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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.35

seien $\varkappa$, ${\bar {\varkappa }}$ Primärzahlen bez. von ${\mathfrak {q}}$, ${\mathfrak {\bar {q}}}$; ferner seien ${\mathfrak {q}}'$, ${\mathfrak {q}}''$, … die von ${\mathfrak {q}}$ verschiedenen, zu ${\mathfrak {q}}$ konjugierten Primideale und $\varkappa '$, $\varkappa ''$, … bez. die betreffenden zu $\varkappa$ konjugierten Primärzahlen von ${\mathfrak {q}}'$, ${\mathfrak {q}}''$, …; andererseits seien ${\mathfrak {{\bar {q}}'}}$, ${\mathfrak {{\bar {q}}''}}$, … die von ${\mathfrak {\bar {q}}}$ verschiedenen, zu ${\mathfrak {\bar {q}}}$ konjugierten Primideale und ${\bar {\varkappa '}}$, ${\bar {\varkappa ''}}$, … bez. die betreffenden zu ${\bar {\varkappa }}$ konjugierten Primärzahlen von ${\mathfrak {{\bar {q}}'}}$, ${\mathfrak {{\bar {q}}''}}$, …. Endlich sei $q$ die durch ${\mathfrak {q}}$ teilbare rationale Primzahl; man hat dann $\varkappa \varkappa '\varkappa ''\cdots =\varepsilon ^{l}q^{hh^{*}}$, wo $\varepsilon$ eine Einheit in $k(\zeta )$ ist. Nach Satz 152 (S. 276) gibt es ein Primideal ${\mathfrak {r}}$, für welches

$\left\{{\frac {\varkappa }{\mathfrak {r}}}\right\}=\zeta ^{*},$ $\left\{{\frac {\varkappa '}{\mathfrak {r}}}\right\}=1,$ $\left\{{\frac {\varkappa ''}{\mathfrak {r}}}\right\}=1,\ldots ,$

(167)

$\left\{{\frac {\bar {\varkappa }}{\mathfrak {r}}}\right\}=\zeta ^{*},$ $\left\{{\frac {{\bar {\varkappa }}'}{\mathfrak {r}}}\right\}=1,$ $\left\{{\frac {{\bar {\varkappa }}''}{\mathfrak {r}}}\right\}=1,\ldots ,$

(168)

$\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {r}}}\right\}=1,$ $\left\{{\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {r}}}\right\}=1,$ $\left\{{\frac {\varepsilon _{2}}{\mathfrak {r}}}\right\}=1,\ldots ,\left\{{\frac {\varepsilon _{l^{*}}}{\mathfrak {r}}}\right\}=1$

(169)

wird, wo $\zeta ^{*}$ irgendeine von $1$ verschiedene Einheitswurzel bedeutet, und wo $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}$ die $l^{*}$ in § 166 bestimmten und dort mit $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon '_{2}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}^{(l^{*}-1)}$ bezeichneten Einheiten in $k(\zeta )$ sind. Aus (167) folgt

$\left\{{\frac {\varkappa \varkappa '\varkappa ''\cdots }{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {q}{\mathfrak {r}}}\right\}=\zeta ^{*}$,

und daher ist, wenn $\varrho$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {r}}$ bedeutet, nach Satz 140 (S. 231) auch

$\left\{{\frac {\varrho }{q}}\right\}=\left\{{\frac {\varrho }{\mathfrak {q}}}\right\}\left\{{\frac {\varrho }{{\mathfrak {q}}'}}\right\}\left\{{\frac {\varrho }{{\mathfrak {q}}''}}\right\}\cdots =\zeta ^{*}$.

(170)

Andererseits ist wegen (167) nach Hilfssatz 44

$\left\{{\frac {\varrho }{{\mathfrak {q}}'}}\right\}=1,$ $\left\{{\frac {\varrho }{{\mathfrak {q}}''}}\right\}=1,\ldots$;

und daher folgt aus (170) $\left\{{\frac {\varrho }{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\zeta ^{*}$, es ist also

$\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {q}}}\right\}\neq 1$.

(171)

In gleicher Weise leiten wir aus (168) die Beziehung her:

$\left\{{\frac {\bar {\mathfrak {q}}}{\mathfrak {r}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {r}}{\bar {\mathfrak {q}}}}\right\}\neq 1$.

(172)

Wir bestimmen nun die Potenz $\varrho ^{e}$ von $\varrho$ so, daß $\left\{{\frac {\varkappa \rho ^{e}}{\mathfrak {\bar {q}}}}\right\}=1$ wird, und betrachten dann den Kummerschen Körper $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \rho ^{e}}},\zeta )$. Da ${\mathfrak {q}}$ nach Voraussetzung und ${\mathfrak {r}}$ wegen (169) Primideale zweiter Art sind, so folgt vermittelst des Hilfssatzes 43, daß die Relativdiskriminante dieses Körpers nur die beiden Primideale ${\mathfrak {q}}$, ${\mathfrak {r}}$ enthält. Nach Hilfssatz 35 (S. 312) gibt es daher in $k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varrho ^{e}}},\zeta )$ höchstens $l$ Geschlechter. Das Primideal ${\mathfrak {r}}$ ist die $l$-te Potenz eines Primideals

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 341. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/358&oldid=- (Version vom 9.9.2019)