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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 6

bestimmt ist. Bezeichnet ferner $r$ eine Primitivzahl nach $u^{h}$ und wird $t=(\Theta :\Theta ^{r})$ gesetzt, so besitzt die Zahl $\varkappa$ obenein die Eigenschaft, daß $\varkappa ^{t-r}$ die $u$-te Potenz einer Zahl des Körpers $k(\Theta )$ wird.

Beweis. Ist $\alpha$ eine den Körper $L_{h}$ bestimmende, ganze algebraische Zahl und sind $1$, $s$, $s^{2}$, …, $s^{u^{h}-1}$ die Substitutionen der Gruppe von $L_{h}$, so setze man $S=s^{u^{h-1}}$ und

$K=\alpha +\vartheta \cdot S\alpha +\vartheta ^{2}\cdot S^{2}\alpha +\cdots +\vartheta ^{u-1}\cdot S^{u-1}\alpha$.

Der Körper $k(\vartheta ,\,L_{h})$ enthält offenbar den Körper $k(\Theta )$ als Unterkörper, und zwar sind die Zahlen dieses Unterkörpers $k(\Theta )$ dadurch charakterisiert, daß sie bei der Substitution $S$ ungeändert bleiben. Wegen $SK=\vartheta ^{-1}K$ ist somit $K^{u}$ eine Zahl in $k(\Theta )$. Es sei nun $t'$ eine solche Substitution der Gruppe des Körpers $k(\vartheta ,\,L_{h})$, daß $t'\Theta =\Theta ^{r}$ wird; dann ist $St'K=t'SK=\vartheta ^{-r}t'K$; da mithin der Ausdruck $K^{t'-r}$ bei der Substitution $S$ ungeändert bleibt, so ist $K^{t'-r}$ eine Zahl in $k(\Theta )$ und folglich wird $K^{u(t'-r)}=\varkappa ^{t-r}$ die $u$-te Potenz einer solchen Zahl. Der Kürze halber ist hier wiederum von der symbolischen Schreibweise $t'K=K^{t'}$ Gebrauch gemacht.

Satz 3. Wenn $L_{h}$ ein beliebiger zyklischer Körper ist, dessen Grad $l^{h}$ die Potenz einer beliebigen geraden oder ungeraden Primzahl ist, so kann man stets einen zyklischen Körper $M_{h}$ vom Grade $l^{h'}$, wo $h'\leqq h$ ist, und mit folgenden beiden Eigenschaften finden. Erstens: der aus $M_{h}$ und einem gewissen Kreiskörper $K$ zusammengesetzte Körper enthält $L_{h}$ als Unterkörper und zweitens: in der Diskriminante von $M_{h}$ geht keine rationale Primzahl $p$ mit der Kongruenzeigenschaft $p\equiv 1$ nach $l^{h}$ auf.

Beweis. Ist $p$ eine rationale Primzahl, welche die Kongruenzeigenschaft $p\equiv 1$ nach $l^{h}$ besitzt und welche in der Diskriminante des Körpers $L_{h}$ aufgeht, so konstruiere man den zyklischen Kreiskörper $P_{h}$ vom Grade $l^{h}$, dessen Diskriminante eine Potenz von $p$ ist, und betrachte den aus $L_{h}$ und $P_{h}$ zusammengesetzten Körper $k(L_{h},\,P_{h})$ vom $l^{h+h'}$-ten Grade. In $P_{h}$ ist $p={\mathfrak {p}}^{l^{h}}$, wo ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal in $P_{h}$ bedeutet. Es sei ${\mathfrak {P}}$ ein in ${\mathfrak {p}}$ aufgehendes Primideal des Körpers $k(L_{h},\,P_{h})$. Da das Primideal ${\mathfrak {P}}$ in der Gradzahl $l^{h+h'}$ des Körpers $k(L_{h},\,P_{h})$ nicht aufgeht, so ist dieser Körper $k(L_{h},\,P_{h})$ als Verzweigungskörper des Primideals ${\mathfrak {P}}$ relativ zyklisch, und zwar mindestens vom Relativgrade $l^{h}$ in bezug auf den Trägheitskörper $L'_{h}$ des Primideals ${\mathfrak {P}}$. Da ferner zyklische Körper von höherem als dem $l^{h}$-ten Grade in $k(L_{h},\,P_{h})$ nicht vorkommen, so hat $k(L_{h},\,P_{h})$ genau den Relativgrad $l^{h}$ in bezug auf $L'_{h}$. Hieraus folgt, daß der Trägheitskörper $L'_{h}$ vom Grade $l^{h'}$ ist; dieser Körper $L'_{h}$ ist überdies zyklisch, da sonst, wie die Lehre von den Abelschen Gruppen zeigt, der Körper $k(L_{h},\,P_{h})$ nicht relativ zyklisch in bezug auf $L'_{h}$ sein könnte. Das Grundideal des Trägheitskörpers $L'_{h}$ ist nicht durch ${\mathfrak {P}}$ und daher auch die Diskriminante von $L'_{h}$ nicht durch $p$ teilbar; diese Diskriminante enthält

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 55. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/72&oldid=- (Version vom 31.7.2018)