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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 6

$k(\Theta ,\,L_{1})$ und des Körpers $L_{1}$. Der letztere Umstand widersprieht unserer Annahme.

Um die Richtigkeit des Satzes 4 für $l=2$ zu erkennen, machen wir zunächst die Annahme $h=2$ und wenden dann auf den zyklischen Körper $L_{2}$ vom 4-ten Grade den Satz 1 an. Gemäß der dort gebrauchten Bezeichnungsweise setzen wir $\Theta =e^{\frac {i\pi }{2}}=i$ und wählen $r=3$. Dann ist $t=(i:-i)$. Es sei $L_{1}$ der quadratische Unterkörper von $L_{2}$ und $p$ eine in der Diskriminante von $L_{1}$ aufgehende Primzahl, welche $\not \equiv 1$ nach $4$ ist. Infolgedessen ist $p$ in $k(i)$ unzerlegbar. Ist nun die durch Satz 1 in unserem Falle bestimmte Zahl $\varkappa$ durch $p$ teilbar, so bilde man die Zahl $\varrho =\varkappa ^{t-1}$. Da nach Satz 1 andererseits $\varkappa ^{t-3}=\alpha ^{4}$ sein soll, wo $\alpha$ in $k(i)$ liegt, so folgt $\varkappa ^{2}=\varrho \alpha ^{-4}$ d. h. ${\sqrt {\varkappa }}=\alpha ^{-1}{\sqrt[{4}]{\varrho }}$. Infolgedessen ist $\varrho$ das Quadrat einer Zahl in $k(i)$; wir setzen $\textstyle \varrho ={\frac {\tau ^{2}}{\alpha ^{4}}}$, wo $\tau$ eine ganze algebraische zu $p$ prime Zahl und $a$ eine ganze rationale Zahl bedeutet. Da der Körper $k(i,\,L_{1})$ mit dem Körper $k\left(i,\,{\sqrt {\tau }}\right)$ übereinstimmt und da andererseits die Partialdiskriminante der Zahl ${\sqrt {\tau }}$ in bezug auf $k(i)$ zu $p$ prim ist, so ist auch die Partialdiskriminante des Körpers $k(i,\,L_{1})$ in bezug auf $k(i)$ prim zu $p$, und hieraus folgt, wie vorhin, daß die Diskriminante von $L_{1}$ nicht durch $p$ teilbar sein kann.

Ist im Falle $l=2$ der Exponent $h>2$, so setzen wir $\Theta =e^{2^{\frac {i\pi }{h-1}}}$. Wäre dann die in der Diskriminante von $L_{1}$ aufgehende Primzahl $p\equiv 1$ nach $4$ und $\not \equiv 1$ nach $2^{h}$ und ist ${\mathfrak {p}}$ ein idealer Primfaktor von $p$ in $k(\Theta )$, so bleibt ${\mathfrak {p}}$ ungeändert bei der Substitution $t^{2^{h-3}}$, wo $t$ entweder $=(\Theta :\Theta ^{5})$ oder $=(\Theta :\Theta ^{-5})$ ist; folglich wird ${\mathfrak {p}}^{t^{2^{h-3}}-1}=1$. Wegen $5^{2^{h-3}}\not \equiv 1$ nach $2^{h}$ gilt eine Gleichung von der Gestalt

$2^{h-1}=(t^{2^{h-3}}-1)\varphi (t)+(t-5)\psi (t)+2^{h}\chi (t)$

und aus dieser schließen wir, wie vorhin bei ungeradem $l$, auf einen Widerspruch mit der Annahme, wonach $p$ in der Diskriminante von $L_{1}$ aufgeht.

Satz 5. Wenn die Diskriminante eines zyklischen Körpers $L_{1}$ von dem ungeraden Primzahlgrade $u$ gleich einer positiven Potenz von $u$ ist, so stimmt der Körper $L_{1}$ mit dem Körper $U_{1}$ überein. Wenn ferner ein zyklischer Körper $L_{h}$, dessen Grad $u^{h}$ eine höhere als die erste Potenz der ungeraden Primzahl $u$ ist, den Kreiskörper $U_{h-1}$ als Unterkörper enthält, so stimmt der Körper $L_{h}$ mit dem Körper $U_{h}$ überein.

Beweis. Wir benutzen die in Satz 2 erklärte Bezeichnungsweise und setzen überdies $\lambda =1-\Theta$; es ist dann ${\mathfrak {l}}=(\lambda )$ ein Primideal in $k(\Theta )$ und es wird im Sinne der Idealtheorie

$(1-\vartheta )={\mathfrak {l}}^{u^{h-1}},\quad (u)=(1-\vartheta )^{u-1}={\mathfrak {l}}^{u^{h-1}(u-1)}$;

endlich gilt die Kongruenz

$t\lambda =1-\Theta ^{r}\equiv r\lambda ,\quad ({\mathfrak {l}}^{2})$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 58. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/75&oldid=- (Version vom 31.7.2018)