Auszug aus den Anfangs-Gründen aller Mathematischen Wissenschaften

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Autor: Christian Wolff
Titel: Auszug aus den Anfangs-Gründen aller Mathematischen Wissenschaften
Untertitel: Zu bequemerem Gebrauche der Anfänger
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Entstehungsdatum:
Erscheinungsdatum: 1772
Verlag: Rengerische Buchhandlung
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Erscheinungsort: Halle
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Quelle: ULB Düsseldorf, Kopie auf Commons
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[I]
Auszug
aus den
Anfangs-Gründen
aller
Mathematischen
Wissenschaften,
zu
Bequemerem Gebrauche
Der Anfänger
auf Begehren verfertigt
von
Christian Freyherrn von Wolff,

Seiner königl. Majestät in Preussen Geheimen Rathe und Canzler der Universität zu Halle, wie auch Professore Juris Naturæ & Gentium ac Matheseos daselbst, Professore honorario zu St. Petersburg, der Königl. Academie der Wissenschaften zu Paris, wie auch der Königl. Groß-Britannischen und der Königl. Preußl. Societät der Wissenschaften Mitgliede.


Neue und sehr verbesserte Auflage.

Mit Röm. Kaiserl. und Chursächsischen
PRIVILEGIIS.

Halle im Magdeburgischen,
Zu finden in der Rengerischen Buchhandlung.
1772.
[II]
Vorrede.

