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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie

sollte, folgende Kongruenzen

${\begin{aligned}\left\{{\frac {A}{\mathfrak {q}}}\right\}&\equiv A^{\frac {n({\mathfrak {q}})^{2}-1}{2}},&({\mathfrak {q}})\\\left({\frac {NA}{\mathfrak {q}}}\right)&\equiv (NA)^{\frac {n({\mathfrak {q}})-1}{2}},&({\mathfrak {q}})\end{aligned}}$

und da

$SA\equiv A^{n({\mathfrak {q}})},\quad NA\equiv A^{n(q)+1},\quad ({\mathfrak {q}})$

ausfällt, so wird mithin

$\left\{{\frac {A}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left({\frac {NA}{\mathfrak {q}}}\right)$.

Nehmen wir insbesondere $A={\sqrt {\overline {\omega }}}$, so erhalten wir

$\left\{{\frac {\sqrt {\overline {\omega }}}{\kappa }}\right\}=\left({\frac {-{\overline {\omega }}}{\kappa }}\right)$.

(28)

Andererseits ist wegen (23) allgemein das Primideal ${\mathfrak {p}}_{h}$ in $K\left({\sqrt {\overline {\omega }}}\right)$ zerlegbar; wir setzen

${\mathfrak {p}}_{h}={\mathfrak {P}}_{h}\cdot S{\mathfrak {P}}_{h}$,

$(h=1,2,\dots ,{\frac {m}{2}})$

wo ${\mathfrak {P}}_{h}$ ein Primideal in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ bedeutet. Da

$\left\{{\frac {\sqrt {\overline {\omega }}}{{\mathfrak {p}}_{h}}}\right\}=\left\{{\frac {\sqrt {\overline {\omega }}}{{\mathfrak {P}}_{h}}}\right\}\left\{{\frac {\sqrt {\overline {\omega }}}{S{\mathfrak {P}}_{h}}}\right\},\qquad \left\{{\frac {\sqrt {\overline {\omega }}}{{\mathfrak {P}}_{h}}}\right\}=\left\{{\frac {-{\sqrt {\overline {\omega }}}}{S{\mathfrak {P}}_{h}}}\right\}$

wird, so haben wir

$\left\{{\frac {\sqrt {\overline {\omega }}}{{\mathfrak {p}}_{h}}}\right\}=\left\{{\frac {-1}{{\mathfrak {P}}_{h}}}\right\}=\left({\frac {-1}{{\mathfrak {p}}_{h}}}\right)$.

(29)

Wegen (27), (28), (29) ist; mit Rücksicht auf die Bedeutung von $\alpha$

$\left({\frac {-{\overline {\omega }}}{\kappa }}\right)\left({\frac {-1}{\pi _{1}}}\right)^{v_{1}}\dots \left({\frac {-1}{\pi _{\frac {m}{2}}}}\right)^{v_{\frac {m}{2}}}=+1$

und folglich

$\left({\frac {-1}{\alpha }}\right)\left({\frac {\overline {\omega }}{\kappa }}\right)=+1$.

(30)

Da die Zahl $\alpha$ primär ist, d. h. dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ kongruent nach $2^{2}$ ausfällt, so folgt leicht, daß $n(\alpha )\equiv 1$ nach $2^{2}$ und mithin

$\left({\frac {-1}{\alpha }}\right)=(-1)^{\frac {n(\alpha )-1}{2}}=+1$

sein muß; wir erhalten mithin aus (30) die Gleichung

$\left({\frac {\overline {\omega }}{\kappa }}\right)=+1$ und somit auch $\left({\frac {\omega }{\kappa }}\right)=+1$,

welche der Annahme widerspricht wonach ${\mathfrak {q}}$ in $k$ unzerlegber sein sollte;

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 503. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/520&oldid=- (Version vom 31.7.2018)