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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie

Was das Verhalten der Ideale des Körpers $k$ im Körper $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ betrifft, so sind hier die folgenden zwei Fälle möglich:

I. Die Ideale des Körpers $k$, welche in $k$ nicht Hauptideale sind, werden in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ Hauptideale.

II. Die Ideale des Körpers $k$, welche in $k$ nicht Hauptideale sind, werden auch in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ nicht Hauptideale.

Indem wir das Verfahren, welches ich in meiner Abhandlung beim Beweise des Satzes 22 angewendet habe, auf den Körper $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ übertragen, finden wir leicht im Falle I die Gleichung

$a^{*}=t+v^{*}-{\frac {m}{2}}$

(5)

und im Falle II die Gleichung

$a^{*}=t+v^{*}-{\frac {m}{2}}-1$

(6)

§ 10.

Wir wollen ferner für die Zahl $v^{*}$ eine obere von $t$ und $m$ abhängige Grenze ableiten. Zu dem Zweck mögen $x_{1},\dots ,x_{\frac {m}{2}}$ irgendwelche Exponenten $0,1$ bedeuten; soll dann die Einheit

$\varepsilon =\varepsilon _{1}^{x_{1}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{x_{\frac {m}{2}}}$

die Relativnorm einer Einheit in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ sein, so müssen notwendig die $t$ Bedingungen

$\left({\frac {\varepsilon }{{\mathfrak {q}}_{i_{1}}}}\right)=+1,\dots ,\left({\frac {\varepsilon }{{\mathfrak {q}}_{i_{t}}}}\right)=+1$

(7)

erfüllt sein.

Wir stellen nun der Reihe nach folgende Hilfssätze auf, welche für beide Fälle I, II gelten:

Hilfssatz 1 Jede Einheit $s$ des Körpers $k$, die den Bedingungen (7) genügt, ist notwendig die Relativnorm einer Einheit des Relativkörpers $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$.

Zum Beweise dieses Hilfssatzes unterscheiden wir, ob unter den Indizes $i_{1},\dots ,i_{t}$ die Zahl ${\frac {m}{2}}+1$ vorkommt oder nicht. Im ersteren Falle sei $i_{t}={\frac {m}{2}}+1$. Wir schließen dann aus (7) mit Rücksicht auf (1), daß gewiß die Gleichungen

$x_{i_{1}}=0,\dots ,x_{i_{t-1}}=0$

bestehen müssen, und hieraus entnehmen wir, das die Anzahl $v^{*}$ der voneinander unabhängigen Einheitenverbände welche aus den Relativnormen von Einheiten in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ entspringen, höchstens gleich ${\frac {m}{2}}-t+1$ ist.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 494. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/511&oldid=- (Version vom 31.7.2018)