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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

S = sin² $\scriptstyle {\frac {1}{n}}$ π + sin² $\scriptstyle {\frac {2}{n}}$ π + ... + sin² $\scriptstyle {\frac {n-1}{n}}$ π S' = cos² $\scriptstyle {\frac {1}{n}}$ π + cos² $\scriptstyle {\frac {2}{n}}$ π + ... + cos² $\scriptstyle {\frac {n}{n}}$ π.

Durch Einführung der bekannten Exponential-Functionen wird

$\scriptstyle S={\frac {e^{i\cdot 2x}+e^{i\cdot 4x}+\dots +e^{i\cdot 2(n-1)x}}{-4}}+{\frac {e^{-i2x}+e^{-i4x}+\dots +e^{-i2(n-1)x}}{-4}}+(n-1)\cdot {\frac {-2}{-4}}$ $\scriptstyle =-{\frac {1}{4}}e^{i2x}\cdot {\frac {e^{i(n-1)2x}-1}{e^{i2x}-1}}-{\frac {1}{4}}e^{-i2x}\cdot {\frac {e^{-i(n-1)2x}-1}{e^{-i2x}-1}}+{\frac {1}{2}}(n-1)$ ${\scriptstyle =-{\frac {1}{4}}{\frac {e^{i(n-1)2x}+e^{-i(n-1)2x}-e^{in2x}-e^{-in2x}+e^{i2x}+e^{-i2x}-2}{2-e^{i2x}-e^{-i2x}}}+{\frac {1}{2}}(n-1)}$, $\scriptstyle S={\frac {1}{4}}{\frac {1-\cos(n-1)2x+\cos \ 2nx-\cos \ 2x}{1-\cos \ 2x}}+{\frac {1}{2}}(n-1)$.

Hier ist, wie bekannt, i = $\scriptstyle {\sqrt {-1}}$, ferner folgt aus x = $\scriptstyle {\frac {1}{n}}$ π, 2nx = 2π, (n — 1)2x = 2π — 2x, cos(n — 1)2x = cos 2x, cos 2nx = 1; mithin S = ¼$\scriptstyle {\frac {1-\cos \ 2x+1-\cos \ 2x}{1-\cos \ 2x}}$ + ½(n — 1) = ½n. Was die Summe S' betrifft, so wird zunächst

$\scriptstyle S'={\frac {1}{4}}\left[e^{i2x}+e^{i4x}+\dots +e^{i2nx}\right]+{\frac {1}{4}}\left[e^{-i2x}+e^{-i4x}+\dots +e^{-i2nx}\right]+n\cdot {\frac {2}{4}}$ $\scriptstyle ={\frac {1}{4}}\left[e^{i2x}{\frac {e^{in2x}-1}{e^{i2x}-1}}+e^{-i2x}{\frac {e^{-in2x}-1}{e^{-i2x}-1}}\right]+{\frac {1}{2}}n$

$\scriptstyle ={\frac {1}{4}}{\frac {-1+\cos \ 2nx-\cos(n+1)2x+\cos \ 2x}{1-\cos \ 2x}}$ + ½ n = ½n, weil cos 2nx = 1 und cos (n + 1)2x = cos (2π + 2x) = cos 2x.

No. 294. S. 457.^{[WS 1]} Bezeichnet Σ die Summe der Theilchen, so haben wir Σ(LX²) : Σ(JX²) = 1 : 2 (§. 44.) Σ(JX²) : Σ(AC²) = JX² : AC² (weil JX und AC constant sind), also Σ(LX² : Σ(AC²) = JX² : AC².

No. 295. S. 457.^{[WS 2]} Bezeichnet Σ(JK) die Summe aller auf der Peripherie, Σ(A) die Summe aller in A befindlicher Theilchen, so hat man Σ(JK) : Σ(A) = JK² — 2 · CX² : 2 · AC² (Verh. 7.) Σ(A) : Σ(AC) = 2 : 1 (§. 44.), also (JK) : Σ(AC) = JK² — 2 · CX² : AC².

No. 296. S. 458. Zur Verdeutlichung des Inhalts dieses §. mögen folgende Sätze hier hinzugefügt werden.

I. Satz. Die Grösse der Bewegung eines Kreises, welcher mit constanter Geschwindigkeit um seinen Mittelpunkt getrieben wird, ist dem Cubus des Radius proportional.

Anmerkungen (Wikisource)

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1. war: 477
2. war:169. S. 323

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 644. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/652&oldid=- (Version vom 1.8.2018)