Ich pflege die Mathematick aus zwey Ursachen zu recommendiren: einmahl wegen der unvergleichlichen Ordnung, in welcher sie ihre Sachen gründlich ausführet; darnach wegen ihrer Lehren, welche so wohl in gründlicher Erkenntniß der Natur und Kunst, als im menschlichen Leben vielfältig genutzet werden. Die Ordnung ist dasjenige, warum ich die Mathematick einem jeden, der studiret, nothwendig zu seyn erachte. Denn ich bin mit PHILLIPO MELANCHTHONE der gewissen Meinung, es könne niemand etwas in gründlicher Ordnung ausführen, welcher nicht in der Mathematick sich mit Fleiß geübet. Und deswegen billige ich die Gewohnheit der Griechischen Weltweisen, welche niemanden zum Studiren liessen, der nicht vorher die Arithmetick und Geometrie erlernet hatte. Nemlich, wer was gründliches erlernen will, der muß eine Fertigkeit haben, alles [III] deutlich zu begreifen, und genau zu untersuchen, ob dasjenige, was er höret oder lieset, der Wahrheit gemäß sey, oder nicht. Ja auch diejenigen, welche die Wahrheiten der Christlichen Religion gründlich einzusehen haben, müssen nicht mit einem blinden Kohler-Glauben zu ihren Lehrern kommen, und etwas bloß deswegen für wahr annehmen, weil es der hochgelehrte Mann, an den man sie zum nöthigen Unterricht verwiesen hat, für wahr ausgiebet. Es ist nicht genug, daß er ihnen die Wahrheit saget, sondern sie müssen es auch begreifen, daß es Wahrheit sey, das ist, daß die von ihm gemachte Erklärung der Schrift richtig, und die von ihm behauptete Sätze aus dieser richtigen Erklärung durch bündige Schlüsse folgen. Denn da Paulus nicht leiden will, daß die Gläubigen sollen Kinder am Verständniß werden (a),[1] das ist, wie die Kinder ohne Ueberlegung annehmen, was ihnen von einem vorgesaget wird, von dem sie eine gute Meinung haben, und aus dem Gedächtniß nachsagen, wovon nichts in den Verstand kommen ist; so kan auch kein Lehrer, der Paulisch gesinnet ist, von seinen Zuhörern begehren, daß sie sich wie die kleinen Kinder einwickeln lassen, wie es ihm gefället. Solche [IIII] Kinder müssen sich wägen und wiegen lassen. von allerley Wind der Lehre (b)[2], weil der wahre Lehrer nichts vor sich hat, warum er dieses fordern könnte, das nicht auch der Verführer für sich anführen konnte, als welcher so wohl die Wahrheit zu haben vermeinet, als der andere, dem etwan das blinde Glück dazu verholfen. Alle Fertigkeit kommet durch due Uebung, nicht aber durch Erlernung der Regeln, die man in Acht nehmen muß. Derowegen, wenn gleich in der Vernunftlehre alle Regeln auf das gründlichste erkläret werden, die man, Sachen deutlich zu begreifen und vollständig zu erweisen, in Acht nehmen muß; so kan doch die Vernunftlehre niemanden das Vermögen geben, die Regeln in fertige Uebung zu bringen. Es verhält sich hier nicht anders, wie mit dem Gesetze. Das Gesetz zeiget zwar, was gut und böse ist, und kommet dannenhero daraus Erkenntniß der Sünde; aber es giebet nicht das Vermögen zu einem tugendhaften Wandel. Die Uebung nun in deutlichen Begriffen und auführlichen Beweisen hat man in der Mathematick, wenn man sie mit gehörigem Fleisse erlernet, und daher giebet sie das Vermögen, die Vernunftlehre ohne einigen Fehltritt auszuüben. [VI] Und um dieser Ursachen willen muß die Mathematick vor der Vernunftlehre erlernet werden, wenn man in richtiger Ordnung, ohne einigen Zeit-Verlust, studiren will. Es ist aber ohne mein Erinnern klar, daß man diesen Nutzen von der Mathematick nicht zu erwarten hat, wenn nicht die von den alten Geometris gebrauchte Lehrart in allem auf das sorgfältigste in Acht genommen wird: denn nicht die mathematische Wahrheit, sondern die Ordnung, in welcher sie gründlich erkannt wird, ist das Mittel, wodurch der Verstand des Menschen geändert wird. Daher fället dieser Nutzen der Mathematick weg, wenn man ihre Lehren auf gemeine Art vorträget, nach welcher sie mehr in das Gedächtniß, als in den Verstand gefasset werden. Dieses war die Ursache, warum ich meine Anfangs-Gründe der mathematischen Wissenschaften herausgab, und darinnen auch bey solchen Sachen, die in mathematischer Gewißheit völlig abzuhandeln viel zu weitläufig fallen würden, die in der Geometrie bey den Alten übliche Ordnung, so viel möglich, in Acht nahm. Ja weil es denen, welche die Wahrheit einzusehen anfangen, nicht anders ergehet, als einem, der aus dem Dunkelen ins Helle kommet, daß er nemlich den allzugrossen Glanz des Lichtes nicht vertragen kan, sondern dadurch einigen [VII] Schmerz in seinen Augen empfindet; so habe ich auch in den deutschen Anfangs-Gründen die völlige Schärfe weder Erklären, noch im Beweisen in Acht genommen, hingegen diesen Mangel, den Anfänger und in gründlicher Erkenntniß ungeübte für eine Vollkommenheit ansehen, in dem Lateinischen Werke, sonderlich den beiden Grund-Säulen der mathematischen Wissenschaften, der Arithmetick und Geometrie, ersetzet, da ich so wohl im Erklären, als im Beweisen so weit gegangen, als immer jemand fordern kan. Nemlich die Natur thut weder in der Seele, noch in dem Cörper einen Sprung; sondern alle Veränderungen geschehen nach und nach. Derowegen wenn der Verstand des Menschen geändert werden soll, kan er nicht auf einmal zu dem höchsten Grade der Vollkommenheit gebracht werden; vielmehr muß der Anfang zur Vollkommenheit unter vielen rückständigen Unvollkommenheiten gemacht werden. Unterdessen aber muß doch der Anfang auch ein Anfang seyn, und nicht allein einer heissen, das ist, auch bey der ersten Erlernung der Mathematick muß einige Veränderung im Verstande vorgehen, und dadurch einige Fertigkeit erreicht werden, zu welcher man nicht würde kommen seyn, wenn man an deren statt etwas anderes getrieben hätte. Demnach [VIII] muß die Mathematick mit den ersten Anfängern dergestalt vorgenommen werden, daß sie unvermerkt das Bild der richtigen Ordnung in ihrem Verstande erblicken, und von der Gründlichkeit einigen Geschmack bekommen. Derowegen weil vielen meine Anfangs-Gründe