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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

Da nun

GH = 3M

ferner

AO + 3AS = AO + 3(AO — OS) = 4A0 — 3 · OS,

so wird nach 5.

4 · AS · M = $\scriptstyle {\frac {4AO-3\cdot OS}{6}}$ · PO

oder 6.

4 · AS · M = ⅔AO · PO - ½OS · PO.

Da nun aber

⅔A0 · PO = der parabolischen Fläche AOPA ½OS · PO = dem Dreiecke SOP,

so wird endlich 7.

ASP = 4 · AS · M.   W. Z. B. W.

Zusatz 1. Es verhält sich daher

GH : AS,

wie die Zeit, in welcher der Körper den Bogen AP beschreibt, zu derjenigen, in welcher er den Bogen von A bis zu dem, zur Ordinate im Brennpunkte S gehörigen, Punkte zurücklegt.^[1]

Zusatz 2. Da der Kreis ASP stets durch den sich bewegenden Körper geht, so verhält sich die Geschwindigkeit des Punktes G zu der Geschwindigkeit, welche der Körper im Scheitelpunkte hatte, wie

3 : 8,^[2]

und in demselben Verhältniss steht daher auch die Linie GH zu derjenigen geraden Linie, welche der Körper während der Zeit seiner Bewegung von A bis P, mit derjenigen Geschwindigkeit, die er im Scheitel hatte, beschreiben könnte.

Zusatz 3. Man kann auch umgekehrt die Zeit finden, in welcher der Körper einen gegebenen Bogen AP beschreiben kann. Man ziehe nämlich AP und errichte in deren Mitte ein Perpendikel, welches GH in H schneidet.

§. 69. Lehnsatz. Es existirt keine ovale Figur, deren Flächenraum durch beliebige gerade Linien abgeschnitten, allgemein durch Gleichungen von begrenzter Zahl der Glieder und Dimensionen gefunden werden könnte.

Innerhalb des Ovals sei irgend ein Punkt gegeben, um welchen als Pol eine gerade Linie sich beständig gleichförmig dreht, und es bewege sich inzwischen auf dieser Linie vom Pole aus ein Punkt fortwährend mit einer Geschwindigkeit, welche dem Quadrat jener Linie innerhalb des Ovals proportional ist. Bei dieser Bewegung beschreibt jener Punkt eine Spirale von unzähligen Windungen.

Kann nun die Fläche des durch jene Linie abgeschnittenen Ovals durch eine endliche Gleichung gefunden werden, so wird durch dieselbe Gleichung auch die Entfernung des Punktes vom Pole, welche dieser Fläche proportional ist, folglich jeder Punkt der Spirallinie durch eine

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1. No. 32. S. 120. Die der Zeit proportionale Fläche ASP ist nach § 68 = 4/3 GH · AS. Die ebenfalls der verwendeten Zeit proportionale Fläche ASp = ⅔AS · Sp = ⅔AS · 2AS = 4/3 AS · AS; mithin verhalten sich die erforderlichen Zeiten wie ASP : ASp = GH : AS.

2. 

   Fig. 233.

   No. 33. S. 120. Für einen dem Scheitel verschwindend nahe liegenden Punkt π drückt Aπ die Geschwindigkeit des Punktes A und Gh die Geschwindigkeit des Punktes G aus, wenn h der Mittelpunkt des durch π gehenden Kreises ist. Die Fläche ASπ ist nun nach §. 68., Gl. 5. = 4/3 · Gh · AS, aber sie ist auch, da Aπ verschwindend klein ist = $\scriptstyle {\frac {A\pi \cdot AS}{2}}$ mithin $\scriptstyle {\frac {A\pi \cdot AS}{2}}={\frac {4}{3}}Gh\cdot AS$ oder Gh : Aπ = 3 : 8.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 120. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/128&oldid=- (Version vom 1.8.2018)