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	Hendrik Antoon Lorentz: Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern

§ 54. Die Voraussetzung, dass in (62) keine Differentialquotienten nach x, y, z vorkommen, hat uns zu der Gleichung (65) geführt, aus welcher eine Drehung der Polarisationsebene nicht hervorgeht. Es ist daher, wie schon früher angedeutet wurde, nöthig, wenigstens in dem Ausdrucke $F_{1}({\mathfrak {M}})$ Derivirte nach den Coordinaten anzunehmen. Das Einfachste ist, dem zweiten Gliede von (65) noch einen Vector ${\mathfrak {R}}$ hinzuzufügen, dessen Componenten linear und homogen von den ersten Differentialquotienten von ${\mathfrak {M}}_{x},\ {\mathfrak {M}}_{y},\ {\mathfrak {M}}_{z}$ abhängen. Grösse und Richtung von ${\mathfrak {R}}$ werden nun wieder durch die Isotropie näher bestimmt. Denkt man sich nämlich in jedem Punkte des Raumes eine Linie, welche den Vector ${\mathfrak {M}}$ darstellt, und ausserdem im betrachteten Punkte den Vector ${\mathfrak {R}}$ , so muss nach einer beliebigen Drehung dieser ganzen Figur ${\mathfrak {R}}$ noch immer zu den Vectoren ${\mathfrak {M}}$ passen. Verträglich hiermit ist nur die Annahme^[1]

{\mathfrak {R}}=j\ Rot\ {\mathfrak {M}},

↑ Nach einer Drehung der erwähnten Figur wollen wir, wie uns das wirklich freisteht, bei der Zerlegung der Vectoren und der Bildung der Differentialquotienten wieder die ursprünglichen Coordinatenaxen anwenden. Zunächst finde nun eine Drehung von 180° um die x-Axe statt. Es bleibt dabei

{\mathfrak {R}}_{x}

unverändert; folglich können in dem Ausdrucke für diese Componente nur diejenigen Differentialquotienten von

{\mathfrak {M}}_{x},\ {\mathfrak {M}}_{y},\ {\mathfrak {M}}_{z}

vorkommen, welche das Zeichen nicht wechseln. Die sind

{\frac {\partial \,{\mathfrak {M}}_{x}}{\partial x}},\ {\frac {\partial \,{\mathfrak {M}}_{y}}{\partial y}},\ {\frac {\partial \,{\mathfrak {M}}_{y}}{\partial z}},\ {\frac {\partial \,{\mathfrak {M}}_{z}}{\partial y}},\ {\frac {\partial \,{\mathfrak {M}}_{z}}{\partial z}}.

Beachtet man weiter, dass bei einer Drehung von 180° um die y- oder die z-Axe ${\mathfrak {R}}_{x}$ die entgegengesetzte Richtung annimmt, und dass also diejenigen Differentialquotienten ausgeschlossen sind, welche bei einer dieser Drehungen dasselbe Zeichen behalten, so findet man, dass ${\mathfrak {R}}_{x}$ von der Form

j{\frac {\partial \,{\mathfrak {M}}_{z}}{\partial y}}+j'{\frac {\partial \,{\mathfrak {M}}_{y}}{\partial z}}

sein muss.

Schliesslich denke man sich noch eine Drehung von 90° um die x-Axe, wodurch O Y in O Z übergeführt wird. Nach dieser Rotation haben ${\frac {\partial \,{\mathfrak {M}}_{z}}{\partial y}}$ und ${\frac {\partial \,{\mathfrak {M}}_{y}}{\partial z}}$ die Werthe, welche früher $-{\frac {\partial \,{\mathfrak {M}}_{y}}{\partial z}}$ und $-{\frac {\partial \,{\mathfrak {M}}_{z}}{\partial y}}$ hatten; da sich aber ${\mathfrak {R}}_{x}$ nicht geändert hat, so muss $j'=-j$ sein. Aus ${\mathfrak {R}}_{x}$ findet man ${\mathfrak {R}}_{y}$ und ${\mathfrak {R}}_{z}$ , durch Vertauschung der Buchstaben.

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Hendrik Antoon Lorentz: Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern. E. J. Brill, Leiden 1895, Seite 79. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Elektrische_und_Optische_Erscheinungen_(Lorentz)_079.jpg&oldid=- (Version vom 31.7.2018)

[1] Nach einer Drehung der erwähnten Figur wollen wir, wie uns das wirklich freisteht, bei der Zerlegung der Vectoren und der Bildung der Differentialquotienten wieder die ursprünglichen Coordinatenaxen anwenden. Zunächst finde nun eine Drehung von 180° um die x-Axe statt. Es bleibt dabei ${\mathfrak {R}}_{x}$ unverändert; folglich können in dem Ausdrucke für diese Componente nur diejenigen Differentialquotienten von ${\mathfrak {M}}_{x},\ {\mathfrak {M}}_{y},\ {\mathfrak {M}}_{z}$ vorkommen, welche das Zeichen nicht wechseln. Die sind

${\frac {\partial \,{\mathfrak {M}}_{x}}{\partial x}},\ {\frac {\partial \,{\mathfrak {M}}_{y}}{\partial y}},\ {\frac {\partial \,{\mathfrak {M}}_{y}}{\partial z}},\ {\frac {\partial \,{\mathfrak {M}}_{z}}{\partial y}},\ {\frac {\partial \,{\mathfrak {M}}_{z}}{\partial z}}.$

Beachtet man weiter, dass bei einer Drehung von 180° um die y- oder die z-Axe ${\mathfrak {R}}_{x}$ die entgegengesetzte Richtung annimmt, und dass also diejenigen Differentialquotienten ausgeschlossen sind, welche bei einer dieser Drehungen dasselbe Zeichen behalten, so findet man, dass ${\mathfrak {R}}_{x}$ von der Form

$j{\frac {\partial \,{\mathfrak {M}}_{z}}{\partial y}}+j'{\frac {\partial \,{\mathfrak {M}}_{y}}{\partial z}}$

sein muss.
Schliesslich denke man sich noch eine Drehung von 90° um die x-Axe, wodurch O Y in O Z übergeführt wird. Nach dieser Rotation haben ${\frac {\partial \,{\mathfrak {M}}_{z}}{\partial y}}$ und ${\frac {\partial \,{\mathfrak {M}}_{y}}{\partial z}}$ die Werthe, welche früher $-{\frac {\partial \,{\mathfrak {M}}_{y}}{\partial z}}$ und $-{\frac {\partial \,{\mathfrak {M}}_{z}}{\partial y}}$ hatten; da sich aber ${\mathfrak {R}}_{x}$ nicht geändert hat, so muss $j'=-j$ sein. Aus ${\mathfrak {R}}_{x}$ findet man ${\mathfrak {R}}_{y}$ und ${\mathfrak {R}}_{z}$ , durch Vertauschung der Buchstaben.

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