=l^{\,t+n-{\frac {l+1}{2}}}.$

Aus den Definitionen in § 150 und § 152 geht unmittelbar hervor, daß die symbolische $(1-S)$-te Potenz eines beliebigen Komplexes stets ein Komplex des Hauptgeschlechtes ist. Wir fassen nun diejenigen Komplexe des Hauptgeschlechtes ins Auge, welche $(1-S)$-te symbolische Potenzen von Komplexen sind; ihre Anzahl sei $f'$; wir bezeichnen sie mit $P_{1},\dotsc ,P_{f'}$, und wir mögen $P_{1}=G_{1}^{1-S},\dotsc ,P_{f'}=G_{f'}^{1-S}$ haben, wo $G_{1},\dotsc ,G_{f'}$, gewisse Komplexe bedeuten. Ist jetzt $P$ ein beliebiger Komplex, so ist $P^{1-S}$ notwendig ein bestimmter der $f'$ Komplexe $P_{1},\dotsc ,P_{f}$; es sei etwa $P^{1-S}=P_{v}$. Dann folgt $P^{1-S}=G_{v}^{1-S}$, d. h. $(PG_{v}^{-1})^{1-S}=1$, und somit ist $PG_{v}^{-1}$ ein bestimmter ambiger Komplex $A$; es wird $P=AG_{v}$, und folglich stellt der Ausdruck $AG_{v}$ alle Komplexe dar, sobald $A$ alle ambigen Komplexe und $G_{v}$ die $f'$ Komplexe $G_{1},\dotsc ,G_{f'}$, durchläuft. Auch ist klar, daß diese Darstellung für jeden Komplex nur auf eine Weise möglich ist; es ist daher die Anzahl aller überhaupt vorhandenen Komplexe $M=af'$. Die Zusammenstellung dieser

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 311. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/328&oldid=- (Version vom 4.6.2018)