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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

Zeit von 1771/6 Standen), wird sich also zur Summe eben so vieler Winkel von 33″,2, oder zu 5878″ verhalten, wie die Summe aller Sinusse des doppelten Winkelabstandes des Mondes von den Quadraturen, multiplicirt in $\scriptstyle {\frac {Pp}{PG}}$ , zur Summe eben so vieler Durchmesser, d. h. wie der Durchmesser, multiplicirt in $\scriptstyle {\frac {Pp}{PG}}$ zur Peripherie^[1]. Dieses Verhältniss wird nun, wenn man die Neigung = 5° 1′ setzt, gleich dem 7 · $\scriptstyle {\frac {874}{10000}}$ : 22 = 278 : 10000.

Die ganze, aus der Summe aller stündlichen Bewegungen, welche während der eben besprochenen Zeit stattfinden, zusammengesetzte Veränderung ist also = 163″ = 2′ 43″.

§. 39. Aufgabe. Man soll für eine gegebene Zeit die wahre Neigung der Mondbahn gegen die Ebene der Ekliptik finden.

Fig. 201.

Ist AD der Sinus der grössten und AB der Sinus der kleinsten Neigung, so halbire man BD in C und schlage aus C mit BC einen Kreis BGD. Hierauf nehme man auf AC die Linie CE so an, dass

1. CE : EB = EB : 2 · AB

sei, mache den Winkel AEG gleich dem doppelten Winkelabstande der Knoten von den Quadraturen zu der gegebenen Zeit. Fällt man hierauf das Perpendikel GH auf AD, so wird AH der Sinus der gesuchten Neigung sein.

Es ist nämlich GE² = GH² + HE², = BH · HD + HE², = BH · BD + HE² – BH², = BH · BD + BE² – 2BH · BE, = BE² + 2EC · BH, = 2CE · AB + 2EC · BH (Gl. 1), endlich

2. GE² = 2 CE · AH.

Da nun 2CE gegeben ist, so wird GE² proportional AH. Stellt jetzt der Winkel AEg den doppelten Winkelabstand der Knoten von den Quadraturen, am Ende eines beliebigen gegebenen Momentes der Zeit dar; so wird der Bogen Gg, weil der Winkel GEg gegeben ist, dem Abstande GE proportional.

↑ [638] No. 270. S. 441. Um die Summe der im Text aufgeführten Sinusse zu finden, wollen wir uns den Quadranten ½π in n gleiche Theile getheilt denken, wo n eine grosse Zahl, hier 1771/6 bezeichnet; alsdann haben wir die Reihe $\scriptstyle \sin \left(2\cdot {\frac {{\frac {1}{2}}\pi }{n}}\right),\ \sin \left(2\cdot {\frac {\pi }{n}}\right),\ \sin \left(2\cdot {\frac {{\frac {3}{2}}\pi }{n}}\right),\ \sin \left(2\cdot {\frac {2\pi }{n}}\right)\dots$ bis $\scriptstyle \sin \left(2\cdot {\frac {n-1}{n}}\pi \right),$ zu summiren. Setzen wir nun $\scriptstyle {\frac {1}{n}}$ = x, so wird die gesuchte Summe S = sin x + sin 2x + sin 3x + . + … + sin νx, wo νx = $\scriptstyle {\frac {n-1}{n}}$ π = π – $\scriptstyle {\frac {1}{n}}$ π, (ν – 1)x = $\scriptstyle {\frac {n-2}{n}}$ π = π – $\scriptstyle {\frac {2}{n}}$ π. Setzen wir statt der Sinusse die ihnen entsprechenden Exponentialfuncionen, so wird für i = $\scriptstyle {\sqrt {-1}}$ ,
$\scriptstyle S={\frac {1}{2i}}\left\{\left[e^{ix}+e^{2ix}+e^{3ix}+\dots +e^{\nu ix}\right]-\left[e^{-ix}+e^{-2ix}+e^{-3ix}+\dots e^{-\nu ix}\right]\right\}$

