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Liste.png David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse

hinausläuft, wo die Summe über alle Ideale des gegebenen Zahlkörpers zu erstrecken ist und die Norm des Ideals bedeutet.




Ich nenne noch drei speciellere Probleme aus der Zahlentheorie, nämlich eines über die Reciprocitätsgesetze, eines über diophantische Gleichungen und ein drittes aus dem Gebiete der quadratischen Formen.


9. Beweis des allgemeinsten Reciprocitätsgesetzes im beliebigen Zahlkörper.


Für einen beliebigen Zahlkörper soll das Reciprocitätsgesetz der ten Potenzreste bewiesen werden, wenn eine ungerade Primzahl bedeutet und ferner, wenn eine Potenz von oder eine Potenz einer ungeraden Primzahl ist. Die Aufstellung des Gesetzes, sowie die wesentlichen Hülfsmittel zum Beweise desselben werden sich, wie ich glaube, ergeben, wenn man die von mir entwickelte Theorie des Körpers der ten Einheitswurzeln[1] und meine Theorie[2] des relativ-quadratischen Körpers in gehöriger Weise verallgemeinert.


10. Entscheidung der Lösbarkeit einer Diophantischen Gleichung.


Eine Diophantische Gleichung mit irgend welchen Unbekannten und mit ganzen rationalen Zahlencoefficienten sei vorgelegt: man soll ein Verfahren angeben, nach welchem sich mittelst einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden läßt, ob die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen lösbar ist.


11. Quadratische Formen mit beliebigen algebraischen Zahlencoefficienten.


Unsere jetzige Kenntnis der Theorie der quadratischen Zahlkörper[3] setzt uns in den Stand, die Theorie der quadratischen


  1. Bericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung über die Theorie der algebraischen Zahlkörper, Bd. IV, 1897. Fünfter Teil.
  2. Mathematische Annalen, Bd. 51 und Nachrichten der K. Ges. d. Wiss. zu Göttingen 1898.
  3. Hilbert, Ueber den Dirichletschen biquadratischen Zahlenkörper, Mathematische Annalen, Bd. 45; Ueber die Theorie der relativquadratischen Zahlkörper, Bericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1897 und Mathematische Annalen. Bd. 51; Ueber die Theorie der relativ-Abelschen Körper, Nachrichten d. K. Ges. d. Wiss. zu Göttingen 1898; Grundlagen der Geometrie, Festschrift zur Enthüllung des Gauss-Weber-Denkmals in Göttingen, Leipzig 1899, Kapitel VIII § 83.
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1900, Seite 276. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Hilbert_-_Mathematische_Probleme.pdf/25&oldid=- (Version vom 1.8.2018)