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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 8

8. Über die Theorie der relativquadratischen Zahlkörper.

[Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Bd. 6. S. 88–94 (1899).]

In der Theorie der relativ Abelschen Zahlkörper nehmen zunächst die Körper vom zweiten Relativgrade unser Interesse in Anspruch.

Es sei ein beliebiger Zahlkörper $k$ vom Grade $n$ als Rationalitätsbereich zugrunde gelegt; unsere Aufgabe ist es dann, die Theorie der relativquadratischen Zahlkörper $K\left({\sqrt {\mu }}\right),$ d. h. derjenigen Körper zu begründen, die durch die Quadratwurzel aus einer beliebigen ganzen Zahl $\mu$ des Körpers $k$ bestimmt sind. Die „disquisitiones arithmeticae“ von Gauss sind als der einfachste Fall in jenem Problem enthalten. Wir können unseren Gegenstand auch als die Theorie der quadratischen Gleichungen oder Formen bezeichnen, deren Koeffizienten Zahlen des vorgelegten Rationalitätsbereiches $k$ sind.

Für unsere Theorie ist vor allem die Erkenntnis notwendig, daß auch in dem beliebigen Zahlkörper $k$ ein Reziprozitätsgesetz für quadratische Reste besteht. Das quadratische Reziprozitätsgesetz im Bereiche der rationalen Zahlen lautet bekanntlich:

${\begin{aligned}\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)&=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}},\\\left({\frac {-1}{p}}\right)&=(-1)^{\frac {p-1}{2}},\qquad \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}},\end{aligned}}$

wo $p,\ q$ beliebige ungerade rationale positive Primzahlen bedeuten. Aber diese Form des Reziprozitätsgesetzes ist, sobald wir den Zweck der Verallgemeinerung desselben vor Augen haben, aus mannigfachen Gründen – ich hebe nur die unübersichtliche Form der auftretenden Exponenten, den Mangel an Einheitlichkeit und die Ausnahmestellung der Zahl $2$ hervor – eine unvollkommene. Nun spielt bekanntlich der Begriff der „primären“ Zahlen in der bisherigen Fassung der höheren Reziprozitätsgesetze eine sehr wichtige Rolle. Doch für unser allgemeineres Problem werden wir von der Benutzung dieses Begriffes eine Beseitigung der angedeuteten Mißstände nicht erwarten dürfen; denn wir müssen bedenken, daß im Körper $k$ die Zahl $2$ im allgemeinen als Produkt von gewissen Potenzen von Primidealen zerlegt werden kann, und daß demgemäß die Definition des Begriffes „primär“

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 364. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/381&oldid=- (Version vom 31.7.2018)