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	Max Abraham: Prinzipien der Dynamik des Elektrons (1903)

Wir denken uns nun die Bewegungsrichtung abgeändert; die Ebene, in der die Ablenkung erfolgt, wählen wir als xy-Ebene; es ist also jetzt ${\mathfrak {q}}_{y}\gtrless 0$. Zur Aufrechterhaltung der so abgeänderten Bewegung ist eine äußere Drehkraft erforderlich, deren z-Komponente ist

$\Theta _{z}={\mathfrak {q}}_{x}{\mathfrak {G}}_{y}-{\mathfrak {q}}_{y}{\mathfrak {G}}_{x}={\mathfrak {q}}_{x}{\frac {\partial L}{\partial {\mathfrak {q}}_{y}}}-{\mathfrak {q}}_{y}{\frac {\partial L}{\partial {\mathfrak {q}}_{x}}}$.

Die entsprechende Komponente der „inneren Drehkraft", die jener das Gleichgewicht hält, ist demnach:

(28d)

$-\Theta _{z}={\mathfrak {q}}_{y}{\frac {\partial L}{\partial {\mathfrak {q}}_{x}}}-{\mathfrak {q}}_{x}{\frac {\partial L}{\partial {\mathfrak {q}}_{y}}}$

Wir nennen nun die ursprüngliche Bewegung eine stabile, wenn diese durch Abänderung der Bewegungsrichtung erweckte innere Drehkraft stets dahin strebt, die in der Ladung feste x-Achse in die neue Bewegungsrichtung einzustellen. Das ist dann und nur dann der Fall, wenn für ${\mathfrak {q}}_{y}\gtrless 0,(-\Theta _{z})\gtrless 0$ ist.

Wir entwickeln die rechte Seite von (28d) in eine nach Potenzen von ${\mathfrak {q}}_{y}$ fortschreitende Reihe. Das Anfangsglied ist Null nach (28b). Das in ${\mathfrak {q}}_{y}$ lineare Glied beträgt:

${\mathfrak {q}}_{y}\left\{G-q\left({\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\mathfrak {q}}_{y}^{2}}}\right)_{{\mathfrak {q}}_{y}={\mathfrak {q}}_{z}=0}\right\}$.

Mithin ist das Stabilitätskriterium für kleine Abänderungen der Bewegungsrichtung zu formulieren durch:

(28e)

${\frac {G}{q}}-\left({\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\mathfrak {q}}_{y}^{2}}}\right)_{{\mathfrak {q}}_{y}={\mathfrak {q}}_{z}=0}>0$

bei beliebiger Lage der zur Bewegungsrichtung senkrechten y-Achse.

Wir entwickeln andererseits die Lagrangesche Funktion in eine Taylorsche Reihe, die nach Potenzen von ${\mathfrak {q}}_{y}$ fortschreitet, wir schreiben L₀ den Wert der Funktion für ${\mathfrak {q}}_{x}={\mathfrak {q}},\ {\mathfrak {q}}_{y}={\mathfrak {q}}_{z}=0$. Wir wollen ferner die Abänderung der Bewegung in der Weise vollzogen denken, daß der Betrag der Geschwindigkeit $q={\sqrt {{\mathfrak {q}}_{x}^{2}+{\mathfrak {q}}_{y}^{2}}}$ konstant bleibt, mithin

${\mathfrak {q}}_{x}={\sqrt {q^{2}-{\mathfrak {q}}_{y}^{2}}}=q-{\frac {1}{2}}{\frac {{\mathfrak {q}}_{y}^{2}}{q}}$

setzen. Dann wird

${\begin{array}{ll}L=L_{0}+\left({\frac {\partial L}{\partial {\mathfrak {q}}_{x}}}\right)_{{\mathfrak {q}}_{y}=0}({\mathfrak {q}}_{x}-q)&+\left({\frac {\partial L}{\partial {\mathfrak {q}}_{y}}}\right)_{{\mathfrak {q}}_{y}=0}\cdot {\mathfrak {q}}_{y}\\\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\mathfrak {q}}_{y}^{2}}}\right)_{{\mathfrak {q}}_{y}=0}\cdot {\mathfrak {q}}_{y}^{2},\end{array}}$

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Max Abraham: Prinzipien der Dynamik des Elektrons (1903). Johann Ambrosius Barth, Leipzig 1903, Seite 175. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Prinzipien_der_Dynamik_des_Elektrons_(1903).djvu/71&oldid=- (Version vom 1.8.2018)