Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/544

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 1

vorausgesetzt wird, und demnach haben wir mit Rücksicht auf $q>p$, und da $Y_{2}$ nicht negativ werden kann,

$0\leqq Y_{2}<(x+1)^{q}$.

Den Ungleichungen (36) ist damit genügt, da ja $K>16$ ist.

Durch Zusammenfassung des Bisherigen erkennen wir, daß jede in dem durch die Ungleichungen

$K[x^{n}+(x+1)^{n}]\leqq U\leqq K[x^{n}+(x+1)^{n}]+x^{n}$

bestimmten Intervalle $J_{x}$ gelegene ganze Zahl $U$ sich in der Gestalt

$\sum \limits _{h=1,\,\ldots ,\,N^{*}}k_{h}(P_{h}^{n}+Q_{h}^{n})$

darstellen läßt. Von einem hinreichend großen $x$ an greifen nun diese Intervalle $J_{x}$ übereinander derart, daß die größte Zahl von $J_{x}$ größer als die kleinste von $J_{x+1}$ ist; in der Tat haben wir gewiß

$K[x^{n}+(x+1)^{n}]+x^{n}>K[(x+1)^{n}+(x+2)^{n}]$,

sobald

$x>{\frac {2{\sqrt[{n}]{K}}}{{\sqrt[{n}]{K+1}}-{\sqrt[{n}]{K}}}}$

genommen wird.

Es lassen sich also alle ganzen Zahlen $U$, die eine gewisse Größe $S$ überschreiten, in der Gestalt

$\sum \limits _{h=1,\,\ldots ,\,N^{*}}k_{h}(P_{h}^{n}+Q_{h}^{n})$

darstellen, wo $P_{h}$, $Q_{h}$ gewisse $2N^{*}$ positive ganze Zahlen bedeuten.

Bezeichnen wir den Generalnenner der rationalen Zahlen $k_{h}$ mit $E$, so folgt aus dieser Darstellung nach Multiplikation mit $E$, daß gewiß jede oberhalb der Größe $ES$ gelegene und durch $E$ teilbare ganze Zahl sich als Summe von $n$-ten Potenzen positiver ganzer Zahlen darstellen läßt, so daß deren Anzahl unterhalb einer Schranke liegt, die nur von $n$ abhängt. Folglich gilt dies auch für jede durch $E$ teilbare und daher auch für jede nicht durch $E$ teilbare ganze Zahl, auf Grund der nämlichen Betrachtung, die oben nach Schluß des Beweises zu Satz II angestellt worden ist. Damit ist das anfangs aufgestellte Theorem, wie es von Waring vermutet worden ist, vollständig bewiesen.

Zum Schluß sei noch bemerkt, daß man durch das vorstehende Beweisverfahren auch zugleich eine obere Schranke für die Anzahl der zur Darstellung einer beliebigen Zahl nötigen $n$-ten Potenzen wirklich finden kann; dazu ist erforderlich, die am Schluß des Beweises von Satz II gemachte Bemerkung zu berücksichtigen und die in dem soeben vollendeten Beweisverfahren auftretenden Größen so weit abzuschätzen, daß die fragliche Schranke schließlich durch $n$ ausdrückbar ist.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 527. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/544&oldid=- (Version vom 17.1.2018)