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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 1

positive Zahl, es sei ferner $X$ eine positive ganze Zahl, die der Ungleichung

$X<\Gamma ^{2}x^{2}$

(14)

genügt; dann können zu diesen Größen $x$, $G$, $\Gamma$, $X$ stets $N$ ganze Zahlen ($\gtreqqless 0$)

$X_{1}$, $X_{2}$, …, $X_{N}$,

deren absolute Beträge den Ungleichungen

$|X_{h}|<\Gamma x$

($h=1$, …, $N$)

genügen, derart gefunden werden, daß die Gleichung

$(G^{2}x^{2}+X)^{m}=\sum \limits _{h=1,\,\ldots ,\,N}r_{h}(aGx+X_{h})^{2m}$

statthat.

Zum Beweise gestalten wir die Formel des Satzes II in folgender Weise um. Zunächst bedenken wir, daß auf der rechten Seite dieser Formel möglicherweise eine oder mehrere der zur $2m$-ten Potenz erhobenen Linearformen lauter verschwindende Koeffizienten haben könnten. Lassen wir diese Potenzen weg, so mögen etwa $N\leqq M$ Summanden rechts übrig bleiben, so daß unsere Formel wie folgt lautet

$(x_{1}^{2}+\cdots +x_{5}^{2})^{m}=\sum \limits _{h=1,\,\ldots ,\,N}r_{h}(a_{1h}x_{1}+\cdots +a_{5h}x_{5})^{2m}$.

(15)

Hierin dürfen wir annehmen, daß jede der mit $x_{1}$ multiplizierten Zahlen $a_{1h}$ von Null verschieden ist, da andernfalls die Anwendung einer geeigneten orthogonalen Transformation mit rationalen Koeffizienten unsere Formel in eine solche umwandeln würde, in der die jenen Koeffizienten entsprechenden Koeffizienten sämtlich von Null verschieden sind. Endlich setzen wir in unserer Formel (15) für $x_{1}$, $x_{2}$, …, $x_{5}$ bzw. die Größen $Gx$, $x_{1}$, …, $x_{4}$ ein, ferner sei

$a=|a_{11}a_{12}\cdots a_{1N}|$

${\frac {aa_{2h}}{a_{1h}}}=a'_{1h}$, ${\frac {aa_{3h}}{a_{1h}}}=a'_{2h}$, …, ${\frac {aa_{5h}}{a_{1h}}}=a'_{4h}$,

so daß $a'_{1h}$, …, $a'_{4h}$ wiederum ganze Zahlen werden. Wir erhalten so die Formel

$(G^{2}x^{2}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{4}^{2})^{m}=\sum \limits _{h=1,\,\ldots ,\,N}r_{h}(aGx+a'_{1h}x_{1}+\cdots +a'_{4h}x_{4})^{2m}$,

(16)

wo die $r_{h}$, wie leicht ersichtlich, eine nicht wesentlich veränderte Bedeutung haben.

Bezeichnen wir nun mit $A$ den größten Wert, den eine der $N$ Zahlen

$|a'_{1h}|+\cdots +|a'_{4h}|$

($h=1$, …, $N$)

annimmt, so folgt Hilfssatz 1 unmittelbar durch folgende Überlegung. Stellen wir die ganze Zahl $X$ als Summe von 4 Quadratzahlen dar und setzen

$X=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}$,

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 518. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/535&oldid=- (Version vom 19.2.2017)