Seite:AbrahamElektromagnetismus1908.djvu/383

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und für die z-Komponente

(250c) \mathfrak{q}'_{z}=\frac{\varkappa\mathfrak{q}{}_{z}}{1-\beta\mathfrak{q}{}_{z}}

Durch eine leichte Rechnung leitet man aus (250a, b, c) für den Betrag von \mathfrak{q}' die Formel ab:

(250d) 1-[\mathfrak{q}'|^{2}=\frac{\left(1-\beta^{2}\right)\left(1-[\mathfrak{q}'|^{2}\right)}{\left(1-\beta\mathfrak{q}{}_{x}\right)^{2}}

Ein Punkt, der sich in \Sigma mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, bewegt sich auch in \Sigma' mit Lichtgeschwindigkeit; denn |\mathfrak{v}|=c,\ |\mathfrak{q}|=1 entspricht nach (250d) \mathfrak{q}'=1,\ \mathfrak{v}'=c'. Ebenso ersieht man, da \beta^{2}<1, ohne weiteres aus dieser Formel: Unterlichtgeschwindigkeit in \Sigma entspricht Unterlichtgeschwindigkeit in \Sigma', Überlichtgeschwindigkeit in \Sigma entspricht Überlichtgeschwindigkeit in \Sigma'.

Aus den Gleichungen (250a bis d), denen gemäß sich die Komponenten und der Betrag von \mathfrak{q}' durch die Komponenten von \mathfrak{q} ausdrücken, erhält man die Formeln, nach denen sich umgekehrt \mathfrak{q}' in \mathfrak{q} transformiert:

(251a) \mathfrak{q}_{x}=\frac{\mathfrak{q}'_{x}+\beta}{1+\beta\mathfrak{q}'_{x}},
(251b) \mathfrak{q}_{y}=\frac{\varkappa\mathfrak{q}'_{y}}{1+\beta\mathfrak{q}'_{x}},
(251c) \mathfrak{q}_{z}=\frac{\varkappa\mathfrak{q}'_{z}}{1+\beta\mathfrak{q}'_{x}},
(251d) 1-[\mathfrak{q}|^{2}=\frac{\left(1-\beta^{2}\right)\left(1-[\mathfrak{q}'|^{2}\right)}{\left(1+\beta\mathfrak{q}'{}_{x}\right)^{2}}

Wir machen, bevor wir weitergehen, von den obigen Transformationsformeln eine Anwendung auf die folgende Frage: In einem materiellen Systeme (etwa dem Planetensysteme) soll eine Uhr (man mag dabei an einen umlaufenden Jupitermond denken) ihren Ort ändern. Dem Systeme und der Uhr werde ferner eine gemeinsame Translationsbewegung im Räume gegeben. Wird ein mitbewegter Beobachter diese Bewegung des Systemes durch Beobachtung jener relativ zu ihm bewegten Uhr feststellen können? Wir werden sehen, daß er sie nicht