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	Vladimir Varićak: Über die nichteuklidische Interpretation der Relativtheorie

Nur hat man die Komponenten graphisch so darzustellen, wie eben auseinandergesetzt wurde, und bei der Berechnung der Resultante sich der Lobatschefskijschen Trigonometrie zu bedienen.

Es seien $v_{1}$ und $v_{2}$ zwei Geschwindigkeiten, die miteinander den Winkel $\alpha$ einschließen. Es entsprechen ihnen die Strecken $U_{1},U_{2}$ mit den Maßzahlen $u_{1},u_{2}$ nach den Relationen

(4)	${\frac {v_{1}}{c}}=\mathrm {th} \,\ u_{1},\ {\frac {v_{2}}{c}}=\mathrm {th} \,u_{2},$

Man trage vom Punkte $0$ in der Richtung von $v_{1}$ die Strecke $0A=U_{1}$ ab und setze unter dem Winkel $\alpha$ die Strecke $AB=U_{2}$ an. Der Resultante entspricht die Strecke $0B=U$. In dem Lobatschefskijschen Dreiecke $0AB$ besteht die Relation

(5)	$\mathrm {ch} \,u=\mathrm {ch} \,u_{1}\ \mathrm {ch} \,u_{2}+\mathrm {sh} \,u_{1}\mathrm {sh} \,u_{2}\cos \ \alpha$

Setzt man hierin

(6)	$\mathrm {ch} \,u={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}},\ \mathrm {sh} \,u={\frac {\frac {v}{c}}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}},$

so erhält man

${\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}={\frac {{\sqrt {1-\left({\frac {v_{1}}{c}}\right)^{2}}}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{2}}{c}}\right)^{2}}}}{1+{\frac {v_{1}v_{2}\cos \alpha }{c^{2}}}}}$

und nach einigen Umformungen

${\begin{aligned}&\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}={\frac {\left({\frac {v_{1}}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {v_{2}}{c}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{1}v_{2}}{c^{2}}}\right)^{2}-1}{\left(1+{\frac {v_{1}v_{2}\cos \alpha }{c^{2}}}\right)^{2}}}+1\\\\&={\frac {\left({\frac {v_{1}}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {v_{2}}{c}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{1}v_{2}}{c^{2}}}\right)^{2}\cdot \left(1-\cos ^{2}\alpha \right)+{\frac {v_{1}v_{2}\cos \alpha }{c^{2}}}}{\left(1+{\frac {v_{1}v_{2}\cos \alpha }{c^{2}}}\right)^{2}}}\end{aligned}}$

Daraus folgt schließlich

(7)	$v={\frac {\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+2v_{1}v_{2}\cos \alpha -\left({\frac {v_{1}v_{2}\sin \alpha }{c}}\right)^{2}}}{1+{\frac {v_{1}v_{2}\cos \alpha }{c^{2}}}}}$

und dies ist das Einsteinsche Additionsgesetz der Geschwindigkeiten. In vektorieller nichteuklidischer Bezeichnung kann man es schreiben in der Form

(8)	${\mathfrak {u}}={\mathfrak {u}}_{1}+{\mathfrak {u}}_{2}$,

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Empfohlene Zitierweise:
Vladimir Varićak: Über die nichteuklidische Interpretation der Relativtheorie. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 1912, Seite 108. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:VaricakRel1912.djvu/6&oldid=- (Version vom 1.8.2018)