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	Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme

Relationen (13), nur in größerer Anzahl folgen, aus denen nach der Umkehrung Invarianz von $I$ folgt gegenüber einer Gruppe, deren infinitesimale Transformationen die Parameter linear enthalten. Soll diese Gruppe genau $\varrho$ Parameter enthalten, so müssen zwischen den ursprünglich durch die Glieder höheren Grades in $\varepsilon$ erhaltenen Divergenzrelationen lineare Abhängigkeiten bestehen.

Es sei noch bemerkt, daß in dem Fall, wo $\Delta x$ und $\Delta u$ auch Ableitungen der $u$ enthalten, die endlichen Transformationen von unendlich vielen Ableitungen der $u$ abhängen können; denn die Integration von (17) führt in diesem Fall bei der Bestimmung von ${\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}u_{i}}{dt^{2}}}$ auf $\Delta \left({\frac {\partial u}{\partial x_{\varkappa }}}\right)={\frac {\partial \Delta u}{\partial x_{\varkappa }}}-{\underset {\lambda }{\sum }}{\frac {\partial u}{\partial x_{\lambda }}}{\frac {\partial \Delta x_{\lambda }}{\partial x_{\varkappa }}},$ so daß die Anzahl der Ableitungen von $u$ im allgemeinen bei jedem Schritt wächst. Ein Beispiel bietet etwa:

f={\tfrac {1}{2}}u'^{2};\ \psi =-u'';\ \psi \cdot x={\frac {d}{dx}}(u-u'x);\ {\bar {\delta }}u=x\cdot \varepsilon ;

\Delta x={\frac {-2a}{u'^{2}}}\varepsilon ;\ \Delta u=\left(x-{\frac {2u}{u'}}\right)\cdot \varepsilon .

Da die Lagrangeschen Ausdrück einer Divergenz identisch verschwinden, zeigt die Umkehrung schließlich noch das folgende: Gestattet $I$ eine ${\mathfrak {G}}_{\varrho }$ , so gestattet jedes Integral, das sich von $I$ nur um ein Randintegral, d. h. ein Integral über ein Divergenz unterscheidet, ebenfalls eine ${\mathfrak {G}}_{\varrho }$ mit denselben ${\bar {\delta }}u$ , deren infinitesimalen Transformationen im allgemeinen Ableitungen der $u$ enthalten werden. So gestattet etwa entsprechend dem obigen Beispiel: $f^{*}={\tfrac {1}{2}}\left\{u'^{2}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {u^{2}}{x}}\right)\right\}$ die infinitesimale Transformation $\Delta u=x\varepsilon$ , $\Delta x=0$ ; während in den $f$ entsprechenden infinitesimalen Transformationen Ableitungen der $u$ auftreten.

Geht man zum Variationsproblem über; d. h. setzt man $\psi _{i}=0$ ^[1], so geht (13) über in die Gleichungen: $\mathrm {Div} \ B^{(1)}=0,\dots ,\mathrm {Div} \ B^{(\varrho )}=0$ , die vielfach als „Erhaltungssätze“ bezeichnet werden. Im eindimensionalen Fall folgt daraus: $B^{(1)}=\mathrm {const} ;\dots ,B^{(\varrho )}=\mathrm {const}$ ; und hierbei enthalten die $B$ höchstens $(2\varkappa -1)$ te Ableitungen der $u$ (nach (6)), sobald $\Delta u$ und $\Delta x$ keine höheren Ableitungen als die in $f$ auftretenden $\varkappa$ -ten enthalten. Da in $\psi$ im allgemeinen $2\varkappa$ -te

↑ $\psi _{i}=0$ oder etwas allgemeiner $\psi _{i}=T_{i}$ , wo $T_{i}$ neu hinzutretende Funktionen sind, werden in der Physik als „Feldgleichungen“ bezeichnet. Im Fall $\psi _{i}=T_{i}$ gehen die Identitäten (13) in Gleichungen: $\mathrm {Div} \ B^{(\lambda )}=\sum T_{i}\delta u_{i}^{(\lambda )}$ über, die in der Physik auch noch als Erhaltungssätze bezeichnet werden.

Empfohlene Zitierweise:
Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme. Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse, Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1918, Seite 245. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:InvarianteVariationsprobleme.djvu/11&oldid=- (Version vom 1.8.2018)

[1] $\psi _{i}=0$ oder etwas allgemeiner $\psi _{i}=T_{i}$ , wo $T_{i}$ neu hinzutretende Funktionen sind, werden in der Physik als „Feldgleichungen“ bezeichnet. Im Fall $\psi _{i}=T_{i}$ gehen die Identitäten (13) in Gleichungen: $\mathrm {Div} \ B^{(\lambda )}=\sum T_{i}\delta u_{i}^{(\lambda )}$ über, die in der Physik auch noch als Erhaltungssätze bezeichnet werden.

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