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	Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe

wenn für $p$ alle Primzahlen, für $n$ alle ganzen Zahlen gesetzt werden. Die Function der complexen Veränderlichen $s$, welche durch diese beiden Ausdrücke, so lange sie convergiren, dargestellt wird, bezeichne ich durch $\zeta (s)\,$. Beide convergiren nur, so lange der reelle Theil von $s$ größer als 1 ist; es läßt sich indeß leicht ein immer gültig bleibender Ausdruck der Function finden. Durch Anwendung der Gleichung

$\int \limits _{0}^{\infty }e^{-nx}x^{s-1}dx={\frac {\prod (s-1)}{n^{s}}}$

erhält man zunächst

$\prod (s-1)\zeta (s)=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}dx}{e^{x}-1}}.$

Betrachtet man nun das Integral

$\int {\frac {(-x)^{s-1}dx}{e^{x}-1}},$

von $+\infty$ bis $+\infty$ positiv um ein Größengebiet erstreckt, welches den Werth 0, aber keinen andern Unstetigkeitswerth der Function unter dem Integralzeichen im Innern enthält, so ergiebt sich dieses leicht als gleich

$(e^{-\pi si}-e^{\pi si})\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}dx}{e^{x}-1}},$

vorausgesetzt, daß in der vieldeutigen Function $(-x)^{s-1}=e^{(s-1)\log(-x)}\,$ der Logarithmus von $-x$ so bestimmt worden ist, daß er für ein negatives $x$ reell wird. Man hat daher

$2\sin \pi s\prod (s-1)\zeta (s)=i\int \limits _{\infty }^{\infty }{\frac {(-x)^{s-1}dx}{e^{x}-1}},$

das Integral in der eben angegebenen Bedeutung verstanden.

Diese Gleichung giebt nun den Werth der Function $\zeta (s)\,$ für jedes beliebige complexe $s$ und zeigt, daß sie einwerthig und für alle endlichen Werthe von $s$, außer 1, endlich ist, so wie auch, daß sie verschwindet, wenn $s$ gleich einer negativen geraden Zahl ist.

Wenn der reelle Theil von $s$ negativ ist, kann das Integral, statt positiv um das oben angegebene Größengebiet, auch negativ um das Größengebiet welches sämmtliche übrigen complexen

Empfohlene Zitierweise:
Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1860, Seite 672. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:RiemannPrim1859.djvu/2&oldid=- (Version vom 1.8.2018)