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	Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie

$\lambda$ wird schließlich festgelegt durch die Forderung, daß der Druck im Zentrum der Kugel endlich und positiv bleiben soll, woraus nach (10) folgt, daß dort $f_{4}$ endlich und von Null verschieden bleiben muß. Man hat nach (13), (18) und (23):

$f_{4}=\zeta \eta ^{-1/3}=\left(1-{\frac {\varkappa \rho _{0}}{3}}\eta ^{2/3}+\lambda \eta ^{-1/3}\right)\left[1-{\frac {\varkappa \gamma }{6}}\int \limits _{\eta }^{\eta _{0}}{\frac {\eta ^{1/6}d\eta }{\left(\eta ^{1/3}-{\frac {\varkappa \rho _{0}}{3}}\eta +\lambda \right)^{3/2}}}\right]^{2}.$

(26)

Es werde zunächst $\lambda \gtrless 0$ vorausgesetzt. Dann folgt für sehr kleines $\eta$:

$f_{4}{\frac {\lambda }{\eta ^{1/3}}}\left[K+{\frac {\varkappa \gamma }{7}}{\frac {\eta ^{7/6}}{\gamma ^{3/2}}}\right]^{2},$

wobei:

$K=1-{\frac {\varkappa \gamma }{6}}\int \limits _{0}^{\eta _{0}}{\frac {\eta ^{1/6}d\eta }{\left(\eta ^{1/3}-{\frac {\varkappa \rho _{0}}{3}}\eta +\lambda \right)^{3/2}}}$

(27)

gesetzt ist. Im Mittelpunkt $(\eta =0)$ wird also $f_{4}$ unendlich, außer wenn $K=0$ ist. Ist aber $K=0$, so verschwindet $f_{4}$ für $\eta =0$. In keinem Falle ergibt sich für $\eta =0$ ein endliches und von Null verschiedenes $f_{4}$. Man sieht daher, daß die Voraussetzung $\lambda \gtrless 0$ nicht zu physikalisch brauchbaren Lösungen führt, und es folgt, daß $\lambda =0$ sein muß.

§ 6. Mit der Bedingung $\lambda =0$ sind nunmehr alle Integrationskonstanten festgelegt. Zugleich werden die auszuführenden Integrationen sehr einfach. Führt man statt $\eta$ eine neue Variable $\chi$ ein durch die Definition:

$\sin \chi ={\sqrt {\frac {\varkappa \rho _{0}}{3}}}\cdot \eta ^{1/3}\ \left(\sin \chi _{a}={\sqrt {\frac {\varkappa \rho _{0}}{3}}}\cdot \eta _{a}^{1/3}\right),$

(28)

so verwandeln sich die Gleichungen (13), (26), (10), (24), (25) durch elementare Rechnung in die folgenden:

$f_{2}={\frac {3}{\varkappa \rho _{0}}}\sin ^{2}\chi ,\ f_{4}=\left({\frac {3\cos \chi _{a}-\cos \chi }{2}}\right)^{2},\ f_{1}f_{2}^{2}f_{4}=1.$

(29)

$\rho _{0}+p=\rho _{0}{\frac {2\cos \chi _{a}}{3\cos \chi _{a}-\cos \chi }}$

(30)

$3x=r^{3}=\left({\frac {\varkappa \rho _{0}}{3}}\right)^{-3/2}\left[{\frac {9}{4}}\cos \chi _{a}\left(\chi -{\frac {1}{2}}\sin 2\chi \right)-{\frac {1}{2}}\sin ^{3}\chi \right].$

(31)

Die Konstante $\chi _{a}$ bestimmt sich aus Dichte $\rho _{0}$ und Radius $r_{a}$ der Kugel nach der Relation:

$\left({\frac {\varkappa \rho _{0}}{3}}\right)^{3/2}r_{a}^{3}={\frac {9}{4}}\cos \chi _{a}\left(\chi _{a}-{\frac {1}{2}}\sin 2\chi _{a}\right)-{\frac {1}{2}}\sin ^{3}\chi _{a}.$

(32)

Empfohlene Zitierweise:
Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie. Preussische Akademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte, 1916 (Erster Halbband), Berlin 1916, Seite 430. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Schwarzschild1916b.djvu/7&oldid=- (Version vom 1.8.2018)