Seite:AbrahamMinkowski1.djvu/4

aus Wikisource, der freien Quellensammlung
Wechseln zu: Navigation, Suche
Dieser Text wurde anhand der angegebenen Quelle einmal korrekturgelesen. Die Schreibweise sollte dem Originaltext folgen. Es ist noch ein weiterer Korrekturdurchgang nötig.
§ 2. Mathematische Hilfsformeln.


Die Zeitdifferentiation für feste Raumpunkte wird durch \tfrac{\partial}{\partial t} vorgestellt. Die zeitliche Änderung eines Flächenintegrales, erstreckt über eine Fläche, deren Punkte sich mit der Geschwindigkeit \mathfrak{w} bewegen

\frac{d}{dt}\int df\ \mathfrak{A}_{n}=\int df\left\{ \frac{\partial'\mathfrak{A}}{\partial t}\right\} _{n}

definiert eine andere Art der Zeitdifferentiation eines Vektors

(1) \frac{\partial'\mathfrak{A}}{\partial t}=\frac{\partial\mathfrak{A}}{\partial t}+\mathfrak{w}\ \mathrm{div}\mathfrak{A}+\mathrm{curl}[\mathfrak{Aw}]

Ferner ist der auf bewegte Punkte bezogene Differentialquotient nach der Zeit

(2) \dot{\mathfrak{A}}=\frac{\partial\mathfrak{A}}{\partial t}+(\mathfrak{w}\nabla)\mathfrak{A}

Dieser ist mit der zeitlichen Änderung des Volumintegrales eines Vektors verknüpft durch die Beziehungen

(2a) \begin{array}{c}
\frac{d}{dt}\int dv\ \mathfrak{A}=\int dv\frac{\delta\mathfrak{A}}{\delta t}\\
\\\frac{\delta\mathfrak{A}}{\delta t}=\dot{\mathfrak{A}}+\mathfrak{A}\ \mathrm{div}\mathfrak{w}\end{array}

Aus (2) und (2a) folgt

(3) \frac{\delta\mathfrak{A}}{\delta t}=\frac{\partial\mathfrak{A}}{\partial t}+(\mathfrak{w}\nabla)\mathfrak{A}+\mathfrak{A}\ \mathrm{div}\mathfrak{w}

Für Skalare ergiebt sich dementsprechend

(3a) \frac{\delta\psi}{\delta t}=\frac{\partial\psi}{\partial t}+\mathrm{div}\psi\mathfrak{w}

Aus (1) und (3) folgt endlich, mit Rücksicht auf die allgemeine Regel

\mathrm{curl}[\mathfrak{Aw}]=(\mathfrak{w}\nabla)\mathfrak{A}-(\mathfrak{A}\nabla)\mathfrak{w}+\mathfrak{A}\ \mathrm{div}\mathfrak{w}-\mathfrak{w}\ \mathrm{div}\mathfrak{A}

die Beziehung

(4) \frac{\partial'\mathfrak{A}}{\partial t}=\frac{\delta\mathfrak{A}}{\delta t}-(\mathfrak{A}\nabla)\mathfrak{w}

Da die in (2) eingeführte Art der Zeitdifferentiation den gewöhnlichen Rechnungsregeln folgt, so gilt, mit Rücksicht auf (2a)

[\mathfrak{\dot{A}B}]+[\mathfrak{A\dot{B}}]=\frac{\delta}{\delta t}[\mathfrak{AB}]-[\mathfrak{AB}]\mathrm{div}\mathfrak{w}

Aus dieser Gleichung, im Verein mit den aus (4) und (2a) folgenden

\begin{array}{l}
\frac{\partial'\mathfrak{A}}{\partial t}=\mathfrak{\dot{A}}+\mathfrak{A}\ \mathrm{div}\mathfrak{w}-(\mathfrak{A}\nabla)\mathfrak{w},\\
\\\frac{\partial'\mathfrak{B}}{\partial t}=\mathfrak{\dot{B}}+\mathfrak{B}\ \mathrm{div}\mathfrak{w}-(\mathfrak{B}\nabla)\mathfrak{w},\end{array}
Empfohlene Zitierweise:

Max Abraham: Zur Elektrodynamik bewegter Körper. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 28, Palermo 1909, Seite 4. Digitale Volltext-Ausgabe in Wikisource, URL: http://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:AbrahamMinkowski1.djvu/4&oldid=1644920 (Version vom 4.09.2011)