der mathematischen Wissenschaften zu weitläuftig geschienen, als daß sie mit Anfängern in der gemeiniglich ihnen vorgesetzten Kürze der Zeit konnten durchgegangen werden; über dieses auch einigen zu theuer vorkommen, und daher begehret worden, daß ich einen Auszug zu bequemeren Gebrauche der Anfänger, sonderlich auf Schulen, verfertigen möchte; so habe ich wegen der grossen Begierde, die ich bey mir spüre, Verstand und Tugend unter den Menschen zu einem höhern Grade zu bringen, als bisher unter ihnen angetroffen wird, mich leicht dahin bewegen lassen, diese Arbeit dergestalt über mich zu nehmen, daß ich ihnen einen Auszug gewähren möchte, der an Grösse nicht die Hälfte der Anfangs-Gründe erreichte, und doch in Ansehung des Hauptnutzens ihnen nichts nachgäbe. Damit aber dieser Nutzen nicht aussen bleibe, so achte für nöthig, noch etwas von dem rechten Gebrauch dieses Buchs zu erinnern. Man muß vor allen Dingen dahin sehen, daß die Anfänger in der Arithmetick, Geometrie [IX] und Trigonometrie wohl geübet werden. Und kan man den Anfang schon mit den kleinen Knaben machen, welche die Anfangs-Gründe der lateinischen Sprache auswendig lernen. Mit diesen nimmet man aus der Arithmetick bloß das Aussprechen der Zahlen und die vier Rechnungs-Arten in ganzen Zahlen vor, jedoch dergestalt, daß man sie allezeit fraget, warum sie dieses so und nicht anders machen, damit sie nicht allein den Grund der Rechnung einsehen, und sie daher besser behalten, sondern auch angewöhnet werden, nichts ohne Grund von jemanden anzunehmen; ingleichen in allem, was sie sehen und hören, um seinen Grund sich zu bekümmern: als welche Aufmunterung des Verstandes ein lehrbegierigeres Gemüthe machet, und zur Besserung des Verstandes mehr beyträget, als Unerfahrne glauben dürften. Wenn sie eine Rechnungsart wohl verstehen, muß man sie auf die Erklärung führen, die davon im Anfange des Buches gegeben worden, und durch Gegenhaltung der von ihnen gemachten Exempel zeigen, wie sie dasjenige darinnen erblicken, was in der Erklärung stehet. Hierdurch werden sie lernen einen Unterscheid machen zwischen dem, was sie deutlich und undeutlich begriffen; dabey unvermerkt erlernen, wie man aus einzelen Exempeln den darinnen verborgenen allgemeinen [X] Begriff heraussuche; und zugleich sich gewöhnen, auf ihr Thun und Lassen Acht zu haben, auch nichts ohne Verstand vorzunehmen. Hören sie nun nach der Zeit bey reiferem Verstande die Regeln, nach welchen er in Erkenntniß der Wahrheit sich richtet, und die ich in meinem Buche von den Kräften des menschlichen Verstandes vorgetragen habe; so wird ihnen das durch vorige Uebung erlangte Bild bald vor Augen schweben, und werden ihnen die Exempel, darauf sie sich besinnen, alles klar und verständlich machen. In der Geometrie lehret man Anfängern anfangs nur die Figuren kennen, jedoch dergestalt, daß sie nicht allein den Namen zu nennen wissen, wenn man ihnen die Figur zeiget, sondern auch dasjenige hersagen können, woraus sie die Figur erkennen und von andern unterscheiden; zu welchen Fragen die daselbst gegebene Erklärungen dienlich sind. Hierdurch lernen sie deutliche Begriffe von undeutlichen unterscheiden: welches das erste ist, so in gründlicher Erkenntniß der Wahrheit zu beobachten. Nach diesem muß man sie auf die Zeichnung der Figuren führen, wodurch sie erkennen, wie sie möglich sind, und zugleich inne werden, daß man alsdenn erst eine Sache recht begreife, wenn man verstehet, wie sie seyn kan. Alsdenn kan man auch die Lehrsätze und die übrigen Aufgaben [XI] vornehmen, jedoch auf solche Weise, daß man nach den Bedingungen der Lehrsätze die Figuren zeichnen lässet, und nach diesem durch Hülfe der Instrumente versuchet, ob der Satz richtig befunden wird, und dasjenige eintrifft, was in der Aufgabe aufgegeben worden: welche Proben dergestalt einzurichten sind, daß sie so viel von dem Beweise in sich enthalten, als möglich ist. Ein mehreres findet man von diesen mechanischen Beweisen, wie ich sie zu nennen pflege, unter dem Worte demonstratio mechanica in meinem Lexico mathematico. Endlich kan man zuletzt die Geometrie durchgehen, wie sie in dem Buche gedruckt ist, jedoch dergestalt, daß man die Beweise durch Fragen durchnimmet, in der Ordnung, wie die Vördersätze mit ihren Hintersätzen in denen dazu nöthigen Schlüssen in einer unverrückten Reihe aufeinander folgen. Da man denn allezeit von demjenigen den Anfang machen muß, was entweder die Betrachtung der Figur, oder die Bedingungen der Lehrsätze und die Auflösung der Aufgabe an die Hand geben, und dadurch sich anderer Sätze erinnert, die vorhin ausgemacht worden, damit man etwas neues daraus schliessen kan: wie solches in meinem Lexico mathematico unter dem Worte demonstratio deutlicher gewiesen. Und finde ich es sehr dienlich, wenn man alle Sätze ordentlich [XII] unter einander hinschreibet, wie man darauf kommet. Auf solche Weise wird man nicht allein einen Geschmack von gründlicher Erkenntniß bekommen, sondern auch zugleich einer Sache ordentlich nachzudenken angeführet werden. Hat man die Arithmetick und Geometrie auf eine solche Art nach und nach durchgenommen; so wird man auch ohne Anstoß in denen übrigen Disciplinen fortkommen können. Jedoch wollte ich rathen, daß man in denselben durch nöthige Experimente oder Versuche erläuterte, was sich dadurch zeigen lässet: welches schon vorher geschehen konnte, ehe man in der Geometrie sich an die ernsthaften Beweise wagete. Wenn man dieses Buch auf die vorgeschriebene Weise brauchen wird, so zweifele ich nicht, es werde mit dem Studiren bald ein anderes Aussehen gewinnen. GOtt gebe, daß es bald geschehen möge! Noch muß ich dieses erinnern, daß in der andern Auflage hin und wieder einiges verbessert, auch einiges von neuem hinzugesetzet, und einige wenige Druckfehler, welche in die erste Auflage eingeschlichen waren, so wohl im Texte, als den Figuren geändert worden. Halle, den 21. Jul. 1713.