$\scriptstyle ={\frac {1}{2i}}\left\{e^{ix}{\frac {e^{(\nu -1)^{ix}}-1}{e^{ix}-1}}-e^{-ix}{\frac {e^{-(\nu -1)^{ix}}-1}{e^{-ix}-1}}\right\}$

$\scriptstyle ={\frac {1}{2i}}{\frac {e^{(\nu -1)^{ix}}-e^{-(\nu -1)^{ix}}+e^{ix}-e^{-ix}-\left[e^{\nu ^{ix}}-e^{-\nu ^{ix}}\right]}{2-\left[e^{ix}+e^{-ix}\right]}}$

$\scriptstyle S={\frac {1}{2i}}{\frac {2i\ \sin(\nu -1)x+2i\ \sin \ x-2i\ \sin \nu x}{2-2\ \cos \ x}}={\frac {1}{2}}{\frac {\sin(\nu -1)x+sin\ x-\sin \nu x}{1-\cos \ x}}$

Da aber sin (ν – 1) x = sin (π – $\scriptstyle {\frac {2}{n}}$ π) = sin $\scriptstyle {\frac {2\pi }{n}}$ ; sin νx = sin $\scriptstyle {\frac {\pi }{n}}$ [639] sin x = sin $\scriptstyle {\frac {\pi }{n}}$ ; cos x = cos $\scriptstyle {\frac {\pi }{n}}$ , so wird S = $\scriptstyle {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sin {\frac {2\pi }{n}}}{1-\cos {\frac {\pi }{n}}}}$ und $\scriptstyle {\frac {S}{2n}}$ = $\scriptstyle {\frac {1}{4}}\cdot {\frac {{\frac {1}{n}}\sin {\frac {2\pi }{n}}}{1-\cos {\frac {\pi }{n}}}}$ . Da nun n sehr gross, also $\scriptstyle {\frac {1}{n}}$ sehr nahe = o vorausgesetzt sind, so kommt der vorstehende Quotient der Form $\scriptstyle {\frac {o}{o}}$ nahe. Um den Grenzwerth desselben für n = ∞ zu finden, setzen wir $\scriptstyle {\frac {1}{n}}$ = k; alsdann geht jener Quotient über in S = $\scriptstyle {\frac {1}{4}}{\frac {k\sin 2k\pi }{1-\cos k\pi }}={\frac {1}{4}}{\frac {2k^{2}\pi -{\frac {8}{6}}k^{4}\pi ^{3}..}{{\frac {1}{2}}k^{2}\pi ^{2}-{\frac {1}{24}}k^{4}\pi ^{2}..}}{\frac {{\frac {1}{\pi }}-{\frac {4}{6}}k^{2}\pi ^{2}}{1-{\frac {1}{12}}k^{2}\pi ^{2}}}$ d. h. für k = o oder n = ∞, S = $\scriptstyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {7}{22}}$ wie im Text. Ferner wird $\scriptstyle {\frac {Pp}{pG}}$ = sin 5° 1′ = 874/10000 und 278/10000 · 5878″ = 163″.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 441. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/449&oldid=- (Version vom 1.8.2018)

