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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 1

wächst; diese zu $m$ zugehörigen Größen $r_{h}$, $\varphi$, $F$ sind von folgender Beschaffenheit:

Es seien $x$, $K$, $\varkappa$ Zahlen, die denselben Bedingungen wie in Hilfssatz 3 genügen; es werde endlich, wie dort

$\varkappa '=\varphi (\varkappa ),\quad K'=F(K,\,\varkappa )$

gesetzt; wenn dann $Y$ eine beliebige ganze Zahl ($\gtreqqless 0$) ist, deren absoluter Betrag der Ungleichung

$|Y|<\varkappa {\sqrt {K}}x^{2}$

genügt, so können zu diesen Größen $x$, $K$, $\varkappa$, $Y$ stets $N$ ganze Zahlen $Y'_{1},\dotsc ,Y'_{N}(\gtreqqless 0)$, deren absolute Beträge die Ungleichungen

$|Y'_{h}|<\varkappa '{\sqrt {K'}}x$

befriedigen, derart gefunden werden, daß die Gleichung

$x(Kx^{2}+Y)^{m}={\frac {1}{K'}}\sum \limits _{h=1,\,\ldots ,\,N}r_{h}(K'x+Y'h)^{2m+1}$

stattfindet.

Der Beweis folgt, indem wir die zum Beweis des Hilfssatzes 3 vorhin angewandten Schlußfolgerungen, statt auf Hilfssatz 1, nunmehr auf Hilfssatz 2 beziehen.

Hilfssatz 5. Zu jedem Exponenten $n$ gehören zwei ganze Zahlen $p$, $q$, so daß

$n=p+q$

(28)

und

$0\leqq p<q$

(29)

ist, ferner eine positive ganze Zahl $K$ und eine gewisse Anzahl $N^{*}$ positiver rationaler Zahlen

$k_{1},k_{2},\dotsc ,k_{N^{*}}$

von folgender Beschaffenheit:

Ist $x$ eine beliebige positive ganze Zahl, $Y$ irgend eine ganze Zahl $(\gtreqqless 0)$, deren absoluter Betrag der Ungleichung

$|Y|<{\sqrt {K}}x^{q}$

genügt, so gibt es zu diesen Zahlen $x$, $Y$ stets gewisse $N^{*}$ positive ganze Zahlen

$P_{1},P_{2},\dotsc ,P_{N^{*}}$

derart, daß die Gleichung

$x^{p}(Kx^{q}+Y)=\sum \limits _{h=1,\,2,\,\ldots ,\,N^{*}}k_{h}P_{h}^{n}$

statthat.

Zum Beweise entwickeln wir den Exponenten $n$ im dyadischen Zahlsystem wie folgt

${\begin{aligned}n&=2^{g}+e_{1}2^{g-1}+e_{2}2^{g-2}+\cdots +e_{g-1}2+e_{g}\\&=1e_{1}e_{2}\cdots e_{g-1}e_{g},\end{aligned}}$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 522. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/539&oldid=- (Version vom 17.1.2018)