Seite:NewtonPrincipien.djvu/60

	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

kann, so kann man bewirken, dass AG und Ag ebenfalls um weniger, als jeden angebbaren Unterschied von einander abweichen. Demnach wird nach A. das Verhältniss

AB² : Ab²

von dem einfachen

BD : Bd

um weniger als jeder anggebbare Unterschied abweichen. Nach §. 1. hat man daher zuletzt:

B.     AB² : Ab² = Bd : bd.^[1]     W. z. b. w.

Fig. 14.

2. Fall. Gibt man der Linie BD irgend eine beliebige Lage gegen AD, wie etwa die BD', so wird, wenn bd' ∥ BD'

BD' : bd' = BD : bd,

und daher auch jetzt

C.     AB² : Ab² = BD' : bd'.^{[WS 1]}     W. z. b. w.

3. Fall. Ist der Winkel D nicht gegeben, sondern convergirt die Linie BD nach irgend einem gegebenen Punkte hin, oder ist sie nach irgend einem Gesetze gezogen; so nähern sich doch die Winkel D und d immer mehr der Gleichheit und kommen einander näher, als jeder gegebene Unterschied. Demnach werden sie, nach §. 1. zuletzt einander gleich und es verhalten sich BD und bd wie früher.     W. z. b. w.

Zusatz 1. Da zuletzt die Tangenten	AD	und	Ad
die Bogen	AB	und	Ab
und die Sinusse	BC	und	bc

den Sehnen AB und Ab gleich werden; so verhalten sich zuletzt auch ihre Quadrate, wie

BD : bd.

Zusatz 2. Da

Δ ADB : Adb = AD · DB : Ad · db

und zuletzt

AD² : Ad² = DB : db;

so haben wir ebenfalls zuletzt

und auch D.

ADB : Adb = AD³ : Ad³ = DB3/2 : db3/2 ABC : Abc = BC³ : bc³.

Zusatz 3. Da zuletzt

DB ∥ db und

DB : db = AD² : Ad²,

so werden die krummlinigen Figuren ADB und Adb, nach der Natur der Parabeln^[2], ⅔ der geradlinigen Figuren ADB und Adb, und die Segmente AB, Ab ⅓ derselben Dreiecke. Es verhalten sich demnach so wohl diese krummlinigen Figuren, als auch diese Segmente, wie

AD³ : Ad³ = $\scriptstyle \frown$ AB³ : Ab³ = Sehne AB³ : Ab³.

§. 12. Anmerkung. Bei allen diesen Behauptungen setzen wir übrigens voraus, dass der Berührungswinkel weder unendlich grösser, noch unendlich kleiner sei, als die Berührungswinkel, welche Kreise mit ihren Tangenten bilden, d. h. dass die Krümmung am Punkte A weder

---

1. 

   Fig. 224.

   No. 2. S. 52. Setzt man den Bogen AB = α, Ab = β, so wird für den Radius AM = 1, BD = AC = sin vers. α = 1 – cos. α = 2 sin ½α² AB = 2 sin AGB = 2 sin ½α und eben so bd = 2 sin ½β²; Ab = 2 sin ½β. Werden nun α und β verschwindend klein, so wird BD = ½α², AB = α, bd = ½β², Ab = β, demnach jetzt: AB² : Ab² = α² : β² = BD : bd.

2. No. 3. S. 52. Weil $\scriptstyle {\frac {AD^{2}}{DB}}={\frac {AD^{2}}{db}}=Const.$, so wird AD² = Constans. $\scriptstyle \times$ DB, und daher für AC = DB als Abscisse, BC = AD die zugehörige Ordinate in einer Parabel. Ferner ist nach den Gesetzen der Parabel die krummlinige Figur ABC = ⅔ ACBD und daher die krummlinige Figur ABD = ⅓ ABCD = ⅔ Δ ABD.

Anmerkungen (Wikisource)

1. Vorlage: AB² : Ab³ = BD' : bd'

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 52. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/60&oldid=- (Version vom 18.3.2018)