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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie

Wir bestimmen jetzt ein System von Grundeinheiten in $k$ und bezeichnen dieselben mit $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\dots ,\varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}$; ferner sei ${\mathfrak {r}}$ ein zu $2$ primes Primideal des Körpers $k$, welches nicht der Hauptklasse in $k$ angehört, und es werde ${\mathfrak {r}}^{2}=(\rho )$ gesetzt, wo $\rho$ eine gewisse ganze Zahl in $k$ bedeutet. Fügen wir sodann den obigen ${\frac {m}{2}}-1$ Einheiten noch folgende Zahlen hinzu

$\varepsilon _{\frac {m}{2}}=-1,\qquad \varepsilon _{{\frac {m}{2}}+1}=\rho$,

so bilden die ${\frac {m}{2}}+1$ Zahlen $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\dots ,\varepsilon _{{\frac {m}{2}}+1}$ ein System von Zahlen dieser Beschaffenheit: jede ganze Zahl $\xi$ in $k$, welche das Quadrat eines Ideals in $k$ ist, läßt sich in der Gestalt

$\xi =\varepsilon _{1}^{x_{1}}\varepsilon _{2}^{x_{2}}\cdots \varepsilon _{{\frac {m}{2}}+1}^{x_{{\frac {m}{2}}+1}}\alpha ^{2}$

darstellen, wo die Exponenten $x_{1},x_{2},\dots ,x_{{\frac {m}{2}}+1}$ gewisse Werte $0,1$ haben und $\alpha$ eine ganze oder gebrochene Zahl in $k$ bedeutet.

Endlich bestimmen wir mit Hinblick auf Satz 18 meiner Abhandlung ein System von Primidealen ${\mathfrak {q}}_{1},{\mathfrak {q}}_{2},\dots ,{\mathfrak {q}}_{{\frac {m}{2}}+1}$ in $k$, die zu $2$ prim sind, so daß

$\left({\frac {\varepsilon _{i}}{{\mathfrak {q}}_{i}}}\right)=-1,\qquad \left({\frac {\varepsilon _{j}}{{\mathfrak {q}}_{i}}}\right)=+1,\qquad \left(i\neq j\right)\qquad \left(i,j=1,2,\dots ,{\frac {m}{2}}+1\right)$

(1)

ausfällt und zu diesen solche Exponenten $w_{1},w_{2},\dots ,w_{{\frac {m}{2}}+1}$ mit Werten $0,1$, daß die Produkte

${\mathfrak {q}}_{1}{\mathfrak {r}}^{w_{1}},{\mathfrak {q}}_{2}{\mathfrak {r}}^{w_{2}},\cdots ,{\mathfrak {q}}_{{\frac {m}{2}}+1}{\mathfrak {r}}^{w_{{\frac {m}{2}}+1}}$

Hauptideale in $k$ werden; es sei etwa

${\mathfrak {q}}_{1}{\mathfrak {r}}^{w_{1}}=(\kappa _{1}),\dots ,{\mathfrak {q}}_{{\frac {m}{2}}+1}{\mathfrak {r}}^{w_{{\frac {m}{2}}+1}}=(\kappa _{{\frac {m}{2}}+1})$,

wo $\kappa _{1},\dots ,\kappa _{{\frac {m}{2}}+1}$ gewisse ganze Zahlen in $k$ sind.

Nach diesen Vorbereitungen betrachten wir den Ausdruck

$\varepsilon _{1}^{u_{1}}\cdots \varepsilon _{{\frac {m}{2}}+1}^{u_{{\frac {m}{2}}+1}}\kappa _{1}^{v_{1}}\cdots \kappa _{{\frac {m}{2}}+1}^{v_{{\frac {m}{2}}+1}};$

(2)

derselbe stellt, wenn man rechter Hand für die Exponenten $u_{1},\dots ,u_{{\frac {m}{2}}+1}$ beliebige

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 492. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/509&oldid=- (Version vom 31.7.2018)