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	Hans Heinrich Euler: Über die Streuung von Licht an Licht nach der Diracschen Theorie

und berechnen ihre partiellen Ableitungen nach ${\mathfrak {B}}$ und ${\mathfrak {E}}$: Wir finden (aus einer Änderung des Feldes um $\delta {\mathfrak {E}}$, $\delta {\mathfrak {B}}$, $\delta {\mathfrak {D}}$, $\delta {\mathfrak {H}}$):

${\frac {\delta L}{4\pi }}={\frac {\mathfrak {E}}{4\pi }}\delta {\mathfrak {D}}+{\frac {\mathfrak {D}}{4\pi }}\delta {\mathfrak {E}}-{\frac {\partial U({\mathfrak {BD}})}{\partial {\mathfrak {B}}}}\delta {\mathfrak {B}}-{\frac {\partial U({\mathfrak {BD}})}{\partial {\mathfrak {D}}}}\delta {\mathfrak {D}}$

oder nach (2,10):

${\frac {\delta L}{4\pi }}={\frac {\mathfrak {D}}{4\pi }}\delta {\mathfrak {E}}-{\frac {\partial U({\mathfrak {B,D}})}{\partial {\mathfrak {B}}}}\delta {\mathfrak {B}}$,

also:

(2,15)

${\begin{array}{|c|}\hline \\{\frac {\partial L({\mathfrak {B,E}})}{\partial {\mathfrak {E}}}}={\mathfrak {D}}\\\\\hline \end{array}}$

und wegen (2,11):

(2,16)

${\begin{array}{|c|}\hline \\{\frac {\partial L({\mathfrak {B,E}})}{\partial {\mathfrak {B}}}}=-{\mathfrak {H}}\\\\\hline \end{array}}$

und sehen, daß diese partiellen Ableitungen von $L$ durch Gl. (2,12) verknüpft sind zu einer Differentialgleichung für $L$

(2,17)

${\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial L}{\partial {\mathfrak {E}}}}+\mathrm {rot} {\frac {\partial L}{\partial {\mathfrak {B}}}}=0$,

welche äquivalent ist mit dem Variationsprinzip:

(2,18)

${\begin{array}{|c|}\hline \\\iint L({\mathfrak {B,E}})dVdt=\mathrm {Extrem} \\\\\hline \end{array}}$

für die Lagrangefunktion $L=L({\mathfrak {B,E}})$ unter den Nebenbedingungen (2,1) oder (2,2). Die Lagrangeschen Gleichungen (2,1; 2,15; 2,16; 2,18), die ebenso wie die Hamiltonschen Gleichungen (2,1; 2,10; 2,11; 2,12) den Ablauf des Feldes bestimmen, sollen nun ihren Inhalt bekommen durch Aufstellung einer Lagrangefunktion $L=L({\mathfrak {B,E}})$, welche eine Lorentz- und Spiegelinvariante sein muß.

Alle Lorentzinvarianten des antisymmetrischen Tensors ${\mathfrak {B,E}}$ müssen Funktionen der beiden Lorentzinvarianten ${\mathfrak {E}}^{2}-{\mathfrak {B}}^{2}$ und $({\mathfrak {B,E}})$ sein, von denen aber die zweite nicht spiegelinvariant ist.

Im niedrigsten zweiten Grade gibt es also nur die Lorentz- und Spiegelinvariante ${\mathfrak {E}}^{2}-{\mathfrak {B}}^{2}$, die als Lagrangefunktion nach (2,15; 2,16; 2,18) zu den bekannten linearen Maxwellschen Vakuumgleichungen ${\mathfrak {D=E,H=B}}$ und (2,4) führt.

Im nächsthöheren vierten Grade können nur die Lorentz- und Spiegelinvarianten $\left({\mathfrak {E}}^{2}-{\mathfrak {B}}^{2}\right)^{2}$ und $({\mathfrak {EB}})^{2}$ gebildet werden. Also entspricht der allgemeinsten bis zur 4. Ordnung in den Feldstärken korrigierten Hamiltonfunktion (2,13) eine Lagrangefunktion

(2,19)

${\begin{array}{|c|}\hline \\{\frac {L}{4\pi }}={\frac {{\mathfrak {E}}^{2}-{\mathfrak {B}}^{2}}{8\pi }}+{\frac {\hbar c}{e^{2}}}{\frac {1}{{E_{0}}^{2}}}\left[-\alpha \left({\mathfrak {E}}^{2}-{\mathfrak {B}}^{2}\right)^{2}-\beta ({\mathfrak {EB}})^{2}\right]={\frac {L_{0}+L_{1}}{4\pi }}\\\\\hline \end{array}}$

Worin $-\alpha$ und $-\beta$ Zahlenkoeffizienten sind.

Empfohlene Zitierweise:
Hans Heinrich Euler: Über die Streuung von Licht an Licht nach der Diracschen Theorie. , 1936, Seite 406. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Hans_Euler_%C3%9Cber_die_Streuung_von_Licht_an_Licht_nach_der_Diracschen_Theorie_1936.pdf/11&oldid=- (Version vom 1.8.2018)