Seite:AbrahamElektromagnetismus1908.djvu/398

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Von diesem Standpunkte aus wollen wir das in § 15 behandelte Problem, die Reaktionskraft der Strahlung zu finden, wieder aufnehmen. Wir wollen zeigen, daß durch Anwendung des Relativitätstheorems sich der allgemeine Ausdruck (87) der Reaktionskraft ergibt, falls für langsame Bewegung die in Gl. 58 des § 9 angegebene Formel zutrifft, die wir mit Rücksicht auf (253a) schreiben können:

(262) \mathfrak{K}'^{s}=\frac{2}{3}\frac{e'^{2}}{c'^{3}}\frac{d^{2}\mathfrak{v}'}{dt'^{2}}=\frac{2}{3}e'^{2}\frac{d^{2}\mathfrak{q}'}{dl'^{2}}=\frac{2}{3}e'^{2}\ddot{\mathfrak{q}}.

Dies mag der Ausdruck der Rückwirkung der Strahlung in dem System \Sigma' sein, welches aus dem bewegten Elektron auf Grund der im Eingang dieses Paragraphen angegebenen Transformation entsteht. Beim Übergang zu \Sigma ist zu bedenken, daß nach (259) die elektrische Ladung ungeändert bleibt, und daß jede elektromagnetische Kraft den Transformationsformeln (260) genügen muß. Auf Grund dieser Überlegung erhalten wir in \Sigma für die Reaktionskraft der Strahlung den Ausdruck

(262a) \mathfrak{K}^{s}=\frac{2}{3}e^{2}\frac{d}{dl'}\left\{ \mathfrak{\dot{p}}\right\}

wo \mathfrak{\dot{p}} eben der in Gl. (254) des § 47 eingeführte Vektor ist, dessen Komponenten durch (254a) mit denen des Vektors \mathfrak{\dot{q}}' verknüpft sind. Es handelt sich also nur noch um die Berechnung des Vektors

\frac{d\mathfrak{\dot{p}}}{dl'}=\frac{dl}{dl'}\frac{d}{dl}\left\{ \frac{\mathfrak{\dot{q}}\varkappa^{3}}{\left(1-\beta\mathfrak{q}_{x}\right)^{2}}+\frac{\mathfrak{q}\beta\mathfrak{\dot{q}}_{x}\varkappa^{3}}{\left(1-\beta\mathfrak{q}_{x}\right)^{3}}\right\}

für den sich durch Ausführung der Differentiation und mit Rücksicht auf Gl. 250 ergibt

\frac{\mathfrak{\ddot{q}}\varkappa^{4}}{\left(1-\beta\mathfrak{q}_{x}\right)^{3}}+\frac{\mathfrak{q}\beta\mathfrak{\ddot{q}}_{x}\varkappa^{4}}{\left(1-\beta\mathfrak{q}_{x}\right)^{4}}+\frac{3\mathfrak{q}\beta\mathfrak{\dot{q}}_{x}\varkappa^{4}}{\left(1-\beta\mathfrak{q}_{x}\right)^{4}}+\frac{3\mathfrak{q}\beta^{2}\mathfrak{\dot{q}}_{x}^{2}\varkappa^{4}}{\left(1-\beta\mathfrak{q}_{x}\right)^{5}}

Hier ist nun, wie im Eingange dieses Paragraphen angegeben worden ist, zu setzen

\mathfrak{q}_{x}=\beta,\ \mathfrak{q}_{y}=\mathfrak{q}_{z}=0; dann folgt
(262b) \mathfrak{K}^{s}=\frac{2}{3}e^{2}\left\{ \mathfrak{\ddot{q}}\varkappa^{-2}+\mathfrak{q(q\ddot{q}})\varkappa^{-4}+3\mathfrak{\dot{q}(q\dot{q})}\varkappa^{-4}+3\mathfrak{q(q\dot{q})^{2}}\varkappa^{-6}\right\}