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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

verhalten sich die Centripetalkräfte indirect wie die Radien; und umgekehrt.

Zusatz 6. Sind die Quadrate der Umlaufszeiten den Cuben der Radien proportional, so verhalten sich die Centripetalkräfte indirect wie die Quadrate der Radien, die Geschwindigkeiten aber indirect wie die Quadratwurzeln der Radien; und umgekehrt^[1].

Zusatz 7. Ist allgemein die Umlaufszeit proportional

Rⁿ,

wo n eine beliebige Zahl bezeichnet; so wird die Geschwindigkeit sich indirect verhalten wie

R^n–1,

und die Centripetalkraft indirect wie

R^2n–1.

Zusatz 8. Alles Bisherige gilt auch von den Zeiten, Geschwindigkeiten und Kräften, womit Körper ähnliche Theile ähnlicher Figuren, deren Mittelpunkte ähnlich liegen, beschreiben, und es folgt dies aus der Anwendung der vorhergehenden Beweise auf diesen Fall. Man macht diese Anwendung, indem man eine sich gleichbleibende Beschreibung der Flächen statt der gleichförmigen Bewegung, und die Abstände der Körper vom Mittelpunkte statt der Radien annimmt.

Zusatz 9. Aus demselben Beweise folgt auch, dass der Bogen, welchen ein Körper in einem, unter Einwirkung einer gegebenen Centripetalkraft gleichförmig beschriebenen, Kreise während einer gegebenen Zeit zurücklegt, die mittlere Proportionale zwischen dem Durchmesser des Kreises und der Höhe ist, um welche der Körper während derselben Zeit und vermöge derselben Kraft herunterfallen würde^[2].

§. 19. Anmerkung. Der Fall des Zusatzes 6. findet bei der Bewegung der Himmelskörper statt (wie Wren, Hook und Halley ursprünglich gefunden haben), wesshalb ich dasjenige, was sich auf die Abnahme der Centripetalkräfte im doppelten Verhältniss der Radien bezieht, im Folgenden näher auseineindersetzen werde.

Ferner kann man mittelst des vorhergehenden Lehrsatzes und seiner Zusätze auch auf das Verhältniss der Centripetalkraft zu jeder bekannten Kraft schliessen, wie z. B. zur Kraft der Schwere. Denn wenn der Körper sich auf einem um die Erde concentrischen Kreise vermöge seiner Schwere bewegt, so ist die letztere seine Centripetalkraft. Aus dem Falle der Körper wird aber nach §. 18., Zusatz 9. so wohl die Umlaufszeit, als auch der in jeder Zeit beschriebene Bogen bekannt. Durch derartige Sätze hat Huygens in seinem vortrefflichen Werke über Pendeluhren die Kraft der Schwere mit den Centrifugalkräften umlaufender Körper verglichen.

Das Vorhergehende kann auch auf folgende Weise erwiesen werden. Man denke sich in einem Kreise ein Vieleck von beliebig vielen Seiten beschrieben. Wird nun ein Körper bei seiner Bewegung längs der Seiten an den einzelnen Ecken durch den Kreis zurückgeworfen, so verhält sich

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1. No. 7. S. 60. Werden die Centripetalkräfte durch F, f, die Geschwindigkeiten durch V, v bezeichnet; so ist nach dem Lehrsatz und nach Zusatz 2. $\scriptstyle F:f={\frac {R}{T^{2}}}:{\frac {r}{t^{2}}}$ und da hier T²:t² = R³:r³; so wird $\scriptstyle F:f={\frac {1}{R^{2}}}:{\frac {1}{r^{2}}}$. Ferner geht die Proportion $\scriptstyle V:v={\frac {2R\pi }{T}}:{\frac {2r\pi }{t}}$ hier über in $\scriptstyle V:v={\frac {R}{R^{\frac {3}{2}}}}:{\frac {r}{r^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{R^{\frac {1}{2}}}}:{\frac {1}{r^{\frac {1}{2}}}}$.
2. No. 8. S. 60. Setzt man allgemein die Schwerkraft = 2g, so wird bekanntlich ein vermöge derselben beschriebener Weg f = gt³. Setzt man nun die Zeit t = 1, und wird während derselben Zeit der Bogen a des Kreises beschrieben, so gehört zu demselben die Fallhöhe g und es ist daher g · 2r = a² oder 2g = $\scriptstyle {\frac {a^{2}}{r}}$, d. h. die Schwerkraft identisch mit der Centripetalkraft. Demnach $\scriptstyle f={\frac {a^{2}}{2r}}\cdot t^{2}$ und für t = 1 a² = 2r · f.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 60. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/68&oldid=- (Version vom 21.11.2019)