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	Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern

Für eine virtuelle Verrückung in einer Raum-Zeit-Sichel bei den vorhin angewandten Bezeichnungen möge der Wert des Integrals

(17)	$W+\delta W=\iiiint \left({\underset {h,k}{\sum }}S_{hk}{\frac {\partial (x_{k}+\delta x_{k})}{\partial x_{h}}}\right)dx\,dy\,dz\,dt,$

Über das Gebiet der Sichel erstreckt, die Spannungswirkung bei der virtuellen Verrückung heißen.

Die hier vorkommende Summe, ausführlicher und mit reellen Größen geschrieben, ist

X_{x}+Y_{y}+Z_{z}+T_{t}

$+X_{x}{\frac {\partial \delta x}{\partial x}}+X_{y}{\frac {\partial \delta x}{\partial y}}+\cdots +Z_{z}{\frac {\partial \delta z}{\partial z}}$

$-X_{t}{\frac {\partial \delta x}{\partial t}}-\cdots +T_{x}{\frac {\partial \delta t}{\partial x}}+\cdots +T_{t}{\frac {\partial \delta t}{\partial t}}.$

Wir wollen nun folgendes Minimalprinzip für die Mechanik ansetzen:

Wird irgend eine Raum-Zeit-Sichel abgegrenzt, so soll bei jeder virtuellen Verrückung in der Sichel die Summe aus der Massenwirkung und aus der Spannungswirkung für den wirklich stattfindenden Verlauf der Raum-Zeitlinien in der Sichel stets ein Extremum sein.

Der Sinn dieser Aussage ist, daß bei jeder virtuellen Verrückung in den vorhin erklärten Zeichen

(18)	$\left({\frac {d(\delta {\mathsf {N}}+\delta W)}{d\vartheta }}\right)_{\vartheta =0}=0$

sein soll.

Nach den Methoden der Variationsrechnung folgen aus diesem Minimalprinzipe unter Rücksichtnahme auf die Bedingung (15) und mittelst der Umformung (14) sogleich die folgenden vier Differentialgleichungen

(19)	$\nu {\frac {dw_{h}}{d\tau }}=K_{h}+\varkappa \,w_{h}\qquad (h=1,2,3,4),$

wo

(20)	$K_{h}={\frac {\partial S_{1h}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial S_{2h}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial S_{3h}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial S_{4h}}{\partial x_{4}}}$

die Komponenten des Raum-Zeit-Vektors I. Art $K={\text{lor }}S$ sind und $\varkappa$ ein Faktor ist, dessen Bestimmung auf Grund von $w\,{\overline {w}}=-1$ zu erfolgen hat. Durch Multiplikation von (19) mit $w_{h}$ und nachherige

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Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1908, Seite 106. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Grundgleichungen_(Minkowski).djvu/54&oldid=- (Version vom 1.8.2018)