Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/357

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.35

wo $\zeta ^{*}$ irgendeine von $1$ verschiedene $l$-te Einheitswurzel bedeutet. Diese Gleichungen (164) ergeben sofort

$\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {r}}}\right\}=1$, $\left\{{\frac {s'\mu }{\mathfrak {r}}}\right\}=1$, $\left\{{\frac {s''\mu }{\mathfrak {r}}}\right\}=1,\ldots ,$

(165)

$\left\{{\frac {\varkappa \cdot s'\varkappa \cdot s''\varkappa \cdots }{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {q}{\mathfrak {r}}}\right\}=\zeta ^{*}$;

(166)

aus der ersten von den Gleichungen (165) folgt nach dem zuvor Bewiesenen $\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\}=1$, und in gleicher Weise liefern die weiteren Gleichungen (165) die Beziehungen $\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{{\mathfrak {q}}'}}\right\}=1$, $\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{{\mathfrak {q}}''}}\right\}=1$, …; durch Multiplikation wird hieraus $\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{q}}\right\}=1$, was wegen Satz 140 (S. 231) der Gleichung (166) widerspricht. Unsere augenblicklich behandelte Annahme über die Exponenten $u$, $u_{1}$, …, $u_{l^{*}}$ ist daher unzutreffend, d. h. diese Exponenten, wie sie oben bestimmt wurden, müssen sämtlich durch $l$ teilbar sein, und $\alpha$ ist mithin gleich der $l$-ten Potenz einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$; hieraus ergibt sich, daß $\varkappa$ kongruent der $l$-ten Potenz einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ ausfällt, womit der Hilfssatz 43 bewiesen ist.

§ 168. Beweis des Reziprozitätsgesetzes für die Fälle, daß eines der beiden Primideale von der zweiten Art ist.

Wir gelangen jetzt schrittweise, wie folgt, zu einzelnen Teilen des Reziprozitätsgesetzes für $l$-te Potenzreste:

Hilfssatz 44. Es sei ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal zweiter Art und ${\mathfrak {r}}$ ein Primideal erster oder zweiter Art in $k(\zeta )$: wenn dann $\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {r}}}\right\}=1$ ist, so wird auch $\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\}=1$.

Beweis. Es seien $\varkappa$, $\varrho$ Primärzahlen der Primideale ${\mathfrak {q}}$ bez. ${\mathfrak {r}}$. Mit Rücksicht auf Hilfssatz 43 (S. 337) besitzt die Relativdiskriminante des Körpers $k({\sqrt[{l}]{\varkappa }},\zeta )$ nach Satz 148 (S. 251) nur den einen Primfaktor ${\mathfrak {q}}$, und daher gehören wegen des Hilfssatzes 35 (S. 312) in diesem Körper alle Ideale dem Hauptgeschlechte an. Wegen $\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {r}}}\right\}=1$ ist ${\mathfrak {r}}$ im Körper $k({\sqrt[{l}]{\varkappa }},\zeta )$ das Produkt von $l$ Primidealen; für den Charakter irgendeines dieser Primideale erhalten wir den Wert

$\left\{{\frac {\varrho ,\varkappa }{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\}=1$,

und damit ist der Hilfssatz 44 bewiesen.

Hilfssatz 45. Wenn ${\mathfrak {q}}$, ${\mathfrak {\bar {q}}}$ irgend zwei Primideale zweiter Art in $k(\zeta )$ sind, so ist stets $\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {\bar {q}}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {\bar {q}}}{\mathfrak {q}}}\right\}$.

Beweis. Im Falle $\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {\bar {q}}}}\right\}=1$ folgt die Richtigkeit der Behauptung unmittelbar aus Hilfssatz 44. Wir betrachten nunmehr den Fall $\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {\bar {q}}}}\right\}\neq 1$. Es

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 340. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/357&oldid=- (Version vom 9.9.2019)