[1] [638] No. 270. S. 441. Um die Summe der im Text aufgeführten Sinusse zu finden, wollen wir uns den Quadranten ½π in n gleiche Theile getheilt denken, wo n eine grosse Zahl, hier 1771/6 bezeichnet; alsdann haben wir die Reihe $\scriptstyle \sin \left(2\cdot {\frac {{\frac {1}{2}}\pi }{n}}\right),\ \sin \left(2\cdot {\frac {\pi }{n}}\right),\ \sin \left(2\cdot {\frac {{\frac {3}{2}}\pi }{n}}\right),\ \sin \left(2\cdot {\frac {2\pi }{n}}\right)\dots$ bis $\scriptstyle \sin \left(2\cdot {\frac {n-1}{n}}\pi \right),$ zu summiren. Setzen wir nun $\scriptstyle {\frac {1}{n}}$ = x, so wird die gesuchte Summe S = sin x + sin 2x + sin 3x + . + … + sin νx, wo νx = $\scriptstyle {\frac {n-1}{n}}$ π = π – $\scriptstyle {\frac {1}{n}}$ π, (ν – 1)x = $\scriptstyle {\frac {n-2}{n}}$ π = π – $\scriptstyle {\frac {2}{n}}$ π. Setzen wir statt der Sinusse die ihnen entsprechenden Exponentialfuncionen, so wird für i = $\scriptstyle {\sqrt {-1}}$ ,
$\scriptstyle S={\frac {1}{2i}}\left\{\left[e^{ix}+e^{2ix}+e^{3ix}+\dots +e^{\nu ix}\right]-\left[e^{-ix}+e^{-2ix}+e^{-3ix}+\dots e^{-\nu ix}\right]\right\}$

$\scriptstyle ={\frac {1}{2i}}\left\{e^{ix}{\frac {e^{(\nu -1)^{ix}}-1}{e^{ix}-1}}-e^{-ix}{\frac {e^{-(\nu -1)^{ix}}-1}{e^{-ix}-1}}\right\}$

$\scriptstyle ={\frac {1}{2i}}{\frac {e^{(\nu -1)^{ix}}-e^{-(\nu -1)^{ix}}+e^{ix}-e^{-ix}-\left[e^{\nu ^{ix}}-e^{-\nu ^{ix}}\right]}{2-\left[e^{ix}+e^{-ix}\right]}}$

$\scriptstyle S={\frac {1}{2i}}{\frac {2i\ \sin(\nu -1)x+2i\ \sin \ x-2i\ \sin \nu x}{2-2\ \cos \ x}}={\frac {1}{2}}{\frac {\sin(\nu -1)x+sin\ x-\sin \nu x}{1-\cos \ x}}$

Da aber sin (ν – 1) x = sin (π – $\scriptstyle {\frac {2}{n}}$ π) = sin $\scriptstyle {\frac {2\pi }{n}}$ ; sin νx = sin $\scriptstyle {\frac {\pi }{n}}$ [639] sin x = sin $\scriptstyle {\frac {\pi }{n}}$ ; cos x = cos $\scriptstyle {\frac {\pi }{n}}$ , so wird S = $\scriptstyle {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sin {\frac {2\pi }{n}}}{1-\cos {\frac {\pi }{n}}}}$ und $\scriptstyle {\frac {S}{2n}}$ = $\scriptstyle {\frac {1}{4}}\cdot {\frac {{\frac {1}{n}}\sin {\frac {2\pi }{n}}}{1-\cos {\frac {\pi }{n}}}}$ . Da nun n sehr gross, also $\scriptstyle {\frac {1}{n}}$ sehr nahe = o vorausgesetzt sind, so kommt der vorstehende Quotient der Form $\scriptstyle {\frac {o}{o}}$ nahe. Um den Grenzwerth desselben für n = ∞ zu finden, setzen wir $\scriptstyle {\frac {1}{n}}$ = k; alsdann geht jener Quotient über in S = $\scriptstyle {\frac {1}{4}}{\frac {k\sin 2k\pi }{1-\cos k\pi }}={\frac {1}{4}}{\frac {2k^{2}\pi -{\frac {8}{6}}k^{4}\pi ^{3}..}{{\frac {1}{2}}k^{2}\pi ^{2}-{\frac {1}{24}}k^{4}\pi ^{2}..}}{\frac {{\frac {1}{\pi }}-{\frac {4}{6}}k^{2}\pi ^{2}}{1-{\frac {1}{12}}k^{2}\pi ^{2}}}$ d. h. für k = o oder n = ∞, S = $\scriptstyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {7}{22}}$ wie im Text. Ferner wird $\scriptstyle {\frac {Pp}{pG}}$ = sin 5° 1′ = 874/10000 und 278/10000 · 5878″ = 163″.

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