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Man multipliziere die Gleichung für
d
ω
d
t
{\displaystyle {\frac {d\omega }{dt}}}
dt und setze im zweiten und im dritten Gliede der rechten Seite
d
t
=
r
2
L
d
ϑ
=
a
3
2
(
1
−
ϵ
2
)
3
2
μ
1
2
(
1
+
ϵ
cos
α
)
2
(
d
α
+
d
ω
)
{\displaystyle dt={\frac {r^{2}}{L}}d\vartheta ={\frac {a^{\frac {3}{2}}(1-\epsilon ^{2})^{\frac {3}{2}}}{\mu ^{\frac {1}{2}}(1+\epsilon \cos \alpha )^{2}}}(d\alpha +d\omega )}
Durch passende Ordnung und Division ergiebt sich
d
ω
=
6
μ
a
(
1
−
ϵ
2
)
c
2
(
1
+
ϵ
cos
α
)
cos
2
α
−
3
ϵ
μ
a
(
1
−
ϵ
2
)
c
2
sin
2
α
cos
α
1
+
6
μ
a
(
1
−
ϵ
2
)
c
2
(
1
+
ϵ
cos
α
)
−
6
μ
a
(
1
−
ϵ
2
)
c
2
(
1
+
ϵ
cos
α
)
cos
2
α
+
3
ϵ
μ
a
(
1
−
ϵ
2
)
c
2
sin
2
α
cos
α
d
α
{\displaystyle d\omega ={\frac {{\frac {6\mu }{a(1-\epsilon ^{2})c^{2}}}(1+\epsilon \cos \alpha )\cos ^{2}\alpha -{\frac {3\epsilon \mu }{a(1-\epsilon ^{2})c^{2}}}\sin ^{2}\alpha \cos \alpha }{1+{\frac {6\mu }{a(1-\epsilon ^{2})c^{2}}}(1+\epsilon \cos \alpha )-{\frac {6\mu }{a(1-\epsilon ^{2})c^{2}}}(1+\epsilon \cos \alpha )\cos ^{2}\alpha +{\frac {3\epsilon \mu }{a(1-\epsilon ^{2})c^{2}}}\sin ^{2}\alpha \cos \alpha }}d\alpha }
Dividiert man Zähler und Nenner durch
3
μ
a
(
1
−
ϵ
2
)
c
2
=
γ
c
2
{\displaystyle {\frac {3\mu }{a(1-\epsilon ^{2})c^{2}}}={\frac {\gamma }{c^{2}}}}
ordnet man nach steigenden Potenzen von cos α, und setzt man zur Abkürzung
−
ϵ
cos
α
+
2
cos
2
α
+
3
ϵ
cos
3
α
=
v
{\displaystyle -\epsilon \ \cos \alpha +2\ \cos ^{2}\alpha +3\epsilon \ \cos ^{3}\alpha =v}
3
ϵ
cos
α
−
2
cos
2
α
−
3
ϵ
cos
3
α
=
w
{\displaystyle 3\epsilon \ \cos \alpha -2\ \cos ^{2}\alpha -3\epsilon \ \cos ^{3}\alpha =w}
so wird
d
ω
=
v
c
2
γ
+
2
+
w
d
α
{\displaystyle d\omega ={\frac {v}{{\frac {c^{2}}{\gamma }}+2+w}}d\alpha }
Angenähert erhält man
d
ω
=
[
v
c
2
γ
+
2
−
v
w
(
c
2
γ
+
2
)
2
]
d
α
{\displaystyle d\omega =\left[{\frac {v}{{\frac {c^{2}}{\gamma }}+2}}-{\frac {vw}{\left({\frac {c^{2}}{\gamma }}+2\right)^{2}}}\right]d\alpha }
Für die Perihelbewegung ψ während eines Umlaufes ergiebt sich daher
ψ
=
∫
0
2
π
[
v
c
2
γ
+
2
−
v
w
(
c
2
γ
+
2
)
2
]
d
α
{\displaystyle \psi ={\overset {2\pi }{\underset {0}{\int }}}\left[{\frac {v}{{\frac {c^{2}}{\gamma }}+2}}-{\frac {vw}{\left({\frac {c^{2}}{\gamma }}+2\right)^{2}}}\right]d\alpha }
oder, weil
v
w
=
−
3
ϵ
2
cos
2
α
+
8
ϵ
cos
3
α
+
4
(
3
ϵ
2
−
1
)
cos
4
α
−
12
ϵ
cos
5
α
{\displaystyle vw=-3\epsilon ^{2}\ \cos ^{2}\alpha +8\epsilon \ \cos ^{3}\alpha +4(3\epsilon ^{2}-1)\ \cos ^{4}\alpha -12\epsilon \ \cos ^{5}\alpha }
−
9
ϵ
2
cos
6
α
{\displaystyle -9\epsilon ^{2}\ \cos ^{6}\alpha }
ψ
=
2
π
c
2
γ
+
2
+
3
π
(
8
−
ϵ
2
)
8
(
c
2
γ
+
2
)
2
{\displaystyle \psi ={\frac {2\pi }{{\frac {c^{2}}{\gamma }}+2}}+{\frac {3\pi (8-\epsilon ^{2})}{8\left({\frac {c^{2}}{\gamma }}+2\right)^{2}}}}
Daraus folgt
c
2
γ
+
2
=
π
ψ
+
π
2
ψ
2
+
3
π
(
8
−
ϵ
2
)
8
ψ
{\displaystyle {\frac {c^{2}}{\gamma }}+2={\frac {\pi }{\psi }}+{\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{\psi ^{2}}}+{\frac {3\pi (8-\epsilon ^{2})}{8\psi }}}}}
Beachtet man, dass ψ sehr klein ist, so sieht man, dass das zweite Glied unter der Wurzel gegen das erste verschwindet. Der für dω gewählte Näherungsausdruck ist danach noch zu genau, d. h. w hätte von vornherein vernachlässigt werden dürfen. Mithin wird
![{\displaystyle d\omega =\left[{\frac {v}{{\frac {c^{2}}{\gamma }}+2}}-{\frac {vw}{\left({\frac {c^{2}}{\gamma }}+2\right)^{2}}}\right]d\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9152a89cc3c057c484e7fa9e552d0e0ab03e5b30)
![{\displaystyle \psi ={\overset {2\pi }{\underset {0}{\int }}}\left[{\frac {v}{{\frac {c^{2}}{\gamma }}+2}}-{\frac {vw}{\left({\frac {c^{2}}{\gamma }}+2\right)^{2}}}\right]d\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/384e5097bd85e3b41e34b68ac1459bcbb63dd58e)