[XII]
Zusatz.

In neuer Auflage hat man die fehlende Beweise §. 198. 199. 203. 206. Geom. aus denen Anfangs-Gründen hinzugefüget; und weil zu denenselben solche Lehrsätze, die sich in dem Auszuge nicht befanden, nöthig waren, so sind einige mit einem * bemerkte §§. aus denen Anfangs-Gründen zwischen den §. 197. und 198. imgleichen zwischen den §. 205. und 206. eingerückt worden. Die dazu gehörigen Kupfer sind gleichfalls hinzugefügt, und nur die Zeichnung zum Beweis des 31sten Lehrsatzes, vom Verhältnis der Kugel gegen den Cylinder etwas geändert und deutlicher gemacht worden. Man hofft, hierdurch nicht nur Anfängern, sondern auch Lehrenden einen Gefallen erwiesen zu haben, welche sonst genöthiget sind, die fehlenden Beweise bey Erklärung des Auszuges darzu zu dictiren. Halle, den 15. April 1755.

[XII]
Inhalt.
des ganzen Werks.
  1. Die Arithmetick.
  2. Die Geometrie.
  3. Die Trigonometrie.
  4. Die Mechanick.
  5. Die Hydrostatick.
  6. Die Aerometrie.
  7. Die Hydraulick.
  8. Die Optick.
  9. Die Catoptrick.
  10. Die Dioptrick.
  11. Die Perspectiv.
  12. Die Astronomie.
  13. Die Geographie.
  14. Die Chronologie.
  15. Die Gnomonick.
  16. Die Artillerie.
  17. Die Fortification.
  18. Die Baukunst.
  19. Die Algebra.


[Anmerkung (Wikisource): Nicht in Inhaltsverzeichnis aufgeführt ist das erste Kapitel Kurzer Unterricht von der Mathematischen Lehr-Art.]

  1. I Cor. XIV 24. conf. Hammodi Paraphrasis.
  2. Eph. 4, 14.